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  • 在高等数学一元函数微分学研究的关键问题之一是导和可,夹杂着函数连续,简短等知识点,这几个相关的概念混在一块总是难以理解,什么导一定可微导一定连续之类的。 这里把这几个概念就自己的理解做一下...

    在高等数学一元函数微分学中研究的关键问题之一是可导和可微,夹杂着函数连续,简短等知识点,这几个相关的概念混在一块总是难以理解,什么可导一定可微,可导一定连续之类的。
    这里把这几个概念就自己的理解做一下解释。
    1.极限。
    求某一数列趋近于无穷的情况,某一函数趋近于无穷的情况,某一函数趋近于某一点的情况。只与自变量(数列为项数)和表达式有关。
    2.连续,可导,可微。
    连续,可导,可微三个均涉及到自变量因变量表达式,定义上又略有不同。

    (这里个很重要的概念:增量。即Δx,Δy。很多人不知道增量的意思和dx,dy代表什么意思,其实读书的时候仔细一点,这些概念都有提到。)
    

    2.1 连续
    2.1.1 定义1:当函数自变量的增量无线趋近于0的时候,因变量的增量的极限等于0。
    定义2:当自变量趋近于X0的时候,函数极限等于函数值f(x0).
    2.1.2 理解
    连续也只涉及到自变量向趋近于x0时,y的极限。只不过极限算完就算完了,极限是否存在,存在的话值是多少都不是我们关心的问题,但在连续的定义里面。要根据极限的计算结果对函数连续性进行评价。函数在极限存在且在该点有定义。极限不存在怎么办?该点没定义怎么办?于是就像"缺什么补什么"似的,高数引进的间断点的概念,并且根据函数该点处的极限情况分成了第一类间断点和第二类间断点。
    请注意,关于连续,我们经常研究的是某一点的情况。

    	对于很多非数学系的工科同志而言,这里又有一个点常常被忽略——有定义(包含分母不为0这种没定义的情况)
    

    2.2 可导与导数
    2.2.1 定义
    当自变量趋近于某一点x0的时候,因变量-f(x0)/自变量-x0的极限存在。
    2.2.2 理解
    如果说连续的定义和计算与极限还有几分相似的话,可导和可微就完全不是了。可导相当于构造了一个新的函数g(x),计算该函数的极限。当然,新构造出来的函数有它自己的实际意义,也就是因变量增量的比与自变量增量的比的极限。
    另一个值得注意的就是可导的结果并不是一个实际的值,好像布尔值一样,对函数某点做是否可导判断的问题可转换为函数g(x)在该点的极限是否存在。得出是或否就行了。
    到这里,理解“可导一定连续,但连续不一定可导”应该不难了,因为你肯定在极限中做过让你头疼很久的0比0型极限,通常情况是一个极限单独算存在,合在一块经过有限加减运算刚好凑成了0/0型,如果连续的结果(某一点的极限存在)存在,把它看成一个有结果的极限,那么可导刚好类似于0/0型。所以只知道连续的结果算不出可导的结果。知道了可导的结果,就知道连续的极限存在,也知道了可导一定连续。
    如果感觉记不住,就用一种地球人都知道的记忆方法:你看到面前的一排小蓝车,你把第一辆车推到了,接着后面的车跟着也倒了,可倒(导)一定连续,连续不一定可倒(导)。

    	请注意:对于导数是否存在一般为某一点,导数则有可能是一个区间
    

    2.3 可微

    	注意dx和dy从现在起才正式出现。
    

    2.3.1 定义
    Δy可以写成线性的形式A*Δx加上一个无穷小,即线性的形式。A与x无关,无穷小相对于Δx而言。满足条件的成为函数可微,并称AΔx为x在x0处的微分。记为dy,自变量的增量Δx等于自身的微分dx,所以有dy=Adx。
    2.3.2 解释
    2.3.2.1 Δy与dy的区别
    Δy与dy之间相差了一个无穷小量。也可以说dy是Δy的近似。
    2.3.2.2 可微和可导一样,判断是否可微即可,但A的确定又是一个难题,对于学高等数学的工科生直接使用结论A即为该点的导数值即可。

    	请注意:可微相对于某一点来说,微分相对于定义域
    
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  • 文章目录1、函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0​极限存在的充要条件2、函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0​连续的充要条件3、函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0​可微3.1一元函数可导的充要条件3.2多元函数偏导的定义4、函数f(x)f(x...

