无穷小微积分学引导我们前往何方？对于这类问题，拿来“考问”学生似乎不太合适。这是微积分学教员首先需要思考的问题，因为是教员引导着学生在走路，而不是相反。
            对于进入社会的成年人，不论有何种学位头衔，如果你问他：什么叫微积分？他多半摇头不语，或是避而不答。这是什么原因呢？这个问题与微积分的教学目标有关。实际上，翻阅国内外的微积分学教材，几乎都是一个“套路”：实数、极限、连续、级数、导数、微分、积分，......导数微分概念似乎总要安排在函数的连续性之后才算合理。微积分教学改革就要打破这套“规矩”，使微积分更加适合人们的认识规律，容易进入脑壳，终生不忘。
           对于在美国进行的微积分改革运动（CRM），J.Keisler撰写的《基础微积分》教材是有贡献的，该教材将导数概念置于函数连续性之前进行讲授，可谓“别具一格”，实质上，这是将微积分学引向正确的方向：研究连续、光滑的几何对象及其性质（注意：数学性质不同于物理性质，前者只是后者的抽象。）。
        在《基础微积分》第三章第四节第125页给出函数连续性的正式定义：
         
DEFINITION
            
f is said to be continuos at a point c if:
       
(I) f is defined at c
     (ii) whenever x is infinittely close to c ,f(x) is infinitely close to f(c).
         初看上去，这个定义很平凡，没有什么稀奇之处。但是，转而一想，如果我们将定义中的点“c”运动起来，令其充满一个闭区间[a，b]，岂不是有了闭区间上的连续函数的概念？进一步，如果函数f在该区间内部处处可微分，光滑的连续曲线不就出来了吗？这种光滑、连续的曲线有什么性质呢？能不能加以严格的数学证明？其实微积分学的”结论“（定理）在你脑壳里面早就有了，直觉上是很显然的东西，只是重新给予了严格的数学证明而已。你怎么会忘记它呢？
          有人担心，函数连续性在无穷小微积分学（超实数）里面很简单，但是，能不能”等价“回到原来的传统微积分学呢？这个问题不必担心，在《无穷小微积分基础》第五章里面，这些问题全部解决了，你大可放心学习、使用这种无穷小微积分学的新方法、新途径，将其应用到实际问题中，其真实性不比传统微积分高，也不比传统微积分低，只是更为适合我们的直觉思维习惯而已。
         在函数连续性定义中，我们要注意的是：定义中的函数f是从实数系R转移到超实数系*R上的函数f的自然延伸（或扩张），应当在左上角加上一个星号”*“，也就是*f。按照我们的约定，在定义里面就把星号”*“统统省略了。当你习惯了在无穷小微积分学领地上驾车疯跑之后，无限风光在眼前，有新的发现，有新的体验，就顾不上老传统，老套路了。这就是推出”袖珍电子书“的目的，也许有人会说，这是”险恶“的用心。

