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  • java基础 --- 求一元二次方程(分情况讨论)

    千次阅读 多人点赞 2018-09-15 22:15:33
    01. 目的 求一元二次方程 ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 的根,分...由代数基本定理,一元二次方程有且仅有两个根(重根按重数计算):x=−b±b2−4ac−−−−−−−√2ax=−b±b2−4ac2a x = \dfrac{-b \pm \...

    01. 目的

    求一元二次方程 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 的根,分情况讨论,结果保留2位小数。

    02. 一元二次方程ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 的根

    由代数基本定理,一元二次方程有且仅有两个根(重根按重数计算):x=b±b24ac2a x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} 根的情况由判别式b24ac\sqrt{b^2 - 4ac}决定 ,利用一元二次方程根的判别式b24ac\sqrt{b^2 - 4ac}可以判断方程的根的情况。

    一元二次方程 的根与根的判别式 有如下关系:

    ①当b24ac>0\sqrt{b^2 - 4ac}> 0 时,方程有两个不相等的实数根;
    ②当 b24ac=0\sqrt{b^2 - 4ac}=0时,方程有两个相等的实数根;
    ③当 b24ac<0\sqrt{b^2 - 4ac}< 0 时,方程无实数根,但有2个共轭复根。

    上述结论反过来也成立。

    方程的形式与系数a、b、c的关系
    ① 如果系数a、b、c都为0,则输出“方程不存在!";
    ② 如果a和b为0,c不为0,此时c=0不是方程,输出"方程不存在!";
    ③ 如果当a为0,且b、c不为0时,方程变为一元一次方程bx+c=0,此时方程
    只有一个解;
    ④根据判别式确定方程的解。

    ###03. 求根代码

    package com.test;//创建一个test包
    
    import java.util.Scanner;//导入java.util包中的Scanner类(使用此类可以方便的完成输入流的输入操作)
    import java.math.BigDecimal;//导入java.math包中的BigDecimal(用来对超过	16位有效位的数进行精确的运算)
    
    //对一元二次方程中各系数的不同情况作讨论,列出不同情况下根的分布,最终求出存在的根
    public class Squ { //定义一个公共类---Squ
    	public static void main(String[]args)
    	{   
    		double X1,X2;//定义临时变量X1,X2;
    		System.out.println("方程表达式为:ax2+bx+c=0");//显示台输出---方程表达式为:ax2+bx+c=0
    		@SuppressWarnings("resource")
    		Scanner sc=new Scanner(System.in);//用Scanner类获取控制台的输入(即获得从键盘输入的数)
    		System.out.println("请输入a的值:");//显示台输出提示---输入a的值
    		//每一次从键盘输入值后回车执行后面的内容
    		double a=sc.nextDouble();//接受控制台输入的数字给形参a赋值
    		System.out.println("请输入b的值:");//显示台输出提示---输入b的值
    		double b=sc.nextDouble();//接受控制台输入的数字给形参b赋值
    		System.out.println("请输入c的值:");//显示台输出提示---输入c的值
    		double c=sc.nextDouble();//接受控制台输入的数字给形参c赋值
    		double t=b*b-4*a*c;//定义一个变量t,且t=b*b-4*a*c,此时t为方程根的判别式
    		
