对二元函数z=f(x,y)，称它在点(x,y)可导是指它在点(x,y)处两个一阶偏导数都存在，则二元函数的连续，可导及可微的关系是
多元函数的可导既不能推得连续，也不能推得可微。
题型一：讨论二元函数的可微性
讨论函数的可微性常用以下三种方法：
(1)利用可微的定义
(2)利用可微的必要条件：可微函数必可导，换言之，不可导的函数一定不可微；
(3)利用可微的充分条件：有连续的一阶偏导数的函数一定可微
以上三种办法中，方法一利用可微的定义判断可微性最常用，此时分以下两步进行：
考察f(x,y)在(x0,y0)处的偏导数是否都存在，如果f(x,y)在(x0,y0)处的偏导数中至少有一个不存在，则函数在(x0,y0)处不可微；如果都存在，则进行以下第二步；
考察如下极限是否成立？
若上述极限成立，则函数在(x0,y0)处可微，否则就不可微。
例1：
分析：利用定义证明。
证明：
总结：本例给出一个两个一阶偏导数都不连续但函数可微的例子。

设二元函数 
 为定义在点集 
 上的函数。
二元函数连续性的定义：设 
 （它或者是 
 的聚点，或者是 
 的孤立点）。对于任给的正数 
 ，总存在相应的正数 
 ，只要 
 ，就有 
 则称 
 关于集合 
 在点 
 连续。简称 
 在点 
 处连续。
注：二元函数连续性的定义与一元函数连续性的定义有所不同，在一元函数的连续性的定义中，要求函数 
 必须在 
 的某一邻域 
 上有定义，并且要求的是 
 ,当 
 时， 
 ,则称函数 
 在 
 处连续。注意到二元函数在定义连续的概念的时候并不是要求函数必须在连续点 
 的某一邻域 
 上有定义，只要保证该点是函数的聚点即可，并且对于不是聚点的孤立点仍然可以定义其为连续点（只需要将孤立点带入二元函数连续性的定义加以验证即可发现孤立点也满足该连续性的定义）。因此在二元函数中，聚点和孤立点是连续点的必要条件，即二元函数的连续点必是该函数的聚点或孤立点中的一种。
二元函数可微的定义：设 
 ,二元函数 
 在 
 的某邻域 
 上有定义，对于 
 中的点 
 ,若函数 
 在点 
 处的全增量 
 可表示为 
 ，
其中 
 是仅与点 
 有关的常数， 
 , 
 是较 
 高阶的无穷小量,则称函数 
 在点 
 处可微,并称 
 为函数 
 在点 
 的全微分，记作 
 。
由二元函数可微的定义易知，若函数在点 
 处可微，当 
 时， 
 ,即函数在点 
 处连续，这个结论与一元函数中连续与可微的关系是相同的。
二元函数的偏导数的定义：
前言：所谓偏导数，不同于一元函数中的导数，由于二元函数定义域是二维的关系，由于二维图形方向的复杂性，导致并不能运用一元函数的导数概念来研究二元函数，因此可采用退而求其次的方式，来研究单一方向上的导数的问题，于是我们选取两个最一般的方向，即与 
 轴和 
 轴平行的方向来研究这两个方向上的导数的问题，这便是偏导数概念的由来，若二元函数 
 在点 
 处可微，即 
 ,由于我们要研究单一方向上的导数的问题，不妨令 
 ,即 
 ,于是 
 ,同理令 
 ，可知 
 ,由此我们得到了计算全微分中 
 系数的方法，由二元函数在点 
 处可微知，极限 
 与极限 
 一定存在，这两个极限就是我们下面要定义的偏导数的概念，由此可知，二元函数在某点处可微，那么该二元函数一定在该点处对 
 和 
 均可偏导。
定义：设函数 
 。若 
 ,且 
 在 
 的某一邻域内有定义，则当极限 
 存在时，称这个极限为函数 
 在点 
 关于 
 的偏导数，记作 
 或 
同理可定义 
 在点 
 关于 
 的偏导数，这里就不再赘述了。
由偏导数的定义可以看出，在对二元函数 
 求关于 
 的偏导数时，只需将 
 看作常数，相当于对一元函数求导，因此二元函数的求偏导问题就转换成一元函数的求导问题。
在上面的前言中，我们就已经知道了，若函数 
 在点 
 处可微，那么函数在该点处一定对 
 均可偏导，那么反过来，如果二元函数在点 
 同时对 
 可偏导，那么是否该函数在点 
 处可微呢？请看下面的例子：
考虑函数 
 ,在原点的可微性。
解：按偏导数的定义， 
 ,同理可得 
 ,则 
则 
由于极限 
 不存在，故函数 
 在点 
 处不可微。
由这道例题可知，函数 
 在某点处同时对 
 可偏导是函数 
 在这点处可微的必要条件。
那么在函数可偏导的条件下添加什么样的条件能保证函数 
 在该点处可微呢？
二元函数可微的充分条件：若二元函数 
 的偏导数在点 
 的某邻域上存在，且 
 与 
 在点 
 处连续，则函数 
 在点 
 处可微。
证明：将全增量 
 写作
 在第一个括号里，它是函数 
 关于 
 的偏增量。在第二个括号里，则是函数 
 关于 
 的偏增量，由一元函数的拉格朗日中值定理知：
由于 
 在点 
 处连续，即
 ,
即当 
 时， 
其中 
 为 
 时的无穷小量。
同理可得，当 
 时， 
其中 
 为 
 时的无穷小量。
于是， 
即 
即 
所以 
由于 
 ,
由极限的迫敛性知， 
即函数 
 在点 
 处可微。
反过来，如果函数 
 在点 
 处可微的话，是否能推导出函数 
 的偏导数 
 在点 
 处连续呢？请看下面的例子：
考虑函数 
 ，
可验证该函数在原点 
 处可微，但 
 与 
 却在点 
 处不连续。
若函数 
 在点 
 的偏导数 
 连续，则称 
 在点 
连续可微。
在上面的叙述中，我们知道了二元函数在一点处可微，则它在该点处一定连续，且一定存在关与 
 的偏导数，二元函数在某一点处连续同样不能推导出二元函数在该点处可偏导，如函数 
 （圆锥）在原点处连续，但是在该点处不存在偏导数。反过来，即使二元函数在某一点处存在对所有自变量 
 的偏导数，也不能保证二元函数在该点处连续，例如， 
 ，在原点处不连续，但却存在偏导数
 , 
 。
这是因为偏导数仅仅只是刻画了二元函数沿 
 轴或沿 
 轴方向的变化特征，所以偏导数都存在只能说明 
 在原点分别对 
 和对 
 必定连续，但由此并不能保证二元函数 
 在原点的连续性。