    1、函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0极限存在的充要条件


    f(x)在点 x 0 x_0 x0存在极限并不要求f(x)在该点有定义,只需要在点 x 0 x_0 x0存在左右极限且相等。

    2、函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0连续的充要条件

    在这里插入图片描述
    需要函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0极限存在且等于 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)

    3、函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0可微

    实际上,多元函数没有"可导"一说,因为多元函数在某一点 x 0 x_0 x0有多个变量,那么只能说对某个变量 x 0 i x_0^i x0i可偏导。如果在这点的所有变量的偏导数都存在且连续,则说多元函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0可微,但是反过来,函数可微不一定能推出便导数连续。

    3.1一元函数可导的充要条件

    一元函数可导的充要条件左右导数存在且相等
    在这里插入图片描述
    对于一元函数来说,就一个(偏)导数,故而一元函数可微与可导是等价的。

    3.2多元函数偏导的定义

    f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_0 x0中第一个变量 x 0 1 x_0^1 x01求偏导,则将其他所有的变量都当成常数,这时候直接对 x 0 1 x_0^1 x01进行求导即可。

    多元函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0可微的充分条件是 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0 n n n个偏导数都存在且连续。

    4、函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0连续可微

    令函数是在开区间上可微的,若函数的导函数是开区间上的连续函数,则称函数在开区间上连续可微,记作连续可微。
    **因为偏导数连续能推出可微,然而可微并不能推出偏导数连续。**因为存在偏导数不连续也可微的函数,所以连续可微与可微的区别就是,连续可微函数的偏导数一定连续,而可微函数就不一定了。

    有以下关系:
    在这里插入图片描述

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  • \Rightarrow一元函数连续 {Δy+→0Δy−→0​(Δx→0时)⇒一元函数连续 { Δ z 方 向 1 → 0 Δ z 方 向 2 → 0 ⋯ ⋯ ( → 方 向 ∞ ) ( { Δ x → 0 Δ y → 0 时 ) ⇒ 多 元 函 数 连 续 \begin{cases} \Delta z^...

    在解释这些概念的关系和意义之前,需要先对这些概念进行逐一的解释,以方便后续理解

    连续

    什么是连续? 光滑就是连续。可光滑又是什么呢?想象有一栋楼,你要在一楼和二楼之间建立一座楼梯,且二层之间的高度差 H H H保持不变。楼梯阶数越多,楼梯越光滑,对吧?也就是每上一阶,高度的上升越小,楼梯越光滑。当每上一阶楼梯,高度几乎没有变化时,楼梯便达到了真正的光滑。

    在这里插入图片描述

    在一个点处,当自变量进行一个微小的任意变化,若因变量几乎没有变化,称该函数在这一点连续

    为什么要说任意变化?其实只是强调,因为,变化本来就指任意变化 。还是举上面那个例子:你站在一楼与二楼之间的楼梯上正在上楼,你面前的楼梯每一阶很矮,使得它们很光滑,当你每上一阶楼梯,高度几乎没有变化。可你身后的楼梯每一阶很高,当每下一阶楼梯,高度会发生很大的变化。那么,毫无疑问,楼梯在这一点是不光滑的。

    一元函数的任意变化只有两个方向,而多元函数的任意变化有无数个方向,即:
    { Δ y + → 0 Δ y − → 0 ( Δ x → 0 时 ) ⇒ 一 元 函 数 连 续 \begin{cases} \Delta y^{+}\rightarrow 0 \\ \Delta y^{-}\rightarrow 0 \end{cases} (\Delta x\rightarrow0时) \Rightarrow一元函数连续 {Δy+0Δy0(Δx0)


    { Δ z 方 向 1 → 0 Δ z 方 向 2 → 0 ⋯ ⋯ ( → 方 向 ∞ ) ( { Δ x → 0 Δ y → 0 时 ) ⇒ 多 元 函 数 连 续 \begin{cases} \Delta z^{方向1}\rightarrow 0\\ \Delta z^{方向2}\rightarrow 0\\ \cdots\cdots(\rightarrow方向\infty) \end{cases} \left( \begin{cases} \Delta x\rightarrow0\\ \Delta y\rightarrow0 \end{cases} 时\right) \Rightarrow多元函数连续 Δz10Δz20()({Δx0Δy0)

    可导与可微

    对一元函数来说,可导指存在导数,可微指存在微分。 对多元函数来说,可导指存在偏导数,可微指存在全微分。 所以,为什么在一元函数中可导一定连续,在多元函数中可导不一定连续呢?定义的错啊!

