考研数学中，不论是一元函数，还是多元函数，都需要掌握判断函数连续、可导、可微的关系的方法。今天就给大家带来有关函数函数连续、可导、可微的关系判断的解题绝招。对于一元函数而言，函数连续、可导、可微的关系如下图所示。
一元函数的关系判断简单易懂，相信大家都没有大的问题，接下来有关多元函数的内容才是硬骨头，我会在容易弄错的地方给大家举例说明，大家结合例子来记忆。
多元函数连续、可导、可微、方向导数的定义在书上很容易找到，我就不再赘述了。我在这里就用通俗易懂的语言给大家说一说连续、可导、可微、方向导数到底是什么样子的，便于大家理解。
在一点连续：
可以想象成一个不漏水的曲面容器，但是它可能不是光滑的。
在一点可导：
想象一个曲面，这个曲面沿着X方向、Y方向分别切一刀，切出来的两条曲线在指定点是光滑的。但是这个曲面可能是漏水的。
在一点可微：
可以想象成一个不漏水的沿任意方向都光滑的曲面容器。
在一点的指定方向的方向导数存在：
一个曲面，从指定点处处，沿着指定方向的射线切一刀，切出来的射曲线在指定点处是光滑的，但是沿着射线的反方向是未知的。一定注意是射线！
有了以上的理解，就可以很容易的先把多元函数连续、可导、可微的关系判断出来，因为：①不漏水的光滑曲面容器一定不漏水，所以可微一定连续。②不漏水的光滑曲面容器一定沿X方向、Y方向光滑，所以可微一定可导。
接下来再举例说明任意方向的方向导数与可微的关系：想象一个圆锥面，在尖点处，沿任意射线方向，射线导数都存在，但是很明显，在尖点处不可微。故任意方向的方向导数存在，不一定可微。
最后给大家列图展实，一目了然。注意，偏导数连续与可微的关系大家只需要记住结论就好，不用追究来龙去脉。
最后，大家一定要把这副图烂熟于心，不仅极大的提升你做此类题的正确率，而且有利于加深对于多元函数的理解。

设二元函数 
 为定义在点集 
 上的函数。
二元函数连续性的定义：设 
 （它或者是 
 的聚点，或者是 
 的孤立点）。对于任给的正数 
 ，总存在相应的正数 
 ，只要 
 ，就有 
 则称 
 关于集合 
 在点 
 连续。简称 
 在点 
 处连续。
注：二元函数连续性的定义与一元函数连续性的定义有所不同，在一元函数的连续性的定义中，要求函数 
 必须在 
 的某一邻域 
 上有定义，并且要求的是 
 ,当 
 时， 
 ,则称函数 
 在 
 处连续。注意到二元函数在定义连续的概念的时候并不是要求函数必须在连续点 
 的某一邻域 
 上有定义，只要保证该点是函数的聚点即可，并且对于不是聚点的孤立点仍然可以定义其为连续点（只需要将孤立点带入二元函数连续性的定义加以验证即可发现孤立点也满足该连续性的定义）。因此在二元函数中，聚点和孤立点是连续点的必要条件，即二元函数的连续点必是该函数的聚点或孤立点中的一种。
二元函数可微的定义：设 
 ,二元函数 
 在 
 的某邻域 
 上有定义，对于 
 中的点 
 ,若函数 
 在点 
 处的全增量 
 可表示为 
 ，
其中 
 是仅与点 
 有关的常数， 
 , 
 是较 
 高阶的无穷小量,则称函数 
 在点 
 处可微,并称 
 为函数 
 在点 
 的全微分，记作 
 。
由二元函数可微的定义易知，若函数在点 
 处可微，当 
 时， 
 ,即函数在点 
 处连续，这个结论与一元函数中连续与可微的关系是相同的。
二元函数的偏导数的定义：
前言：所谓偏导数，不同于一元函数中的导数，由于二元函数定义域是二维的关系，由于二维图形方向的复杂性，导致并不能运用一元函数的导数概念来研究二元函数，因此可采用退而求其次的方式，来研究单一方向上的导数的问题，于是我们选取两个最一般的方向，即与 
 轴和 
 轴平行的方向来研究这两个方向上的导数的问题，这便是偏导数概念的由来，若二元函数 
 在点 
 处可微，即 
 ,由于我们要研究单一方向上的导数的问题，不妨令 
 ,即 
 ,于是 
 ,同理令 
 ，可知 
 ,由此我们得到了计算全微分中 
 系数的方法，由二元函数在点 
 处可微知，极限 
 与极限 
 一定存在，这两个极限就是我们下面要定义的偏导数的概念，由此可知，二元函数在某点处可微，那么该二元函数一定在该点处对 
 和 
 均可偏导。
定义：设函数 
 。若 
 ,且 
 在 
 的某一邻域内有定义，则当极限 
 存在时，称这个极限为函数 
 在点 
 关于 
 的偏导数，记作 
 或 
同理可定义 
 在点 
 关于 
 的偏导数，这里就不再赘述了。
由偏导数的定义可以看出，在对二元函数 
 求关于 
 的偏导数时，只需将 
 看作常数，相当于对一元函数求导，因此二元函数的求偏导问题就转换成一元函数的求导问题。
在上面的前言中，我们就已经知道了，若函数 
 在点 
 处可微，那么函数在该点处一定对 
 均可偏导，那么反过来，如果二元函数在点 
 同时对 
 可偏导，那么是否该函数在点 
 处可微呢？请看下面的例子：
考虑函数 
 ,在原点的可微性。
解：按偏导数的定义， 
 ,同理可得 
 ,则 
则 
由于极限 
 不存在，故函数 
 在点 
 处不可微。
由这道例题可知，函数 
 在某点处同时对 
 可偏导是函数 
 在这点处可微的必要条件。
那么在函数可偏导的条件下添加什么样的条件能保证函数 
 在该点处可微呢？
二元函数可微的充分条件：若二元函数 
 的偏导数在点 
 的某邻域上存在，且 
 与 
 在点 
 处连续，则函数 
 在点 
 处可微。
证明：将全增量 
 写作
 在第一个括号里，它是函数 
 关于 
 的偏增量。在第二个括号里，则是函数 
 关于 
 的偏增量，由一元函数的拉格朗日中值定理知：
由于 
 在点 
 处连续，即
 ,
即当 
 时， 
其中 
 为 
 时的无穷小量。
同理可得，当 
 时， 
其中 
 为 
 时的无穷小量。
于是， 
即 
即 
所以 
由于 
 ,
由极限的迫敛性知， 
即函数 
 在点 
 处可微。
反过来，如果函数 
 在点 
 处可微的话，是否能推导出函数 
 的偏导数 
 在点 
 处连续呢？请看下面的例子：
考虑函数 
 ，
可验证该函数在原点 
 处可微，但 
 与 
 却在点 
 处不连续。
若函数 
 在点 
 的偏导数 
 连续，则称 
 在点 
连续可微。
在上面的叙述中，我们知道了二元函数在一点处可微，则它在该点处一定连续，且一定存在关与 
 的偏导数，二元函数在某一点处连续同样不能推导出二元函数在该点处可偏导，如函数 
 （圆锥）在原点处连续，但是在该点处不存在偏导数。反过来，即使二元函数在某一点处存在对所有自变量 
 的偏导数，也不能保证二元函数在该点处连续，例如， 
 ，在原点处不连续，但却存在偏导数
 , 
 。
这是因为偏导数仅仅只是刻画了二元函数沿 
 轴或沿 
 轴方向的变化特征，所以偏导数都存在只能说明 
 在原点分别对 
 和对 
 必定连续，但由此并不能保证二元函数 
 在原点的连续性。

