1，二元函数极限的定义
 

 
 
2，二元函数连续性定义
 
 
3，二元函数可微分定义
 

 4，$如果二元函数f(x,y)的偏导数f_x(x,y),f_y(x,y)在点(x_0,y_0)连续，$
 $那么f(x,y)在点(x_0,y_0)处可微分（二元函数的可微指能写成全微分的形式）。$
 
5，$如果f(x,y)在点(x_0,y_0)处可微分，那么f(x,y)在该点的偏导数$
 $f_x(x,y),f_y(x,y)一定存在，但偏导数不一定连续。$
 
6，$在一元函数中，可导等于可微。但对二元函数，在某点各$
 $个偏导数存在，不一定在该点可微。$
 
7，$如果二元函数在某点可微，则在该点必定连续；$
 $连续不一定可微。$
 
8，$若多元函数在某点可微，则此函数在该点的全微分可表示为$
 $各自变量的变化量与该自变量在该点的偏导数之积的和。$
 
9，一元函数和二元函数的方向导数
 
一元函数是一条线，与这条线上的点相切的也是一条线，只有一个方向，所以一元函数就只有一个导数，没有方向导数之说。
 
二元函数是一个面，与这个面上的点相切的是一个面，所以切线有很多方向，在每个方向上都可以算出一个导数。
 
10，偏导数、方向导数和梯度
 
偏导数是在坐标轴方向的方向导数，是一个特殊的方向导数。
 
梯度是一个向量。这个向量的每个元素分别是多元函数关于每个自变量的偏导数。

在高等数学一元函数微分学中研究的关键问题之一是可导和可微，夹杂着函数连续，简短等知识点，这几个相关的概念混在一块总是难以理解，什么可导一定可微，可导一定连续之类的。
 这里把这几个概念就自己的理解做一下解释。
 1.极限。
 求某一数列趋近于无穷的情况，某一函数趋近于无穷的情况，某一函数趋近于某一点的情况。只与自变量（数列为项数）和表达式有关。
 2.连续，可导，可微。
 连续，可导，可微三个均涉及到自变量，因变量，表达式，定义上又略有不同。
 
(这里个很重要的概念：增量。即Δx，Δy。很多人不知道增量的意思和dx，dy代表什么意思，其实读书的时候仔细一点，这些概念都有提到。)
 
2.1 连续
 2.1.1 定义1：当函数自变量的增量无线趋近于0的时候，因变量的增量的极限等于0。
 定义2：当自变量趋近于X0的时候，函数极限等于函数值f(x0).
 2.1.2 理解
 连续也只涉及到自变量向趋近于x0时，y的极限。只不过极限算完就算完了，极限是否存在，存在的话值是多少都不是我们关心的问题，但在连续的定义里面。要根据极限的计算结果对函数连续性进行评价。函数在极限存在且在该点有定义。极限不存在怎么办？该点没定义怎么办？于是就像"缺什么补什么"似的，高数引进的间断点的概念，并且根据函数该点处的极限情况分成了第一类间断点和第二类间断点。
 请注意，关于连续，我们经常研究的是某一点的情况。
 
	对于很多非数学系的工科同志而言，这里又有一个点常常被忽略——有定义（包含分母不为0这种没定义的情况）
 
2.2 可导与导数
 2.2.1 定义
 当自变量趋近于某一点x0的时候，因变量-f(x0)/自变量-x0的极限存在。
 2.2.2 理解
 如果说连续的定义和计算与极限还有几分相似的话，可导和可微就完全不是了。可导相当于构造了一个新的函数g(x),计算该函数的极限。当然，新构造出来的函数有它自己的实际意义，也就是因变量增量的比与自变量增量的比的极限。
 另一个值得注意的就是可导的结果并不是一个实际的值，好像布尔值一样，对函数某点做是否可导判断的问题可转换为函数g(x)在该点的极限是否存在。得出是或否就行了。
 到这里，理解“可导一定连续，但连续不一定可导”应该不难了，因为你肯定在极限中做过让你头疼很久的0比0型极限，通常情况是一个极限单独算存在，合在一块经过有限加减运算刚好凑成了0/0型，如果连续的结果（某一点的极限存在）存在，把它看成一个有结果的极限，那么可导刚好类似于0/0型。所以只知道连续的结果算不出可导的结果。知道了可导的结果，就知道连续的极限存在，也知道了可导一定连续。
 如果感觉记不住，就用一种地球人都知道的记忆方法：你看到面前的一排小蓝车，你把第一辆车推到了，接着后面的车跟着也倒了，可倒（导）一定连续，连续不一定可倒（导）。
 
