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  • 一元函数微积分

    2015-07-07 09:04:19
    这是一部关于matlab的教学资料是关于一元函数微积分学的知识
  • 一元函数微积分基本练习题及答案.doc
  • 总结了一元函数微分,积分基本的公式,应用方法。常见微积分问题的解答思路。
  • 一元函数微积分》习题解答3-7到3-9.doc
  • 微积分一元函数积分学》——指数函数积分进阶 对数函数 《微积分一元函数积分学》——对数函数积分进阶 三角函数 《微积分一元函数积分学》——三角函数积分进阶 反...

    基本

    (1)\int kdx=kx+C

    (2)\int x^{u}dx=\frac{x^{u+1}}{u+1}+C

    (3)\int \frac{1}{x}=ln\left | x \right |+C

    (4)\int \frac{1}{1+x^{2}}dx=arctanx+C

    (5)\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=arcsinx+C

    (6)\int dx=x+C

    (7)\int \frac{1}{x^{2}}=-\frac{1}{x}+C

    (8)\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+C

    (9)\int \frac{dx}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a}acrtan\frac{x}{a}+C

    (10)\int \frac{dx}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}ln\left | \frac{x-a}{x+a}\right |+C

    (11)\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=acrsin\frac{x}{a}+C

    (12)\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=ln(x+\sqrt{x^{2}+a^2})+C

    (13)\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=ln\left | x+\sqrt{x^{2}-a^{2}} \right | +C

    指数函数

    (1)\int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{lna}+C

    (2)\int e^{x}dx=e^{x}+C

    对数函数

    (1)\int lnx=xlnx-x+C

    (2)\int \frac{dx}{xlnx}=ln\left | lnx \right |+C

    三角函数

    (1)\int sinxdx=-cosx+C

    (2)\int cosxdx=sinx+C

    (3)\int tanxdx=-ln\left | cosx \right |+C

    (4)\int cotxdx=ln \left| sinx\right|+C

    (5)\int secxdx=ln\left|secx+tanx \right |+C

    (6)\int cscxdx=ln\left | cscx-cotx \right |+C

    (7)\int sin^{2}xdx=\frac{1-cos2x}{2}=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}sin2x+C

    (8)\int cos^{2}xdx=\frac{1+cos2x}{2}=\frac{x}{2}+\frac{1}{4}sin2x+C

    (9)\int \frac{1}{sin^{2}x}=\int csc^{2}xdx=-cotx+C

    (10)\int \frac{1}{cos^{2}x}=\int sec^{2}xdx=tanx+C

    (11)\int secxtanxdx=secx+C

    (12)\int cscxcotxdx=-cscx+C

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  • 前言 本笔记不涉及基础知识,重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多,不定时...在还未接触多元微分以及积分时,我记得一元函数积分学的难度是高于极限的——要好好整理。 一元函数微分学 ...

    前言

    本笔记不涉及基础知识,重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多,不定时更新。且为了提高效率,用表线性梳理的形式代替思维导图,望谅解。

    如有缺漏错误,欢迎补充指正!

    一元函数积分学

    一元函数积分学整体难度比导数和函数高,技巧和类别也很多,在这里进行逐一整理和总结。

    1)积分的计算(方法)

    这部分分为两个相叠加的大类,第一类为方法,第二类为技巧。

    a. 积分基本公式

    对,就是常用的那不到20个公式,一定要掌握熟练。可能有那么几个老师记不清楚,需要多做练习进行记忆,或者正推倒推多来几遍。

    b. 第一类换元法

    利用一阶微分形式不变性,进行"凑微分"。

    c. 第二类换元法

    ①不定积分条件

    若使 x = φ ( t ) x = φ(t) x=φ(t),则 φ ( t ) φ(t) φ(t)应单调、连续,并且 φ ′ ( t ) φ^{'}(t) φ(t)连续,且 φ ′ ( t ) ≠ 0 φ^{'}(t) \not= 0 φ(t)=0

    ②定积分条件

    f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续,且 x = φ ( t ) x = φ(t) x=φ(t)满足条件: φ ( t ) φ(t) φ(t)应单调、连续,并且 φ ′ ( t ) φ^{'}(t) φ(t)连续; a = φ ( α ) , b = φ ( β ) a = φ(α),b=φ(β) a=φ(α),b=φ(β) φ ( t ) φ(t) φ(t)的值域包含 a , b a,b a,b
    则有:
    ∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β f ( φ ( t ) ) φ ′ ( t ) d t \displaystyle{ \int_a^{b} f(x) dx }=\displaystyle{ \int_α^{β} f(φ(t)) φ^{'}(t)dt } abf(x)dx=αβf(φ(t))φ(t)dt

    ③应用场景----无理式积分

    无理式积分中又分为三种类型:

    1. a 2 − x 2 , x 2 − a 2 , x 2 + a 2 \sqrt{ a^2-x^2},\sqrt{ x^2-a^2},\sqrt{ x^2+a^2} a2x2 ,x2a2 ,x2+a2 类型,进行三角代换( x = a s i n t , a s e c t , a t a n t x = asint,asect,atant x=asint,asect,atant)。
    2. a x + b m , a x + b n \sqrt[m]{ ax+b},\sqrt[n]{ ax+b} max+b ,nax+b 类型,令 x = a x + b m n x=\sqrt[mn]{ ax+b} x=mnax+b
    3. a x + b c x + d m \sqrt[m]{ \frac{ax+b}{cx+d}} mcx+dax+b 类型,令 x = a x + b c x + d m x=\sqrt[m]{ \frac{ax+b}{cx+d}} x=mcx+dax+b

    还有两种不太常用的类型:

    1. 三角函数万能公式(基本不能用,计算很复杂)
    2. 倒数代换(有时可代替三角代换,在某些有理分式中有效)

    d. 分部积分法

    • 掌握分部积分法的公式,被积函数被分割成两部分,一部分转化为其原函数,一部分转化为导数。
    • 分部积分通常解不同类型函数相乘的被积函数。
    • 分部积分同样可以解相同类型函数相乘的被积函数。

    e. 其余常用的方法

    • 定积分上下限的奇偶性。
    • 被积函数为周期函数的积分。
    • 华里士公式。

    2)不定积分的计算(技巧)

