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  • 在高等数学一元函数微分学中研究的关键问题之一是可导和可微,夹杂着函数连续,简短等知识点,这几个相关的概念混在一块总是难以理解,什么可导一定可微,可导一定连续之类的。 这里把这几个概念就自己的理解做一下...

    在高等数学一元函数微分学中研究的关键问题之一是可导和可微,夹杂着函数连续,简短等知识点,这几个相关的概念混在一块总是难以理解,什么可导一定可微,可导一定连续之类的。
    这里把这几个概念就自己的理解做一下解释。
    1.极限。
    求某一数列趋近于无穷的情况,某一函数趋近于无穷的情况,某一函数趋近于某一点的情况。只与自变量(数列为项数)和表达式有关。
    2.连续,可导,可微。
    连续,可导,可微三个均涉及到自变量因变量表达式,定义上又略有不同。

    (这里个很重要的概念:增量。即Δx,Δy。很多人不知道增量的意思和dx,dy代表什么意思,其实读书的时候仔细一点,这些概念都有提到。)
    

    2.1 连续
    2.1.1 定义1:当函数自变量的增量无线趋近于0的时候,因变量的增量的极限等于0。
    定义2:当自变量趋近于X0的时候,函数极限等于函数值f(x0).
    2.1.2 理解
    连续也只涉及到自变量向趋近于x0时,y的极限。只不过极限算完就算完了,极限是否存在,存在的话值是多少都不是我们关心的问题,但在连续的定义里面。要根据极限的计算结果对函数连续性进行评价。函数在极限存在且在该点有定义。极限不存在怎么办?该点没定义怎么办?于是就像"缺什么补什么"似的,高数引进的间断点的概念,并且根据函数该点处的极限情况分成了第一类间断点和第二类间断点。
    请注意,关于连续,我们经常研究的是某一点的情况。

    	对于很多非数学系的工科同志而言,这里又有一个点常常被忽略——有定义(包含分母不为0这种没定义的情况)
    

    2.2 可导与导数
    2.2.1 定义
    当自变量趋近于某一点x0的时候,因变量-f(x0)/自变量-x0的极限存在。
    2.2.2 理解
    如果说连续的定义和计算与极限还有几分相似的话,可导和可微就完全不是了。可导相当于构造了一个新的函数g(x),计算该函数的极限。当然,新构造出来的函数有它自己的实际意义,也就是因变量增量的比与自变量增量的比的极限。
    另一个值得注意的就是可导的结果并不是一个实际的值,好像布尔值一样,对函数某点做是否可导判断的问题可转换为函数g(x)在该点的极限是否存在。得出是或否就行了。
    到这里,理解“可导一定连续,但连续不一定可导”应该不难了,因为你肯定在极限中做过让你头疼很久的0比0型极限,通常情况是一个极限单独算存在,合在一块经过有限加减运算刚好凑成了0/0型,如果连续的结果(某一点的极限存在)存在,把它看成一个有结果的极限,那么可导刚好类似于0/0型。所以只知道连续的结果算不出可导的结果。知道了可导的结果,就知道连续的极限存在,也知道了可导一定连续。
    如果感觉记不住,就用一种地球人都知道的记忆方法:你看到面前的一排小蓝车,你把第一辆车推到了,接着后面的车跟着也倒了,可倒(导)一定连续,连续不一定可倒(导)。

    	请注意:对于导数是否存在一般为某一点,导数则有可能是一个区间
    

    2.3 可微

    	注意dx和dy从现在起才正式出现。
    

    2.3.1 定义
    Δy可以写成线性的形式A*Δx加上一个无穷小,即线性的形式。A与x无关,无穷小相对于Δx而言。满足条件的成为函数可微,并称AΔx为x在x0处的微分。记为dy,自变量的增量Δx等于自身的微分dx,所以有dy=Adx。
    2.3.2 解释
    2.3.2.1 Δy与dy的区别
    Δy与dy之间相差了一个无穷小量。也可以说dy是Δy的近似。
    2.3.2.2 可微和可导一样,判断是否可微即可,但A的确定又是一个难题,对于学高等数学的工科生直接使用结论A即为该点的导数值即可。

    	请注意:可微相对于某一点来说,微分相对于定义域
    
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    附:导数与微分https://wenku.baidu.com/view/676a08b065ce05087632131f.html

     

    以直代曲是微积分思想

     

    一元函数求微分(直线代替曲线)

     

    一元函数可微,表示曲线段的Y增量可以用直线段的Y增量代替

     

     

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    二元函数求微分(直面代替曲面)

     

     

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    附:导数与微分  https://wenku.baidu.com/view/676a08b065ce05087632131f.html

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  • 文章目录第二章 一元函数的导数与微分概念及其计算一、一元函数的导数与微分二、按定义求导数及其适用的情形三、基本初等函数导数表,导数四则运算法则与复合函数微分法则(一)基本初等函数导数表(微分表)四、...