    		//用判断语句对方程的系数的不同情况作讨论,并得出根的分布情况
    		//① 判断当a、b、c都为0时,方程变为等式0=0;方程不存在!
    		if(a==0 && b==0 && c==0)
    		{
    			System.out.println("方程不存在!");//显示台输出
    		}
    		//② 当a、b都为0,而c不为0时,方程变为等式c=0,此中不含未知数,方程不存在!
    		else if(a==0 && b==0 && c!=0)
    		{
    			System.out.println("方程不存在!");//显示台输出
    		}
    		//③ 当a为0,且b、c不为0时,方程变为一元一次方程bx+c=0,此时方程只有一个解
    		else if(a==0 && b!=0 && c!=0)
    		{
    			System.out.println("此方程为一元一次方程");//显示台输出
    			double result = (-1 * c) / b;//定义一个变量result存放方程的解;此时解为:-c/b
    			System.out.println(resetValue(result)+"方程的解为:");
    		}
    		//④ 以上定义了t=b*b-4*a*c,若t>0,则t的开方为实数,此时方程有两个不同的实根,且两实根为相反数
    		else if(t>0)
    		{
    			System.out.println("方程有两个实根");//显示台输出
    			//第一根的算法:((-b) + Math.sqrt(t)) / 2 * a( Math.sqrt是指math方法中的sqrt类,即开方)
    			X1= ((-b) + Math.sqrt(t)) / 2 * a;
    			//第一根的算法:((-b) - Math.sqrt(t)) / 2 * a
    			X2= ((-b) - Math.sqrt(t)) / 2 * a;
    			//显示台输出两根的值
    			System.out.println("X1="+resetValue(X1));
    			System.out.println("X2="+resetValue(X2));
    		}
    		//⑤ 如果t<0,则t开方后产生虚数,此时方程有一对共轭副根
    		else if(t<0)
    		{
    			double X4,X5;//定义临时变量X4、X5
    			//⑥ 如果b不等于0,则其根为共轭副根,根由虚部和实部组成
    			if(b!=0)
    			{
    				X4=(-1*b)/(2*a);//根的实部
    				X5=Math.sqrt(-1*t)/(2*a);//根的虚部
    				System.out.println("方程有一对共轭副根:");//显示台输出
    				//输出时toString()表示用科学计数法输出根的值;加i指虚部的表示法;其中的"+、-"连接根的实部和虚部,形成共轭
    				System.out.println("X1="+resetValue(X4).toString()+"+"
    						+resetValue(X5).toString()+"i");//输出第一个根的值
    				System.out.println("X2="+resetValue(X4).toString() + "-"
    						+ resetValue(X5).toString() + "i");//输出第二个根的值
    			}
    			//⑦ 若b=0,则此时根只有虚部没有实部,是一对共轭副根,实部为0
    			else
    			{
    				double X6=Math.sqrt(-1*t)/(2*a);//根中只有虚部
    				System.out.println("方程有一对相反虚根:");//显示台输出
    				//输出时toString()表示用科学计数法输出根的值;加i指虚部的表示法;其中的"+、-"连接根的实部和虚部,形成共轭,此时实部为0
    				System.out.println("X1=0-"+resetValue(X6).toString()+"i");
    				System.out.println("X2=0+"+resetValue(X6).toString()+"i");
    				
    			}
    		}
    		//⑧ 若t=0,则方程有一个实根
    		else if(t==0)
    			{
    				double X3=(-1*b)/2*a;//根的计算
    				System.out.println("方程有一个实根");//显示台输出
    				System.out.println("方程的解为:"+resetValue(X3));//显示台输出方程的解
    			}
    			
    		}
    		
    	//使用静态方法将定义的值由double类型转换为BigDecimal类型(声明)
    	private static BigDecimal resetValue(double n) {
    		// TODO 自动生成的方法存根
    		BigDecimal bd=new BigDecimal(n);//将n的值赋给形参bd
    		//返回的值保留两位小数,默认用四舍五入方式 (ROUND_HALF_UP表示遇5进1;setScale规定要保留的小数位数)
    		return bd.setScale(2,BigDecimal.ROUND_HALF_UP);
    	}
    
    }
    
    

    ###04. 运行结果
    这里写图片描述

    展开全文
  • * @desc 一元三次方程,二次方程,和一次方程求解工具类 */ public class EquationCalculation { /* 计算一元三次方程最大实 * 一元三次方程(ax3+bx2+cx+d=0)的盛金公式解题法 * 输入:参数a,b,c,d * 1):...
    /**
     * @author Along
     * @desc 一元三次方程,二次方程,和一次方程求解工具类
     */
    public class EquationCalculation {
    
