基本
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
指数函数
 
 
 
对数函数
 
 
 
三角函数
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
文章目录
 
前言
一元函数积分学
1）积分的计算(方法)
a. 积分基本公式
b. 第一类换元法
c. 第二类换元法
①不定积分条件
②定积分条件
③应用场景----无理式积分
     
d. 分部积分法
e. 其余常用的方法
    
2）不定积分的计算(技巧)
a. 简单有理式分式的积分
b. 三角函数有理分式的积分
c. 简单无理式的积分
d. 使用分部积分法处理的积分
e. 积分式、抽象函数的积分
    
3）定积分的计算(技巧)
4）反常积分
5）定积分的应用
a. 几何应用
b. 物理应用
    
6）定积分的证明
a. 讨论变限积分的属性
b. 由积分定义的函数求极限
c. 积分不等式的证明
d. 带有积分的零点问题
   
  
 

 
前言
 
本笔记不涉及基础知识，重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多，不定时更新。且为了提高效率，用表线性梳理的形式代替思维导图，望谅解。
 
如有缺漏错误，欢迎补充指正！
 
一元函数积分学
 
一元函数积分学整体难度比导数和函数高，技巧和类别也很多，在这里进行逐一整理和总结。
 
1）积分的计算(方法)
 
这部分分为两个相叠加的大类，第一类为方法，第二类为技巧。
 
a. 积分基本公式
 
对，就是常用的那不到20个公式，一定要掌握熟练。可能有那么几个老师记不清楚，需要多做练习进行记忆，或者正推倒推多来几遍。
 
b. 第一类换元法
 
利用一阶微分形式不变性，进行"凑微分"。
 
c. 第二类换元法
 
①不定积分条件
 
若使$x=\phi (t)$，则$\phi (t)$应单调、连续，并且${\phi }^{{}^{\prime }}(t)$连续，且${\phi }^{{}^{\prime }}(t)\ne 0$。
 
②定积分条件
 
$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$x=\phi (t)$满足条件：$\phi (t)$应单调、连续，并且${\phi }^{{}^{\prime }}(t)$连续；$a=\phi (\alpha ),b=\phi (\beta )$；$\phi (t)$的值域包含$a,b$；
 则有：
 ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{{}^{\prime }}(t)dt$
 
③应用场景----无理式积分
 
无理式积分中又分为三种类型：
 
$\sqrt{a^2-x^2},\sqrt{x^2-a^2},\sqrt{x^2+a^2}$类型，进行三角代换($x=asint,asect,atant$)。
$\sqrt[m]{ax+b},\sqrt[n]{ax+b}$ 类型，令$x=\sqrt[mn]{ax+b}$
$\sqrt[m]{\frac{ax+b}{cx+d}}$类型，令$x=\sqrt[m]{\frac{ax+b}{cx+d}}$
 
还有两种不太常用的类型：
 
三角函数万能公式（基本不能用，计算很复杂）
倒数代换（有时可代替三角代换，在某些有理分式中有效）
 
d. 分部积分法
 
掌握分部积分法的公式，被积函数被分割成两部分，一部分转化为其原函数，一部分转化为导数。
分部积分通常解不同类型函数相乘的被积函数。
分部积分同样可以解相同类型函数相乘的被积函数。
 
e. 其余常用的方法
 
定积分上下限的奇偶性。
被积函数为周期函数的积分。
华里士公式。
 
2）不定积分的计算(技巧)
 
在实际出题方面，积分按类型分类，一般的题型是以下基础类型的一种，复杂的题目可能融合多种类型，需要依次拆分求解。
 
a. 简单有理式分式的积分
 
特征就是含分子与分母的分式，且只由幂函数构成，解题方法按照有理式的类型也分为多种(感觉积分这一章如果画思维导图就是m叉树上有m叉树，哇的一声哭了出来)。
 
如果可以进行因式分解，进行因式分解。这类题的第一步就是进行化简，如果不化简，直接用上面的解题方法刚，很难刚出来。因式分解的方法就不列举了。
如果不可以进行因式分解，尝试是否可以“凑微分”。方法包括不限于将分母凑成$a^2\pm x^2$形式；通过将分子被积函数分解为和式，分子的原函数恰好是分母，或凑成可用基本积分公式解的被积函数；
如果次数过高且无法进行因式分解，且有$a^2\pm x^2$形式，考虑进行三角函数代换。
使用分部积分法，即同类型函数的分部积分。
 
