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  • 数学分析-一元微积分

    2020-10-20 21:49:05
    1. 点集拓扑预备知识 (1)集合基础:包含关系、交并补、笛卡尔积运算、交换律/结合律/分配律/De-Morgan定律、集合的势cardX(两集合等势表示集合之间存在双射)、元素可数(表示与自然数集等势)、幂集(由X的一切...

    1. 点集拓扑预备知识 


    (1)集合基础:包含关系、交并补、笛卡尔积运算、交换律/结合律/分配律/De-Morgan定律、集合的势cardX(两集合等势表示集合之间存在双射)、元素可数(表示与自然数集等势)、幂集2^{X}(由X的一切子集构成的集)

    (2)Cantor定理:card(X)<card(2^{X})。证明思路用反证法,假设f:X\rightarrow 2^{X}是双射,构造并分析集合A=\left \{ x\in X|x \notin f(x) \right \} 中的元素,引发与双射的矛盾。

    (3)度量空间(X, d):度量(也叫距离)d: X^{2} \to R的定义,需要满足正则性、对称性、三角不等式d(x, z)<=d(x, y) + d(y, z)。例如对Euclidean空间R^{k},可用向量距离d(x, y)=|x-y|作为一个度量。

    (4)内点/边界点/聚点/孤立点/导集/闭包:

    内点:表示存在p的邻域N_{r}(p)= \left \{ {q|d(p, q)<r} \right \} 全部包含在集合E中。直观上表示该点周围都围满了其他在该集合中的点。

    边界点:表示任一邻域中至少有一个点在E中,且至少有一个点不在E中。注意边界点不一点属于E。E的边界点组成的集合叫作边界,记作\partial E

    聚点(极限点):p为集E的聚点,表示p的任一邻域内至少有异于p的一点在E中。这说明E中至少有一个无穷点列趋近于p。注意聚点并一定属于E,E的所有聚点构成E的导集{E}',E并上E的聚点构成E的闭包\bar{E}。注意欧氏空间中的内点一定是聚点,但一般拓扑空间中的内点就不一定是聚点(因为它有可能是孤立点)。反过来,聚点也不一定是内点。

    孤立点:E中的非聚点称为E的一个孤立点。即存在一个邻域,其中不含E中除x的其他点。直观上表示该点在集合中被孤立,但是还没离队。欧氏空间中的孤立点一定是边界点,但一般拓扑空间中的孤立点就不一定是边界点。反过来,集合的边界点也不一定是孤立点。

    (5)开集:集合中的点全部为内点。

    (6)闭集/完全集:即聚点都在集合E内。另外若聚点都在集合内,且集合内的所有点都是聚点,则称为完全集。

    (7)有界/稠密:有界表示存在一个圈,使得E中所有点都在这个圈内。即\exists x\in X, r\in R, s.t. \forall p\in E, d(x, p)<r,则称E有界。注意x和r是事先固定。

    稠密表示X的所有点都是E的聚点或E的点,即\bar{E}=X ,则称E在X中稠密。直观上稠密表示X的任何局部(即开子集)都有E中的点,E充满了X的各个地方,但E在X中可能还有"缝隙"。

    (8)开覆盖:是一个开集序列H=\left\{ G_{\alpha} \right\},它的并集能覆盖E。任一集合的开覆盖总是存在的。

    (9)紧集:集合的任意开覆盖都含有至少一个有限子覆盖(覆盖中只含有有限个集合)。注意紧集是用集合的有限开覆盖来定义的,一般拓扑中没有度量结构,怎么定义紧呢?拿开集去覆盖,就只需要有限多个。换言之,每一点都找一个开领域,那么只需要有限多个即可,其它的紧紧地围绕在他们身边。与极限类似,集合覆盖这种概念的引入体现的也是外部变化过程+无限逼近的思想。只不过极限是用一个点列去逼近某个数学对象,覆盖则是用一个集合序列通过不断相套夹逼这种“外部挤压”的方式去逼近某个数学对象。一个对象不好做数学定义和研究时(比如对它有什么好的性质一无所知),可以外部化,附加上某些已知的结构,或者“外部挤压”的方式去定义和研究它。

    (10)格(矩形):取a_{i},b_{i} \in R, a_{i}<b_{i}, i \in {1, 2, ..., k}R^{k}中的集合E=\left \{ (x_{1},x_{2},...,x_{k})|\forall 1\leq i\leq k,x_{i}\in \left [ a_{i},b_{i}] \right ] \right \}称为一个k-格。格可以理解为高维的矩形,一维k-格是闭区间,2维则是矩形,3维立方体,以此类推。实际上它是这k个闭区间集合的笛卡尔积 [a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]...\times [a_{k},b_{k}]。定义它的体积 |E|=\prod_{i=1}^{k}(b_{i}-a_{i}),定义正方体为满足b_{1}-a_{1}=...=b_{n}-a_{n}的矩形。

    (11)分离/连通:集合A和B是分离的,表示\bar{A} \cap B=A \cap \bar B= \varnothing(这里\bar{A}是A的闭包)。反之,若\bar{A} \cap B\neq \varnothing或者A \cap \bar B\neq \varnothing,则称集合A与B连通。集合"相离”这个条件要比“不交”强一点,它相当于两集合不交中“相贴”的情况也去掉了。例如[0, 1]和(1, 2)不交,但却是连通的,而(0, 1)与(1, 2)则是分离的。

    (12)连通集:实数域R上的E为连通集 \Leftrightarrow \forall x,y \in E \and\ x<z<y,z\in E

    (13)主要定理:

    (13.1)开集闭集的性质:任意邻域都是开集。聚点的任一邻域都有无穷多个点在E里,即\forall p\in {E}', r>0,有N_{r}(p)\cap E=T为无限集。任一有限集都不含有聚点。E为开集\LeftrightarrowE^{c}为闭集。

    (13.2)开集闭集的运算:对开集序列有限交运算封闭(仍为开集),任意并运算(有限或无限)也封闭。对闭集序列有限并运算封闭(仍为闭集),任意交运算封闭。

    (13.3)闭包性质:闭包\bar{E}为闭集,且是包含E的"最小"闭集。E=\bar{E}\Leftrightarrow E为闭集。

    (13.4)紧集性质:度量空间内所有的紧集都是闭集。紧集的闭子集仍然是紧集。闭集与紧集的交是紧集。任一k-格都是紧集。

    (13.5)Cantor区间套定理:无限的非空紧集序列若构成一个区间套(即前一个紧集覆盖后一个紧集),则这个紧集序列的交是非空的;另外若这个区间套中的紧集越来越小(度量直径趋于0),则交集中只含一个点。(推论)特别地,实数系R上的任一无限闭区间套的交是非空的,并且含有唯一的一个实数。任一无限k-格区间套的交集是非空的。

    (f)Heine-Borel有限覆盖定理:R^{k}上的子集E为紧集等价于E为有界闭集。特别地,R上的任一个闭区间都是紧集。

    (g)Bolzano-Weierstrass聚点定理:紧集中的任一无限子集至少存在一个聚点。特别地,R^{k}的任一有界无限子集都有聚点。注意聚点定理可用区间套定理来证明。

    (h)R^{k}中的任一非空完全集不可数。推论R上任一区间 [a, b] 不可数。card N<card R。

    (14)拓扑空间:对集合X上的一个子集族\tau \subset 2^{X},它包含空集和X,其中的有限交封闭(有限个集合的交仍在\tau中),任意并也封闭,则\tau称为X上的一个拓扑,(X, \tau)为拓扑空间。若A\in \tau,则称A是该拓扑空间中的一个开集。若A^{c}\in \tau,则称A是该拓扑空间中的一个闭集。开(闭)集是相对拓扑空间而言的,在这个拓扑空间里它是开(闭)集,可能它在另一个拓扑空间中就不是开(闭)集了。另外从闭集的定义可以看出所谓开集和闭集只是对同一拓扑空间的不同描述,因为一个空间,你只要定义了什么是闭集(就是全部闭集组成的集族是啥),自然也就定义了什么叫开集。

    (15)拓扑的基:是一个子集族B(其中每个子集称为基元素),它遍历X中的每个元素(即X的每个元素x都属于某个基元素),并且若有两个基元素B_{1}, B_{2}都包含x时,存在一个包含元素x的嵌套基元素B_{3}\subset B_{1}\cap B_{2}

    (16)滤子/滤子基:X的滤子是一个非空子集族E,其中单一交封闭,单一覆盖也封闭(A\subset E, A\subset B\subset X时有B\subset E)。仅有单一交封闭时称为滤子基(简称为基)。

    (17)集合直径(长度):diamE\Leftrightarrow sup\left \{ d(p, q)|p,q\in E \right \},即E中“最大”的距离。

    集合的距离:d(A,B)=inf\left \{ d(x,y)|x\in A,y \in B \right \},即两个集合间“最小”的距离。

    点到集合的距离:d(x,A)=inf\left \{ d(x,y)|y \in A \right \}

     