        /* 计算一元三次方程最大实根
         * 一元三次方程(ax3+bx2+cx+d=0)的盛金公式解题法
         * 输入:参数a,b,c,d
         * 1):当A=B=0时,方程有一个三重实根;
         * 2):当Δ=B^2-4AC>0时,方程有一个实根和一对共轭虚根,只处理实根;
         * 3):当Δ=B^2-4AC=0时,方程有三个实根,其中有一个两重根;
         * 4):当Δ=B^2-4AC<0时,方程有三个不相等的实根。
         * 返回 : 所有根中大于0的最大值,不存在大于0的值时方程无有效解或有误,返回异常
         */
        public static double solveCubic(double a, double b, double c, double d)  throws ArithmeticException{
            double t1=0,t2=0,t3=0;
            if (a != 0) {
                double A = b * b - 3 * a * c; // A=b*b-3ac
                double B = b * c - 9 * a * d; // B=bc-9ad
                double C = c * c - 3 * b * d; // C=c*c-3bd
                double D = B * B - 4 * A * C; // 判别式D=B*B-4*A*C
                if (A == 0 && B == 0) {
                    //当A=B=0时,盛金公式1: t1=t2=t3=-b/(3a)=-c/b=-3d/c
                    t1 = -c / b;
                    t2 = t1;
                    t3 = t1;
                }else{
                    if (D > 0) {
                        /*
                         * 当D=B^2-4AC>0时,盛金公式2:t1=(-b-(Y1)^(1/3)-(Y2)^(1/3))/(3a);
                         * t2,t3=(-2b+(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)-(Y2)^(1/3))/(6a),
                         * 其中Y1,Y2=Ab+3a(-B±(B^2-4AC)^(1/2))/2,
                         * 因i^2=-1,故t2和t3为虚根,忽略不使用
                         */
                        double Y1 = A * b + 3 * a * (-B + Math.sqrt(D)) / 2;
                        double Y2 = A * b + 3 * a * (-B - Math.sqrt(D)) / 2;
                        // Math.pow(a,b)使用时a不能为负数,分情况判断计算
                        if(Y1<0) {
                            Y1=-Math.pow(Math.abs(Y1), 1.0 / 3);
                        }else {
                            Y1=Math.pow(Math.abs(Y1), 1.0 / 3);
                        }
                        if(Y2<0) {
                            Y2=-Math.pow(Math.abs(Y2), 1.0 / 3);
                        }else {
                            Y2=Math.pow(Math.abs(Y2), 1.0 / 3);
                        }
    
                        double F =Y1 +Y2;
                        t1 = (-b - F) / (3 * a);
                        t2 = t1;
                        t3 = t1;
                    }else if (D == 0) {
                        /*
                         * 当D=B^2-4AC=0时,盛金公式3:t1=-b/a+K; t2=t3=-K/2,
                         * 其中K=B/A,(A≠0)。
                         * 盛金定理:当D=0时,若B≠0,盛金公式3一定不存在A≤0的值,故不需要判断A是否等于0
                         * */
                        double K = B / A;
                        t1 = -b / a + K;
                        t2 = -K / 2;
                        t3 = t2;
                    }else{
                        /*
                         * 当D=B^2-4AC<0时,盛金公式4: t1=(-b-2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a);
                         * t2,t3=(-b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a),
                         * 其中θ=arccosT,T=(2Ab-3aB)/(2A^(3/2)),(A>0,-1<T<1)。
                         * 盛金定理:当D<0时,盛金公式4一定不存在A<=0的值,且一定不存在T<=-1或T>=1的值,故条件A>0和-1<T<1不需要判断
                         * */
                        double T = (2 * A * b - 3 * a * B) / (2 * Math.sqrt(A * A * A));
                        double q = Math.acos(T);
                        double q3 = q / 3.0;
                        t1 = (-b - 2 * Math.sqrt(A) * Math.cos(q3)) / (3 * a);
                        t2 = (-b + Math.sqrt(A) * Math.cos(q3) - Math.sqrt(A) * Math.sqrt(3) * Math.sin(q3)) / (3 * a);
                        t3 = (-b + Math.sqrt(A) * Math.cos(q3) + Math.sqrt(A) * Math.sqrt(3) * Math.sin(q3)) / (3 * a);
                    }
                }
                //返回多个结果中大于0的最大值,若都小于0,则返回0
                double jg[]={t1,t2,t3};
                Arrays.sort(jg);
                if(jg[2] < 0){
                    //方程无大于等于0的有效实根,返回0
                    throw new ArithmeticException("方程无大于等于0的有效实根!");
                }else{
                    return jg[2];
                }
            }else{
                //a=0时,为一元二次方程,调用一元二次方程求根函数
                return solveQuadratic(b,c,d);
            }
        }
    
    
        /* 计算一元二次方程最大实根
         * 一元三次方程(ax2+bx+c=0)的公式解题法
         * 输入:参数a,b,c
         * 1):当Δ=b^2-4ac<0时,方程有无实根;
         * 2):当Δ=b^2-4ac=0时,方程有两个相同的根为-b/2a;
         * 3):当Δ=b^2-4ac<0时,方程有两个根为(-b±(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)。
         * 返回 : 所有根中大于0的最大值根,不存在大于0的值时方程无有效解或有误,返回异常
         */
        public static double solveQuadratic(double a,double b,double c) throws ArithmeticException{
            double t1=0,t2=0;
            if(a!=0){
                double A = b * b - 4 * a *c;
                if(A < 0){
                    //方程无实根,返回0
                    throw new ArithmeticException("方程无实根!");
                }else if(A == 0){
                    t1=t2= -b/(2*a);
                }else{
                    t1= (-b + Math.pow(A, 1.0/2)) / (2 * a);
                    t2= (-b - Math.pow(A, 1.0/2)) / (2 * a);
                }
                //返回多个结果中大于0的最大值,若都小于0,则返回0
                double jg[]={t1,t2};
                Arrays.sort(jg);
                if(jg[1] <= 0){
                    //方程无大于等于0的有效实根,返回0
                    throw new ArithmeticException("方程无大于等于0的有效实根!");
                }else{
                    return jg[1];
                }
            }else{
                //一元一次方程
                return solveLinear(b,c);
    
            }
        }
    
        /* 计算一元一次方程实根
         * 一元一次方程(ax+b=0)的公式解题法
         * 输入:参数a,b
         * 当a!=0,且b!=0时,x=-b/a;
         * 当b=0时,x=0;
         * 返回 : 大于0的实根,不存在大于0的值时方程无有效解或有误,返回异常
         */
        public static double solveLinear(double a,double b) throws ArithmeticException{
            double t1=0;
    
            if(b == 0){
                //方程等式无意义,返回0
                throw new ArithmeticException("方程等式无意义!");
            }else {
                if(a!=0){
                    t1=-b/a;
                    if(t1 < 0){
                        //方程无大于等于0的有效实根,返回0
                        throw new ArithmeticException("方程无大于等于0的有效实根!");
                    }else{
                        return t1;
                    }
                }else{
                    //a=0且b!=0,方程等式不成立,返回异常信息
                    throw new ArithmeticException("方程等式不成立!");
                }
            }
        }
    }
    
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  • 简单C语言小程序:求根公式求一元二次方程式的根!...有两个重根(大小相等的根)或者两个大小不等的根,为了是程序更加完善还要考虑到a =0的情况,即此时不能看做一元二次方程而只能将其看作一...

    简单C语言小程序:求根公式求一元二次方程式的根!
    一、算法的构思
    一元二次方程的一般式:ax^2+bx+c = 0
    我们知道,一元二次方程有解(根)的充要条件是:b^2-4ac>=0。如果不满足此关系式,那么方程无解。接着当方程有解的时候又出现了两种情况:1.有两个重根(大小相等的根)或者两个大小不等的根,为了是程序更加完善还要考虑到a =0的情况,即此时不能看做一元二次方程而只能将其看作一元一次方程,本程序运用求根公式来实现功能,有兴趣的伙计可以试试下面给出的韦达定理实现功能。
    求根公式:
    求根
    扩展——韦达定理:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    二、全部代码

    #include <stdio.h>
    #include <math.h>
    double a = 0, b = 0, c = 0, p, q;
    int main(void)
    {
    	printf("请分别输入a,b,c三个值并用空格隔开,按回车开始运算:\n");
    	scanf("%lf %lf %lf", &a, &b, &c);
    	if(a == 0 )
    	printf("此一元一次方程的解为x= %lf\n", -c/b); 
    	else if (b*b-4*a*c<0)
    	printf("此方程无解\n");
    	else
         {
    	 p = -b/2*a;
    	 q = (sqrt(b*b-4*a*c)/2*a);
    	 printf("此一元二次方程的解为x1= %lf,x2= %lf\n该抛物线的对称轴为:= %lf\n最大/最小值为: = %lf", p+q,p-q, -b/2*a,(4*a*c-b*b)/4*a);
    	 } 
         system("pause");	 
    	 return 0; 
    }  	                  
         	   
    

    三、给生成的程序添加一个漂亮的图标
    我们知道,当C编译完成之后就会有一个默认的图标,很难看,如图:
    那么我们如何可以给它换一个漂亮的图标呢?
    1.首先,要去网上搜集几个你中意的ico图片文件来当他的图标。
    2.在DEV C++左侧项目管理功能栏中找到项目,单击右键,弹出一个选择框,选择项目属性。
    这时我们可以看到左下角有图标选项,点击浏览把从网上找来的ico文件选择进去再进行编译一次就可以了。

    最后谢谢浏览,欢迎指正!