b. 三角函数有理分式的积分
 
三角函数也是一个小难点，难就难在很简单的分式也可能积不出来，必须约分。就比如分式$\frac{1}{sinx+cosx}$,需要用到辅助角公式来求解。
 
遇到三角函数往往从以下几点入手：
 
分式的分母一定要化简，化成单项式或者与分子通分。
对被积函数的项进行降次
分子分母能约分就约分，约分过程中往往需要“凑约分”，或者凑分子的原函数与分母的关系。
“无中生1”：$1=si{n}^{2}x+co{s}^{2}x$
熟练运用常用的三角代换，以及基本三角函数的导数与原函数。
辅助角公式：$asinx+bcosx=\sqrt{a^2+b^2}sin(x+\theta )$，$\theta =arctan\frac{b}{a}$
万能代换能不用就不用，考研至今未出过非要用它才能解出的题。
变量代换$t=\pi \pm x$，在某些被积函数中也是化简的一种方法。
 
c. 简单无理式的积分
 
对于无理式，最常用的方法便是上面提到的无理式积分的应用场景。
有时候三角代换不容易看出，比如$\sqrt{ax\pm b{x}^2}$的情况，需要先配方，再使用代换。
其次，便是使用分部积分，在两个相同类型函数相乘的情形。比如2019年的数学一就出过类似题目。
 
d. 使用分部积分法处理的积分
 
使用分部积分法处理的积分，最多的是复合被积函数的积分，被积函数分为四类（基本积分函数(包括积分式)、有理式、三角函数、无理式）。在这个阶段，复合到两种就已经是极限了，在这个阶段还没见过三种的。
 
最简单的就是基本积分函数内部的几种组合：幂函数×指数函数、幂函数×三角函数，此时$u$一般取幂函数；幂函数×对数函数、幂函数×反函数，此时$u$一般不取幂函数；指数函数×三角函数，此时$u$取哪个都可以，只是需要连取两次才能解出。这其中的原理在于某个类型的原函数或者导数是否容易求解积分。 这五种基本函数类型，有10种组合，但是我只列举了五种，为什么呢？因为其它的组合现在我们学的知识还不能解出，比如指数函数×反函数,像$\int e^{x}arcsinxdx$,就解不出来。这也是为什么积分比较难, 一个个看似解不出的被积函数，我们的前辈运用智慧把不可能变为可能。
比上面的难一点，便是给被积函数“套个马甲”，比如 $\int e^{2x}arctan\sqrt{e^x-1}dx$，看似幂函数×反函数 不能求解。但是，$e^x$就是一个马甲，使$m=e^x$，再使$t=\sqrt{m-1}$，便转化成了幂函数×反函数的形式。
有理式×基本积分函数，解题思路为先将有理式进行化简，化简后的有理式当作$v$进行分部积分。有理式出现的最多，是因为有理分式大多数可以求积。
组合的肯定还有其他类型，因为刷题数量的限制，就先不列举。但化简、分部积分的基本思路应该是没问题的。
难度最高的相同类型分部积分问题，最常见的为幂函数×无理式×有理分式组合(出现两种)。这个问题它难就难在$u$或$v$可选的函数有点多，需要对分部积分整个过程看透（就像下象棋，走一步，看两三步那种感觉）。比如2019年数学一${\int }_0^1{x}^n\sqrt{1-x^2}dx$，遇见$\sqrt{1-x^2}$第一感觉就是使用三角代换，这个题确实也可以利用华里士公式求解，并且还挺简单。但是大纲中并没有提到过华里士公式，这里我们还可以考虑第二种方法，使用分部积分求解。把$\sqrt{1-x^2}$看作$v$，同样可以解出递推公式。
其实还有很多没有列举到的类型，总之分部积分法很灵活，需要多做题寻找感觉。
 
e. 积分式、抽象函数的积分
 
这类题就是被积函数看着怪，其实很简单。积分式可以当作$u$进行求导，抽象函数的积分求导只需要加减一个${}^{\prime }$。注意利用题中所给的条件，求解即可。
 