设二元函数 
 为定义在点集 
 上的函数。
二元函数连续性的定义：设 
 （它或者是 
 的聚点，或者是 
 的孤立点）。对于任给的正数 
 ，总存在相应的正数 
 ，只要 
 ，就有 
 则称 
 关于集合 
 在点 
 连续。简称 
 在点 
 处连续。
注：二元函数连续性的定义与一元函数连续性的定义有所不同，在一元函数的连续性的定义中，要求函数 
 必须在 
 的某一邻域 
 上有定义，并且要求的是 
 ,当 
 时， 
 ,则称函数 
 在 
 处连续。注意到二元函数在定义连续的概念的时候并不是要求函数必须在连续点 
 的某一邻域 
 上有定义，只要保证该点是函数的聚点即可，并且对于不是聚点的孤立点仍然可以定义其为连续点（只需要将孤立点带入二元函数连续性的定义加以验证即可发现孤立点也满足该连续性的定义）。因此在二元函数中，聚点和孤立点是连续点的必要条件，即二元函数的连续点必是该函数的聚点或孤立点中的一种。
二元函数可微的定义：设 
 ,二元函数 
 在 
 的某邻域 
 上有定义，对于 
 中的点 
 ,若函数 
 在点 
 处的全增量 
 可表示为 
 ，
其中 
 是仅与点 
 有关的常数， 
 , 
 是较 
 高阶的无穷小量,则称函数 
 在点 
 处可微,并称 
 为函数 
 在点 
 的全微分，记作 
 。
由二元函数可微的定义易知，若函数在点 
 处可微，当 
 时， 
 ,即函数在点 
 处连续，这个结论与一元函数中连续与可微的关系是相同的。
二元函数的偏导数的定义：
前言：所谓偏导数，不同于一元函数中的导数，由于二元函数定义域是二维的关系，由于二维图形方向的复杂性，导致并不能运用一元函数的导数概念来研究二元函数，因此可采用退而求其次的方式，来研究单一方向上的导数的问题，于是我们选取两个最一般的方向，即与 
 轴和 
 轴平行的方向来研究这两个方向上的导数的问题，这便是偏导数概念的由来，若二元函数 
 在点 
 处可微，即 
 ,由于我们要研究单一方向上的导数的问题，不妨令 
 ,即 
 ,于是 
 ,同理令 
 ，可知 
 ,由此我们得到了计算全微分中 
 系数的方法，由二元函数在点 
 处可微知，极限 
 与极限 
 一定存在，这两个极限就是我们下面要定义的偏导数的概念，由此可知，二元函数在某点处可微，那么该二元函数一定在该点处对 
 和 
 均可偏导。
定义：设函数 
 。若 
 ,且 
 在 
 的某一邻域内有定义，则当极限 
 存在时，称这个极限为函数 
 在点 
 关于 
 的偏导数，记作 
 或 
同理可定义 
 在点 
 关于 
 的偏导数，这里就不再赘述了。
由偏导数的定义可以看出，在对二元函数 
 求关于 
 的偏导数时，只需将 
 看作常数，相当于对一元函数求导，因此二元函数的求偏导问题就转换成一元函数的求导问题。
在上面的前言中，我们就已经知道了，若函数 
 在点 
 处可微，那么函数在该点处一定对 
 均可偏导，那么反过来，如果二元函数在点 
 同时对 
 可偏导，那么是否该函数在点 
 处可微呢？请看下面的例子：
考虑函数 
 ,在原点的可微性。
解：按偏导数的定义， 
 ,同理可得 
 ,则 
则 
由于极限 
 不存在，故函数 
 在点 
 处不可微。
由这道例题可知，函数 
 在某点处同时对 
 可偏导是函数 
 在这点处可微的必要条件。
那么在函数可偏导的条件下添加什么样的条件能保证函数 
 在该点处可微呢？
二元函数可微的充分条件：若二元函数 
 的偏导数在点 
 的某邻域上存在，且 
 与 
 在点 
 处连续，则函数 
 在点 
 处可微。
证明：将全增量 
 写作
 在第一个括号里，它是函数 
 关于 
 的偏增量。在第二个括号里，则是函数 
 关于 
 的偏增量，由一元函数的拉格朗日中值定理知：
由于 
 在点 
 处连续，即
 ,
即当 
 时， 
其中 
 为 
 时的无穷小量。
同理可得，当 
 时， 
其中 
 为 
 时的无穷小量。
于是， 
即 
即 
所以 
由于 
 ,
由极限的迫敛性知， 
即函数 
 在点 
 处可微。
反过来，如果函数 
 在点 
 处可微的话，是否能推导出函数 
 的偏导数 
 在点 
 处连续呢？请看下面的例子：
考虑函数 
 ，
可验证该函数在原点 
 处可微，但 
 与 
 却在点 
 处不连续。
若函数 
 在点 
 的偏导数 
 连续，则称 
 在点 
连续可微。
在上面的叙述中，我们知道了二元函数在一点处可微，则它在该点处一定连续，且一定存在关与 
 的偏导数，二元函数在某一点处连续同样不能推导出二元函数在该点处可偏导，如函数 
 （圆锥）在原点处连续，但是在该点处不存在偏导数。反过来，即使二元函数在某一点处存在对所有自变量 
 的偏导数，也不能保证二元函数在该点处连续，例如， 
 ，在原点处不连续，但却存在偏导数
 , 
 。
这是因为偏导数仅仅只是刻画了二元函数沿 
 轴或沿 
 轴方向的变化特征，所以偏导数都存在只能说明 
 在原点分别对 
 和对 
 必定连续，但由此并不能保证二元函数 
 在原点的连续性。

大学生数学竞赛（非数学）证明一元函数有界性常用方法
什么是有界函数：
有界函数是设f(x)是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界，M称为f(x)在区间E上的上界。

有界函数并不一定是连续的。根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ (x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。
1.闭区间的连续函数必有界
2.可积函数必有界
此处的可积函数是指函数普通的定积分，广义积分不包括在内。

反之不成立，有界函数不一定可积。
原因如下：
可以假设这样一个函数

f（x）=1（x是有理数的时候）；=0（x是无理数的时候）（该函数为狄利克雷函数）

那么f（x）在x为任意实数的时候，只有1和0两种取值，所以f（x）是有界的。

但是在任意区间内（无论是开区间还是闭区间），都有无数个有理数和无理数。所以f（x）在任意区间内有无数个间断点，所以这个函数在任意区间内不可积。
3.可导函数一定有界
一元函数中，可导函数即能推出连续，由连续性，使用1，即可推出函数有界。
总结：
一元微积分里面，可积<连续<可微=可导，而可积必有界，

对连续函数而言，需要在一定条件下才是有界的（如闭区间上的连续）

基础知识:

$\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)=A \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A$

$\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x) \Rightarrow \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$不存在但不是$\infty$


一元函数的连续性:

前提:

1 函数f(x)在点x。有定义
2$lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)$

必须存在

(是个常数)
3 相等,即

$\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)$





二元函数的连续条件:


$\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)$


在某点可导:

定义1:


定义二:





可偏导:




可微: