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  • 总结了一元函数微分,积分基本的公式,应用方法。常见微积分问题的解答思路。
  • 对于三角函数相关的积分问题,往往需要对三角函数进行恒等变形,通常要借助如下这些公式 1、倍角公式 2、半角公式 (降幂公式) (降幂公式) 3、和差公式 4、积化和差公式 ...

    前言

    对于三角函数相关的积分问题,往往需要对三角函数进行恒等变形,通常要借助如下这些公式

    1、倍角公式

    (1)sin2a=2sinacosa

    (2)cos2a=cos^{2}a-sin^{2}a=1-2sin^{2}a=2cos^{2}a-1

    (3)sin3a=-4sin^{3}a+3sina

    (4)cos3a=4cos^{3}a-3cosa

    (5)tan2a=\frac{2tana}{1-tan^{2}a}

    (6)cot2a=\frac{cot^{2}a-1}{2cota}

    2、半角公式

    (1)sin^{2}\frac{a}{2}=\frac{1-cosa}{2}(降幂公式)

    (2)cos^{2}\frac{a}{2}=\frac{1+cosa}{2}(降幂公式)

    (3)tan\frac{a}{2}=\frac{1-cosa}{sina}=\frac{sina}{1+cosa}=\pm \sqrt{\frac{1-cosa}{1+cosa}}

    (3)cot\frac{a}{2}=\frac{sina}{1-cosa}=\frac{1+cosa}{sina}=\pm \sqrt{\frac{1+cosa}{1-cosa}}

    3、和差公式

    (1)sin(\alpha \pm \beta )=sin\alpha cos\beta \pm cos\alpha sin\beta

    (2)cos(\alpha \pm \beta )=cos\alpha cos\beta \mp sin\alpha sin\beta

    (3)tan(\alpha \pm \beta )=\frac{tan\alpha\pm tan\beta}{1\mp tan\alpha tan\beta}

    (4)cot(\alpha \pm \beta )=\frac{cot\alpha cot\beta\mp 1}{cot\beta\pm cot\alpha}

    4、积化和差公式

    (1)sin\alpha cos\beta =\frac{1}{2}[sin(\alpha + \beta)+sin(\alpha - \beta)]

    (2)cos\alpha sin\beta =\frac{1}{2}[sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \beta)]

    (3)cos\alpha cos\beta =\frac{1}{2}[cos(\alpha + \beta)+cos(\alpha - \beta)]

    (2)sin\alpha sin\beta =\frac{1}{2}[cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta)]

    5、和差化积公式

    (1)sin\alpha +sin\beta=2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}

    (2)sin\alpha -sin\beta=2sin\frac{\alpha-\beta}{2}cos\frac{\alpha+\beta}{2}

    (3)cos\alpha +cos\beta=2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}

    (4)cos\alpha-cos\beta=-2sin\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}

    6、万能公式

     \\\\u=tan\frac{x}{2} \quad(-\pi<x<\pi) \\\\\Rightarrow sinx=\frac{2u}{1+u^{2}}\quad cosx=\frac{1-u^{2}}{1+u^{2}}\quad du=\frac{2}{1+u^{2}}du

    积分列表

    (1)\int sin^{n}dx

    (2)\int cos^{n}xdx

    (3)\int \frac{dx}{sin^{n}x}

    (4)\int\frac{dx}{cos^{n}x}

    (5)\int cos^{m}xsin^{n}xdx

    (6)\int sinaxcosbxdx

    (7)\int sinaxsinbxdx

    (8)\int cosaxcosbxdx

    (9)\int\frac{dx}{a+bsinx} \quad(a^{2}>b^{2})

    (10)\int\frac{dx}{a+bsinx} \quad(a^{2}<b^{2})

    (11)\int\frac{dx}{a+bcosx} \quad(a^{2}>b^{2})

    (12)\int\frac{dx}{a+bcosx} \quad(a^{2}<b^{2})

    (13)\int\frac{dx}{a^{2}cos^{2}x+b^{2}sin^{2}x}

    (14)\int\frac{dx}{a^{2}cos^{2}x-b^{2}sin^{2}x}

    (15)\int xsinaxdx

    (16)\int x^{2}sinaxdx

    (17)\int xcosaxdx

    (18)\int x^{2}cosaxdx

     

    实例

    (1)\int\frac{dx}{sin2x+2sinx}

    思路:努力将sinx和cosx化到tan(x/2)

    \\\\\\\int\frac{dx}{sin2x+2sinx} \\\\\\=\int\frac{dx}{2sinx(cosx+1)} \\\\\\=\frac{1}{4}\int\frac{d(\frac{x}{2})}{sin\frac{x}{2}cos^{3}\frac{x}{2}} \\\\\\=\frac{1}{4}\int\frac{d(tan\frac{x}{2})}{tan\frac{x}{2}cos^{2}\frac{x}{2}} \\\\\\=\frac{1}{4}\int\frac{1+tan^{2}\frac{x}{2}}{tan\frac{x}{2}}d(tan\frac{x}{2}) \\\\\\=\frac{1}{8}tan^{2}\frac{x}{2}+\frac{1}{4}ln\left | tan\frac{x}{2} \right |+C

     

     (2)\int\frac{dx}{1+sinx}

    思路一 (推荐)

    \\\\\\\int\frac{dx}{1+sinx} \\\\\\=\int\frac{1-sinx}{cos^{2}x}dx \\\\\\=tanx-\frac{1}{cosx}+C

    思路二:努力将sinx化到tan(x/2)

    \\\\\\\int\frac{dx}{(cos\frac{x}{2}+sin\frac{x}{2})^{2}} \\\\\\=\int\frac{sec^{2}\frac{x}{2}}{(1+tan\frac{x}{2})^{2}}dx \\\\\\=2\int\frac{d(1+tan\frac{x}{2})}{(1+tan\frac{x}{2})^{2}} \\\\\\=-\frac{2}{1+tan\frac{x}{2}}+C

     

    (3)\int\frac{dx}{1+sinx+cosx} 

    思路:努力将sinx和cosx化到tan(x/2)

    \\\\\\\int\frac{dx}{1+sinx+cosx} \\\\\\=\int\frac{dx}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+2cos^{2}\frac{x}{2}} \\\\\\=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{cos^{2}\frac{x}{2}(1+tan\frac{x}{2})} \\\\\\=\int\frac{d(1+tan\frac{x}{2})}{1+tan\frac{x}{2}} \\\\\\=ln\left | 1+tan\frac{x}{2} \right |+C

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  • 定理 (1) 带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式 设 f(x) 在点 x0 的某个邻域内 n+1 阶导数存在,则对该邻域内的任意点 x ,有 (2) 带佩亚诺余项的 n 阶泰勒公式 ...重要函数的麦克劳林展开式 ...

    定理

    (1) 带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式

    设 f(x) 在点 x0 的某个邻域内 n+1 阶导数存在,则对该邻域内的任意点 x ,有

    \\\\f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\cdot\cdot\cdot+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+\frac{f^{(n+1)}(\varepsilon )}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}\\\\\varepsilon \in (x,x_{0})

     

    (2) 带佩亚诺余项的 n 阶泰勒公式

    设 f(x) 在点 x0 处 n 阶导数存在,则存在 x0 的一个邻域,对于该邻域中的任一个点,有

    \\\\f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\cdot\cdot\cdot+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+o((x-x_{0})^{n})

     

    (注:x0=0 时的泰勒公式称为麦克劳林公式)

     

    重要函数的麦克劳林展开式

    e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdot\cdot\cdot+\frac{x^{n}}{n!}+o(x^{n})

    sinx=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}\cdot\cdot\cdot+(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})

    cosx=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdot\cdot\cdot+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})

    \frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdot\cdot\cdot+x^{n}+o(x^{n})\quad |x|<1

    \frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-\cdot\cdot\cdot+(-1)^{n}x^{n}+o(x^{n})\quad |x|<1

    ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdot\cdot\cdot+(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}+o(x^{n})

    (1+x)^{a}=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^{2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{a(a-1)\cdot\cdot\cdot(a-n+1)}{n!}x^{n}+o(x^{n})

     

     

     

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  • 导数公式

    导数公式

     

    (x^{\alpha })'=\alpha x^{\alpha-1}

    (a^{x})'=a^{x}lna\quad (a>0,a\neq 1)

    (e^{x})'=e^{x}

    (log_{a}x)'=\frac{1}{xlna}\quad(a>0,a\neq 1)

    (lnx)'=\frac{1}{x}

     

    (sinx)'=cosx

    (cosx)'=-sinx

    (tanx)'=sec^{2}x

    (cotx)'=-csc^{2}x

    (secx)'=secxtanx

    (cscx)'=-cscxcotx

     

    (arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

    (arccosx)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
    (arctanx)'=\frac{1}{1+x^{2}}

    (arccotx)'=-\frac{1}{1+x^{2}}

    [ln(x+\sqrt{x^{2}+1})]'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}

    [ln(x+\sqrt{x^{2}-1})]'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}

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    第一节 不定积分

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    1. 内容要点

    1. 两个基本概念

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    2. 原函数的存在性

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    3. 不定积分的性质

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    4. 基本积分公式

    5. 三种主要积分法

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    6. 三类常见可积函数积分

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    2. 常考题型

    1. 计算不定积分

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    2. 不定积分杂例

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一元函数微积分公式