    一般来说,提到导数就会想起变化率。其实从另一个角度,可以说导数是变化率的统一 。可不可导是描述变化率能不能统一的性质。

    举个例子。对某个一元函数,在 x 0 x_0 x0点,向正方向有一个变化率 b h + bh^+ bh+,向负方向有一个变化率 b h − bh^- bh,假若有 b h + ≠ b h − bh^+\not=bh^- bh+=bh,那么在该点没有导数

    一元函数在一点的变化率只有两个方向,而对多元函数有无数个。为了便于研究,人们提取了其中沿 x x x轴和沿 y y y轴两个方向的统一变化率称为偏导数,但可微变成了表示全微分存在的概念,所谓,即为所有方向的变化率的统一。即:
    { f ′ x + = f ′ x − f ′ y + = f ′ y − ⇒ 多 元 函 数 可 导 \begin{cases} f'^{x+}=f'^{x-}\\ f'^{y+}=f'^{y-} \end{cases} \Rightarrow多元函数可导 {fx+=fxfy+=fy


    { f ′ 方 向 1 = f ′ 方 向 2 f ′ 方 向 2 = f ′ 方 向 3 ⋯ ⋯ ( → 方 向 ∞ ) ⇒ 多 元 函 数 可 微 \begin{cases} f'^{方向1}=f'^{方向2}\\ f'^{方向2}=f'^{方向3}\\ \cdots\cdots(\rightarrow方向\infty) \end{cases} \Rightarrow多元函数可微 f1=f2f2=f3()

    多元函数中连续,可导,可微,偏导数连续的关系及意义

    首先很容易看出,可微是一个比可导更强的条件,因为它需要达成一个更为广阔的统一。即:
    { 可 微 ⇒ 可 导 可 导 ⇏ 可 微 \begin{cases} 可微\Rightarrow可导\\ 可导\nRightarrow可微 \end{cases} {
    又因为有全微分
    Δ z = ∂ z ∂ x Δ x + ∂ z ∂ y Δ y + o ( Δ x 2 + Δ y 2 ) \Delta z=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+ \frac{\partial z}{\partial y} \Delta y +o(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}) Δz=xzΔx+yzΔy+o(Δx2+Δy2 )
    所以,只要对应的变化率存在,就能使得 Δ y → 0 , ( Δ x → 0 时 ) \Delta y\rightarrow 0 ,(\Delta x\rightarrow 0时) Δy0,(Δx0)

    假若可微,

    多 元 函 数 可 微 ⇒ { f ′ 方 向 1 = f ′ 方 向 2 = c f ′ 方 向 2 = f ′ 方 向 3 = c ⋯ ⋯ ( → 方 向 ∞ ) 多元函数可微\Rightarrow \begin{cases} f'^{方向1}=f'^{方向2}=c\\ f'^{方向2}=f'^{方向3}=c\\ \cdots\cdots(\rightarrow方向\infty) \end{cases} f1=f2=cf2=f3=c()

    很容易证明对应的变化率都存在。不过,连续,并不一定能达成所有方向上变化率的统一,比如,连续要求当自变量进行一个微小的任意变化,因变量几乎没有变化 。而这个几乎没有变化中的微小变化,可以任意改变方向,假设这个微小量为 g g g,令新的微小量为 − g -g g,仍然是连续的。可是这时,函数已经不可微了,甚至不可导了。即:

    { 可 微 ⇒ 连 续 连 续 ⇏ 可 微 \begin{cases} 可微\Rightarrow连续\\ 连续\nRightarrow可微 \end{cases} {

    对于可导,只提了 x x x轴和 y y y轴方向上的变化率,对于其他的变化率只字未提,要是哪个方向上变化率不存在呢?可知可导不一定连续。 还有,上已说过,连续不一定可导,即:

    { 可 导 ⇏ 连 续 连 续 ⇏ 可 导 \begin{cases} 可导\nRightarrow连续\\ 连续\nRightarrow可导 \end{cases} {

    最后在说偏导数连续。假定选择一点 z 0 z_0 z0,在该点的一个小邻域内偏导数连续。如上所说,在一个点处,当自变量进行一个微小的任意变化,若因变量几乎没有变化,称该函数在这一点连续 。那么,可知,此时,当自变量进行一个微小的任意变化,偏导数几乎没有变化。又因为在一个小邻域内,则可认为:在整个小邻域内,偏导数几乎一致不变。

    已知,只要达成所有方向上变化率的统一,该点即为可导。假定在 z 0 z_0 z0点的一个小邻域内,有一个任意的点 z e z_e ze,使得 z 0 → z e z_0\rightarrow z_e z0ze呈任意方向,那么只要此时的变化量是不变的一个量,可证 z 0 z_0 z0处可微。