3）定积分的计算(技巧)
 
定积分与不定积分，有区别也有联系。联系是，计算不定积分方法，基本都可以来计算定积分，使用第二类换元法是需要注意换元后的绝对值问题，因为这在不定积分中是不考虑的。区别是，定积分因为含有奇偶性和周期性，计算起来更灵活，一些在不定积分中无法求解的被积函数，在定积分中可以求解。
 
对称区间上的定积分${\int }_{-a}^{a}f(x)dx$，被积函数形式常为幂函数×三角函数分式，比如${\int }_{-a}^a\frac{x}{1+sinx}dx$,不定积分的计算技巧全部失效，但是却可以将定积分拆为${\int }_{-a}^{0}f(x)dx$和${\int }_0^{a}f(x)dx$,再对第一部分换元$t=-x$再对相同上下限的两部分进行加和，解出。
被积函数为周期函数的定积分，${\int }_a^{a+T}f(x)dx=$${\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx$,并且可以继续利用奇偶性。
一个重要的第二类换元变换$x=\pi -t$，一是因为可以调整积分上下限，二是因为$sin(\pi -t)=sint,cos(\pi -t)=-cost$，某些情况下可用于求解积分。
带有绝对值的定积分，基本思路为去绝对值，有理式去绝对值就是分段讨论，三角函数去绝对值就是对$[k\pi ,k\pi +\pi ]$或$[k\pi -\frac{\pi }{2},k\pi +\frac{\pi }{2}]$去绝对值后的正负性进行讨论。
 
4）反常积分
 
从反常积分( 属于定积分 )开始，到之后的定积分的应用和定积分的证明，已经脱离了计算为主体，转而关注于知识综合的掌握，所以难度和灵活性也会相应的增加。
 
反常积分常见题型：
 
反常积分的计算，其实本质就是对于一或两个端点在求出不定积分后取极限。可以分为无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分。计算时注意被积函数极限不存在的点就好。
一个重要的反常积分${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}=\sqrt{\pi }$
带两个参数的反常积分敛散性判别：我认为难度非常高，只在考研数学一出现过。解题的过程较繁琐固定，复习全书有定理辅助做题，在这里不展开了。
带一个参数的反常积分敛散性判别：正常计算，或考虑夹逼准则。
 
5）定积分的应用
 
这一部分的核心思想就是**“微元法”**。重点是建立适当的坐标系，可能需要对图形进行一定的旋转或位移，建立微元，积分求解。
 
a. 几何应用
 
几何应用的微元一般都容易看出，比如面积、周长这些。
 需要注意的几个点：
 
旋转曲面面积因为涉及到曲面，所以积分微元是弧长。
几何应用的难度要增加的话，难点常常还是在定积分的计算方面，比如分部积分、带有绝对值的积分等。
 
b. 物理应用
 
物理应用的第一关就是要充分理解题意。
对常用的公式和物理量要掌握(大纲中要求的)。
 
6）定积分的证明
 
这部分的证明题与一元函数微分学的证明题联系紧密。
 
a. 讨论变限积分的属性
 
一般的题型为抽象函数，且为选择题，两种思路。
第一种是正常讨论，有绝对值先去绝对值，没有绝对值利用积分中值定理或套积分号讨论。
第二种是将抽象函数代换为具体函数。
 
b. 由积分定义的函数求极限
 
尝试利用夹逼定理求解。
 
c. 积分不等式的证明
 
使用微分学的方法求解（其中的函数构造方法特别常用）。
在上下限相同的情况下，利用若被积函数$f(x)>=g(x)$,那么$f(x)$的积分大于等于$g(x)$的积分。
如果存在积分区间不相同的情况，可以通过变量代换转化为积分区间相同。
如果存在一个式子含有积分号，一个式子不含积分号，可以利用积分性质，让它们都没有或者都有。
 
d. 带有积分的零点问题
 
和微分学零点问题思路相同。

 
文章目录
 
不定积分
三角函数本身
含三角函数的不定积分
  
定积分
常用公式
旋转体体积计算
  
反常积分
高斯积分 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$
广义积分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx=\pi$
敛散性判别
 