    在实际出题方面,积分按类型分类,一般的题型是以下基础类型的一种,复杂的题目可能融合多种类型,需要依次拆分求解。

    a. 简单有理式分式的积分

    特征就是含分子与分母的分式,且只由幂函数构成,解题方法按照有理式的类型也分为多种(感觉积分这一章如果画思维导图就是m叉树上有m叉树,哇的一声哭了出来)。

    1. 如果可以进行因式分解,进行因式分解。这类题的第一步就是进行化简,如果不化简,直接用上面的解题方法刚,很难刚出来。因式分解的方法就不列举了。
    2. 如果不可以进行因式分解,尝试是否可以“凑微分”。方法包括不限于将分母凑成 a 2 ± x 2 a^2\pm x^2 a2±x2形式;通过将分子被积函数分解为和式,分子的原函数恰好是分母,或凑成可用基本积分公式解的被积函数;
    3. 如果次数过高且无法进行因式分解,且有 a 2 ± x 2 a^2\pm x^2 a2±x2形式,考虑进行三角函数代换。
    4. 使用分部积分法,即同类型函数的分部积分。

    b. 三角函数有理分式的积分

    三角函数也是一个小难点,难就难在很简单的分式也可能积不出来,必须约分。就比如分式 1 s i n x + c o s x \frac{1}{sinx+cosx} sinx+cosx1,需要用到辅助角公式来求解。

    遇到三角函数往往从以下几点入手:

    • 分式的分母一定要化简,化成单项式或者与分子通分。
    • 对被积函数的项进行降次
    • 分子分母能约分就约分,约分过程中往往需要“凑约分”,或者凑分子的原函数与分母的关系。
    • “无中生1”: 1 = s i n 2 x + c o s 2 x 1 = sin^2x+cos^2x 1=sin2x+cos2x
    • 熟练运用常用的三角代换,以及基本三角函数的导数与原函数。
    • 辅助角公式: a s i n x + b c o s x = a 2 + b 2 s i n ( x + θ ) asinx+bcosx = \sqrt{a^2+b^2}sin(x+θ) asinx+bcosx=a2+b2 sin(x+θ) θ = a r c t a n b a θ = arctan{\frac{b}{a}} θ=arctanab
    • 万能代换能不用就不用,考研至今未出过非要用它才能解出的题。
    • 变量代换 t = π ± x t = \pi \pm x t=π±x,在某些被积函数中也是化简的一种方法。

    c. 简单无理式的积分

    • 对于无理式,最常用的方法便是上面提到的无理式积分的应用场景。
    • 有时候三角代换不容易看出,比如 a x ± b x 2 \sqrt{ax\pm bx^2} ax±bx2 的情况,需要先配方,再使用代换。
    • 其次,便是使用分部积分,在两个相同类型函数相乘的情形。比如2019年的数学一就出过类似题目。

    d. 使用分部积分法处理的积分

    使用分部积分法处理的积分,最多的是复合被积函数的积分,被积函数分为四类(基本积分函数(包括积分式)、有理式、三角函数、无理式)。在这个阶段,复合到两种就已经是极限了,在这个阶段还没见过三种的。

    • 最简单的就是基本积分函数内部的几种组合:幂函数×指数函数幂函数×三角函数,此时 u u u一般取幂函数;幂函数×对数函数幂函数×反函数,此时 u u u一般不取幂函数;指数函数×三角函数,此时 u u u取哪个都可以,只是需要连取两次才能解出。这其中的原理在于某个类型的原函数或者导数是否容易求解积分。 这五种基本函数类型,有10种组合,但是我只列举了五种,为什么呢?因为其它的组合现在我们学的知识还不能解出,比如指数函数×反函数,像 ∫ e x a r c s i n x d x \int e^xarcsinxdx exarcsinxdx,就解不出来。这也是为什么积分比较难, 一个个看似解不出的被积函数,我们的前辈运用智慧把不可能变为可能。
    • 比上面的难一点,便是给被积函数“套个马甲”,比如 ∫ e 2 x a r c t a n e x − 1 d x \displaystyle{ \int e^{2x}arctan\sqrt{e^x-1} dx } e2xarctanex1 dx,看似幂函数×反函数 不能求解。但是, e x e^x ex就是一个马甲,使 m = e x m = e^x m=ex,再使 t = m − 1 t = \sqrt{m-1} t=m1 ,便转化成了幂函数×反函数的形式。
    • 有理式×基本积分函数,解题思路为先将有理式进行化简,化简后的有理式当作 v v v进行分部积分。有理式出现的最多,是因为有理分式大多数可以求积。
    • 组合的肯定还有其他类型,因为刷题数量的限制,就先不列举。但化简、分部积分的基本思路应该是没问题的。
    • 难度最高的相同类型分部积分问题,最常见的为幂函数×无理式×有理分式组合(出现两种)。这个问题它难就难在 u u u v v v可选的函数有点多,需要对分部积分整个过程看透(就像下象棋,走一步,看两三步那种感觉)。比如2019年数学一 ∫ 0 1 x n 1 − x 2 d x \displaystyle{\int_0^1 x^n\sqrt{1-x^2}dx} 01xn1x2 dx,遇见 1 − x 2 \sqrt{1-x^2} 1x2 第一感觉就是使用三角代换,这个题确实也可以利用华里士公式求解,并且还挺简单。但是大纲中并没有提到过华里士公式,这里我们还可以考虑第二种方法,使用分部积分求解。把 1 − x 2 \sqrt{1-x^2} 1x2 看作 v v v,同样可以解出递推公式。
    • 其实还有很多没有列举到的类型,总之分部积分法很灵活,需要多做题寻找感觉。

    e. 积分式、抽象函数的积分

    这类题就是被积函数看着怪,其实很简单。积分式可以当作 u u u进行求导,抽象函数的积分求导只需要加减一个 ′ ' 。注意利用题中所给的条件,求解即可。

    3)定积分的计算(技巧)

    定积分与不定积分,有区别也有联系。联系是,计算不定积分方法,基本都可以来计算定积分,使用第二类换元法是需要注意换元后的绝对值问题,因为这在不定积分中是不考虑的。区别是,定积分因为含有奇偶性和周期性,计算起来更灵活,一些在不定积分中无法求解的被积函数,在定积分中可以求解

    • 对称区间上的定积分 ∫ − a a f ( x ) d x \displaystyle{\int_{-a}^{a}f(x)dx} aaf(x)dx,被积函数形式常为幂函数×三角函数分式,比如 ∫ − a a x 1 + s i n x d x \displaystyle{\int_{-a}^{a}\frac{x}{1+sinx}dx} aa1+sinxxdx,不定积分的计算技巧全部失效,但是却可以将定积分拆为 ∫ − a 0 f ( x ) d x \displaystyle{\int_{-a}^{0}f(x)dx} a0f(x)dx ∫ 0 a f ( x ) d x \displaystyle{\int_{0}^{a}f(x)dx} 0af(x)dx,再对第一部分换元 t = − x t = -x t=x再对相同上下限的两部分进行加和,解出。
    • 被积函数为周期函数的定积分 ∫ a a + T f ( x ) d x = \displaystyle{\int_{a}^{a+T}f(x)dx}= aa+Tf(x)dx= ∫ − T 2 T 2 f ( x ) d x \displaystyle{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx} 2T2Tf(x)dx,并且可以继续利用奇偶性。
    • 一个重要的第二类换元变换 x = π − t x = \pi-t x=πt,一是因为可以调整积分上下限,二是因为 s i n ( π − t ) = s i n t , c o s ( π − t ) = − c o s t sin(\pi-t) = sint, cos(\pi-t) = -cost sin(πt)=sint,cos(πt)=cost,某些情况下可用于求解积分。
    • 带有绝对值的定积分,基本思路为去绝对值,有理式去绝对值就是分段讨论,三角函数去绝对值就是对 [ k π , k π + π ] [k\pi,k\pi+\pi] [kπ,kπ+π] [ k π − π 2 , k π + π 2 ] [k\pi-\frac{\pi}{2},k\pi+\frac{\pi}{2}] [kπ2π,kπ+2π]去绝对值后的正负性进行讨论。

    4)反常积分

    从反常积分( 属于定积分 )开始,到之后的定积分的应用和定积分的证明,已经脱离了计算为主体,转而关注于知识综合的掌握,所以难度和灵活性也会相应的增加。

    反常积分常见题型:

    1. 反常积分的计算,其实本质就是对于一或两个端点在求出不定积分后取极限。可以分为无穷区间上的反常积分无界函数的反常积分。计算时注意被积函数极限不存在的点就好。
    2. 一个重要的反常积分 ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 = π \displaystyle{\int_{ - \infty }^{ + \infty }e^{-x^2}=\sqrt{\pi}} +ex2=π
    3. 带两个参数的反常积分敛散性判别:我认为难度非常高,只在考研数学一出现过。解题的过程较繁琐固定,复习全书有定理辅助做题,在这里不展开了。
    4. 带一个参数的反常积分敛散性判别:正常计算,或考虑夹逼准则。

    5)定积分的应用

    这一部分的核心思想就是**“微元法”**。重点是建立适当的坐标系,可能需要对图形进行一定的旋转或位移,建立微元,积分求解。

    a. 几何应用

    几何应用的微元一般都容易看出,比如面积、周长这些。
    需要注意的几个点:

    • 旋转曲面面积因为涉及到曲面,所以积分微元是弧长。
    • 几何应用的难度要增加的话,难点常常还是在定积分的计算方面,比如分部积分、带有绝对值的积分等。

    b. 物理应用

    • 物理应用的第一关就是要充分理解题意。
    • 对常用的公式和物理量要掌握(大纲中要求的)。

    6)定积分的证明

    这部分的证明题与一元函数微分学的证明题联系紧密。

    a. 讨论变限积分的属性

    • 一般的题型为抽象函数,且为选择题,两种思路。
    • 第一种是正常讨论,有绝对值先去绝对值,没有绝对值利用积分中值定理或套积分号讨论。
    • 第二种是将抽象函数代换为具体函数。

    b. 由积分定义的函数求极限

    尝试利用夹逼定理求解。

    c. 积分不等式的证明

    • 使用微分学的方法求解(其中的函数构造方法特别常用)。
    • 在上下限相同的情况下,利用若被积函数 f ( x ) > = g ( x ) f(x)>= g(x) f(x)>=g(x),那么 f ( x ) f(x) f(x)的积分大于等于 g ( x ) g(x) g(x)的积分。
    • 如果存在积分区间不相同的情况,可以通过变量代换转化为积分区间相同。
    • 如果存在一个式子含有积分号,一个式子不含积分号,可以利用积分性质,让它们都没有或者都有。

    d. 带有积分的零点问题

    和微分学零点问题思路相同。

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  • 三角函数 (tan⁡x)′(\tan x)^{\prime}(tanx)′ sec⁡2x\sec^{2} xsec2x (sec⁡x)′\sec x)^{\prime}secx)′ tan⁡x⋅sec⁡x\tan x \cdot \sec xtanx⋅secx (cot⁡x)′(\cot x)^{\prime}(cotx)′ −csc⁡...

    不定积分

    三角函数本身

    ( tan ⁡ x ) ′ (\tan x)^{\prime} (tanx) sec ⁡ 2 x \sec^{2} x sec2x
    ( sec ⁡ x ) ′ \sec x)^{\prime} secx) tan ⁡ x ⋅ sec ⁡ x \tan x \cdot \sec x tanxsecx
    ( cot ⁡ x ) ′ (\cot x)^{\prime} (cotx) − csc ⁡ 2 x -\csc^{2} x csc2x
    ( csc ⁡ x ) ′ (\csc x)^{\prime} (cscx) cot ⁡ x ⋅ csc ⁡ x \cot x \cdot \csc x cotxcscx

    ∫ sec ⁡ x d x = ∫ sec ⁡ x ( sec ⁡ x + tan ⁡ x ) sec ⁡ x + tan ⁡ x d x = ∫ d ( tan ⁡ x + sec ⁡ x ) sec ⁡ x + tan ⁡ x = ln ⁡ ∣ sec ⁡ x + tan ⁡ x ∣ + C \int \sec x dx= \int \frac{\sec x (\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x} d x = \int \frac{d(\tan x + \sec x)}{\sec x + \tan x} = \ln |\sec x + \tan x| + C secxdx=secx+tanxsecx(secx+tanx)dx=secx+tanxd(tanx+secx)=lnsecx+tanx+C
    ∫ csc ⁡ x d x = ∫ csc ⁡ x ( csc ⁡ x − cot ⁡ x ) csc ⁡ x − cot ⁡ x d x = ∫ d ( csc ⁡ x − cot ⁡ x ) csc ⁡ x − cot ⁡ x = ln ⁡ ∣ csc ⁡ x − cot ⁡ x ∣ + C = ∫ 1 sin ⁡ x d x = ∫ cos ⁡ x 2 sin ⁡ x 2 1 2 cos ⁡ 2 x 2 d x = ∫ 1 tan ⁡ x 2 d tan ⁡ x 2 = ln ⁡ ∣ tan ⁡ x 2 ∣ + C \int \csc x dx = \int \frac{\csc x (\csc x - \cot x)}{\csc x - \cot x} d x = \int \frac{d(\csc x - \cot x)}{\csc x - \cot x} = \ln |\csc x - \cot x| + C=\int \frac{1}{\sin x} dx = \int \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \frac{1}{2 \cos ^{2} \frac{x}{2}} d x =\int \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} d \tan \frac{x}{2} =\ln |\tan \frac{x}{2} |+C cscxdx=cscxcotxcscx(cscxcotx)dx=cscxcotxd(cscxcotx)=lncscxcotx+C=sinx1dx=sin2xcos2x2cos22x1dx=tan2x1dtan2x=lntan2x+C

    ( arctan ⁡ x ) ′ (\arctan x)^{\prime} (arctanx) 1 1 + x 2 \frac{1}{1+x^{2}} 1+x21
    ( a r c cot ⁡ x ) ′ (arc \cot x)^{\prime} (arccotx) − 1 1 + x 2 -\frac{1}{1+x^{2}} 1+x21
    ( arcsin ⁡ x ) ′ (\arcsin x)^{\prime} (arcsinx) 1 1 − x 2 \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} 1x2 1
    ( arccos ⁡ x ) ′ (\arccos x)^{\prime} (arccosx) − 1 1 − x 2 -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} 1x2 1

    (导数公式证明: ( arctan ⁡ x ) ′ = 1 tan ⁡ ′ ( arctan ⁡ x ) = 1 1 + tan ⁡ 2 ( arctan ⁡ x ) = 1 1 + x 2 (\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{\tan^{\prime}(\arctan x)}=\frac{1}{1+\tan^{2}(\arctan x)}=\frac{1}{1+x^{2}} (arctanx)=tan(arctanx)1=1+tan2(arctanx)1=1+x21 ,其他应用反函数求导公式,证明类似)
    ∫ a a 2 + x 2 d x = arctan ⁡ x a + C \int \frac{a}{a^{2}+x^{2}} d x=\arctan \frac{x}{a}+C a2+x2adx=arctanax+C
    ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin ⁡ x a + C \int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \mathrm{d} x=\arcsin \frac{x}{a}+C a2x2 1dx=arcsinax+C

    由:
    ∫ d x x 2 − a 2 ⇒ x = a sec ⁡ x ln ⁡ ∣ sec ⁡ t + tan ⁡ t ∣ + C = ln ⁡ ∣ sec ⁡ ( sec ⁡ − 1 ( x / a ) ) + tan ⁡ ( sec ⁡ − 1 ( x / a ) ) ∣ + C = ln ⁡ ∣ sec ⁡ ( sec ⁡ − 1 ( x / a ) ) + sec ⁡ ( sec ⁡ − 1 ( x / a ) ) − 1 ∣ + C = ln ⁡ ∣ x + x 2 − a 2 ∣ + C \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} \xRightarrow{x=a\sec x}\ln |\sec t + \tan t| + C = \ln |\sec (\sec^{-1} (x/a)) + \tan (\sec^{-1} (x/a))| + C = \ln |\sec (\sec^{-1} (x/a)) + \sqrt{\sec(\sec^{-1} (x/a))-1}| + C = \ln |x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}| + C x2a2 dxx=asecx lnsect+tant+C=lnsec(sec1(x/a))+tan(sec1(x/a))+C=lnsec(sec1(x/a))+sec(sec1(x/a))1 +C=lnx+x2a2 +C
    ∫ d x x 2 + a 2 ⇒ x = a tan ⁡ x ln ⁡ ∣ sec ⁡ x + tan ⁡ x ∣ + C = ln ⁡ ∣ sec ⁡ ( tan ⁡ − 1 ( x / a ) ) + tan ⁡ ( tan ⁡ − 1 ( x / a ) ) ∣ + C = ln ⁡ ∣ tan ⁡ ( tan ⁡ − 1 ( x / a ) ) + 1 + tan ⁡ ( tan ⁡ − 1 ( x / a ) ) ∣ + C = ln ⁡ ∣ x + x 2 + a 2 ∣ + C \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}\xRightarrow{x=a\tan x} \ln |\sec x + \tan x| + C = \ln |\sec(\tan^{-1} (x/a)) + \tan(\tan^{-1} (x/a))| + C = \ln |\sqrt{\tan(\tan^{-1} (x/a))+1} + \tan(\tan^{-1} (x/a))| + C = \ln |x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}| + C x2+a2 dxx=atanx lnsecx+tanx+C=lnsec(tan1(x/a))+tan(tan1(x/a))+C=lntan(tan1(x/a))+1 +tan(tan1(x/a))+C=lnx+x2+a2 +C
    得:
    ∫ d x x 2 ± a 2 = ln ⁡ ∣ x + x 2 ± a 2 ∣ + C \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}}=\ln |x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}|+C x2±a2 dx=lnx+x2±a2 +C

    含三角函数的不定积分

    • ∫ 1 1 + sin ⁡ θ d θ \int \frac{1}{1+\sin \theta d\theta} 1+sinθdθ1

    解法一:
    ∫ 1 1 + sin ⁡ θ d θ = ∫ 1 − sin ⁡ θ cos ⁡ 2 θ d θ = ∫ 1 cos ⁡ 2 θ d θ − ∫ sin ⁡ θ cos ⁡ 2 θ d θ = tan ⁡ θ − sec ⁡ θ + C \begin{array}{l} \int \frac{1}{1+\sin \theta} d \theta \\ =\int \frac{1-\sin \theta}{\cos ^{2} \theta} d \theta \\ =\int \frac{1}{\cos ^{2} \theta} d \theta-\int \frac{\sin \theta}{\cos ^{2} \theta} d \theta \\ =\tan \theta-\sec \theta+C \end{array} 1+sinθ1dθ=cos2θ1sinθdθ=cos2θ1dθcos2θsinθdθ=tanθsecθ+C
    解法二:
    万能代换: tan ⁡ x 2 = t , sin ⁡ x = 2 t 1 + t 2 , cos ⁡ x = 1 − t 2 1 + t 2 , d x = 2 1 + t 2 d t \tan \frac{x}{2}=t, \sin x= \frac{2t}{1+t^{2}},\cos x = \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt tan2x=t,sinx=1+t22t,cosx=1+t21t2,dx=1+t22dt
    ∫ 1 1 + sin ⁡ x d x = ∫ 1 1 + 2 tan ⁡ x 2 1 + tan ⁡ 2 x 2 d x = ∫ sec ⁡ 2 x 2 ( 1 + tan ⁡ x 2 ) 2 d x = ∫ 2 ( 1 + tan ⁡ x 2 ) 2 d tan ⁡ 2 x 2 = − 2 tan ⁡ x 2 \int \frac{1}{1+\sin x} dx=\int \frac{1}{1+\frac{2\tan\frac{x}{2}}{1+\tan^{2}\frac{x}{2}}}dx=\int \frac{\sec^{2}\frac{x}{2}}{(1+\tan \frac{x}{2})^{2}}dx=\int \frac{2}{(1+\tan\frac{x}{2})^{2}}d\tan^{2}\frac{x}{2}=-\frac{2}{\tan\frac{x}{2}} 1+sinx1dx=1+1+tan22x2tan2x1dx=(1+tan2x)2sec22xdx=(1+tan2x)22dtan22x=tan2x2
    解法三(和万能代换异曲同工):
    ∫ 1 1 + sin ⁡ x d x = ∫ 1 sin ⁡ 2 x 2 + cos ⁡ 2 x 2 + 2 sin ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 d x = 2 ∫ sec ⁡ 2 x 2 tan ⁡ 2 x 2 + 2 tan ⁡ x 2 + 1 d x 2 = − 2 1 + tan ⁡ x 2 + C = 2 1 + cot ⁡ x 2 + C ( 上 下 同 除 sin ⁡ 2 x ) \int \frac{1}{1+\sin x}dx=\int \frac{1}{\sin ^{2}\frac{x}{2}+\cos ^{2}\frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}dx=2\int \frac{\sec^{2}\frac{x}{2}}{\tan^{2}\frac{x}{2}+2\tan\frac{x}{2}+1}d\frac{x}{2}=-\frac{2}{1+\tan\frac{x}{2}}+C=\frac{2}{1+\cot\frac{x}{2}}+C(上下同除\sin ^{2}x) 1+sinx1dx=sin22x+cos22x+2sin2xcos2x1dx=2tan22x+2tan2x+1sec22xd2x=1+tan2x2+C=1+cot2x2+C(sin2x)

    • ∫ 1 ( 1 + sin ⁡ x ) 2 d x \int \frac{1}{(1+\sin x)^{2}} dx (1+sinx)21dx

    ∫ 1 ( 1 + sin ⁡ x ) 2 d x = ∫ d x ( sin ⁡ x 2 + cos ⁡ x 2 ) 4 = 1 4 ∫ d x cos ⁡ 4 ( x 2 − π 4 ) = 1 2 ∫ sec ⁡ 2 ( x 2 − π 4 ) d tan ⁡ ( x 2 − π 4 ) = 1 2 ∫ [ 1 + tan ⁡ 2 ( x 2 − π 4 ) ] d tan ⁡ ( x 2 − π 4 ) = 1 2 [ tan ⁡ ( x 2 − π 4 ) + 1 3 tan ⁡ 3 ( x 2 − π 4 ) ] \begin{array}{l} \int \frac{1}{(1+\sin x)^{2}} dx \\ =\int \frac{dx}{(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2})^{4}} \\ =\frac{1}{4} \int \frac{dx}{\cos ^{4}(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})} \\ =\frac{1}{2}\int \sec^{2}(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})d\tan(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}) \\ =\frac{1}{2}\int [1+\tan^{2}(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})]d\tan(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}) \\ =\frac{1}{2}[\tan(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})+\frac{1}{3}\tan^{3}(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})] \end{array} (1+sinx)21dx=(sin2x+cos2x)4dx=41cos4(2x4π)dx=21sec2(2x4π)dtan(2x4π)=21[1+tan2(2x4π)]dtan(2x4π)=21[tan(2x4π)+31tan3(2x4π)]

    定积分

    常用公式

    • Wallis 公式(“点火” 公式)

    ∫ 0 π 2 sin ⁡ n x d x = ∫ 0 π 2 cos ⁡ n x d x = ( n − 1 ) ! ! n ! ! H \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}xdx=\frac{(n-1)!!}{n!!}H 02πsinnxdx=02πcosnxdx=n!!(n1)!!H
    n 为偶数,H 取 π/2,n 为奇数,H 取 1.

    • 区间再现公式

    ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a b f ( a + b − x ) d x \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx abf(x)dx=abf(a+bx)dx
    适合处理包含三角函数的积分问题

    • 三角函数积分常用公式

    ∫ 0 π 2 f ( sin ⁡ x ) d x = ∫ 0 π 2 f ( cos ⁡ x ) d x \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)dx 02πf(sinx)dx=02πf(cosx)dx
    ∫ 0 π x f ( sin ⁡ x ) d x = π 2 ∫ 0 π f ( sin ⁡ x ) d x \int_{0}^{\pi}xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(\sin x)dx 0πxf(sinx)dx=2π0πf(sinx)dx(易从区间再现公式推导)

    旋转体体积计算

    • y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , x = a , x = b ( y 2 ( x ) ≥ y 1 ( x ) ≥ 0 ) y_{1}(x), y_{2}(x), x=a, x=b(y_{2}(x)\ge y_{1}(x)\ge 0) y1(x),y2(x),x=a,x=b(y2(x)y1(x)0) 围成的区域绕 x 轴旋转一周的旋转体体积
      V = π ∫ a b [ y 2 2 ( x ) − y 1 2 ( x ) ] d x , a < b V=\pi \int_{a}^{b}\left[y_{2}^{2}(x)-y_{1}^{2}(x)\right] \mathrm{d} x, a<b V=πab[y22(x)y12(x)]dx,a<b

    • y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , x = a , x = b ( y 2 ( x ) ≥ y 1 ( x ) b > a ≥ 0 ) y_{1}(x), y_{2}(x), x=a, x=b(y_{2}(x)\ge y_{1}(x) \quad b>a\ge 0) y1(x),y2(x),x=a,x=b(y2(x)y1(x)b>a0) 围成的区域绕 y 轴旋转一周的旋转体体积
      V = 2 π ∫ a b x ( y 2 ( x ) − y 1 ( x ) ) d x V=2 \pi \int_{a}^{b} x\left(y_{2}(x)-y_{1}(x)\right) \mathrm{d} x V=2πabx(y2(x)y1(x))dx

    反常积分

    高斯积分 ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x = π \int_{-\infin}^{+\infin}e^{-x^{2}} d x=\sqrt{\pi} +ex2dx=π

    解法一(极坐标):
    I = ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x = 2 ∫ 0 + ∞ e − x 2 d x = 2 A I=\int \limits_{-\infin}^{+\infin}e^{-x^{2}} d x=2\int \limits_{0}^{+\infin}e^{-x^{2}} d x=2A I=+ex2dx=20+ex2dx=2A
    A 2 = ∫ 0 + ∞ e − x 2 d x ⋅ ∫ 0 + ∞ e − y 2 d y = ∬ x , y > 0 e − ( x 2 + y 2 ) d x d y = ∫ 0 π 2 d θ ∫ 0 + ∞ e − ρ 2 ρ d ρ = π 2 ( − 1 2 e − ρ 2 ) ∣ 0 + ∞ = π 4 A^{2}=\int\limits_{0}^{+\infin}e^{-x^{2}}dx \cdot \int \limits _{0}^{+\infin}e^{-y^{2}}dy=\iint\limits_{x,y>0}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \int\limits_{0}^{+\infin}e^{-\rho^{2}}\rho d\rho = \frac{\pi}{2}(-\frac{1}{2}e^{-\rho^{2}})|_{0}^{+\infin}=\frac{\pi}{4} A2=0+ex2dx0+ey2dy=x,y>0e(x2+y2)dxdy=02πdθ0+eρ2ρdρ=2π(21eρ2)0+=4π
    I = π I = \sqrt{\pi} I=π
    解法二(变量代换、凑微分):
    Let  I = ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x = 2 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x I 2 = 4 ( ∫ 0 ∞ e − x 2 d x ) ( ∫ 0 ∞ e − y 2 d y ) = 4 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d x d y = 4 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − x 2 ( 1 + y 2 / x 2 ) d x d y , { y / x = u d y = x d u = 4 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − x 2 ( 1 + u 2 ) x d x d u = ( 4 ) ( − 1 2 ) ∫ 0 ∞ 1 1 + u 2 d u ∫ 0 ∞ e − x 2 ( 1 + u 2 ) d ( − x 2 ( 1 + u 2 ) ) = − 2 ∫ 0 ∞ 1 1 + u 2 ( e − x 2 ( 1 + u 2 ) ) 0 ∞ d u = 2 ∫ 0 ∞ d u 1 + u 2 = ( 2 ) ( π 2 ) = π ∵ I > 0 ∴ I = π \begin{aligned} &\text {Let } I=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^{2}} d x=2 \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x\\ &I^{2}=4\left(\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x\right)\left(\int_{0}^{\infty} e^{-y^{2}} d y\right)\\ &=4 \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d x d y\\ &=4 \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}\left(1+y^{2} / x^{2}\right)} d x d y,\left\{\begin{array}{l} y / x=u \\ d y=x d u \end{array}\right.\\ &=4 \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}\left(1+u^{2}\right)} x d x d u\\ &=(4)\left(-\frac{1}{2}\right) \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+u^{2}} d u \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}\left(1+u^{2}\right)} d\left(-x^{2}\left(1+u^{2}\right)\right)\\ &=-2 \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+u^{2}}\left(e^{-x^{2}\left(1+u^{2}\right)}\right)_{0}^{\infty} d u\\ &=2 \int_{0}^{\infty} \frac{d u}{1+u^{2}}\\ &=(2)\left(\frac{\pi}{2}\right)\\ &=\pi\\ &\because I>0\\ &\therefore I=\sqrt{\pi} \end{aligned} Let I=+ex2dx=20ex2dxI2=4(0ex2dx)(0ey2dy)=400e(x2+y2)dxdy=400ex2(1+y2/x2)dxdy,{y/x=udy=xdu=400ex2(1+u2)xdxdu=(4)(21)01+u21du0ex2(1+u2)d(x2(1+u2))=201+u21(ex2(1+u2))0du=201+u2du=(2)(2π)=πI>0I=π