    2. 极限ε-δ语言


    变化过程+无限逼近的思想。用一个变化过程(离散或连续的点列)无限接近一个数学对象。

    (1)数列极限/数列收敛:\lim_{n \to \infty }p_{n}=a\Leftrightarrow \forall \epsilon >0,\exists N>0, s.t. n>N, d(p_{n}-a)<\varepsilon,称数列p_{n}收敛于a。数列收敛于a等价于每个子列都收敛于a。

    (2)数列上下极限:上极限为广义子列极限的最大者(即极限可能是+\infty , -\infty),即全部广义子列极限组成的集合的上确界,即\overline{\lim_{n \to \infty }}s_{n}=\lim_{n \to \infty }sup\left \{ s_{n} \right \}。下极限为广义子列极限的最小者,即全部广义子列极限组成的集合的下确界,即\underline{\lim_{n \to \infty }}s_{n}=\lim_{n \to \infty }inf\left \{ s_{n} \right \}

    (3)函数极限:f是度量空间X的子集E到度量空间Y的一个映射,函数极限 \lim_{x \to a}f(x)=b定义为,对于a\in {E}', \exists b\in Y,使得\forall \epsilon >0,\exists \delta >0, s.t. 0<d_{X}(x,a)<\delta ,d_{Y}(f(x),b)<\epsilon。注意a是聚点是相当重要的一个条件,如果不是聚点,就不能谈极限了,因为我们甚至有可能到找不到满足0<d_{X}(x,a)<\delta的点x了。特别地,对实数系内的函数有\lim_{x \to a} f(x)=b \Leftrightarrow \forall\epsilon>0,\exists \delta > 0, s.t. 0<\left | x-a \right |<\delta, \left | f(x)-b \right |<\epsilon

    x->∞的函数极限:则是\forall \epsilon >0,\exists \delta >0, s.t. |x|>\delta ,|f(x)-b|<\epsilon,这时去心邻域是|x|>δ。例如x->∞时,有sinx/x->0。

    含义:无论事先给定多么小的正数ε,总可以找到一个正数δ,当x在a的去心邻域U(a, δ)内变化,f(x)与a的距离都小于ε。关键是根据确定的ε去找到这个δ,通常δ是ε和a的函数。这里0<|x-a|<δ表示x的变化过程(去心邻域),|f(x)-a|<ε表示函数与点a无限接近。这些定义说明极限存在的必要条件是“对于任意小的误差范围总可以找到相应的缩放级别”,这个条件保证了不会漏掉“中途被外星人吸走又放回去”的情况。

    几何意义:当点x一旦进入到a的充分小的去心邻域时,它的像点f(x)就落入到b的一个预先给定的ε邻域中。

    极限这个概念的严格化是分析的基础。导数、微分、连续、积分、级数收敛等等概念,都是用极限来定义的。函数极限的ε-δ定义第一次使极限和连续性摆脱了与几何和运动的任何牵连,给出了只建立在数与函数概念上的清晰的定义,从而使一个模糊不清的动态描述,变成为一个严密叙述的静态观念,这不能不认为是变量数学史上的一次重大创新。今天ε-δ语言的精髓已经深入到现代数学的每一根血管,牵动着每一根神经。注意ε-δ定义的极限离不开度量概念,所以只适用于度量空间。对于非度量空间,在拓扑学发展的基础上,发展出了用开集、滤子等去定义极限。

    (4)Cauchy列(基本列):\forall \epsilon >0,\exists N\in Z, s.t. m,n>N, d(p_{m},p_{n})<\epsilon。注意在一般度量空间中,基本列不一定收敛,基本列是收敛数列的弱化版。

    完备空间/Cauchy空间:任一Cauchy列都收敛的度量空间。

    致密集(列紧集):E是致密集,表示E中任何点列都有子列收敛于度量空间X中的某点。注意该点不一定在该致密集中。

    (5)极限的性质:唯一性、有界性、局部保号性、保不等式性

    (6)极限存在性的判定:

    (6.1)夹逼定理(挤压定理):对数列,从某项开始,y_{n}\leq x_{n}\leq z_{n},并且y_{n} \rightarrow a, z_{n}\rightarrow a,则\left \{ x_{n} \right \}极限存在,且x_{n}\rightarrow a。求数列或函数极限的基本方法,通过不等式放缩构造,再运用夹逼定理。

    (6.2)度量空间中任一数列子列极限组成的集合都是闭集。致密的闭集是紧集。度量空间中的任意收敛数列都是Cauchy列。

    (6.3)Bolzano-Weierstrass致密性定理:紧度量空间中的数列必有收敛子列。特别地,R^{k}中的任意有界数列必存在收敛子列。注意致密性定理可由聚点定理直接推出,并且可知数列的任一聚点对应一个子列的极限,因此聚点也叫极限点。 

    (6.4)Cauchy收敛原理:紧度量空间中的数列收敛等价于该数列是Cauchy列。特别地,R^{k}中的数列收敛等价于它是Cauchy列。由此可知,紧度量空间与Euclidean空间都是完备的。

    (6.5)单调有界定理:实数域的单调数列收敛等价于有界。作为一个应用,可用于证明\lim_{n \to \infty } (1+\frac{1}{n})^{n}=e

    (6.6)Heine定理:\lim_{x \to x_{0}}f(x)=b存在,等价于对任何定义域内收敛于x_{0},且每项恒不为x_{0}的数列\left \{ x_{n} \right \},都有f(x_{n})\rightarrow b。海涅定理也叫归结原理,是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁。求函数极限则可化为求数列极限,同样求数列极限也可转化为求函数极限。因此,函数极限的所有性质都可用数列极限的有关性质来加以证明。

    (7)两个重要极限的证明(构造不等式用夹逼定理):\lim_{x \to \infty } (1+\frac{1}{x})^{x}=e ,   \lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1

    (8)实数的完备性(连续性):完备性公理是戴德金原理,另外7个连续性基本定理是确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、Cauchy收敛原理。这8个定理是等价的。可以互相推出,它们通过不同的数学处理方法,揭示了实数系R具有完备性(连续性)。

    戴德金原理:对R中的任何两个非空子集划分A和B(即A中的实数a小于B中的实数),存在实数c,对任意的a\in Ab \in B都有a\leq c\leq b

    确界原理:R中有上界(下界)的子集必有上确界(下确界),记作sup S(inf S)。它与戴德金原理是等价的。

     

    3. 级数


    (1)级数收敛的必要条件:级数的项趋于0。即级数 \sum_{k=1}^{\infty }a_{n} 收敛,则\lim_{n \to \infty }a_{n}=0

    (2)Cauchy准则判别法:级数收敛的充要条件是对任意的\epsilon >0,存在N,对任意的m\geq n\geq N,都有 \left | \sum_{k=n}^{m}a_{k} \right |\leq \epsilon

    (3)Weierstrass比较判别法:若从某项开始恒有\left | a_{n} \right |\leq c_{n},且级数 \sum c_{n} 收敛,则级数 \sum a_{n} 绝对收敛。若从某项开始恒有a_{n}\geq d_{n}\geq 0,且 \sum d_{n} 发散,则 \sum a_{n} 发散。

    (4)Cauchy根值判别法:对项根值的上极限q=\overline{\lim_{n \to \infty }}\sqrt[n]{|a_{n}|},q<1时级数绝对收敛,q>1时级数发散,q=1时无结果。

    (5)D'Alembert比值判别法:对相邻项比值的上极限q=\overline{\lim_{n \to \infty }}\left | \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right |,q<1时级数绝对收敛,q>1时级数发散,q=1时无结果。

    (6)正项级数:收敛的充要条件是部分和数列有界。特别地,对单调递减的正项级数  \sum a_{n},其收敛的充要条件是级数 \sum_{k=0}^{\infty }2^{k}a_{2^{k}}收敛。本定理可以将一些级数转化成几何级数来判别。

    (7)乘项级数\sum a_{n}b_{n}:若\left \{ a_{n} \right \}的部分和数列有界,\left \{ b_{n} \right \}单调递减,且\lim_{n \to \infty }b_{n}=0,则乘项级数收敛。注意这只是一个充分条件。

    (8)Leibnitz定理:应用于交错级数(正项和负项交替出现的级数)。若数列\left \{ |a_{n}| \right \}单调递减,且\lim_{n \to \infty }a_{n}=0,则交错级数收敛。

    (9)几何级数 \sum_{k=0}^{\infty }x^{k}|x|<1时收敛,它的和是\frac{1}{1-x}|x|\geq 1时发散。

    (10)调和级数 \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}:调和级数发散。对一般级数 \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{p}}p>1时收敛,p\leq 1时发散。证明思路通过放缩转化成几何级数。

    (11)黎曼zeta函数:\zeta (s)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{s}},这里s为复数,与黎曼猜想有关系。\zeta (1)就是调和级数,\zeta (2)=\frac{\pi ^{2}}{6},求解\zeta (2)这个问题被称为巴塞尔问题,目前已经有很多种不同的证明。

    (12)Mertens定理:应用于级数的乘积,两个级数的Cauchy乘积 \sum c_{n} 定义为 c_{n}=\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}。对任意两个收敛的级数,如果它们中有一个级数绝对收敛,它们Cauchy乘积的和就是它们和的乘积。

    (13)Abel定理:若级数\sum a_{n}\sum b_{n},以及Cauchy乘积\sum c_{n} 分别收敛于A,B,C,则C=AB。

    (14)级数重排:若级数 \sum a_{n} 绝对收敛,则它的任意重排都收敛于同一值。特别地,正项级数收敛等价于它的所有重排都收敛于同一个值。

    (15)Riemann定理:\sum a_{n}条件收敛,则{ \sum a_{n}全部重排的和 }=[-\infty ,+\infty ]

     

    下面讨论复数项级数:

    (1)棣莫弗公式:对复数的三角表示 z=r(cosn\theta +isin\theta),有z^{n}=r^{n}(cos n\theta +isin n\theta ),r为复数模长r=|z|,θ为复数幅角 \theta =arc z。利用它可以得到一些三角函数高次幂与倍角公式。

    (2)复数列收敛到z_{0}\in C,是指 \lim_{n \to \infty }|z_{n}-z_{0}|=0。复数是复平面上的点,因此度量空间的收敛定理也都适用于复数列。一般地有,复数列收敛当且仅当它的项的实部和虚部的序列都收敛。

    (3)复数列收敛的柯西准则:复数列收敛当且仅当它是基本列。也就是对于任意的 \epsilon >0,存在正整数N,使得对于任意 m>n>N,都有|z_{m}+z_{m+1}+...+z_{n}|<\epsilon

    (3)Cauchy–Hadamard定理(幂级数收敛定理):幂级数 \sum_{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^n 在以点z_{0}为中心,以R为半径的圆 |z-z_{0}|<R 内收敛,其中R按阿达马公式确定 R=\left ( \overline{\lim_{n \to \infty }}\sqrt[n]{|c_{n}|} \right )^{-1}。在这个圆的外部任何点处幂级数都发散;在这个圆的任何内点处幂级数绝对收敛。在 |z-z_{0}|=R 时无法判定级数收敛或发散。可用柯西根值判别法来证明。

    (4)阿贝尔第一定理:若幂级数 \sum_{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^n 在某个点z_{1}处收敛,则它对任意满足 |z-z_{0}|<|z_{1}-z_0| 的点都绝对收敛。

    (5)若幂级数 \sum c_{n}z^{n} 的收敛半径为1,且\left \{ c_{n} \right \}单调递减,\lim_{n \to \infty }c_{n}=0,则幂级数在单位圆 |z|=1 上除却z=1两点外的每一点都收敛。

    (6)若复数级数绝对收敛,则它的任意重排都收敛到同一个和。绝对收敛级数的乘积是绝对收敛级数,它的和等于二者和的积。

    (7)欧拉公式:e^{ix}=cosx+isinx。可以得到关系 e^{i\pi }+1=0,复数的指数表示 z=re^{i \theta}, z^{n}=r^{n}e^{in \theta}。可以用exp z,cos z,sin z的泰勒级数展开来推导出欧拉公式。

     

    4. 函数连续性


    (1)函数连续的定义:y=f(x)是度量空间X到Y的一个映射,连续定义为\lim_{x \to x_{0}}f(x)=f(x_{0}),等价的定义\lim_{\Delta x \to 0}[f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})]=0。另外也可以写成对点f(x_{0})处的任意邻域V(f(x_{0})),都存在点x_{0}处的邻域U(x_{0}),满足f(U(x_{0}))\subset V(f(x_{0}))。注意x_{0}必须为X的聚点,f必须在x_{0}处有定义。而收敛则不需要。

    (2)函数连续的充要条件:Y=f(X)连续,等价于对Y中的任意开集V,其逆像f^{-1}(V)在X中也是开集。类似地,也等价于对Y中的任意闭集V,其逆像f^{-1}(V)在X中也是闭集。

    (3)连续函数的性质:局部有界性、局部保号性、局部保不等式性

    (4)闭区间上连续函数的性质:有界定理(有最大值最小值)、介值定理(函数可以取两端点内的一切值)、零点定理(两端点异号则必存在零点)、一致连续定理(闭区间上连续等价于一致连续)。这些定理可以使用确界原理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理等加以证明。

    (5)初等函数连续性:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数,以及经过有限次四则运算与复合运算得到函数。一切初等函数在其定义域上都是连续函数。

    (6)Dirichlet函数: D(x)=\left\{\begin{matrix} 1, & x\in Q\\ 0, & x\in R \backslash Q \end{matrix}\right. ,它在所有点都间断,且都是第二类间断点(左右极限至少有一个不存在)。

    (7)Riemann函数: R(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{n}, & x=\frac{m}n{} \in Q\\ 0, & x\in R \backslash Q \end{matrix}\right. ,它在任意无理点处连续,在有理点处是第一类间断点(左右极限都存在但至少有一个与函数值不相等)。

    (8)间断点:单调函数的间断点个数至多可数。

     

    5. 微分学


    (1)导数/微分:像点对原像点的变化率。可导定义为 {f}'(x_{0})=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x},可导表示左导数和右导数都存在并且相等。对自变量的微小扰动如果有 f(x+h)-f(x)=A(x)h-o(h),其中A(x)h是h的线性函数,g(h)=A(x)h称为f在点x处的微分,记作df(x)|_{x=x_{0}}=A(x_{0})h。可微与可导是等价的。记作\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_{0}}=A(x_{0})={f}'(x_{0})微分的本质是一个函数在局部可以用简单的线性函数去逼近它。

    几何意义:导数为函数图像上该点处切线的斜率。切线方程y=f(x_{0})+{f}'(x_{0})(x-x_{0})

    物理意义:例如位移对时间的变化率,表示速度。

    复变函数的连续、导数、微分也是类似地定义。

    (2)微分学基本定理(MVT定理):

    微分中值定理反映函数与和导数/微分之间的联系,是沟通两者的桥梁。

    (2.1)Rolle中值定理:闭区间[a, b]上连续,开区间(a, b)上可微,两端点处函数值相等f(a)=f(b),则在开区间(a, b)上存在一点c的导数为0,{f}'(c)=0。直观理解存在一点处的切线平行于两端点的水平直线。

    (2.2)Lagrange中值定理:闭区间[a, b]上连续,开区间(a, b)上可微,则在开区间(a, b)上存在一点c,有 {f}'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}。直观理解存在一点处的切线平等两端点的连线。证明思路根据曲线上的点与连线的y轴距离构造辅助函数,运用罗尔定理。

    (2.3)Cauchy中值定理:f(x), g(x)在[a, b]上连续,在(a, b)上可微,则在(a, b)上至少存在一点c,有 [f(b)-f(a)]{g}'(c)=[g(b)-g(a)]{f}'(c)。证明思路构造辅助函数用拉格朗日中值定理。

    (2.4)Taylor定理:函数f(x)在x_{0}处的泰勒多项式为T_{n}(x)=f(x_{0})+\sum_{k=1}^{n}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}。若f(x)在[a, b]上有n阶连续的导函数,在(a, b)上有n+1阶导函数,则对任意的 x,x_{0} \in [a,b],在x和x_{0}之间至少存在一点,使得 f(x)=T_{n}(x)+\frac{f^{(n+1)(\xi )}}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}。泰勒定理是拉格朗日中值定理的推广,它表明可以用多项式函数逼近一般的函数。

    x_{0}=0时的泰勒公式就是麦克劳林公式f(x)=f(0)+\sum_{k=1}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}(x)^{k}+\frac{f^{(n+1)(\theta x)}}{(n+1)!}x^{n+1},其中0<\theta <1

    根据泰勒定理,如果函数无穷可微,可以将某定义域内的一般函数f(x)展开成多项式表示的泰勒级数,但是该级数不一定收敛,即使收敛也不一定收敛到f(x)的值。一些函数无法被展开为泰勒级数,因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话,仍然可以将其展开为一个级数。例如 f(x)=e^{-1/x^{2}} 可以展开为一个洛朗级数。

    例子:由e^{x}的泰勒级数展开可推出e=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!},因为e^{x}的泰勒级数收敛到e^{x}

    (2.5)Darboux定理:f(x)在闭区间[a, b]上可微,则其导函数{f}'(x)在[a, b]上具有介值性,可以取到{f}'(a){f}'(b)之间的一切值。达布定理比连续函数的介值定理更强,因为{f}'(x)不一定是连续的。有原函数的函数(不一定要连续)就满足介值性。达布定理是原函数存在的一个必要条件。(推论)有介值性的函数没有第一类间断点。

