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  • 函数可微定义

    千次阅读 2020-12-13 16:54:50
    附:导数与微分https://wenku.baidu.com/view/676a08b065ce05087632131f.html

     

    以直代曲是微积分思想

     

    一元函数求微分(直线代替曲线)

     

    一元函数可微,表示曲线段的Y增量可以用直线段的Y增量代替

     

     

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    二元函数求微分(直面代替曲面)

     

     

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    附:导数与微分  https://wenku.baidu.com/view/676a08b065ce05087632131f.html

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  • 在高等数学一元函数微分学中研究的关键问题之一是可导和可微,夹杂着函数连续,简短等知识点,这几个相关的概念混在一块总是难以理解,什么可导一定可微,可导一定连续之类的。 这里把这几个概念就自己的理解做一下...

    在高等数学一元函数微分学中研究的关键问题之一是可导和可微,夹杂着函数连续,简短等知识点,这几个相关的概念混在一块总是难以理解,什么可导一定可微,可导一定连续之类的。
    这里把这几个概念就自己的理解做一下解释。
    1.极限。
    求某一数列趋近于无穷的情况,某一函数趋近于无穷的情况,某一函数趋近于某一点的情况。只与自变量(数列为项数)和表达式有关。
    2.连续,可导,可微。
    连续,可导,可微三个均涉及到自变量因变量表达式,定义上又略有不同。

    (这里个很重要的概念:增量。即Δx,Δy。很多人不知道增量的意思和dx,dy代表什么意思,其实读书的时候仔细一点,这些概念都有提到。)
    

    2.1 连续
    2.1.1 定义1:当函数自变量的增量无线趋近于0的时候,因变量的增量的极限等于0。
    定义2:当自变量趋近于X0的时候,函数极限等于函数值f(x0).
    2.1.2 理解
    连续也只涉及到自变量向趋近于x0时,y的极限。只不过极限算完就算完了,极限是否存在,存在的话值是多少都不是我们关心的问题,但在连续的定义里面。要根据极限的计算结果对函数连续性进行评价。函数在极限存在且在该点有定义。极限不存在怎么办?该点没定义怎么办?于是就像"缺什么补什么"似的,高数引进的间断点的概念,并且根据函数该点处的极限情况分成了第一类间断点和第二类间断点。
    请注意,关于连续,我们经常研究的是某一点的情况。

    	对于很多非数学系的工科同志而言,这里又有一个点常常被忽略——有定义(包含分母不为0这种没定义的情况)
    

    2.2 可导与导数
    2.2.1 定义
    当自变量趋近于某一点x0的时候,因变量-f(x0)/自变量-x0的极限存在。
    2.2.2 理解
    如果说连续的定义和计算与极限还有几分相似的话,可导和可微就完全不是了。可导相当于构造了一个新的函数g(x),计算该函数的极限。当然,新构造出来的函数有它自己的实际意义,也就是因变量增量的比与自变量增量的比的极限。
    另一个值得注意的就是可导的结果并不是一个实际的值,好像布尔值一样,对函数某点做是否可导判断的问题可转换为函数g(x)在该点的极限是否存在。得出是或否就行了。
    到这里,理解“可导一定连续,但连续不一定可导”应该不难了,因为你肯定在极限中做过让你头疼很久的0比0型极限,通常情况是一个极限单独算存在,合在一块经过有限加减运算刚好凑成了0/0型,如果连续的结果(某一点的极限存在)存在,把它看成一个有结果的极限,那么可导刚好类似于0/0型。所以只知道连续的结果算不出可导的结果。知道了可导的结果,就知道连续的极限存在,也知道了可导一定连续。
    如果感觉记不住,就用一种地球人都知道的记忆方法:你看到面前的一排小蓝车,你把第一辆车推到了,接着后面的车跟着也倒了,可倒(导)一定连续,连续不一定可倒(导)。

    	请注意:对于导数是否存在一般为某一点,导数则有可能是一个区间
    

    2.3 可微

    	注意dx和dy从现在起才正式出现。
    

    2.3.1 定义
    Δy可以写成线性的形式A*Δx加上一个无穷小,即线性的形式。A与x无关,无穷小相对于Δx而言。满足条件的成为函数可微,并称AΔx为x在x0处的微分。记为dy,自变量的增量Δx等于自身的微分dx,所以有dy=Adx。
    2.3.2 解释
    2.3.2.1 Δy与dy的区别
    Δy与dy之间相差了一个无穷小量。也可以说dy是Δy的近似。
    2.3.2.2 可微和可导一样,判断是否可微即可,但A的确定又是一个难题,对于学高等数学的工科生直接使用结论A即为该点的导数值即可。

    	请注意:可微相对于某一点来说,微分相对于定义域
    
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  • 基础知识: 一元函数的连续: 前提: 1 函数f(x)在点x。有定义 2 (是个常数) 3 相等,即 二元函数的连续条件: 在某点可导: 定义1: 定义二: 可偏导: 可微: ...

    基础知识:
    limxx0f(x)=limxx0+f(x)=Alimxx0f(x)=A \lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)=A \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A
    limxx0f(x)limxx0+f(x)limxx0f(x) \lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x) \Rightarrow \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)不存在但不是\infty

    • 一元函数的连续性:

      • 前提:
        • 1 函数f(x)在点x。有定义
        • 2limxx0f(x)lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)
          必须存在
          (是个常数)
        • 3 相等,即
          limxx0f(x)=f(x0)\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)
    • 二元函数的连续条件:

    • lim(x,y)(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0)\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)

    • 在某点可导:

      • 定义1:
        在这里插入图片描述
      • 定义二:
        在这里插入图片描述
    • 可偏导:
      在这里插入图片描述

    • 可微:
      在这里插入图片描述

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  • 一元函数数的序偶定义

    千次阅读 2017-11-19 07:20:41
    一元函数数的序偶定义2013年10月19日,放飞博文“袖珍电子书的样本:一元函数定义”行动具有重大意义,打响了挑战传统积分的第一枪。全文如下:作为一个样本,这大概是第一本积分袖珍电子书。请读者注意该...

    一元实函数数的序偶定义

    20131019日,放飞博文“袖珍电子书的样本:一元实函数的定义”行动具有重大意义,打响了挑战传统微积分的第一枪。全文如下:

    作为一个样本,这大概是第一本微积分袖珍电子书。请读者注意该定义的布尔巴基学派严谨性、一般性的风格。

    一元实函数的定义:

    一元实函数是有序实数偶(a,b)的集合f,对任何一个实数a,必然发生以下两种情形:

    1,恰好有一实数b存在,使得有序实数偶(a,b)属于集合f,在此种情况下,我们说,f(a)有定义,且记为f(a)=b,实数b称为函数fa的值;

    2,没有实数b存在,使得有序实数偶(a,b)是集合f的元素,在此情况下,我们说,f(a)没有定义。

    据此,表达式f(a)=b意味着有序实数偶(a,b)是函数f的元素。

    我们要注意:函数f的定义不涉及什么物理映射定律,也不涉及什么逻辑对应法则,只是有序实数偶集合f的某种属性。该定义出自J.Keisler撰写的《Elementary Calculus》(电子版)的第一章第二节,第6页。英文原文如下:

    Definition

    A real function of one variable is a set f of orderedpairs of real numbers such that for every real number a one of the followingtwo things happens:

    1,There is exactly one real number b for which theordered pair (a,b) is a member of f. In this case, we say that f(a) is definedand we write f(a) = b.The number b is called the value of f at a.

    2,There is no real number b for which the ordered pair(a,b) is a member of f. In this case, we say that f(a) is undefined.

       
    Thus f(a) = bmeans that the ordered pair (a,b) is an element of f.

    注意:函数f的定义以及其值域都可由此定义导出。给定函数f,由此建立两个实数(或实变量)之间的对应关系(或对应规律)是很容易的事情,但是,不能将函数f直接定义成什么“对应规律”,把物理含义牵扯进来。

    该定义的矛头直指当今全国高校微积分教材的函数定义。我们采用的函数定义是“残次品”,误导广大读者,实在可悲也!

    说明:一般而言,微积分袖珍电子书都是短文件(中英文对照)。但是,其中不能说废话,尤其不能说假话,对读者不负责任。我们坚信:当大批微积分袖珍电子书推向互联网之后,广大读者会喜欢的。

    袁萌  1119

     

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空空如也

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一元函数可微性定义