    更多解法

    广义积分 ∫ − ∞ ∞ sin ⁡ x x d x = π \int_{-\infin}^{\infin} \frac{\sin x}{x} dx=\pi xsinxdx=π

    利用留数定理:
    ∫ − ∞ ∞ sin ⁡ ( x ) x d x = Im ⁡ ( ∫ − ∞ ∞ e i z z d z ) \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin (x)}{x} d x=\operatorname{Im}\left(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i z}}{z} d z\right) xsin(x)dx=Im(zeizdz)
    函数 x i z z \frac{x^{iz}}{z} zxiz 只在实轴上有一个简单极点 z = 0 z=0 z=0 ,故:
    ∫ − ∞ + ∞ e i z z d z = 2 π i { 0 + 1 2 R e s [ e i z z , 0 ] } = π i lim ⁡ z → 0 z e i z z = π i \int_{-\infin}^{+\infin}\frac{e^{iz}}{z}dz=2\pi i\{ 0+\frac{1}{2}Res[\frac{e^{iz}}{z}, 0] \}=\pi i \lim\limits_{z \to 0}z \frac{e^{iz}}{z}=\pi i +zeizdz=2πi{0+21Res[zeiz,0]}=πiz0limzzeiz=πi,则: ∫ − ∞ ∞ sin ⁡ x x d x = π \int_{-\infin}^{\infin} \frac{\sin x}{x} dx=\pi xsinxdx=π

    更多解法

    敛散性判别

    • 结论一:

    ∫ a + ∞ d x x ln ⁡ p x {  收敛,  当  p > 1  发散,  当  p ⩽ 1 \int_{a}^{+\infty} \frac{d x}{x \ln ^{p} x}\left\{\begin{array}{ll} \text { 收敛,} & \text { 当 } p>1 \\ \text { 发散,} & \text { 当 } p \leqslant 1 \end{array}\right. a+xlnpxdx{ 收敛, 发散,  p>1  p1

    • 结论二:

    无穷区间
    ∫ 1 + ∞ d x x p {  收敛,  当  p > 1  发散,  当  p ⩽ 1 \int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x^{p}}\left\{\begin{array}{ll} \text { 收敛,} & \text { 当 } p>1 \\ \text { 发散,} & \text { 当 } p \leqslant 1 \end{array}\right. 1+xpdx{ 收敛, 发散,  p>1  p1
    无界函数
    ∫ 0 1 d x x p {  发散,  当  p > 1  收敛,  当  p ⩽ 1 \int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{p}}\left\{\begin{array}{ll} \text { 发散,} & \text { 当 } p>1 \\ \text { 收敛,} & \text { 当 } p \leqslant 1 \end{array}\right. 01xpdx{ 发散, 收敛,  p>1  p1

    展开全文
  • 1.不定积分 1.定义 定义1 如果在区间III上,可导函数F(x)F(x)F(x)的导函数为f(x)f(x)f(x),即对任一x∈Ix\in Ix∈I都有 F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx F'\left( x \right) =f\left( x \right) \text{或}dF\left( x \...

    1.不定积分

    1.定义

    定义1 如果在区间 I I I上,可导函数 F ( x ) F(x) F(x)的导函数为 f ( x ) f(x) f(x),即对任一 x ∈ I x\in I xI都有
    F ′ ( x ) = f ( x ) 或 d F ( x ) = f ( x ) d x F'\left( x \right) =f\left( x \right) \text{或}dF\left( x \right) =f\left( x \right) dx F(x)=f(x)dF(x)=f(x)dx那么函数 F ( x ) F(x) F(x)称为 f ( x ) f(x) f(x)(或 f ( x ) d x f(x)dx f(x)dx)在区间 I I I上的一个原函数.

    定义2 在区间 I I I上,函数 f ( x ) f(x) f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f ( x ) f(x) f(x)(或 f ( x ) d x f(x)dx f(x)dx)在区间 I I I上的不定积分,记作
    ∫ f ( x ) d x \int{f\left( x \right) dx} f(x)dx
    其中记号 ∫ \int{} 称为积分号 f ( x ) f(x) f(x)称为被积函数 f ( x ) d x f(x)dx f(x)dx称为被积表达式 x x x称为积分变量.
      由此定义及钱买你的说明可知,如果 F ( x ) F(x) F(x) f ( x ) f(x) f(x)在区间区间 I I I上的一个原函数,那么 F ( x ) + C F(x)+C F(x)+C就是 f ( x ) f(x) f(x)的不定积分,即
    ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C \int{f\left( x \right) dx=F\left( x \right) +C} f(x)dx=F(x)+C

    2.换元法

    第一类换元法

    定理1 设 f ( u ) f(u) f(u)具有原函数, u = φ ( x ) u=\varphi \left( x \right) u=φ(x)可导,则有换元公式
    ∫ f [ φ ( x ) ] φ ′ ( x ) d x = [ ∫ f ( u ) d u ] u = φ ( x ) \int{f\left[ \varphi \left( x \right) \right] \varphi '\left( x \right) dx=\left[ \int{f\left( u \right) du} \right] _{u=\varphi \left( x \right)}} f[φ(x)]φ(x)dx=[f(u)du]u=φ(x)