	

趣讲极限、连续、可导、可微、可积的关系(一)
极限与连续的关系
相信很对于很多高中数学基础不好的人在初学高数时看到一大堆新名词，一大堆复杂的公式都是很迷茫的。而看课本吧又看不下去，看网课吧又容易犯困，因此，在这里，我会以尽可能有趣的方法来总结一些高数知识。大家在学高数的时候应该都遇到过一个问题，老师讲课时说了什么极限、可导、可微等词汇，他们似乎有什么关系但又搞不明白，那么，现在来让我们一起了解一下。
首先还是送给懒得看朋友一些速记总结：
有极限不一定连续，但是连续一定有极限
可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；
可微与连续的关系：可微与可导是一样的；
可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；
可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导；
在我小时候第一次接触小数的时候，老师就说过1和2之间是有无数个数字的，因为1和2之间是有无数个小数的，那么如果把这些小数都加起来会怎么样呢？
1+0.9
1+0.9+0.09
1+0.9+0.09+0.009
....
很显然，它是可以一直加下去的，但他又总是比2小的，因此我们可以广义的总结一下什么是极限：极限就是指无限靠近而永远不能到达。
好了，现在我们有了广义的概念，那么再来分析一下在数学上概念。现在，我们把这种一直加下去的计算过程称为一种“变化状态”，我们发现这种状态的值是在不断增大的，他一直在向2接近，但又永远达不到。在数学中，我们把每次相加的数称为变量，这种状态的值与变量构成一个函数。那么概念就来了：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大(或者变小)的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”(“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果)的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。(当然，这个概念源于百度文库，不记也罢)
在我们了解了什么是极限后，就会想：极限怎么用数学符号来定义呢？
现在我们先来看第一个——数列极限。数列可能大家都知道，在我们中学时候就学到过什么等差数列，等比数列等。那么，现在来让我们看看上面这个1+0.9..的问题，如果我们把每次加的和放在一个数列里，那么我们会得到一个数列{1.9，1.99，1.999，1.9999，....}，我们想得到极限2总不能一直加下去吧？所以，就有人给了一个非常小的值ε，当加到数列中的某一数减去2得到的绝对值小于ε时，则说这个数列的极限就为2.也就是当这个递增数列的某个值达到了(2-ε，2)这个范围内，则说明这个数列有极限(收敛)，极限为2.现在，用数学来定义一下：
我们讨论完数列极限后，会发现在我们实际应用中，数列用的并不多，因此，我们来讨论另一个——函数极限。我们都知道一元函数是一个y与x的映射关系，一般情况下在我们改变x时，函数值y也会随之改变。因此，对于函数极限我们一般遇到的问题都是当x->某个值时，求此时y的值。我们知道，x->某个值，但并不代表=这个值，像上面的那个运算，它一直相加是趋近于2的但不等于2，那在函数里我们会发现，我们是无法确切写出这个数对应的函数值的，怎么办呢？同样的方法，我们这次取二个很小的值ε，δ。如果x在(2-δ，2+δ)之间取值时，此时对应的|f(x)-f(2)|
说完了极限，那么来说一下连续，什么是连续？简单的说，就是函数f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果，那么就称函数f(x)在x0出连续。我们发现，其中的不就是极限定义吗？因此我们可以得到连续的话是一定有极限的。那么有极限是否一定连续呢？
我们发现连续还需要一点条件：在某一邻域内有定义。我们知道，极限是有左极限和有极限的，而有定义，则需要此时的左极限=右极限。因此，有极限是不一定连续的，还需要它的左极限与右极限相等。
 而不连续一般情况是在某一点时出现了中断的情况，那么导致这种不连续的点我们称作间断点。一般的我们常见的有四种间断点：
可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。
跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。
无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。
振荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。
可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点，也叫有限型间断点。其它间断点称为第二类间断点。

