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  • 一元函数可微性定义
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  • 函数可微定义

    千次阅读 2020-12-13 16:54:50
    附:导数与微分https://wenku.baidu.com/view/676a08b065ce05087632131f.html

     

    以直代曲是微积分思想

     

    一元函数求微分(直线代替曲线)

     

    一元函数可微,表示曲线段的Y增量可以用直线段的Y增量代替

     

     

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    二元函数求微分(直面代替曲面)

     

     

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    附:导数与微分  https://wenku.baidu.com/view/676a08b065ce05087632131f.html

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  • 在高等数学一元函数微分学中研究的关键问题之一是可导和可微,夹杂着函数连续,简短等知识点,这几个相关的概念混在一块总是难以理解,什么可导一定可微,可导一定连续之类的。 这里把这几个概念就自己的理解做一下...

    在高等数学一元函数微分学中研究的关键问题之一是可导和可微,夹杂着函数连续,简短等知识点,这几个相关的概念混在一块总是难以理解,什么可导一定可微,可导一定连续之类的。
    这里把这几个概念就自己的理解做一下解释。
    1.极限。
    求某一数列趋近于无穷的情况,某一函数趋近于无穷的情况,某一函数趋近于某一点的情况。只与自变量(数列为项数)和表达式有关。
    2.连续,可导,可微。
    连续,可导,可微三个均涉及到自变量因变量表达式,定义上又略有不同。

    (这里个很重要的概念:增量。即Δx,Δy。很多人不知道增量的意思和dx,dy代表什么意思,其实读书的时候仔细一点,这些概念都有提到。)
    

    2.1 连续
    2.1.1 定义1:当函数自变量的增量无线趋近于0的时候,因变量的增量的极限等于0。
    定义2:当自变量趋近于X0的时候,函数极限等于函数值f(x0).
    2.1.2 理解
    连续也只涉及到自变量向趋近于x0时,y的极限。只不过极限算完就算完了,极限是否存在,存在的话值是多少都不是我们关心的问题,但在连续的定义里面。要根据极限的计算结果对函数连续性进行评价。函数在极限存在且在该点有定义。极限不存在怎么办?该点没定义怎么办?于是就像"缺什么补什么"似的,高数引进的间断点的概念,并且根据函数该点处的极限情况分成了第一类间断点和第二类间断点。
    请注意,关于连续,我们经常研究的是某一点的情况。

    	对于很多非数学系的工科同志而言,这里又有一个点常常被忽略——有定义(包含分母不为0这种没定义的情况)
    

    2.2 可导与导数
    2.2.1 定义
    当自变量趋近于某一点x0的时候,因变量-f(x0)/自变量-x0的极限存在。
    2.2.2 理解
    如果说连续的定义和计算与极限还有几分相似的话,可导和可微就完全不是了。可导相当于构造了一个新的函数g(x),计算该函数的极限。当然,新构造出来的函数有它自己的实际意义,也就是因变量增量的比与自变量增量的比的极限。
    另一个值得注意的就是可导的结果并不是一个实际的值,好像布尔值一样,对函数某点做是否可导判断的问题可转换为函数g(x)在该点的极限是否存在。得出是或否就行了。
    到这里,理解“可导一定连续,但连续不一定可导”应该不难了,因为你肯定在极限中做过让你头疼很久的0比0型极限,通常情况是一个极限单独算存在,合在一块经过有限加减运算刚好凑成了0/0型,如果连续的结果(某一点的极限存在)存在,把它看成一个有结果的极限,那么可导刚好类似于0/0型。所以只知道连续的结果算不出可导的结果。知道了可导的结果,就知道连续的极限存在,也知道了可导一定连续。
    如果感觉记不住,就用一种地球人都知道的记忆方法:你看到面前的一排小蓝车,你把第一辆车推到了,接着后面的车跟着也倒了,可倒(导)一定连续,连续不一定可倒(导)。

    	请注意:对于导数是否存在一般为某一点,导数则有可能是一个区间
    

    2.3 可微

    	注意dx和dy从现在起才正式出现。
    

    2.3.1 定义
    Δy可以写成线性的形式A*Δx加上一个无穷小,即线性的形式。A与x无关,无穷小相对于Δx而言。满足条件的成为函数可微,并称AΔx为x在x0处的微分。记为dy,自变量的增量Δx等于自身的微分dx,所以有dy=Adx。
    2.3.2 解释
    2.3.2.1 Δy与dy的区别
    Δy与dy之间相差了一个无穷小量。也可以说dy是Δy的近似。
    2.3.2.2 可微和可导一样,判断是否可微即可,但A的确定又是一个难题,对于学高等数学的工科生直接使用结论A即为该点的导数值即可。

    	请注意:可微相对于某一点来说,微分相对于定义域
    
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  • 部分图片和写作灵感转载至知乎专栏文章 微分和导数的关系是什么?...古典积分是为了解决曲线下积分的问题,采用分割近似求和的思想,明显知道Δx=xi+1−xi\Delta x=x_{i+1}-x_iΔx=xi+1​−xi​分的越

    部分图片和写作灵感转载至知乎专栏文章

    微分和导数的关系是什么?两者的几何意义有什么不同?为什么要定义微分 ? - 马同学的回答 - 知乎
    https://www.zhihu.com/question/22199657/answer/115178055

    1. 微积分的诞生

    • 古典微积分
      古典微积分是由Leibniz和Newton各自独立创建的。古典微积分是为了解决曲线下积分的问题,采用分割近似求和的思想,明显可知道 Δ x = x i + 1 − x i \Delta x=x_{i+1}-x_i Δx=xi+1xi分的越小则最后近似求和结果越准确,因此就出现了无穷小量 Δ x \Delta x Δx
      在这里插入图片描述
      在计算过程中,会自然的出现导数,因此有了对导数的讨论。

      • 导数的古典定义
        导数不是由Leibniz和Newton发明的,但是是他们在解决曲面下面积的时候把导数的定义确定了。古典微积分中是使用切线、割线和无穷小量对导数进行定义的。
        将曲线上任意两点连接起来会产生一条与曲线相交的直线称为割线。割线可以反应曲线的平均变化率。
        在这里插入图片描述
        当割线和曲线的两个交点无限接近时就变成了曲线的切线。
        在这里插入图片描述
        在这里插入图片描述

    从图中的几何原理可得出导数的定义为 f ′ ( x ) = d y d x f'(x)=\frac{dy}{dx} f(x)=dxdy,而 d x dx dx d y dy dy两个无穷小量被称为x和y的微分,所以Leibniz也称导数为微商。因此可以看到在古典微积分中是先定义微分再定义导数

    • 用无穷小量定义会造成矛盾

      • 根据切线的定义,b和a横坐标距离相差了 d x dx dx,这样严格来说“切线”与曲线仍有两个交点。但如果a和b重叠,那么又无法确定直线,古典定义下的切线是一个悖论
      • 另外根据古典定义对导数的计算也会有影响。比如计算 x 2 x^2 x2的导数: d d x ( x 2 ) = f ( x + d x ) − f ( x ) d x = ( x + d x ) 2 − ( x 2 ) d x = x 2 + 2 x d x + d x 2 − x 2 d x = 2 x d x + d x 2 d x = 2 x + d x = 2 x \frac{d}{dx}(x^2)=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}=\frac{(x+dx)^2-(x^2)}{dx}=\frac{x^2+2xdx+dx^2-x^2}{dx}=\frac{2xdx+dx^2}{dx}=2x+dx=2x dxd(x2)=dxf(x+dx)f(x)=dx(x+dx)2(x2)=dxx2+2xdx+dx2x2=dx2xdx+dx2=2x+dx=2x,可以看出 d x dx dx在作为分母时应该被看做非0的极小值来约去,但在 2 x + d x 2x+dx 2x+dx处又应被看成0,这样的计算也是自相矛盾的。
        因此微积分的古典定义并不严谨。
    • 极限微积分

      • 极限,用 ε − X \varepsilon-X εX定义来描述极限
        :设函数 f ( x ) f(x) f(x) [ b , + ∞ ] \left[b,+\infty\right] [b,+]上有定义,若存在常数A,对任给 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0,存在 X > 0 X>0 X>0,当 x > X x>X x>X时,都有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon f(x)A<ε,则称数A为函数f(x)当 x → + ∞ x\rightarrow +\infty x+时的极限。
      • 导数的极限定义
        f ′ ( x 0 ) = d y d x = lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x f'(x_0)=\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}} f(x0)=dxdy=limΔx0ΔxΔy=limΔx0Δxf(x0+Δx)f(x0)
        脱离微商使用极限思想重新定义导数,此时的导数称为了一个整体。
      • 因此在先定义了导数之后再定义了微分: 设 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在x的某邻域U(x)内有定义,若 Δ y = f ( x + Δ x ) − f ( x ) \Delta y=f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right) Δy=f(x+Δx)f(x)可表示为 Δ y = f ′ ( x 0 ) Δ x + α Δ x = A Δ x + o ( Δ x )   ( Δ x ) → 0 \Delta y=f^\prime\left(x_0\right)\Delta x+\alpha\Delta x=A\Delta x+o\left(\Delta x\right)\ \left(\Delta x\right)\rightarrow0 Δy=f(x0)Δx+αΔx=AΔx+o(Δx) (Δx)0,其中A是与 Δ x \Delta x Δx无关的常量,则称 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点x处可微。 A Δ x A\Delta x AΔx Δ y \Delta y Δy的线性主部,并称其为 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点x处的微分,记为dy,即 d y = A Δ x dy=A\Delta x dy=AΔx
      • 我们可以看到,可微是人为定义的,通过计算来判断微分各变量之间的精确关系,即 d y = f ′ ( x 0 ) d x = A Δ x dy=f'(x_0)dx=A\Delta x dy=f(x0)dx=AΔx。因此当 f ′ ( x ) → ∞ f'(x)\rightarrow\infty f(x),如斜率 k = 90 ° k=90\degree k=90°时, d y dy dy d x dx dx的定量关系无法在数值上精确判断,故不可微。可微曲线就是以曲代直,以小段切线代替局部曲线。

    2. 一元函数可导、可微、连续的关系

    • 连续: f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_0 x0有定义且 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) \lim_{x\rightarrow x_0}{f(x)}=f(x_0) limxx0f(x)=f(x0)
    • 由于可微是由可导定义的,因此一元函数中可导和可微是可以互推的。也就是说只要可导有定义,则必有可微可定义,反之亦然。
    • 跳跃间断点时不连续,不可微也不可导
      在这里插入图片描述
    • 可导和可微可以推出连续都不能推出可导和可微。如 f ( x ) = ∣ x ∣ f(x)=\left|x\right| f(x)=x 时在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)处连续,但不可导也不可微 在这里插入图片描述
    • 总结请添加图片描述

    3. 二元函数可偏导、可微、连续、偏导数连续的关系

    • 可微与可偏导的关系:可微可以推出可偏导,可偏导不能推出可微。二元函数中可偏导是一元属性,而可微是二元属性,一元属性的偏导存在无法推出二元属性的可微。
    • 可微与连续的关系和一元时的情况一样
    • 一阶偏导数连续与可微的关系:首先先考虑一阶时的情况,由震荡曲线 y = x 2 sin ⁡ 1 x 2 , ( x ≠ 0 ) ; y = 0 , ( x = 0 ) y=x^2\sin {\frac{1}{x^2}},(x\neq0); y=0,(x=0) y=x2sinx21,(x=0);y=0,(x=0)可知道震荡曲线可微但导数在 x = 0 x=0 x=0处不连续。将震荡函数扩展到二维中时, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)处显然可微,但在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)点偏导不连续,存在无穷多个趋近竖直的切平面
    • 一阶偏导数连续与可偏导的关系:可偏导包含在一阶偏导数中
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