    第二类换元法

    定理2 设 x = ψ ( t ) x=\psi \left( t \right) x=ψ(t)是单调的可导函数,并且 ψ ′ ( t ) ≠ 0 \psi '\left( t \right) \ne 0 ψ(t)=0.又设 f [ ψ ( t ) ] ψ ′ ( t ) f\left[ \psi \left( t \right) \right] \psi '\left( t \right) f[ψ(t)]ψ(t)具有原函数,则有换元公式
    ∫ f ( x ) d x = [ ∫ f [ ψ ( t ) ] ψ ′ ( t ) d t ] t = ψ − 1 ( x ) \int{f\left( x \right) dx=}\left[ \int{f\left[ \psi \left( t \right) \right] \psi '\left( t \right) dt} \right] _{t=\psi ^{-1}\left( x \right)} f(x)dx=[f[ψ(t)]ψ(t)dt]t=ψ1(x)其中 ψ − 1 ( x ) \psi ^{-1}\left( x \right) ψ1(x) x = ψ ( t ) x=\psi \left( t \right) x=ψ(t)的反函数.

    3.分部积分法

    ∫ u d v = u v − ∫ v d u \int{u\text{d}v}=uv-\int{v\text{d}u} udv=uvvdu

    4.常用函数的积分公式

    ( 1 ) ∫ k d x = k x + C \left( 1 \right) \int{k\text{d}x}=kx+C (1)kdx=kx+C
    ( 2 ) ∫ x μ d x = x μ + 1 μ + 1 + C ( μ ≠ 1 )              ∫ 1 x d x = 2 x + C \left( 2 \right) \int{x^{\mu}\text{d}x}=\frac{x^{\mu +1}}{\mu +1}+C\left( \mu \ne 1 \right) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\int{\frac{1}{\sqrt{x}}\text{d}x}=2\sqrt{x}+C (2)xμdx=μ+1xμ+1+C(μ=1)x 1dx=2x +C
    ( 3 ) ∫ 1 x d x = ln ⁡ ∣ x ∣ + C             ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C \left( 3 \right) \int{\frac{1}{x}\text{d}x}=\ln \left| x \right|+C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\int{\frac{1}{x^2}\text{d}x}=-\frac{1}{x}+C (3)x1dx=lnx+Cx21dx=x1+C
    ( 4 ) ∫ a x d x = a x ln ⁡ a + C              ∫ e x d x = e x + C \left( 4 \right) \int{a^x\text{d}x}=\frac{a^x}{\ln a}+C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\int{e^x\text{d}x}=e^x+C (4)axdx=lnaax+Cexdx=ex+C
    ( 4 ) ∫ sin ⁡ x d x = − cos ⁡ x + C        ∫ cos ⁡ x d x = sin ⁡ x + C \left( 4 \right) \int{\sin x\text{d}x}=-\cos x+C\ \ \ \ \ \ \int{\cos x\text{d}x}=\sin x+C (4)sinxdx=cosx+C      cosxdx=sinx+C
    ( 5 ) ∫ tan ⁡ x d x = − ln ⁡ ∣ cos ⁡ x ∣ + C              ∫ cot ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ sin ⁡ x ∣ + C \left( 5 \right) \int{\tan x\text{d}x}=-\ln \left| \cos x \right|+C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\int{\cot x\text{d}x}=\ln \left| \sin x \right|+C (5)tanxdx=lncosx+Ccotxdx=lnsinx+C
    ( 6 ) ∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ sec ⁡ x + tan ⁡ x ∣ + C              ∫ csc ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ csc ⁡ x − cot ⁡ x ∣ + C \left( 6 \right) \int{\sec x\text{d}x}=\ln \left| \sec x+\tan x \right|+C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\int{\csc x\text{d}x}=\ln \left| \csc x-\cot x \right|+C (6)secxdx=lnsecx+tanx+Ccscxdx=lncscxcotx+C
    ( 7 ) ∫ 1 cos ⁡ 2 x d x = ∫ sec ⁡ 2 x d x = tan ⁡ x + C              ∫ 1 sin ⁡ 2 x d x = ∫ csc ⁡ 2 x d x = − cot ⁡ x + C \left( 7 \right) \int{\frac{1}{\cos ^2x}\text{d}x}=\int{\sec ^2x\text{d}x}=\tan x+C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\int{\frac{1}{\sin ^2x}\text{d}x}=\int{\csc ^2x\text{d}x}=-\cot x+C (7)cos2x1dx=sec2xdx=tanx+Csin2x1dx=csc2xdx=cotx+C
    ( 8 ) ∫ sec ⁡ x tan ⁡ x d x = sec ⁡ x + C             ∫ csc ⁡ x cot ⁡ x d x = − csc ⁡ x + C   \left( 8 \right) \int{\sec x\tan x\text{d}x}=\sec x+C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\int{\csc x\cot x\text{d}x}=-\csc x+C\, (8)secxtanxdx=secx+Ccscxcotxdx=cscx+C
    ( 9 ) ∫ 1 a 2 + x 2 d x = 1 a arctan ⁡ x a + C             ∫ 1 1 + x 2 d x = arctan ⁡ x + C \left( 9 \right) \int{\frac{1}{a^2+x^2}\text{d}x}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\int{\frac{1}{1+x^2}\text{d}x}=\arctan x+C (9)a2+x21dx=a1arctanax+C1+x21dx=arctanx+C
    ( 10 ) ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin ⁡ x a + C             ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin ⁡ x + C \left( 10 \right) \int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\text{d}x}=\arcsin \frac{x}{a}+C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}=\arcsin x+C (10)a2x2 1dx=arcsinax+C1x2 1dx=arcsinx+C
    ( 11 ) ∫ 1 x 2 − a 2 d x = 1 2 a ln ⁡ ∣ x − a x + a ∣ + C \left( 11 \right) \int{\frac{1}{x^2-a^2}\text{d}x}=\frac{1}{2a}\ln \left| \frac{x-a}{x+a} \right|+C (11)x2a21dx=2a1lnx+axa+C
    ( 12 ) ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln ⁡ ( x + x 2 + a 2 ) + C \left( 12 \right) \int{\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\text{d}x}=\ln \left( x+\sqrt{x^2+a^2} \right) +C (12)x2+a2 1dx=ln(x+x2+a2 )+C
    ( 13 ) ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln ⁡ ( x + x 2 a 2 ) + C \left( 13 \right) \int{\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\text{d}x}=\ln \left( x+\sqrt{x^2a^2} \right) +C (13)x2a2 1dx=ln(x+x2a2 )+C
    ( 14 ) ∫ a 2 − x 2 d x = a 2 2 arcsin ⁡ x a + 1 2 x a 2 − x 2 + C \left( 14 \right) \int{\sqrt{a^2-x^2}dx}=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2}+C (14)a2x2 dx=2a2arcsinax+21xa2x2 +C

    2.定积分

    1.定义

      函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ a , b ] \left[ a,b \right] [a,b]上的定积分
    ∫ a b f ( x ) d x = lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i \int_a^b{f\left( x \right)}dx=\underset{\lambda \rightarrow 0}{\lim}\sum_{i=1}^n{f\left( \xi _i \right)}\varDelta x_i abf(x)dx=λ0limi=1nf(ξi)Δxi其中 λ = max ⁡ { Δ x 1 , Δ x 2 , ⋯   , Δ x n } \lambda =\max \left\{ \varDelta x_1,\varDelta x_2,\cdots ,\varDelta x_n \right\} λ=max{Δx1,Δx2,,Δxn}且极限值与区间 [ a , b ] \left[ a,b \right] [a,b]的分法及点 ξ i \xi _i ξi的取法无关.