在高等数学一元函数微分学中研究的关键问题之一是可导和可微，夹杂着函数连续，简短等知识点，这几个相关的概念混在一块总是难以理解，什么可导一定可微，可导一定连续之类的。

这里把这几个概念就自己的理解做一下解释。

1.极限。

求某一数列趋近于无穷的情况，某一函数趋近于无穷的情况，某一函数趋近于某一点的情况。只与自变量（数列为项数）和表达式有关。

2.连续，可导，可微。

连续，可导，可微三个均涉及到自变量，因变量，表达式，定义上又略有不同。
(这里个很重要的概念：增量。即Δx，Δy。很多人不知道增量的意思和dx，dy代表什么意思，其实读书的时候仔细一点，这些概念都有提到。)

2.1 连续

2.1.1 定义1：当函数自变量的增量无线趋近于0的时候，因变量的增量的极限等于0。

定义2：当自变量趋近于X0的时候，函数极限等于函数值f(x0).

2.1.2 理解

连续也只涉及到自变量向趋近于x0时，y的极限。只不过极限算完就算完了，极限是否存在，存在的话值是多少都不是我们关心的问题，但在连续的定义里面。要根据极限的计算结果对函数连续性进行评价。函数在极限存在且在该点有定义。极限不存在怎么办？该点没定义怎么办？于是就像"缺什么补什么"似的，高数引进的间断点的概念，并且根据函数该点处的极限情况分成了第一类间断点和第二类间断点。

请注意，关于连续，我们经常研究的是某一点的情况。
	对于很多非数学系的工科同志而言，这里又有一个点常常被忽略——有定义（包含分母不为0这种没定义的情况）

2.2 可导与导数

2.2.1 定义

当自变量趋近于某一点x0的时候，因变量-f(x0)/自变量-x0的极限存在。

2.2.2 理解

如果说连续的定义和计算与极限还有几分相似的话，可导和可微就完全不是了。可导相当于构造了一个新的函数g(x),计算该函数的极限。当然，新构造出来的函数有它自己的实际意义，也就是因变量增量的比与自变量增量的比的极限。

另一个值得注意的就是可导的结果并不是一个实际的值，好像布尔值一样，对函数某点做是否可导判断的问题可转换为函数g(x)在该点的极限是否存在。得出是或否就行了。

到这里，理解“可导一定连续，但连续不一定可导”应该不难了，因为你肯定在极限中做过让你头疼很久的0比0型极限，通常情况是一个极限单独算存在，合在一块经过有限加减运算刚好凑成了0/0型，如果连续的结果（某一点的极限存在）存在，把它看成一个有结果的极限，那么可导刚好类似于0/0型。所以只知道连续的结果算不出可导的结果。知道了可导的结果，就知道连续的极限存在，也知道了可导一定连续。

如果感觉记不住，就用一种地球人都知道的记忆方法：你看到面前的一排小蓝车，你把第一辆车推到了，接着后面的车跟着也倒了，可倒（导）一定连续，连续不一定可倒（导）。
	请注意：对于导数是否存在一般为某一点，导数则有可能是一个区间

2.3 可微
	注意dx和dy从现在起才正式出现。

2.3.1   定义

Δy可以写成线性的形式A*Δx加上一个无穷小，即线性的形式。A与x无关，无穷小相对于Δx而言。满足条件的成为函数可微，并称AΔx为x在x0处的微分。记为dy，自变量的增量Δx等于自身的微分dx，所以有dy=Adx。

2.3.2   解释

2.3.2.1 Δy与dy的区别

Δy与dy之间相差了一个无穷小量。也可以说dy是Δy的近似。

2.3.2.2  可微和可导一样，判断是否可微即可，但A的确定又是一个难题，对于学高等数学的工科生直接使用结论A即为该点的导数值即可。
	请注意：可微相对于某一点来说，微分相对于定义域