在高等数学一元函数微分学中研究的关键问题之一是可导和可微，夹杂着函数连续，简短等知识点，这几个相关的概念混在一块总是难以理解，什么可导一定可微，可导一定连续之类的。

这里把这几个概念就自己的理解做一下解释。

1.极限。

求某一数列趋近于无穷的情况，某一函数趋近于无穷的情况，某一函数趋近于某一点的情况。只与自变量（数列为项数）和表达式有关。

2.连续，可导，可微。

连续，可导，可微三个均涉及到自变量，因变量，表达式，定义上又略有不同。
(这里个很重要的概念：增量。即Δx，Δy。很多人不知道增量的意思和dx，dy代表什么意思，其实读书的时候仔细一点，这些概念都有提到。)

2.1 连续

2.1.1 定义1：当函数自变量的增量无线趋近于0的时候，因变量的增量的极限等于0。

定义2：当自变量趋近于X0的时候，函数极限等于函数值f(x0).

2.1.2 理解

连续也只涉及到自变量向趋近于x0时，y的极限。只不过极限算完就算完了，极限是否存在，存在的话值是多少都不是我们关心的问题，但在连续的定义里面。要根据极限的计算结果对函数连续性进行评价。函数在极限存在且在该点有定义。极限不存在怎么办？该点没定义怎么办？于是就像"缺什么补什么"似的，高数引进的间断点的概念，并且根据函数该点处的极限情况分成了第一类间断点和第二类间断点。

请注意，关于连续，我们经常研究的是某一点的情况。
	对于很多非数学系的工科同志而言，这里又有一个点常常被忽略——有定义（包含分母不为0这种没定义的情况）

2.2 可导与导数

2.2.1 定义

当自变量趋近于某一点x0的时候，因变量-f(x0)/自变量-x0的极限存在。

2.2.2 理解

如果说连续的定义和计算与极限还有几分相似的话，可导和可微就完全不是了。可导相当于构造了一个新的函数g(x),计算该函数的极限。当然，新构造出来的函数有它自己的实际意义，也就是因变量增量的比与自变量增量的比的极限。

另一个值得注意的就是可导的结果并不是一个实际的值，好像布尔值一样，对函数某点做是否可导判断的问题可转换为函数g(x)在该点的极限是否存在。得出是或否就行了。

到这里，理解“可导一定连续，但连续不一定可导”应该不难了，因为你肯定在极限中做过让你头疼很久的0比0型极限，通常情况是一个极限单独算存在，合在一块经过有限加减运算刚好凑成了0/0型，如果连续的结果（某一点的极限存在）存在，把它看成一个有结果的极限，那么可导刚好类似于0/0型。所以只知道连续的结果算不出可导的结果。知道了可导的结果，就知道连续的极限存在，也知道了可导一定连续。

如果感觉记不住，就用一种地球人都知道的记忆方法：你看到面前的一排小蓝车，你把第一辆车推到了，接着后面的车跟着也倒了，可倒（导）一定连续，连续不一定可倒（导）。
	请注意：对于导数是否存在一般为某一点，导数则有可能是一个区间

2.3 可微
	注意dx和dy从现在起才正式出现。

2.3.1   定义

Δy可以写成线性的形式A*Δx加上一个无穷小，即线性的形式。A与x无关，无穷小相对于Δx而言。满足条件的成为函数可微，并称AΔx为x在x0处的微分。记为dy，自变量的增量Δx等于自身的微分dx，所以有dy=Adx。

2.3.2   解释

2.3.2.1 Δy与dy的区别

Δy与dy之间相差了一个无穷小量。也可以说dy是Δy的近似。

2.3.2.2  可微和可导一样，判断是否可微即可，但A的确定又是一个难题，对于学高等数学的工科生直接使用结论A即为该点的导数值即可。
	请注意：可微相对于某一点来说，微分相对于定义域

基础知识:

$\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)=A \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A$

$\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x) \Rightarrow \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$不存在但不是$\infty$


一元函数的连续性:

前提:

1 函数f(x)在点x。有定义
2$lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)$

必须存在

(是个常数)
3 相等,即

$\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)$





二元函数的连续条件:


$\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)$


在某点可导:

定义1:


定义二:





可偏导:




可微: