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  • 2021-04-22 16:51:57

    CourseEducationResearch课程教育研究 2018 年第 40 期 利用 MATLAB 软件求解一元和二元函数的极值 易 强 吕希元 (重庆工商大学融智学院 重庆 400030) 【摘要】本文主要介绍利用 MATLAB 软件在电脑上来求解微积分里的一元和二元函数的极值的计算问题。 【关键词】MATLAB 极值 输入命令 【中图分类号】O172 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2018)40-0149-01 在微积分的教材中出现比较多的知识点,包括一元函数的性质和计算其极值、最值等问题,尤其更难的是对二元函数 f(x,y)极值的计算,难度相当大,传统的计算一般是人们在草稿纸上进行演算,费时费力,而且准确度不高,往往容易计算错误,由于上述的缺点,本文简单介绍用 MATLAB 来求解,利用它可以很方便,快捷的得到准确结果。 一、M 函数文件函数定义的一般格式 function[输入变量列表]=函数名(输入变量列表) 注释说明语句段 % 为 help look for 提供在线帮助信息函数体语句段 % 函数语句块特定规则: <1> 函数文件第一行必须以单词 function 作为引导词,定义一个函数,必须遵循如下形式: Function=() <2> 函数文件的文件名必须是. m. <3> 程序中的变量均为局部变量, 不保存在工作空间中,其变量只在函数运行期间有效,函数文件执行完后,将自动被清除。 二、求一元函数的极值利用 MATLAB 的计算功能, 可以很方便求一元函数极 值。 例 1 求 y= 3x2+4x+4 x2+x+1 的极值 解:输入命令: syms x % 将变量 x 符号化y=(3*x^2+4*x+4)/(x^2+x+1);% 建立函数关系dy=diff(y);% 求导数 xz=solve(dy)% 求函数的驻点:得结果 xz= [0] [-2] 由此知道函数有两个驻点 x1=0 和 x2=-2,考查函数在驻点处二阶导数的正负情况:再输入命令: d2y=diff(y,2); z1=limit(d2y,x,0) 得结果 z1= -2 输入命令: z2=limit(d2y,x,-2) 得结果 z2= 29 于是知在 x1=0 处二阶导数的值为 z1=-2,小于 0,函数 有极大值;在 x2=-2 处二阶导数的值为 z2= 2 9 ,大于 0,函数 有极小值,如果需要,可顺便求出极值点的函数值:输入命令:y1=limit(y,x,0) 得结果:y1=4 输入命令:y2=limit(y,x,-2) 得结果:y2= 8 3 . 三、求二元函数的极值 利用 MATLAB 计算二元函数的极值,主要有以下几步:步骤 1. 定义多元函数 z=f(x,y). 步骤 2. 求解偏导数方程组 fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,得到驻 点。 步骤 3. 对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数 A= 鄣2z 鄣x2 , B= 鄣2z 鄣x鄣y ,C= 鄣2z 鄣y2 . 步骤 4. 对于每一个驻点(x0,y0),计算判别式 AC-B2,如果 AC-B2>0,则该点是极值点,当 A>0 时为极小值,A<0 时为极大值;如果 AC-B2=0,判别法失效,需要进一步判断;如果 AC-B2<0,则该驻点不是极值点。例 2.求函数 z=x4-8xy+2y2-3 极值点和极值。首先 用 diff 命令求 z 关于 x ,y 的偏导数。输入命令: Clear ;syms . x y ;z=x^

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    1. 函数对象可以有自己的状态。我们可以在类中定义状态变量,这样一个函数对象在多次的调用中可以共享这个状态。但是函数调用没这种优势,除非它使用全局变量来保存状态

    2. 函数对象有自己特有的类型,而普通函数无类型可言。这种特性对于使用C++标准库来说是至关重要的。这样我们在使用STL中的函数时,可以传递相应的类型作为参数来实例化相应的模板,从而实现我们自己定义的规则。比如自定义容器的排序规则。

    下图为函数对象的程序示例:

    #include<iostream>
    #include<string>
    using namespace std;
    
    //函数对象当普通函数用
    class Mymultiplier
    {
    public:
    	Mymultiplier()
    	{
    		num = 0;
    	}
    	int operator()(int val)
    	{
    		num++;
    		return val * val;
    	}
    	int num;//可以定义函数对象内部的状态
    };
    
    void Print(const Mymultiplier& m)//不要让m改变,而你m(2)的话,相当于对m做了变动
    {
    	cout << m.num << endl;
    }
    
    void test()
    {
    	Mymultiplier m1;
    	int result=m1(5);//1.像正常的函数对象一样,但是由变量去调用函数
    	cout << result<<endl;
    	int result1=m1(result);//2.可以调用函数对象内部的状态
    	//3.函数对象可以作为参数进行传递
    	Print(m1);
    
    }
    
    int main()
    {
    	test();
    	return 0;
    	system("pause");
    }
    

     一元谓词、二元谓词

    #include<iostream>
    #include<string>
    #include<vector>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    
    //谓词函数是一个返回布尔值的函数。
    //一元谓词函数就是只釆用一个实参的函数。使用一元谓词函数可以确定一个给定对象是否具有某些特征。
    class Person
    {
    public:
    	Person(string name,int age):c_name(name),c_age(age){}
    	string c_name;
    	int c_age;
    };
    
    
    class Mydef
    {
    public:
    	bool operator()(Person &p1)
    	{
    		return p1.c_age > 26;
    	}
    };
    
    class Mydef1
    {
    public:
    	bool operator()(Person& p1,Person &p2)
    	{
    		return p1.c_age > p2.c_age;
    	}
    };
    
    
    void test()
    {
    	vector<Person> v;
    	v.emplace_back(Person("赵",26));
    	v.emplace_back(Person("钱", 27));
    	v.emplace_back(Person("孙", 24));
    	v.emplace_back(Person("李", 20));
    	vector<Person>::iterator it=find_if(v.begin(), v.end(), Mydef());//一元谓词函数
    	cout << "姓名:" << (*it).c_name<<"  " <<"   " << (*it).c_age<< endl;
    
    	sort(v.begin(), v.end(), Mydef1());//二元谓词函数
    	for (vector<Person>::iterator it = v.begin(); it != v.end(); it++)
    	{
    		cout << (*it).c_name << " " << (*it).c_age << endl;
    	}
    }
    
    int main()
    {
    	test();
    	return 0;
    	system("pause");
    }
    

     

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  • 为什么要定义微分 ? - 马同学的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/22199657/answer/115178055 1. 微积分的诞生 古典微积分 古典微积分是由LeibnizNewton各自独立创建的。古典微积分是为了解决曲线下...

    部分图片和写作灵感转载至知乎专栏文章

    微分和导数的关系是什么?两者的几何意义有什么不同?为什么要定义微分 ? - 马同学的回答 - 知乎
    https://www.zhihu.com/question/22199657/answer/115178055

    1. 微积分的诞生

    • 古典微积分
      古典微积分是由Leibniz和Newton各自独立创建的。古典微积分是为了解决曲线下积分的问题,采用分割近似求和的思想,明显可知道 Δ x = x i + 1 − x i \Delta x=x_{i+1}-x_i Δx=xi+1xi分的越小则最后近似求和结果越准确,因此就出现了无穷小量 Δ x \Delta x Δx
      在这里插入图片描述
      在计算过程中,会自然的出现导数,因此有了对导数的讨论。

      • 导数的古典定义
        导数不是由Leibniz和Newton发明的,但是是他们在解决曲面下面积的时候把导数的定义确定了。古典微积分中是使用切线、割线和无穷小量对导数进行定义的。
        将曲线上任意两点连接起来会产生一条与曲线相交的直线称为割线。割线可以反应曲线的平均变化率。
        在这里插入图片描述
        当割线和曲线的两个交点无限接近时就变成了曲线的切线。
        在这里插入图片描述
        在这里插入图片描述

    从图中的几何原理可得出导数的定义为 f ′ ( x ) = d y d x f'(x)=\frac{dy}{dx} f(x)=dxdy,而 d x dx dx d y dy dy两个无穷小量被称为x和y的微分,所以Leibniz也称导数为微商。因此可以看到在古典微积分中是先定义微分再定义导数

    • 用无穷小量定义会造成矛盾

      • 根据切线的定义,b和a横坐标距离相差了 d x dx dx,这样严格来说“切线”与曲线仍有两个交点。但如果a和b重叠,那么又无法确定直线,古典定义下的切线是一个悖论
      • 另外根据古典定义对导数的计算也会有影响。比如计算 x 2 x^2 x2的导数: d d x ( x 2 ) = f ( x + d x ) − f ( x ) d x = ( x + d x ) 2 − ( x 2 ) d x = x 2 + 2 x d x + d x 2 − x 2 d x = 2 x d x + d x 2 d x = 2 x + d x = 2 x \frac{d}{dx}(x^2)=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}=\frac{(x+dx)^2-(x^2)}{dx}=\frac{x^2+2xdx+dx^2-x^2}{dx}=\frac{2xdx+dx^2}{dx}=2x+dx=2x dxd(x2)=dxf(x+dx)f(x)=dx(x+dx)2(x2)=dxx2+2xdx+dx2x2=dx2xdx+dx2=2x+dx=2x,可以看出 d x dx dx在作为分母时应该被看做非0的极小值来约去,但在 2 x + d x 2x+dx 2x+dx处又应被看成0,这样的计算也是自相矛盾的。
        因此微积分的古典定义并不严谨。
    • 极限微积分

      • 极限,用 ε − X \varepsilon-X εX定义来描述极限
        :设函数 f ( x ) f(x) f(x) [ b , + ∞ ] \left[b,+\infty\right] [b,+]上有定义,若存在常数A,对任给 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0,存在 X > 0 X>0 X>0,当 x > X x>X x>X时,都有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon f(x)A<ε,则称数A为函数f(x)当 x → + ∞ x\rightarrow +\infty x+时的极限。
      • 导数的极限定义
        f ′ ( x 0 ) = d y d x = lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x f'(x_0)=\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}} f(x0)=dxdy=limΔx0ΔxΔy=limΔx0Δxf(x0+Δx)f(x0)
        脱离微商使用极限思想重新定义导数,此时的导数称为了一个整体。
      • 因此在先定义了导数之后再定义了微分: 设 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在x的某邻域U(x)内有定义,若 Δ y = f ( x + Δ x ) − f ( x ) \Delta y=f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right) Δy=f(x+Δx)f(x)可表示为 Δ y = f ′ ( x 0 ) Δ x + α Δ x = A Δ x + o ( Δ x )   ( Δ x ) → 0 \Delta y=f^\prime\left(x_0\right)\Delta x+\alpha\Delta x=A\Delta x+o\left(\Delta x\right)\ \left(\Delta x\right)\rightarrow0 Δy=f(x0)Δx+αΔx=AΔx+o(Δx) (Δx)0,其中A是与 Δ x \Delta x Δx无关的常量,则称 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点x处可微。 A Δ x A\Delta x AΔx Δ y \Delta y Δy的线性主部,并称其为 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点x处的微分,记为dy,即 d y = A Δ x dy=A\Delta x dy=AΔx
      • 我们可以看到,可微是人为定义的,通过计算来判断微分各变量之间的精确关系,即 d y = f ′ ( x 0 ) d x = A Δ x dy=f'(x_0)dx=A\Delta x dy=f(x0)dx=AΔx。因此当 f ′ ( x ) → ∞ f'(x)\rightarrow\infty f(x),如斜率 k = 90 ° k=90\degree k=90°时, d y dy dy d x dx dx的定量关系无法在数值上精确判断,故不可微。可微曲线就是以曲代直,以小段切线代替局部曲线。

    2. 一元函数可导、可微、连续的关系

    • 连续: f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_0 x0有定义且 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) \lim_{x\rightarrow x_0}{f(x)}=f(x_0) limxx0f(x)=f(x0)
    • 由于可微是由可导定义的,因此一元函数中可导和可微是可以互推的。也就是说只要可导有定义,则必有可微可定义,反之亦然。
    • 跳跃间断点时不连续,不可微也不可导
      在这里插入图片描述
    • 可导和可微可以推出连续都不能推出可导和可微。如 f ( x ) = ∣ x ∣ f(x)=\left|x\right| f(x)=x 时在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)处连续,但不可导也不可微 在这里插入图片描述
    • 总结请添加图片描述

    3. 二元函数可偏导、可微、连续、偏导数连续的关系

    • 可微与可偏导的关系:可微可以推出可偏导,可偏导不能推出可微。二元函数中可偏导是一元属性,而可微是二元属性,一元属性的偏导存在无法推出二元属性的可微。
    • 可微与连续的关系和一元时的情况一样
    • 一阶偏导数连续与可微的关系:首先先考虑一阶时的情况,由震荡曲线 y = x 2 sin ⁡ 1 x 2 , ( x ≠ 0 ) ; y = 0 , ( x = 0 ) y=x^2\sin {\frac{1}{x^2}},(x\neq0); y=0,(x=0) y=x2sinx21,(x=0);y=0,(x=0)可知道震荡曲线可微但导数在 x = 0 x=0 x=0处不连续。将震荡函数扩展到二维中时, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)处显然可微,但在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)点偏导不连续,存在无穷多个趋近竖直的切平面
    • 一阶偏导数连续与可偏导的关系:可偏导包含在一阶偏导数中
    • 请添加图片描述
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  • # ndarray的一元函数 # abs fabs 计算整数、浮点数、复数的绝对值,对于非复数,fabs更快 # sqrt 计算各个元素的平方根 相当于arr**0.5 要求arr的每个元素必须非负数 # square 计算各个元素的平方 相当于arr**2 # ...

    python高级应用与数据分析学习笔记 10

    1、概念笔记
    # ndarray的一元函数
    # abs fabs 计算整数、浮点数、复数的绝对值,对于非复数,fabs更快
    # sqrt 计算各个元素的平方根 相当于arr**0.5 要求arr的每个元素必须非负数
    # square 计算各个元素的平方  相当于arr**2
    # exp 计算各个元素的指数e的x次方
    # log log10 log2 log1p 分别计算自然对数、底数为10、底数为2 以及log(1+x),要求arr中的每个元素必须为正
    # sign 计算各个元素的正负号 1为正数 -1为负数 0
    # ceil 计算各个元素的ceilling值 即大于等于该值的最小整数
    # floor 计算各个元素的floor值,即小于等于该值的最大整数
    # rint 各个元素的四舍五入到最接近的整数,保留dtype的类型
    # modf 将数组中元素的小数位和整数位以两部分独立数组的形式返回
    # isnan NaN(不是一个数字) 布尔类型数组
    # isfinite isinf 有穷的(非inf 非NaN)np.NaN  np.inf 无穷的  布尔类型数组
    # cos cosh sin sinh tan tanh  普通以及双曲型三角函数
    # arccos arccosh arcsin arcsinh arctan arctanh   反三角函数
    
    
    # ndarray的二元函数
    # mod 元素级的取模%
    # dot 点积 矩阵积
    # greater greater_equal less less_equal equal not_equal 元素级的比较运算,最终返回一个布尔型数组
    # logical_and logical_or logical_xor
    # power 对数组中的每个元素执行给定次数的指数值
    
    # ndarray的聚合函数
    # 聚合函数的对一组值进行操作,返回一个单一值作为结果的函数
    # 常见的聚合函数有:平均值、最大值、最小值、方差等等
    # arr.min()  arr.max()  arr.mean()  arr.std() arr.sum()
    # 方差公式:np.sqrt(np.power(arr-arr.mean(),2).sum()/arr.size)
    # 二维数组的情况下,axis=0表示对同列的数据进行聚合
    # axis=1 表示对同行的数据进行聚合
    # arr.mean(axis=0)
    2、三元函数的应用:将a b两数组对应元素中较大的那个返回出来

    使用三元函数 : np.where函数
    表达式是:x if condition else y

    import numpy as np
    
    a = np.array([[1, 6], [9, 10]])
    b = np.array([[3, 5], [3, 7]])
    print('a的值为:====================')
    print(a)
    print('b的值为:====================')
    print(b)
    c = a > b
    print('c的值为:====================')
    print(c)
    print('a[c]的值为:====================')
    print(a[c])
    print('condition的值为:====================')
    condition = a > b
    print('np.where(condition, a, b)的值为:====================')
    print(np.where(condition, a, b))
    
    # a的值为:====================
    # [[ 1  6]
    #  [ 9 10]]
    # b的值为:====================
    # [[3 5]
    #  [3 7]]
    # c的值为:====================
    # [[False  True]
    #  [ True  True]]
    # a[c]的值为:====================
    # [ 6  9 10]
    # condition的值为:====================
    # np.where(condition, a, b)的值为:====================
    # [[ 3  6]
    #  [ 9 10]]
    3、三元函数的应用:数据去重
    import numpy as np
    aa = np.random.randint(1, 10, (5, 5))
    print('aa的值为:====================')
    print(aa)
    print('np.unique(aa)的值为:====================')
    print(np.unique(aa))
    # aa的值为:====================
    # [[9 1 2 5 1]
    #  [1 1 6 5 2]
    #  [3 4 6 8 5]
    #  [7 5 8 6 3]
    #  [3 1 9 6 1]]
    # np.unique(aa)的值为:====================
    # [1 2 3 4 5 6 7 8 9]
    展开全文
  • 一元函数微分学与多元函数微分学的对比学习
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  • 如何理解二元函数的可导与可微?

    千次阅读 2022-03-21 16:00:08
    1.1 二元函数可导 可导是一个曲面上某点处沿着x,y轴的切线存在 1.2 二元函数可微 可微是一个曲面上某点处的切平面存在 若切平面不垂直于xoy面,可认为该点处可微(切面垂直于xoy面时,导数不存在,类似于一元的理解...
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空空如也

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一元函数和二元函数的定义