    2.牛顿-莱布尼茨公式

    定理 (微积分基本定理)如果函数 F ( x ) F(x) F(x)是连续函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ a , b ] \left[ a,b \right] [a,b]上的一个原函数,那么
    ∫ a b F ′ ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) \int_a^b{F'\left( x \right) \text{d}x}=F\left( b \right) -F\left( a \right) abF(x)dx=F(b)F(a)
    :换元法和分布积分法在定积分仍然适用,换元需注意新元的取值范围.

    3.作业

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  • 前言 对数函数相关的积分,要求掌握求解这类积分的思路。 积分列表 求解 ......
  • 前言 指数函数相关的积分,要求掌握求解这类积分的思路。 积分列表 求解 <1> 思路:凑微分
  • 对于三角函数相关的积分问题,往往需要对三角函数进行恒等变形,通常要借助如下这些公式 1、倍角公式 2、半角公式 (降幂公式) (降幂公式) 3、和差公式 4、积化和差公式 ...
  • 前言 反三角函数相关的积分,要求掌握求解这类积分的思路。 积分列表 (a>0) 求解 <1> 思路:分部积分 ......
  • 微积分(六)——一元函数微分学

    千次阅读 2020-08-07 16:21:53
    (一)一元函数微分学基础 这一部分只会讨论什么是导数与微分,以及它们的计算。也是一元函数微分学最基础的部分。 1)讨论导数与微分的概念 给出函数判断导数是否存在: 利用导数的定义判断在某一点导数是否存在,...
  • 微积分3】第三章第三节 反常积分第三节 反常积分1. 内容要点1. 无穷区间上的反常积分2. 无界函数的反常积分2. 常考题型1. 反常积分的概念与敛散性2. 反常积分的计算 第三节 反常积分 1. 内容要点 1. 无穷区间上的...
  • 微积分3】第三章第一节 导数的应用第一节 不定积分1. 内容要点1. 两个基本概念2. 原函数的存在性3. 不定积分的性质4. 基本积分公式5. 三种主要积分法6. 三类常见可积函数积分2. 常考题型1. 计算不定积分2. 第一节...
  • 微积分3】第三章第一节 不定积分第二节 定积分1. 内容要点1. 定积分的概念2. 定积分的几何意义3. 定积分的存在性4. 定积分的计算5. 变上限积分函数及其应用6. 定积分的性质2. 常考题型1. 定积分的概念 性质及几何...
  • 1、原函数(不定积分)存在定理 (1)连续函数 f(x) 必有原函数 F(x) (2)含有第一类间断点、无穷间断点的函数 f(x) 在包含该间断点的区间内必没有原函数 F(x) 2、定积分存在定理 (1)f (x) 在 [a,b] 上连续...
  • 微积分3】第三章第四节 定积分应用第四节 定积分的应用1. 内容要点1. 几何应用2. 物理应用2. 常考题型1. 几何应用2. 物理应用 第四节 定积分的应用 1. 内容要点 1. 几何应用 2. 物理应用 2. 常考题型 1. ...
  • 函数 f(x) 在点 x=x0 可导,那么 f(x) 在点 x=x0 处必然连续,如果函数 f(x) 在点 x=x0 处可导,并不一定存在点 x=x0 的某个邻域,使得函数在这个邻域内连续 使用狄利克雷函数构造一个反例 根据 ”无穷小量乘...
  • 一元函数微分 1.导数定义 2.左右导数导数的几何意义和物理意义 3.函数的可导性与连续性之间的关系 4.平面曲线的切线和法线 5.四则运算法则 6.基本导数与分表 7.复合函数,反函数,隐函数以及参数方程所确定的函数...
  • 一元函数积分
  • 【无界函数的反常积分】 (1)b为瑕点 (2)a为瑕点 (3)c为瑕点 右边的极限或反常积分存在,则收敛否则发散。 二、结论 (1)无穷区间的反常积分 在时收敛,在时发散 (2)无界函数的反常积分奇点...
  • 一、定义 周期 若存在非零常数T,对于定义域内的任意x,使f(x)=f(x+T) 恒成立,则f(x)叫做...奇函数是指对于一个定义域关于原点对称的函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)= - f(x),那么函数f(x)就叫...
  • 求导奇偶性改变,但是连续函数积分在偶函数时不一定(因为积分常数的影响),证明用变上限积分和不同原函数差一个常数 周期函数的原函数要周期函数在一个周期积分为零(判定题目) 在区间上有界(无穷时求极限),导...
  • 第二讲 一元函数微分学 一、导数定义 \[f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\] 导数存在的充要条件 \[f'(x) \,\exists \iff f'_-(x_0) = f'_+(x_0)\] 左导数 \(f'_-(x_0...
  • 在上一讲的末尾我们谈到,在实际的工程当中我们常常借助计算机程序,利用迭代法进行极值的求取,这里我们首先从一元函数入手,看看如何通过这种方法找到一元函数的极值点。 1.起步:用牛顿法解方程 1.1.原理分析 在...
  • 下面是我考研复习数学的时候做的微积分知识点思维导图,也和大家分享一下,内容包括极限与连续,一元函数微分学,一元函数积分学,多元函数微分学以及微分方程 极限与连续 一元函数微分学 一元函数积分学 多元...
  • 高等数学:一元函数积分

    千次阅读 2019-08-02 13:04:53
    注意区别:不定积分是一族函数,他又很多个函数,但是定积分呢?它就只有一个函数,并且它所代表的集合意义就是一个曲边梯形的面积。 另外千万搞清楚,不定积分函数,而定积分是一个确定的数,因为梯形的面积一定...
  • 定理 (1) 带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式 设 f(x) 在点 x0 的某个邻域内 n+1 阶导数存在,则对该邻域内的任意点 x ,有 (2) 带佩亚诺余项的 n 阶泰勒公式 ...重要函数的麦克劳林展开式 ...
  • 莱布尼兹公式 常见函数高阶导数公式

空空如也

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