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  • C++求解一元次方程的实

    千次阅读 2019-03-25 16:46:09
    我这里主要是用著名的盛金公式解一元三次方程,不得不说盛金公式更为直观性,与我们解一元二次方程很类似。下面就拿来直接用了。 盛金公式 重根判别式:,总判别式为:。还有四个求根公式详见给的链接,这里...
    • 引言

    一元三次方程的解法有多种,百度百科也有介绍,卡尔丹公式盛金公式。我这里主要是用著名的盛金公式解一元三次方程,不得不说盛金公式更为直观性,与我们解一元二次方程很类似。下面就拿来直接用了。

    • 盛金公式

    ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0(a,b,c,d\in \mathbb{R},a\neq 0)

    重根判别式:\left\{\begin{matrix} A=b^{2}-3ac\\ B=bc-9ac\\ C=c^{2}-3bd\\ \end{matrix}\right.,总判别式为:\triangle =B^{2}-4AC。还有四个求根公式详见给的链接,这里就不一一写出了。

    • 代码实现

    • C++

    从上可以看出,转成C++/matlab很容易实现,但是注意C++判断一个数(float)等于0不能用==0,而是用<1e-6,所有有时候会有一些很小的误差。下面我给出我的实现函数ShengJin,调用即可。注意这里我只取出了实根。

    void ShengJin(double a,double b,double c,double d,vector<double> &X123)
    {
    	/************************************************************************/
    	/* 盛金公式求解三次方程的解 
    	   德尔塔f=B^2-4AC
               这里只要了实根,虚根需要自己再整理下拿出来
    	*/
    	/************************************************************************/
    	double A=b*b-3*a*c;
    	double B=b*c-9*a*d;
    	double C=c*c-3*b*d;
    	double f=B*B-4*A*C;
    	double i_value;
    	double Y1,Y2;
    	if (fabs(A)<1e-6 && fabs(B)<1e-6)//公式1
    	{
    		X123.push_back(-b/(3*a));
    		X123.push_back(-b/(3*a));
    		X123.push_back(-b/(3*a));
    	}
    	else if (fabs(f)<1e-6)   //公式3
    	{
    		double K=B/A;
    		X123.push_back(-b/a+K);
    		X123.push_back(-K/2);
    		X123.push_back(-K/2);
    	}
    	else if (f>1e-6)      //公式2
    	{
    		Y1=A*b+3*a*(-B+sqrt(f))/2;
    		Y2=A*b+3*a*(-B-sqrt(f))/2;
    		double Y1_value=(Y1/fabs(Y1))*pow((double)fabs(Y1),1.0/3);
    		double Y2_value=(Y2/fabs(Y2))*pow((double)fabs(Y2),1.0/3);
    		X123.push_back((-b-Y1_value-Y2_value)/(3*a));//虚根我不要
    		//虚根还是看看吧,如果虚根的i小于0.1,则判定为方程的一根吧。。。
    		i_value=sqrt(3.0)/2*(Y1_value-Y2_value)/(3*a);
    		if (fabs(i_value)<1e-1)
    		{
    			X123.push_back((-b+0.5*(Y1_value+Y2_value))/(3*a));
    		}
    	}
    	else if (f<-1e-6)   //公式4
    	{
    		double T=(2*A*b-3*a*B)/(2*A*sqrt(A));
    		double S=acos(T);
    		X123.push_back((-b-2*sqrt(A)*cos(S/3))/(3*a));
    		X123.push_back((-b+sqrt(A)*(cos(S/3)+sqrt(3.0)*sin(S/3)))/(3*a));
    		X123.push_back((-b+sqrt(A)*(cos(S/3)-sqrt(3.0)*sin(S/3)))/(3*a));
    	}
    }

    这里参照博客matlab实现一元三次方程来验证代码。

    • matlab

    matlab有自带的函数多项式求解函数:roots 求解一元三次方程。

    x=roots([a, b, c, d]);
    for k=1:length(x)
        xx(k) = isreal(x(k));%求实根
    end
    X_real=x(xx); %X_real都是实根
    

    当然,matlab也有大佬实现了盛金公式求解一元三次方程,可以参考这篇博客,写的很详细:盛金公式matlab版

    • 总结

    在编写求解代码时,也看过和实践过别人的求解代码,很多都是用基于一次二次导数的二分法来求解方程(我还有一份,需要的可以私信我),较为复杂且费时。因此参照盛金公式进行了编写C++代码,网上肯定也有同类代码,思想都一样的,很多时候我们为了求解一元三次方程并不是实验,而是为了达到我们的研究目的,比如我这只要实根。

    展开全文
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一元二次方程重根