 
不定积分
 
三角函数本身
 
$(\tan x{)}^{\prime }$
${\sec }^{2}x$
($\sec x{)}^{\prime }$
$\tan x\cdot \sec x$
$(\cot x{)}^{\prime }$
$-{\csc }^{2}x$
$(\csc x{)}^{\prime }$
$\cot x\cdot \csc x$
$\int \sec xdx=\int \frac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x}dx=\int \frac{d(\tan x+\sec x)}{\sec x+\tan x}=\ln |\sec x+\tan x|+C$
 $\int \csc xdx=\int \frac{\csc x(\csc x-\cot x)}{\csc x-\cot x}dx=\int \frac{d(\csc x-\cot x)}{\csc x-\cot x}=\ln |\csc x-\cot x|+C=\int \frac{1}{\sin x}dx=\int \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\frac{1}{2{\cos }^2\frac{x}{2}}dx=\int \frac{1}{\tan \frac{x}{2}}d\tan \frac{x}{2}=\ln |\tan \frac{x}{2}|+C$
 
$(\arctan x{)}^{\prime }$
$\frac{1}{1+x^2}$
$(arc\cot x{)}^{\prime }$
$-\frac{1}{1+x^2}$
$(\arcsin x{)}^{\prime }$
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\arccos x{)}^{\prime }$
$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
（导数公式证明：$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\tan }^{\prime }(\arctan x)}=\frac{1}{1+{\tan }^2(\arctan x)}=\frac{1}{1+x^2}$ ，其他应用反函数求导公式，证明类似）
 $\int \frac{a}{a^2+x^2}dx=\arctan \frac{x}{a}+C$
 $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin \frac{x}{a}+C$
 
由：
 $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}\stackrel{x=a\sec x}{\Rightarrow }\ln |\sec t+\tan t|+C=\ln |\sec ({\sec }^{-1}(x/a))+\tan ({\sec }^{-1}(x/a))|+C=\ln |\sec ({\sec }^{-1}(x/a))+\sqrt{\sec ({\sec }^{-1}(x/a))-1}|+C=\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$
 $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}\stackrel{x=a\tan x}{\Rightarrow }\ln |\sec x+\tan x|+C=\ln |\sec ({\tan }^{-1}(x/a))+\tan ({\tan }^{-1}(x/a))|+C=\ln |\sqrt{\tan ({\tan }^{-1}(x/a))+1}+\tan ({\tan }^{-1}(x/a))|+C=\ln |x+\sqrt{x^2+a^2}|+C$
 得：
 $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$
 
含三角函数的不定积分
 
$\int \frac{1}{1+\sin \theta d\theta }$
 
解法一：
 $\begin{array}{l}\int \frac{1}{1+\sin \theta }d\theta \\ =\int \frac{1-\sin \theta }{{\cos }^2\theta }d\theta \\ =\int \frac{1}{{\cos }^2\theta }d\theta -\int \frac{\sin \theta }{{\cos }^2\theta }d\theta \\ =\tan \theta -\sec \theta +C\end{array}$
 解法二：
 万能代换：$\tan \frac{x}{2}=t,\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},dx=\frac{2}{1+t^2}dt$
 $\int \frac{1}{1+\sin x}dx=\int \frac{1}{1+\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+{\tan }^2\frac{x}{2}}}dx=\int \frac{{\sec }^2\frac{x}{2}}{(1+\tan \frac{x}{2}{)}^2}dx=\int \frac{2}{(1+\tan \frac{x}{2}{)}^2}d{\tan }^2\frac{x}{2}=-\frac{2}{\tan \frac{x}{2}}$
 解法三（和万能代换异曲同工）：
 $\int \frac{1}{1+\sin x}dx=\int \frac{1}{{\sin }^2\frac{x}{2}+{\cos }^2\frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}dx=2\int \frac{{\sec }^2\frac{x}{2}}{{\tan }^2\frac{x}{2}+2\tan \frac{x}{2}+1}d\frac{x}{2}=-\frac{2}{1+\tan \frac{x}{2}}+C=\frac{2}{1+\cot \frac{x}{2}}+C(上下同除{\sin }^{2}x)$
 