    无论 z e z_e ze z 0 z_0 z0的什么方向上,设定 z e z_e ze z 0 z_0 z0 y y y轴方向上的投影 z e y z_{ey} zey, 则 z 0 → z e y z_0 \rightarrow z_{ey} z0zey沿 y y y轴方向, z e y → z e z_{ey}\rightarrow z_e zeyze沿 x x x轴方向。则:
    z 0 → z e ⇒ { z 0 → z e y z e y → z e z_0\rightarrow z_e \Rightarrow \begin{cases} z_0\rightarrow z_{ey}\\ z_{ey}\rightarrow z_e \end{cases} z0ze{z0zeyzeyze

    即:

    在这里插入图片描述

    由于在整个小邻域内,偏导数几乎一致不变, 所以 z 0 z_0 z0 z x z_x zx处沿x轴方向的变化率几乎一致不变,且又有 z e y → z e z_{ey}\rightarrow z_e zeyze沿 x x x轴方向,则设 z e z_e ze z 0 z_0 z0 x x x轴方向上的投影为 z e x z_{ex} zex,有: z e y → z e z_{ey}\rightarrow z_e zeyze的结果与 z 0 → z e x z_0\rightarrow z_ex z0zex几乎一致不变。

    在这里插入图片描述

    上图中的情况与之完全等效。

    这样的结果就是:
    z 0 → z e ⇒ { z 0 → z e y z 0 → z e x z_0\rightarrow z_e \Rightarrow \begin{cases} z_0\rightarrow z_{ey}\\ z_0\rightarrow z_{ex} \end{cases} z0ze{z0zeyz0zex

    所以,可知,无论 z 0 → z e z_0\rightarrow z_e z0ze的方向如何,变化率始终只由 ∂ z 0 ∂ x \frac{\partial z_0}{\partial x} xz0 ∂ z 0 ∂ x \frac{\partial z_0}{\partial x} xz0决定,是一个统一的值。而可微时,偏导数并不一定可导,即:

    { 偏 导 数 可 导 ⇒ 连 续 连 续 ⇏ 偏 导 数 可 导 \begin{cases} 偏导数可导\Rightarrow连续\\ 连续\nRightarrow偏导数可导 \end{cases} {

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    1.微分,表示在一个极小区间里面函数的变化值: 用式子表示为 dy=lim[(f(x)-f(xo)] (x->xo) , 令 y=f(x) , 则有 ** dy= (dy/dx)dx=y’ * dx ** 其中[ ** dx=x-xo ->0 , dy=f(x)-f(x0) ** ] 由上面的结论我们...

    1.微分,表示在一个极小区间里面函数的变化值:
    用式子表示为 dy=lim[(f(x)-f(xo)] (x->xo) , 令 y=f(x) , 则有 ** dy= (dy/dx)dx=y’ * dx ** 其中[ ** dx=x-xo ->0 dy=f(x)-f(x0) ** ]

    由上面的结论我们就可以推出洛必达法则:

    f(x)/ g(x) , x->0 = f’(x) / g’(x) ,x->0 前提肯定是两个函数在这点连续可导。

    2.导数,表示在某一点的函数变化率:
    一个函数 y=f(x) ,y’= dy/dx 其中[ dx=x-xo ->0dy=f(x)-f(x0) ];

    dy->0 , y’->0, dx->0;

    当x无限->x0时 dy~y’
    可以把dy当成函数在某一点的极小邻域内的平均变化量(导数)在极小范围内的积分 由于积分区间是无穷小(趋于零),所以所得积分;超级完全极大的等于平均变化量本身。
    所以根据上面结论,我们可以在一元线性的函数来说 我们可以把 微分 等同于 导数 通常记作 dy=y’

    3.导数、连续、微分的关系
    如果说一个函数可导或者可微,需要证明函数在左右两边有左导数(微分)和右导数(微分),且左右导数(微分)相等

    所以如果函数在某点有定义可微(可导) ->函数在一个极小区间里面函数的变化值为无穷小(0) -> 函数在这点连续

    但是连续并不能推导出可导或者可微,其中最典型的范例为y=|x| ,x的区间为(负无穷->正无穷)在(0,0)就不可导

    注意事项:
    在做题的时候需要注意的是根据定义来说如果函数存在n阶导数可以推出函数在0到n-1阶(导)函数都连续但是第n阶导函数不一定连续


    以上内容为个人学习所用 如果有错误之处 还望大家一起进行讨论和修正


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一元函数中连续是可微的