    文章目录


    第二章 一元函数的导数与微分概念及其计算

    一、一元函数的导数与微分

    (一)导数的定义、几何意义与力学意义
    1. 导数的定义
      2.1 定义
      2.2 左右导数
    2. 几何意义(切线斜率)
    3. 力学意义(物理的速度)
    (二)单侧可导与双侧可导的关系

    2.1 可导的充要条件,左右导数存在且相等

    (三)可微的定义、微分的几何意义及可微、可导与连续之间的关系
    1. 可微的定义
    2. 微分的几何意义
      Δyf(x)的增量,dy是切线的增量
    3. 可导、可微与连续之间的关系
      可微与可导等价
    (四)函数在区间上的可导性,导函数及高阶导数
    1. 函数在区间上的可导性
    2. 导函数
    3. 二阶导数及高阶导数
    4. 二阶导数的力学意义(物理的加速度)
    (五)奇偶函数与周期函数的导数性质

    奇的导数为偶,偶的导数为奇
    周期函数的导数也是周期函数且周期相同


    二、按定义求导数及其适用的情形

    (一)按定义求导数

    注意,Δx→0时,若f(x + Δx) - f(x)不是无穷小量则f '(x0)不存在

    (二)适合用定义求导数的几种情形

    分段函数
    只说连续没说可导

    (三)利用导数的定义求极限

    Ⅰ 直接按导数的定义求,注意增量的替换,只要趋近于0即可替换

    Ⅱ 数列极限与导数的关系


    三、基本初等函数导数表,导数四则运算法则与复合函数微分法则

    (一)基本初等函数导数表(微分表)

    (二)导数与微分的四则运算法则
    (三)复合函数的微分法则

    四、初等函数的求导法


    五、复合函数求导法的应用——由复合函数求导法则导出的几类函数的微分法

    (一)幂指函数的求导(微分)法

    方法1:变成以e为底的幂函数
    方法2:取对数然后再求导

    (二)反函数的求导法

    2.5 反函数的求导公式
    要会求反函数的一阶导数
    要知道 d 2 x / d y 2 d^{2}x/dy^{2} d2x/dy2 的含义,以及求法

    (三)由参数方程确定的函数的求导法
    (四)隐函数微分法

    直接将两端求导,然后将导数解出来,求二阶导时,直接从一阶导数的两端求导,再把二阶导解出来
    也可以用链式求导法则,按照多元函数的求导法则来求导:
    y ' (x) = - F 'x / F ' y


    六、分段函数的求导法

    (一)按定义求分界点初的导数或左右导数
    (二)按求导法则分别求分段函数在分界点处的左右导数
    (三)分界点是连续点时,求导函数在分界点处的极限值或左、右极限值

    七、高阶导数及n阶导数的求法

    (一)归纳法

    先求出一二三阶导数,然后观察规律,使用归纳法

    (二)利用简单的初等函数的n阶导数公式(很难记,也很难用)

    (三)分解法

    将函数分解成为上述简单初等函数之和的形式,然后利用上述n阶导数公式,常有如下情形:

    1. 有理函数与无理函数的分解
    2. 三角函数的分解(利用各种三角恒等变换,二倍角公式等等)
    (四)莱布尼兹法则

    (五)利用泰勒公式(详见第五章泰勒公式的应用)

    八、一元函数微分学的简单应用

    (一)平面曲线的切线与法线
    1. 用显式方程表示的平面曲线
      根据导数,会写切线方程,法线方程

    2. 用参数方程表示的平面曲线

    3. 用极坐标方程表示的平面曲线

    4. 用隐式方程表示的平面曲线

    (二)平面曲线的曲率(见第三章)
    (三)用导数描述某些物理量

    速度,密度,电流强度,功率等


    本章常考题型约有七种


    后记:


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