    (3)洛必达法则:0/0型不定式求极限,在(a, b)上,f(x)和g(x)都可微、g′(x) ≠ 0,\lim_{x \to x_{0}}f(x)=\lim_{x \to x_{0}}g(x)=0,如果 \lim_{x \to x_{0}}\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}=A(or \pm \infty ),则有\lim_{x \to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_{0}}\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}=A。对\infty /\infty型不定式的极限也有类似的法则。

    (4)用微分学方法研究函数:

    (4.1)函数单调性:一阶导为正,函数递增;一阶导为负,函数递减。

    (4.2)函数极值:极值点必要条件是不可导或一阶导为0(称为稳定点)。若左侧邻域导数为负右侧邻域导数为正则是极小值;若左侧邻域导数为正右侧邻域导数为负则是极大值。若n-1阶导为0,n阶导不为0,则n为奇数时无极值,n为偶数时有极值,且n阶导为负时是极大值,n阶导为正时是极小值。

    (4.3)函数凹凸性:二阶导恒>=0,则下凸;二阶导恒<=0,则下凹。

    (5)用微分学方法研究不等式:

    不等式是做放缩、挤压处理的基本技巧,分析中的大量命题都是通过放缩、挤压来进行证明的。

    (5.1)Bernoulli不等式:对实数x\geq -1,有

    \left\{\begin{matrix} (1+x)^{a}\geq 1+ax, & a\geq 1, -1< a\leq 0\\ (1+x)^{a}\leq 1+ax, & 0<a<1 \end{matrix}\right.

    等号成立当且仅当a=0,1,或x=-1时。伯努利不等式是从幂函数到一次函数的放缩,经常用作证明其他不等式的关键步骤。y=1+ax可视为f(x)=(1+x)^{a}的切线。证明思路构造函数求极值,以确定不等号的方向。

    (5.2)Young不等式:a,b\geq 0,p>1, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,则 ab\leq \frac{a^{p}}{p}+\frac{b^{q}}{q} ,当且仅当a^{p}=b^{q}时等号成立。当p<1且不为0时,不等式\leq变为\geq。杨氏不等式是加权算术-几何平均值不等式的特例。证明思路根据函数lnx的凹凸性及凹凸性的定义来证明。

    (5.3)Holder不等式:x_{i},y_{i}\geq 0, p>1, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,则有

     \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i} \leq \left (\sum_{i=1}^{n}{x_{i}}^{p} \right )^{1/p} \cdot \left (\sum_{i=1}^{n}{y_{i}}^{q} \right )^{1/q}

    当且仅当向量({x_{1}}^{p}, ..., {}x_{n}}^{p})({y_{1}}^{q}, ..., {y_{n}}^{q})共线时等号成立。当p<1且不为0时,不等式\leq变为\geq。可用杨氏不等式通过累加的方式来证明。有离散形式和积分形式赫尔德不等式。这是一条揭示Lp空间相互关系的基本不等式。

    (5.4)Minkowski不等式:x_{i},y_{i}\geq 0, p>1, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,则有

    \left (\sum_{i=1}^{n}(x_{i}+y_{i})^{p} \right )^{1/p} \leq \left (\sum_{i=1}^{n}{x_{i}}^{p} \right )^{1/p} + \left (\sum_{i=1}^{n}{y_{i}}^{q} \right )^{1/q}

    当且仅当向量(x_{1}, ..., x_{n})(y_{1}, ..., y_{n})共线时等号成立。当p<1且不为0时,不等式\leq变为\geq。可以用赫尔德不等式来证明。闵可夫斯基不等式是Lp空间中的三角不等式,和赫尔德不等式一样,闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式。当n=3, p=2时,就是三维欧几里得空间中的三角不等式。
    (5.5)Jensen不等式:若f(x)在(a, b)上是下凸函数,x_{i}\in (a, b), \alpha_{i}\geq 0, \alpha _{1}+...+\alpha _{n}=1,则有

    f(\alpha _{1}x_{1}+...+\alpha _{n}x_{n})\leq \alpha _{1}f(x_{1})+...+\alpha _{n}f(x_{n}),琴生不等式可利用凸函数性质,通过归纳法证明。

    (5.6)均值不等式:调和平均 \leq 几何平均 \leq 算术平均 \leq 平方平均。即

    \frac{1}{\frac{1}{x_{1}}+...+\frac{1}{x_{n}}}\leq \sqrt[n]{x_{1}...x_{n}}\leq \frac{x_{1}+...+x_{n}}{n}\leq \sqrt{\frac{{x_{1}}^{2}+...+{x_{n}}^{2}}{n}}。可以用数学归纳法、琴生不等式、拉格朗日乘数法、排序不等式、柯西不等式等方法证明。

    (6)复数项幂级数的可微性:幂级数f(z)=\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^n的和是定义在其收敛圆内的无穷可微函数,可以像实值函数一样求导,其k阶导数为

    f^{(k)}(z)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{d^{k}}{dz^{k}}\left ( c_{n}(z-z_{0})^{n} \right ), and \; c_{n}=\frac{f^{(k)}(z_{0})}{n!},\;k,n=0,1, ...

    (7)代数基本定理:每个次数大于等于1的复系数多项式 P(z)=c_{0}+c_{1}z+...+c_{n}z^{n}在C中都有零点。(推论)任何复系数多项式P(z)=c_{0}+c_{1}z+...+c_{n}z^{n} 都可以表示成 P(z)=c_{n}(z-z_{1})...(z-z_{n}),\;z_{i}\in C,若不计次序,这种表示唯一。

     

    下面讨论不定积分(导数的逆运算):

    (1)线性性质:\int (au(x)+bv(x))dx=a\int u(x)dx+b\int u(x)dx

    (2)分部积分:\int udv=uv-\int vdu+c,可以用乘积函数求导法则 {uv}'={u}'v+u{v}'两边积分来证明。

    (3)换元积分:

    (3.1)凑微分法:若f(u)具有原函数,u又是另一变量的函数u=\varphi (x),且\varphi (x)可微。则根据复合函数微分法,有换元积分公式

     

    \int f(\varphi (x)){\varphi}'(x)dx=\int f(u)du=F(u)+c

    它表明若f(x)能凑成f(\varphi (x)){\varphi }'(x)的形式,则求积分\int f(x)dx可转化成求\int f(u)du,求出后再把u=\varphi (x)代换回去。

    (3.2)变量替换法:若f(x)有原函数,对积分变量x作代换x=\phi (t),其中\phi (t)有反函数,可导且导数不为0,则有换元积分公式

     

    \int f(x)dx=\int (f\circ \phi )(t){\phi }'(t)dt=G(t)+c

    它表明通过变量代换把求f(x)的积分转化成求(f\circ \varphi )(t){\varphi }'(t)的积分,求出后再把 t=\phi ^{-1}(x)代换回去。

    (4)三角代换:对有二次根式的积分,常常作三角代换

    \sqrt{a^{2}-x^{2}}:\; x=asint,\;-\pi /2\leq t\leq \pi /2

    \sqrt{a^{2}+x^{2}}:\;x=atant,\;-\pi/2<t<\pi/2

    \sqrt{x^{2}-a^{2}}:\; x=asect,\;0\leq t\leq \pi,\;t\neq \pi/2

    (5)正弦积分/余弦积分/对数积分:Si(x)=\int\frac{sinx}{x}dx,\; Ci(x)=\int\frac{cosx}{x},\; Li(x)=\int \frac{dx}{lnx},它们都不是初等函数的复合,并且

    \lim_{x \to 0}Si(x)=0,\; \lim_{x \to \infty }Ci(x)=0,\; \lim_{x \to +0}Li(x)=0

    (6)有理函数积分:Q(x)=P_{1}(x)/P_{2}(x)是有理函数,其中P_{1}(x),\;P_{1}(x) 是多项式。任何有理函数Q(x)的原函数都可以由有理函数、超越函数lnx和arctanx表出,原函数的有理部分如果同分,应该有这样的公分母:它是多项式Q(X)分解出的全部因子的乘积,只是幂次比Q(x)中少1。

    (7)\int Q(cosx,sinx)dx 型原函数:这里Q(u,v)=P_{1}(u,v)/P_{2}(u,v)是u和v的有理函数,其中P_{1}P_{2}是单项式u^{m}v^{n}的组合。可以作代换t=tan\frac{x}{2},利用万能公式,化为有理函数积分。而\int Q(cos^{2}x,sin^{2}x)dx\int Q(tanx)dx型积分,用t=tanx替换更方便。这些都是利用三角函数的特征做换元积分。

    (8)\int Q(x,y(x))dx型原函数:主要思路是找到替换x=\phi (t),\; then\,y=y(\phi (t)),且它们都是t有有理函数,就化为了有理函数的积分。

    (9)椭圆积分:形如 \int Q(x,\sqrt{P(x)})dx 型的积分也很重要,其中P(x)是次数n>2的多项式。Liouville曾证明这种积分一般不能用初等函数表示。当n=3,4时这种积分称为椭圆积分,n>4时称为超椭圆积分。椭圆积分经过初等变换、三角代换化为更简洁的形式,再查表获得值。

     

    6. 积分学


    (1)Lebesgue外测度:所有矩形覆盖(每个覆盖有至多可数的集合)的体积值的下确界,记作m^{*}(E)=inf\sum_{i=1}^{\infty }|Q_{i}|。这里Q_{i}R^{n}空间内的一个闭矩形点集(闭方体),其体积值|Q_{i}|是一个确定的非负数\mu。矩形覆盖\left \{ Q_{i} \right \}是可列的。这相当于对一个点集E,从外部不断的去收缩,收缩到完全贴近为止的极限情况。这也是“外测度”名字的由来。注意不一定要求是闭方体的覆盖,也可以是其他类型的点集,甚至是开球这样的结构。一个集合的测度与它的划分方式无关。换句话说,构造一系列可列集合做覆盖时,可以将集合的体积规定的任意小,因为划分它并不影响集合本身的测度。

    外测度的性质:非负性、单调性、次可加性m^{*}\left ( \sum_{k=1}^{\infty }E_{k} \right )\leq \sum_{k=1}^{\infty }m^{*}(E_{k})、平移不变性m^{*}(x+E)=m^{*}(E)。外测度不具有可加性。实际上无法对R^{n}中的每个子集指定一个非负数,使得同时满足非负性/单调性/次可加性/平移不变性/可加性。这说明存在不可测集。对可测集还要增加更严格的条件。

    体积值|A|:对点集A指定的一个非负实数,其定义不受限制。通常一维闭区间[a, b]的体积值\mu取其区间长度b-a,高维矩形体的体积值取其各维区间长度的乘积值 |A|=\prod_{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})。测度是长度/面积/体积概念的推广。

    (2)Lebesgue测度:对任意\epsilon >0,都存在一个盖住E的开集O\supset E,使得 m^{*}(O-E)<\epsilon,则E是勒贝格可测的。且定义其勒贝格测度为 m(E)=m^{*}(E)。测度为0的集合称为零测集。可测集全体记作M2^{R^{n}}-M的元素称为不可测集。

    勒贝格可测集的基本性质:可测集的可列交、并、补都封闭。可列可加性。任意R^{d}中的开集或闭集都可测。因此可测集族M是空间R^{n}上的一个sigma代数。

    (3)勒贝格零测集的等价定义:对任意\epsilon >0,都存在一个能盖住E的可列开覆盖 \left \{ I_{k} \right \},使得 \sum_{k=1}^{\infty }|I_{k}|<\epsilon,则集合E是勒贝格零测度集,即m(E)=0。

    零测集的性质:有限或可数个点构成的集合是零测集。零测集的可列并、可列交都封闭。零测集的子集是零测集。

    (4)函数振幅:函数在集合上的振幅为E的所有像点距离的最大值,即\omega (f,E)=\sup_{x_{1},x{{2}}\in E}d(f(x_{1}),f(x_{2})),即像点集的直径。函数在点处的振幅为邻域半径趋于0时的振幅极限,即\omega (f,a)=\lim_{\delta \to 0+0}\omega (f,U_{\delta }(a))

    (5)区间的划分(分割):在闭区间[a, b]上,一个有限点列表示一个划分P,其中a=x_{0}< x_{1}<...<x_{n}=b,划分的各个区间中最大的直径为划分P的长度\lambda (P)。若在划分的每个区间 [x_{i-1},x_{i}] 中取一个点t_{i},则(P,t)称为区间上一个取样划分。

    (6)划分的延拓:对取样划分(P_{1},t_{1}),在该划分中再添加一些分割点和对应的取样点,得到一个新的划分(P_{2},t_{2}),称为原来划分的延拓。一个给定的划分可以一直延拓下去,直观上延拓后的划分比原来划分更精细,长度越来越小 \lambda (P_{1})>\lambda (P_{2}),这相当于对所有取样划分定义了一个偏序关系。

    (7)黎曼和(积分和):在[a, b]上,函数f一个取样划分(P,t),黎曼和为 \sigma (f,P,t)=\sum_{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i},其中\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}

    (8)黎曼积分:所有取样划分长度趋于0时的黎曼和极限。对函数f在闭区间[a, b]上的任意一个取样划分(P, t),当长度\lambda (P)趋于0时,黎曼和都收敛于同一个常数S,则称S为函数f在[a, b]上的黎曼积分,黎曼积分记为

    \int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\lambda (P) \to 0}\sigma (f,P,t)=\lim_{\lambda (P) \to 0}\sum_{i=1}^{n}f(t_{i})(x_{i}-x_{i-1}),闭区间[a, b]上的可积函数集记作R[a, b]。

    更具可操作性的等价定义:对任意的\epsilon >0,都存在一个取样划分(P, t),使得对任何比它更精细的划分延拓(P^{*},t^{*}),都有|\sigma (f,P^{*},t^{*})-S|<\epsilon,则S为其黎曼积分。

    (9)可积的必要条件:函数f在[a, b]上有界。

    (10)可积的充分条件:对任意的\epsilon >0,都存在\delta >0,使得对任何\lambda (P)<\delta的划分P,都有 \left | \sum_{i=1}^{n} \omega (f,[x_{i-1},x_{i}])(x_{i}-x_{i-1})\right |<\epsilon

    可见,当函数值急剧变化,使函数振幅不变小的区间很多时,就会有Riemann不可积的情况发生。由此可证Dirichlet函数不可积。因为它在每个小区间上的振幅都是1。

    (11)函数可积的充要条件:当且仅当f(x)有界,且对任意的划分P,都有

    \lim_{\lambda (P) \to 0}\sum_{i=1}^{n }\omega (f,[x_{i-1},x_{i}])(x_{i}-x_{i-1})=0

    (12)Riemann–Lebesgue定理:函数f在闭区间[a, b]上可积,当且仅当它在[a, b]上有界,且间断点集是勒贝格零测集。

    推论:闭区间上连续函数可积。闭区间上的有界函数若只有可数个间断点则可积。闭区间上的单调函数可积。

    由此可见,Riemann函数是可积的,因为它有界,间断点集可数,是零测集。

    (13)积分第一中值定理:若函数f在[a, b]上连续,则存在点 \xi \in [a, b],使得 \int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)

    积分中值定理反映函数与函数积分之间的联系,是沟通两者的桥梁。

    (14)积分第二中值定理:在[a, b]上,若f, g可积,且g单调,则存在点 \xi \in [a, b],使得 

    \int_{a}^{b}(f\cdot g)(x)dx=g(a)\int_{a}^{\xi }f(x)dx+g(b)\int_{\xi }^{b}f(x)dx

    (15)原函数存在定理:闭区间上的连续函数f(x)一定有原函数,且都是 F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt+c的形式,c为常数。

    (16)在闭区间上,若函数f(x)有界,且只有有限个间断点,则它有广义的原函数F(x)(即只在有限个点处 {F}'(x)\neq f(x)),且 F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt+c

    (17)牛顿-莱布尼茨公式:如果函数f(x)在闭区间[a, b]上有界,并且只有有限个间断点,则f(x)在[a, b]上可积,且

    \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a),其中F(x)是f(x)的任一原函数。

    证明思路定义变上限积分函数,利用函数导数定义和积分中值定理将积分的计算与原函数联系起来。

    (17)分部积分公式:\int_{a}^{b}udv=uv\left |_{a}^{b}-\int_{a}^{b}vdu

    (18)定积分的应用:

    (18.1)空间曲线(道路):空间R^{3}中,连续的参变函数 x=x(t), y=(y), z=z(t) 定义的映射 T:\;t \to (x(t),y(t),z(t)),表示空间中的一条道路,其中 t 在闭区间[a, b]中变化。A=(x(a), y(a), z(a)), B=(x(b), y(b), z(b))为道路的起点和终点。如果起点和终点重合,则称道路是闭曲线。如果该映射是双射,则称为为简单道路或参数化曲线。如果映射函数T可微,且导函数连续,则称曲线是光滑的。对二维平面,则是平面上的曲线 T:\;t \to (x(t),y(t)),平面曲线可以直接用函数y=f(x)表示。

    (18.2)两条曲线围成的面积:微分 dA=[f(x)-g(x)]dx,整个区域的面积

    A=\int dA=\int_{}a^{b}[f(x)-g(x)]dx

    (18.3)旋转体体积:曲线f(x)绕x轴旋转一周形成的旋转体,用圆盘法,dV=\pi f(x)^{2}dx,体积为

    V=\int_{a}^{b}\pi f(x)^{2}dx

    绕y轴旋转一周的旋转体,用柱壳法,dV=2\pi xf(x)dx,体积为

    V=\int_{0}^{b}2\pi xf(x)dx

    (18.4)曲线长度:dL=\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}},曲线长度为

    L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+[{f}'(x)]^{2}}dx

    (18.5)旋转体表面积:dA=2\pi yds=2\pi f(x)\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}},表面积为

    A=\int_{a}^{b}2\pi f(x)\sqrt{1+[{f}'(x)]^{2}}dx

    (18.6)曲线平均值:\lim_{n \to \infty }\frac{y_{1}+y_{2}+...+y_{n}}{n}=\frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a}

    加权平均= \frac{\int_{a}^{b}f(x)w(x)dx}{\int_{a}^{b}w(x)dx}

     

    下面讨论反常积分(变上限积分):

    (1)反常积分:对有限或无限区间[a, t),函数f(x)在每个子区间 [a,b]\subset [a, t) 上可积,若极限 \int_{a}^{t}f(x)dx=\lim_{b \to t}\int_{a}^{b}f(x)dx 存在,就称为f(x)在[a, t)上的反常积分。如果积分 \int_{a}^{t}|f(x)|dx 收敛,就称反常积分绝对收敛。

    (2)反常积分柯西判别法:反常积分 \int_{a}^{t}f(x)dx 收敛,当且仅当对任意的\epsilon >0,都存在点c \in[a, t),使得对一切大于c的 b_{1},b_{2} \in [a,t),都有 \left | \int_{b_{1}}^{b_{2}}f(x)dx \right |<\epsilon

    由柯西判别法知,绝对收敛的反常积分必收敛,那么对绝对收敛性的研究就化为对非负函数的积分收敛性研究。

    (3)级数收敛积分准则:若f(x)定义在 [1, +\infty ) 上,非负,递减,且在每个子区间上可积,则级数 \sum_{n=1}^{\infty }f(n)=f(1)++f(2)+...和积分 \int_{1}^{+\infty }f(x)dx 同时收敛或发散。

    (4)阿贝尔-狄利克雷准则:f(x), g(x)在[a, t)的每个子区间上可积,g(x)是单调函数,则 \int_{a}^{t}(f\cdot g)(x)dx 收敛,只要下述两组条件有一组成立:积分 \int_{a}^{t}f(x)dx 收敛且g(x)在[a, t)上单调有界;或者 F(b)=\int_a{}^{b}f(x)dx 在[a, t)上有界且g(x)当x趋于 t 时单调趋于0。

     

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  • 我们知道,牛顿切入微积分的角度,是为了研究现实世界中的物理运动。假如把函数看作是点 随着时间 的运动轨迹,可以发现,平面直角坐标系,更易于描述平移类的运动;而在涉及到旋转类的运动,直角坐标系就体现出了它...

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    到目前为止,我们都只讨论了平面直角坐标系下的函数。

    我们知道,牛顿切入微积分的角度,是为了研究现实世界中的物理运动。假如把函数看作是点

    随着时间
    的运动轨迹,可以发现,平面直角坐标系,更易于描述平移类的运动;而在涉及到旋转类的运动,直角坐标系就体现出了它的局限性。

    比如,当我们想要描述,一个直径为大圆直径四分之一的小圆在大圆内部滚动时,小圆上一点的运动轨迹:

    87b7492eb8495eeb1ebb41d52ca43744.gif
    内摆线

    在直角坐标系中,写出该点的运动轨迹,其坐标方程将会是:

    首先,它不是一个常规的显函数,对于隐函数,我们无法直接对它的函数性态进行研究;

    其次,假如强行的将它解出为

    关于
    的显函数,由于其特殊的幂次关系,解出后的函数表达式将会异常的复杂,使得我们也几乎难以对它做常规的求导、积分类的运算和研究。

    然而,涉及圆、旋转运动以及旋转体等等的这一类问题,在我们的现实世界中却随处可见,比内摆线更为复杂的旋转类相关的坐标方程更是比比皆是。从小小齿轮的转动,到车轮的滚动,再到宇宙天体的运动;从圆柱、圆锥到车削机床对于各种不规则旋转体的高精度加工。

    因此,为了解决这一大类关于圆与旋转的问题,我们引入了极坐标系;而三角函数就是架立在直角坐标系与极坐标系之间的桥梁。


    三角函数系

    先从平面直角坐标系上,以原点为圆心的圆,以及圆上一点的坐标与圆心构成的直角三角形开始复习:

    若圆上一点

    ,有圆心角
    ,则有:

    正弦

    ,余弦
    ,正切

    接着是三个对应的倒函数:

    余割

    ,正割
    ,余切

    以及这六种三角函数对应的反三角函数,在直角坐标系的一个单位圆内构造出所有这些三角函数如下图所示:

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    三角函数对应的几何意义

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    正弦函数图像的与圆周运动的对应过程

    我们可以将一整类在表达式中带有三角函数的函数统称为三角函数系。三角函数系为我们提供了另一个全新的看待函数图像的视角,即将图像看作是点随时间的运动轨迹。

    随着学习的深入,我们会逐渐的发现:以多个不同的角度看待分析同一个问题,这样的思维方式是数据学习中建立不同知识点乃至不同领域之间联系的关键。


    参数方程

    现在,回到正弦函数:

    将它解出

    ,则有:

    从这个函数表达式中可以看出,我们可以构建出另一个坐标系,在这个新的坐标系中,围绕原点

    ,以圆心角
    与距离圆心的距离
    作为坐标参数,则直角坐标系中的纵标轴值
    就可以被唯一的映射至这个新的坐标系中。

    这个新的坐标系就是极坐标系。

    有了极坐标系之后,再来看直角坐标系下的圆方程:

    就可以被转化为极坐标系下的一组方程:

    在直角坐标系无法直接建立

    关于
    函数关系,但通过极坐标系的映射,两者可以同时与第三个共同参数(在给定圆的半径
    的情况下,即有共同参数
    )建立函数关系,从而组成一个方程组,这种方程组就叫
    参数方程

    有了参数方程,原本在直角坐标系下难以研究计算的问题,就变得非常简单,例如:

    求导

    ,对分子分母同时除以
    ,则有:

    原本对复杂隐函数的求导计算,就被转化为了对参数方程中对两个简单显函数各自求导的过程:

    现在再来试着求解开篇提到的星形线方程:

    我们可以先利用圆的方程来进行类比:

    则与圆的参数方程相对应的有:

    ,即可得参数方程:

    对其求导,即有:


    三角函数系区别于普通初等函数,就在于它们两个极其重要的特质:

    1. 以轨迹运动角度出发而显现出的周期性;
    2. 从极坐标系映射出发而显现出的相互转化性。

    也因此,三角函数系的积分在一元函数积分中是极其特殊且重要的一整类问题。这也是我想把它独立出来作为一章来介绍的原因。

    周期函数的特性

    我们先来研究一下广义的周期函数:

    有以

    为周期的可积函数
    ,它在一个完整周期上的积分为:

    若求长度为

    的任意起止点区间上的积分

    首先,依据定积分的区间可拆性,对它进行拆分:

    部分,使用换元法,令
    ,则有:

    带入积分:

    又根据周期函数的特性以及改变变量字母的积分不变性,有:

    带回原式,则它与第一部分刚好是被积函数相同、区间相反的定积分,故其和恰为0:

    这个结论表明:对于周期函数,只要定积分的区间间隔是一个周期,那么无论区间的起止位置在何处,它总是等于由0开始的一个完整周期内的积分。

    这也是一个相当符合我们直觉感受的结论,如图所示:

    19ecd69429942e04e35a8d08cc3b2340.png
    滑动视窗的宽度只要为一个周期,则其中的部分必然能够拼出一个完整的圆

    华里士公式

    首先,可以将其看作:

    根据分部积分公式

    ,有:

    其中

    ,故有:

    又有三角函数的基本性质

    ,可得:

    这时,式子中重新出现了原积分:

    若我们设

    ,则有:

    利用这个递推关系,可得:

    由此可推:

    为偶数:

    为奇数:

    这就是华里士公式,用相同的推导方式易推出

    的计算公式是一致的。

    利用三角函数系的转化性进行换元

    例1:求

    在遇到平方加减带根式的结构,常规的思路就会往三角函数系的方向思考。因为三角函数系中各个三角函数之间的转换易于让我们将根式去除。

    ,在第一象限内,有

    均为偶函数可知
    亦为偶函数,故有:

    进行换元带入:

    即有:

    这两部分,就可以各自使用华里士公式:

    ,答案为:

    例2:求

    如果使用分部积分法,也可以做,但是过程较为复杂,直接采用上一篇文章最后提到过的区间再现公式

    可得:

    又因三角函数的性质

    ,则有:

    由此实现了积分的再现,故有:

    此时要注意,华里士公式的直接使用必须是在区间

    内,而此处的区间为
    ,故需要对华里士进行区间推广:

    ,则有:

    为偶函数得知:

    于是,便可以使用华里士公式得:

    例3:求

    在观察函数没有特别明显的变形手段时,尝试直接令

    ,则有:

    故原式变为:

    由分部积分公式

    可对它进行变换:

    这样,我们就将原本不易计算的微元

    转换至了被积函数中。

    接着,由基本求导公式

    以及三角函数性质
    ,故原式后半部分可转换为:

    最终得:

    ,要记得回带

    本篇我们对三角函数系、极坐标系做了简单的探讨。至此,在一元函数积分的计算中,我们手里有了定义、性质、区间再现、两类换元法、分部积分、有理函数积分以及华里士公式等工具。

    在积分世界的旅程中,有了一个很好的开始。

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  • 人类究竟需要什么样的微积分原理

    千次阅读 2019-04-28 08:38:49
    我主张废弃现行微积分原理和重建满足数学发展要求的新微积分原理,这不仅因为:第一 ,现行微积分原理结构扭曲;第二,细微之处问题甚多;第三,这个微积分原理逻辑错误也多。而且,还因为这个微积分原...