$\int \frac{1}{(1+\sin x{)}^2}dx$
 
$\begin{array}{l}\int \frac{1}{(1+\sin x{)}^2}dx\\ =\int \frac{dx}{(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}{)}^4}\\ =\frac{1}{4}\int \frac{dx}{{\cos }^4(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4})}\\ =\frac{1}{2}\int {\sec }^2(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4})d\tan (\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4})\\ =\frac{1}{2}\int [1+{\tan }^2(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4})]d\tan (\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4})\\ =\frac{1}{2}[\tan (\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4})+\frac{1}{3}{\tan }^3(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4})]\end{array}$
 
定积分
 
常用公式
 
Wallis 公式（“点火” 公式）
 
${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx=\frac{(n-1)!!}{n!!}H$
 n 为偶数，H 取 π/2，n 为奇数，H 取 1.
 
区间再现公式
 
${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b-x)dx$
 适合处理包含三角函数的积分问题
 
三角函数积分常用公式
 
${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos x)dx$
 ${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx$（易从区间再现公式推导）
 
旋转体体积计算
 
 
$y_1(x),y_2(x),x=a,x=b(y_2(x)\ge y_1(x)\ge 0)$ 围成的区域绕 x 轴旋转一周的旋转体体积
 $V=\pi {\int }_a^b\left[y_2^2(x)-y_1^2(x)\right]\mathrm{d}x,a<b$
 
 
$y_1(x),y_2(x),x=a,x=b(y_2(x)\ge y_1(x)b>a\ge 0)$ 围成的区域绕 y 轴旋转一周的旋转体体积
 $V=2\pi {\int }_a^{b}x\left(y_2(x)-y_1(x)\right)\mathrm{d}x$
 
 
反常积分
 
高斯积分 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$
 
解法一（极坐标）：
 $I=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{e}^{-x^2}dx=2\underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}{e}^{-x^2}dx=2A$
 $A^2=\underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}{e}^{-x^2}dx\cdot \underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}{e}^{-y^2}dy=\underset{x,y>0}{\iint }{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}d\theta \underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}{e}^{-{\rho }^2}\rho d\rho =\frac{\pi }{2}(-\frac{1}{2}{e}^{-{\rho }^2}){|}_0^{+\infty }=\frac{\pi }{4}$
 $I=\sqrt{\pi }$
 解法二（变量代换、凑微分）：
 $\begin{array}{rl}& \text{Let }I={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=2{\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2}dx\\ & I^2=4\left({\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2}dx\right)\left({\int }_0^{\infty }{e}^{-y^2}dy\right)\\ & =4{\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\infty }{e}^{-\left(x^2+y^2\right)}dxdy\\ & =4{\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2\left(1+y^2/x^2\right)}dxdy,\{\begin{array}{l}y/x=u\\ dy=xdu\end{array}\\ & =4{\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2\left(1+u^2\right)}xdxdu\\ & =(4)\left(-\frac{1}{2}\right){\int }_0^{\infty }\frac{1}{1+u^2}du{\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2\left(1+u^2\right)}d\left(-x^2\left(1+u^2\right)\right)\\ & =-2{\int }_0^{\infty }\frac{1}{1+u^2}{\left(e^{-x^2\left(1+u^2\right)}\right)}_0^{\infty }du\\ & =2{\int }_0^{\infty }\frac{du}{1+u^2}\\ & =(2)\left(\frac{\pi }{2}\right)\\ & =\pi \\ & \because I>0\\ & \therefore I=\sqrt{\pi }\end{array}$
 
更多解法
 
广义积分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx=\pi$
 
利用留数定理：
 ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin (x)}{x}dx=\mathrm{Im}\left({\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{e^{iz}}{z}dz\right)$
 函数 $\frac{x^{iz}}{z}$ 只在实轴上有一个简单极点 $z=0$ ，故：
 
    
     
      
       
        
         ∫
        
        
         
          −
         
         
          ∞
         
        
        
         
          +
         
         
          ∞
         
        
       
       
        
         
          e
         
         
          
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           z
          
         
        
        
         z
        
       
       
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        z
       
       
        =
       
       
        2
       
       
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        i
       
       
        {
       
       
        0
       
       
        +
       
       
        
         1
        
        
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        }
       
       
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          lim
         
         
          ⁡
         
        
        
         
          z
         
         
          →
         
         
          0
         
        
       
       
        z
       
       
        
         
          e
         
         
          
           i
          
          
           z
          
         
        
        
         z
        
       
       
        =
       
       
        π
       
       
        i
       
      
      
       \int_{-\infin}^{+\infin}\frac{e^{iz}}{z}dz=2\pi i\{ 0+\frac{1}{2}Res[\frac{e^{iz}}{z}, 0] \}=\pi i \lim\limits_{z \to 0}z \frac{e^{iz}}{z}=\pi i
      
     
    ∫−∞+∞​zeiz​dz=2πi{0+21​Res[zeiz​,0]}=πiz→0lim​zzeiz​=πi，则：${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx=\pi$
 
更多解法
 
敛散性判别
 
结论一：
 
${\int }_a^{+\infty }\frac{dx}{x{\ln }^{p}x}\{\begin{array}{ll}\text{ 收敛，}& \text{ 当 }p>1\\ \text{ 发散，}& \text{ 当 }p⩽1\end{array}$
 
结论二：
 
无穷区间
 ${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^p}\{\begin{array}{ll}\text{ 收敛，}& \text{ 当 }p>1\\ \text{ 发散，}& \text{ 当 }p⩽1\end{array}$
 无界函数
 ${\int }_0^1\frac{dx}{x^p}\{\begin{array}{ll}\text{ 发散，}& \text{ 当 }p>1\\ \text{ 收敛，}& \text{ 当 }p⩽1\end{array}$

 
一元函数积分
 
1.不定积分
1.定义
2.换元法
第一类换元法
第二类换元法
   
3.分部积分法
4.常用函数的积分公式
  
2.定积分
1.定义
2.牛顿-莱布尼茨公式
  
3.作业

 
1.不定积分
 
1.定义
 
定义1 如果在区间$I$上，可导函数$F(x)$的导函数为$f(x)$，即对任一$x\in I$都有
 $$F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)\text{或}dF\left(x\right)=f\left(x\right)dx$$那么函数$F(x)$称为$f(x)$（或$f(x)dx$）在区间$I$上的一个原函数.
 
定义2 在区间$I$上，函数$f(x)$的带有任意常数项的原函数称为$f(x)$（或$f(x)dx$）在区间$I$上的不定积分，记作
 $$\int f\left(x\right)dx$$
 其中记号$\int$称为积分号，$f(x)$称为被积函数，$f(x)dx$称为被积表达式，$x$称为积分变量.
   由此定义及钱买你的说明可知，如果$F(x)$是$f(x)$在区间区间$I$上的一个原函数，那么$F(x)+C$就是$f(x)$的不定积分，即
 $$\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$$
 
2.换元法
 
第一类换元法
 
定理1 设$f(u)$具有原函数，$u=\phi \left(x\right)$可导，则有换元公式
 $$\int f\left[\phi \left(x\right)\right]{\phi }^{\prime }\left(x\right)dx={\left[\int f\left(u\right)du\right]}_{u=\phi \left(x\right)}$$
 
第二类换元法
 
定理2 设$x=\psi \left(t\right)$是单调的可导函数，并且${\psi }^{\prime }\left(t\right)\ne 0$.又设$f\left[\psi \left(t\right)\right]{\psi }^{\prime }\left(t\right)$具有原函数，则有换元公式
 $$\int f\left(x\right)dx={\left[\int f\left[\psi \left(t\right)\right]{\psi }^{\prime }\left(t\right)dt\right]}_{t={\psi }^{-1}\left(x\right)}$$其中${\psi }^{-1}\left(x\right)$是$x=\psi \left(t\right)$的反函数.
 
3.分部积分法
 
$$\int u\text{d}v=uv-\int v\text{d}u$$
 
4.常用函数的积分公式
 
$$\left(1\right)\int k\text{d}x=kx+C$$
 $$\left(2\right)\int x^{\mu }\text{d}x=\frac{x^{\mu +1}}{\mu +1}+C\left(\mu \ne 1\right)\int \frac{1}{\sqrt{x}}\text{d}x=2\sqrt{x}+C$$
 $$\left(3\right)\int \frac{1}{x}\text{d}x=\ln \left|x\right|+C\int \frac{1}{x^2}\text{d}x=-\frac{1}{x}+C$$
 $$\left(4\right)\int a^x\text{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C\int e^x\text{d}x=e^x+C$$
 $$\left(4\right)\int \sin x\text{d}x=-\cos x+C\int \cos x\text{d}x=\sin x+C$$
 $$\left(5\right)\int \tan x\text{d}x=-\ln \left|\cos x\right|+C\int \cot x\text{d}x=\ln \left|\sin x\right|+C$$
 $$\left(6\right)\int \sec x\text{d}x=\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C\int \csc x\text{d}x=\ln \left|\csc x-\cot x\right|+C$$
 $$\left(7\right)\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}\text{d}x=\int {\sec }^{2}x\text{d}x=\tan x+C\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}\text{d}x=\int {\csc }^{2}x\text{d}x=-\cot x+C$$
 $$\left(8\right)\int \sec x\tan x\text{d}x=\sec x+C\int \csc x\cot x\text{d}x=-\csc x+C$$
 $$\left(9\right)\int \frac{1}{a^2+x^2}\text{d}x=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C\int \frac{1}{1+x^2}\text{d}x=\arctan x+C$$
 $$\left(10\right)\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\text{d}x=\arcsin \frac{x}{a}+C\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x=\arcsin x+C$$
 $$\left(11\right)\int \frac{1}{x^2-a^2}\text{d}x=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$$
 $$\left(12\right)\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\text{d}x=\ln \left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C$$
 $$\left(13\right)\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\text{d}x=\ln \left(x+\sqrt{x^2{a}^2}\right)+C$$
 $$\left(14\right)\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2}+C$$
 
2.定积分
 
1.定义
 
  函数$f(x)$在区间$\left[a,b\right]$上的定积分
 $${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i$$其中
    
     
      
       
        λ
       
       
        =
       
       
        max
       
       
        ⁡
       
       
        
         {
        
        
         Δ
        
        
         
          x
         
         
          1
         
        
        
         ,
        
        
         Δ
        
        
         
          x
         
         
          2
         
        
        
         ,
        
        
         ⋯
         
        
         ,
        
        
         Δ
        
        
         
          x
         
         
          n
         
        
        
         }
        
       
      
      
       \lambda =\max \left\{ \varDelta x_1,\varDelta x_2,\cdots ,\varDelta x_n \right\}
      
     
    λ=max{Δx1​,Δx2​,⋯,Δxn​}且极限值与区间$\left[a,b\right]$的分法及点${\xi }_i$的取法无关.
 
 
  

2.牛顿-莱布尼茨公式
 
定理 （微积分基本定理）如果函数$F(x)$是连续函数$f(x)$在区间$\left[a,b\right]$上的一个原函数，那么
 $${\int }_a^b{F}^{\prime }\left(x\right)\text{d}x=F\left(b\right)-F\left(a\right)$$
 注：换元法和分布积分法在定积分仍然适用，换元需注意新元的取值范围.
 
3.作业