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    2019-04-27 08:14:22

    标签:数学、微积分原理、微积分原理错误、废除现行微积分原理、新微积分原理

    我主张废弃现行微积分原理和重建满足数学发展要求的新微积分原理,这不仅因为:第一 ,现行微积分原理结构扭曲;第二,细微之处问题甚多;第三,这个微积分原理逻辑错误也多。而且,还因为这个微积分原理几乎没有起到原理的作用,又何况数学也需要建立新的数-形模型了。

    我的这个主张还不能得到主流数学工作者的赞同,其根本原因在于主流数学家都是专家(或渊家)。数学进入二十世纪下半叶以来,主流数学界没有博家了, 虽然这有它的缘由,但是,这毕竟说明数学工作者队伍的结构已经失衡了,得纠正才行。我们这个时代岂止是没有笛卡尔 (R.Descartes, 1592—1650) 、牛顿 (I.Newton,1642—1727)和莱布尼兹 (G.Leibniz, 1646—1716)这样的大师,还没有像克莱因( F.Klein,1849—1925)、庞加莱( H.Poicare,1854—1912)这样的渊博家,就连外尔(H.Weyl,1885—1955)这样的小渊博家都没有了,当然,也没有像高斯 (Gauss,1777—1855)这样的大渊家。

    人类究竟需要什么样的微积分原理

     

    维纳( N. Wiener, 1894—1964)在他1948年出版的《控制论》书中 指出: “在上一世纪,也许没有莱布尼兹这样的人,但还有一个高斯、 一个法拉地、一个达尔文。今天没有几个学者不加任何限制而自称为数学家,或者物理学家,或者生物学家。一个人可以是一个拓扑学家,或者一个声学家,或者一个甲虫学家。他满嘴是他那个领域的行话,知道那个领域的全部文献、那个领域的全部分支,但是,他往往会把邻近的科学问题看作与己无关的事情,而且认为如果自己对这种问题发生任何兴趣,那是不能允许的侵犯人家地盘的行为。”试想,如果一个人把自己大脑的珍贵贮存空间用于存放“那个领域的全部文献” ,如果一个人动辄就是“侵犯人家地盘的行为”,那么,他怎么能成为一个学识渊博的人?他自己所处时代的莱布尼兹又怎么能诞生?科学发展的历史一再向人类昭示:没有学问渊博的大师,一门科学的发展就必然会因失去总体战略而杂乱无章,从而进入半停滞状态。我们必须纠正自然科学发展的这种状态,至少要纠正数学发展的这种状态。

    恩格斯指出:“在一切理论进步中,同17世纪下半叶发明微积分比较起来,未必再有别的东西会被看作人类精神如此崇高的胜利。”冯●诺依曼也指出:“微积分是现代数学取得的最高成就,对它的重要性怎样估计也是不会过分的。”可以说,如果没有这放之四海而皆准的庞大的微积分方法体系,那么,就没有现代数学,从而也就没有现代科学。可是,时至今日人类也没能真正搞清楚,为什么这个庞大的微积分方法体系放之四海而皆准。又何况,微积分方法 是“通过肯定不正确的数学途 径得出的正确的结果。”人类应该弄清这里的机理,从而优化已有微积分方法,并揭示更多微积分方法,这个机理就是所谓的微积分原理。遗憾的是,这个问题已经有从十八世纪推到今天,又何况,不揭示这个机理,人类往下也无从制定科学的数学科学发展战略。

    可是,时至今日大多数数学工作者还没意识到要区分微积分方法与微积分原理,因为两者不是一码事。 更让人啼笑皆非的是,还有人认为微积分原理就是用来证明微积分方法是有用的,好像实践并没有证明过微积分方法是行之有效的。还有的数学家认为,即使现行微积分原理中的微分部分是错误的也没关系,只要舍弃这部分就可以了,因为没有微分这个原理照样正确。我们权且不对这个退化了的微积分原理做微观的批评,事实上,即使仅从宏观把握,这个微积分原理也是不满足要求的。

    人类究竟需要什么样的微积分原理

     

    下面,让我们从构造一个不用极限的新微积分原理说起:

    第一步:对于在[a,b]内的连续函数y=F(x),我们通过Dirichlet 不等式推出恒等式

    人类究竟需要什么样的微积分原理

     

    人类究竟需要什么样的微积分原理

     

    f(x)是关于x的一元函数。然后,通过恒等式定义f(x)就是F(x)在(a,b)上的导函数,其中f(x)的瞬时变化率的意义由

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    的趋势加以解释,导函数求解也通过恒等式两边的对比得到。当然,高阶导数的讲解是自然而然的,微分中值定理和导数应用等内容也可以随之跟进。

    第二步:把原函数的求解解释作第一步的逆过程,不定积分公式通过上述过程反推获得。明确了不定积分的本质,微分方程的讲解自然不是问题。

    第三步:通过F(b)-F(a)= f(x)(b-a)+o(x)(b-a) ,定义 [f(x)(b-a)+o(x)(b-a)]为f(x)在[a,b]上的定积分, 并用

    人类究竟需要什么样的微积分原理

     

    表示: 接着,讲解定积分的性质,并推导积分中值定理;然后,讲解牛顿-莱布尼兹公式,即,对于[a,b ]的任意分割

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    根据微分中值定理,可得:

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    其中ηi为中值点。当然,有了定积分,定积分的应用内容也可以随之跟进。

    第四步:多元情形参照一元情形办理。

    如上就是一个新的微积分原理的雏形。

    试想,现行微积分原理一旦删掉微分会与上述新微积分原理不是同 一档次的吗?它们连同现行实变函数理论能够科学地解释微积分方法之所以行之有效的机理吗?它们优化过哪个微积分方法?它们又何曾揭示过新的微积分方法?这个光开花不结果的微积分原理的意义何在?当然,我们不否认它在建立微积分原理的研究领域的示范意义。

    笔者可以把虚位移原理改作虚功率原理,也可以不用变分而改用导数构造第二类拉格朗日方程,甚至还可以勉强不经分离变量(即直接用导数)去解微分方程,可是,这不能成为这种退化了的微积分原理可以满足光怪陆离的微积分方法体系的要求的理由。事实上,尽管1821年和 1823年柯西的《分析教程》和《无限小计算教程概论》的出版标志着现行微积分原理的建立,可是,二百多年来人类科学的发展靠的还是以莱布尼兹为代表的微积分,而不是以牛顿为代表的微积分,当年英国人抱着牛顿的门户之见搞数学,并导致英格兰岛在数学上远落后于欧洲大陆的历史事实就是证明。相反,这二百多年中欧拉(Euler,1707—1783)、 拉格朗日(Lagrange,1736—1813) 、拉普拉斯(Laplace,1749—1827) 、 勒让德(Legendre,1752— 1833) 、傅里叶(Fourier,1768—1830) 、高斯 (Gauss,1777—1855)、 泊松( Poisson,1781— 1840)、哈密顿( Hamilton,1805—1865) 和刘维尔(Lioville,1809—1882) 等众多双料大科学家都不接受柯西(Cauchy,1789—1857) 的微积分原理,反倒沿用莱布尼兹微积分原理。可以这么说,没有哪项科学成就是现行微积分原理的产物,因为现行微积分原理从来就没有自圆其说过。相反,倒是那个说不清微分是什么的莱布尼兹微积分原理的产物。注意,莱布尼兹的微分是“说不清”,而柯西的微分是“不正确”,这是性质不同的两码事。一句话,说不清的东西仍然可能是正确的,而不正确的东西是不会正确的。

    十八世纪初到十九世纪末是数学与自然科学交织在一起的突飞猛进的发展时期,以欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、傅里叶、高斯、泊松、哈密顿等为代表的科学家,几乎都是精通数学、一般力学、固体力学、流体力学、天体力学、热力学、物理学等的通才,而他们又几乎都是拒斥柯西微积分原理的。正是这个原因,这些门自然科学中所使用的微积分方法普遍沿用莱布尼兹的“无穷小量”、“微分”、“导数(微商)”和约翰.贝努力(J.Bernoulli,1667—1748)的“变分”等工具,不 仅如此,即使时至今日,这些东西还都在继续沿用着。这个铁的事实要求微积分原理对这些微积分方法行之有效的机理做以说明,而不是通过削足适履的手段阉割这铁一般的事实,更不是通过涂抹掉无穷小、微分 及变分广泛使用的科学历史来为一个不称职的微积分原理的存在创造条件。我们的历史使命是重建满足客观需求的微积分原理,这是因为沿用至今的至少在微分部分存在根本性错误的柯西微积分原理,是不能解释 如此丰富的微积分方法何以行之有效的。

    牛顿的微积分原理的缺点在于自相矛盾;莱布尼兹的微积分原理的缺点在于微分的本质一时说不清楚。这一事实既是柯西重建微积分原理 的理由,也是柯西重建微积分原理的素材, 可惜的是,由于没有能力理解莱布尼兹的微积分原理,他只能利用沃利斯以来的极限思想对牛顿的“流数”和“反流数”加以说明,从而,形成了一个牛顿模式并在无奈时拼凑了莱布尼兹的微分的微积分原理。在这个原理中,首先,极限的意义主要在于含沙射影地给出导数和定积分的定义,同时也用来求导数,而不是直接给出反映其机理的表达式:其次,拼凑了微分并解释导数就是微商,但是微分定义错了;再次,定义导数抑或微分与不定积分是互逆关系,而不是论证为什么它们之间是互逆关系;又次,把本来是同一数学结构的不定积分与定积分误定为两个数学结构,定积分是一个和式的极限,它与不定积分的关系仅在于借助于不定积分进行计算。由此可见,这样的微积分原理,即使不要求它在细枝末节上而仅仅要求它在最基本的问题上阐释微积分方法的机理也没做到。从根本上说,人类需要的是知微积分方法行之有效所以然的微积分原理,而不是知微积分方法行之有效然的微积分原理。现行微积分原理就是知其然而不是知其所以然的微积分原理。

    基本够格的微积分原理,首先要说清楚微分的本质,当然,变分的本质也就道说清楚了;其次要给出作为瞬时变化率的导数的瞬时比形式,这才说清了导数的本质;再次要阐释清楚为什么微分与积分是互逆过程,而不是只肯定微分与积分是互逆过程,当然,还要顺便说明不定积分与定积分是一回事,只不过一个积分限任意,一个积分限确定罢了。 其实,莱布尼兹的微积分原理的思想脉络就是这样的,只不过是由于微分说不太清楚, 致使其它部分也讲得不细致。但是,莱布尼兹的大思路是正确的,罗宾逊( A. Robinson,1918—1974)用它的《非标准分析》证明:“Leibniz的思想能够全面维护”;同时还提请人们三思:“有一个鲜明的对照:对Lcibniz 及其追随者,给以严格的待遇,而对极限学说的发起者的错误却予以谅解。”哥德尔 (Godel,1906—1978)也同样支持罗宾逊的结论,他说:“ 以这种或那种形式表示的非标准分析,将成为未来的分析学。”当然,笔者在重建数-形模型的基础上所建立的新微积分原理也在无意中更详尽地证明了莱布尼兹思想的正确。

    人类究竟需要什么样的微积分原理

     

    顺便需提醒的是,我们这个时代的主流数学工作者,总是自觉或者不自觉地忽视哲学、数学史等等知识,致使自己的历史还原能力偏弱, 因此,在不自觉中夸大了莱布尼兹的微分的不足。当知,莱布尼兹时代还没有实数理论,也没有函数概念及其理论。另一方面,历史就是一面镜子,漠视这面镜子是不明智的。具备丰厚的哲学功底,尤其是科学哲学(在中国表现为自然辩证法,当然是清华风格的,而不是人大风格的) 功底, 再认真研究数学史,尤其是微积分史(不可忽视极限史,当然,现有的数学史书籍大多缺少这部分),就不难发现牛顿、莱布尼兹为什么不能彻底建立微积分原理,也不难发现为什么柯西在重建微积分原理 中会这样错,还能知道建立正确的微积分原理要走怎样的路径,甚至还可以想象为什么黎曼明知柯西微积分模式有问题而不说.....

    说到这里,人类需要什么样的微积分原理应该清楚了,那就是这个微积分原理,不仅要讲明如此这般丰富的微积分方法行之有效的基本机理,而且,还要阐释393年以来与自然科学交织在一起的微积分方法的细枝末节的正确以及不足的原因。那种说不清甚至还要求剔除微分及变分的微积分原理肯定不够格。

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  • 微积分变浮云吧

    千次阅读 2013-11-05 21:15:22
    微积分中要牢牢记住的是基本初等函数导数表和基本初等函数积分表,要像记九九表一样把它们记住。而其他基本定理的记忆要借助几何意义、物理意义与前后联系,不要死记硬背。 一、基本概念 常常是这样,理解概念比理解...

    学习任何学科都会碰到记忆与思考的问题,学习微积分也不例外。记忆的功能在于积累基本知识,思考的功能在于将知识系统化,两者是相辅相成的。应当在思考的基础上记基本的。微积分中要牢牢记住的是基本初等函数导数表和基本初等函数积分表,要像记九九表一样把它们记住。而其他基本定理的记忆要借助几何意义、物理意义与前后联系,不要死记硬背。

    一、基本概念

    常常是这样,理解概念比理解定理更困难,而且更基本。理解概念要从两个方面入手:一是概念的内涵;一是概念的外延。概念的内涵就是概念的基本属性,而概念的外延就是概念所概括的一切对象。微积分的基本概念有五个:函数、极限、导数、微分和定积分。

    (1)函数概念讲的是两个实数集合间的对应关系。

    (2)极限概念描述函数在一定变化过程中的终极状态。极限概念要解决的主要矛盾是近似与精确的矛盾。圆周率的计算史清楚地说明了这一点。面积,体积,弧长以及质量,转动惯量等的计算都涉及到近似与精确的处理。

    (3)导数,微分和定积分所解决的问题都是一种特殊的极限问题,都是要解决近似与精确的矛盾的。因而从这个意义上讲,微积分是逼近的学问。相对而言,代数是归纳的学问。代数定理的证明多用归纳法。

    二、基本运算

    微积分最基础的运算是四则运算、函数的复合运算与极限运算。函数的复合运算是新运算,从基本初等函数出发,借助复合运算与四则运算产生全部初等函数。极限运算引申出求导、求微分和求积分的运算。极限运算是初等数学与高等数学的分水岭,它使求导运算和积分运算回归到四则运算。

    微分法则中最重要的是锁链法则:一,它解决了全部初等函数的求导问题;二,隐函数与反函数求导法是它的推论;三,引出一阶微分形式不变性,免除了自变量与因变量的区别,而获得了极大自由;四,一阶微分形式不变性构成积分学中换元积分法的基础。

    三、微积分的基础

    微积分是关于函数的学问。一元微积分中的任何函数都含有两个变量,一个是自变量,一个是因变量。不管是自变量还是因变量都取实数值。因而,微积分是建立的实数论的基础上的,而且它涉及到一切形式的实数、整数、有理数与无理数等。所以,人们必须弄清实数的结构和性质才能放心大胆地使用它们。这就是说,对微积分而言,建立实数理论是必要的。但事实上并不如此,数学家们先是糊里糊涂地用,直到出了问题才想到去建立实数理论。实数理论是在19世纪后期建立的,有了实数论微积分就有了严密的基础。大家知道,由有理数构成的序列的极限不一定是有理数。人们自然会问:“由实数组成的序列,它的极限一定是实数吗?”这就是实数论所研究的一个重要问题。答案是:实数序列的极限一定是实数。这件事为什么重要?理由是明显的——导数和定积分都是用极限定义的,这些极限存在吗?它们是实数吗?如果它们的极限不存在,或者存在而不是实数,微积分不就变成空中楼阁了吗?所以这个问题是至关重要的问题。

    四、定理

    微积分中的主要定理都有明显的几何意义或物理意义。学习这些定理一定要结合它们的实际背景方能学得深。在微积分中什么定理最重要呢?答案是微积分基本定理。它相当于数论中的算术基本定理与代数中的代数基本定理。微积分基本定理的发现终于将微分学与积分学这两大分支连成一个整体。在函数部分,一个需要强调的重要定理是反函数存在定理。有了反函数存在定理,就可以从指数函数出发去定义对数函数,从三角函数出发去定义反三角函数。可见,反函数存在定理是产生新函数的工具。在极限理论中,有两个重要极限,它们分别是三角函数求导公式和对数函数求导公式的基础。在微分学中,拉格朗日中值定理起着核心的作用,它是研究函数性质的主要工具,借助函数在一点的性质表达了函数的某种整体性质。洛必达法则为求不定型极限提供了方便而有力的工具。

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  • 高等数学上学习总结(集合,邻域,函数

    千次阅读 多人点赞 2019-03-19 12:09:39
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  • 计算机考研整理

    2020-02-28 02:28:40
    ①高等数学(函数、极限、连续、一元函数微积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数的微积分学、无穷级数、常微分方程); ②线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型); ③概率论...

空空如也

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一元函数微积分知识结构图