	请注意：对于导数是否存在一般为某一点，导数则有可能是一个区间
 
2.3 可微
 
	注意dx和dy从现在起才正式出现。
 
2.3.1 定义
 Δy可以写成线性的形式A*Δx加上一个无穷小，即线性的形式。A与x无关，无穷小相对于Δx而言。满足条件的成为函数可微，并称AΔx为x在x0处的微分。记为dy，自变量的增量Δx等于自身的微分dx，所以有dy=Adx。
 2.3.2 解释
 2.3.2.1 Δy与dy的区别
 Δy与dy之间相差了一个无穷小量。也可以说dy是Δy的近似。
 2.3.2.2 可微和可导一样，判断是否可微即可，但A的确定又是一个难题，对于学高等数学的工科生直接使用结论A即为该点的导数值即可。
 
	请注意：可微相对于某一点来说，微分相对于定义域

        大约在十八世纪60年代，德国数学家魏尔斯特拉斯（K.Weierstrass, 1815-1897）给出如下定义：给定函数y=f（x）以及在其定义域内的一个给定点x0

        f (x) iscontinuous at x = x0
 if
        ?ε>0 ?δ>0  such that for every x in the domain of f ,    

        |x ? x0| < δ ? | f(x) ? f(x0)| < ε

        在一百年之后，美国数学家鲁宾逊引入超实数系统*R。并且在超实数系统*R上定义了“无限接近”的数字关系“≈”，也就是说，如果两个超实数相差一个无穷小，就说两者彼此“无限接近”。

        在这种定义之下，函数y=f（x）在给定点x0处是连续的定义变成了：了一句话：

        如果X≈X0，那么f（x）≈ f(x0)，也就是说，如果X无限接近于X0，那么f（x）无限接近于f(x0)。

        我们要问：魏尔斯特拉斯与鲁宾逊说的是同一件事情，谁的说法更加接近于普通的“老百姓”？



 袁萌  3月19日

       无穷小微积分学引导我们前往何方？对于这类问题，拿来“考问”学生似乎不太合适。这是微积分学教员首先需要思考的问题，因为是教员引导着学生在走路，而不是相反。
 
            对于进入社会的成年人，不论有何种学位头衔，如果你问他：什么叫微积分？他多半摇头不语，或是避而不答。这是什么原因呢？这个问题与微积分的教学目标有关。实际上，翻阅国内外的微积分学教材，几乎都是一个“套路”：实数、极限、连续、级数、导数、微分、积分，......导数微分概念似乎总要安排在函数的连续性之后才算合理。微积分教学改革就要打破这套“规矩”，使微积分更加适合人们的认识规律，容易进入脑壳，终生不忘。
 
           对于在美国进行的微积分改革运动（CRM），J.Keisler撰写的《基础微积分》教材是有贡献的，该教材将导数概念置于函数连续性之前进行讲授，可谓“别具一格”，实质上，这是将微积分学引向正确的方向：研究连续、光滑的几何对象及其性质（注意：数学性质不同于物理性质，前者只是后者的抽象。）。
 
        在《基础微积分》第三章第四节第125页给出函数连续性的正式定义：
 
          DEFINITION
 
             f is said to be continuos at a point c if:
 
        (I) f is defined at c
 
     (ii) whenever x is infinittely close to c ,f(x) is infinitely close to f(c).
 
         初看上去，这个定义很平凡，没有什么稀奇之处。但是，转而一想，如果我们将定义中的点“c”运动起来，令其充满一个闭区间[a，b]，岂不是有了闭区间上的连续函数的概念？进一步，如果函数f在该区间内部处处可微分，光滑的连续曲线不就出来了吗？这种光滑、连续的曲线有什么性质呢？能不能加以严格的数学证明？其实微积分学的”结论“（定理）在你脑壳里面早就有了，直觉上是很显然的东西，只是重新给予了严格的数学证明而已。你怎么会忘记它呢？
 
          有人担心，函数连续性在无穷小微积分学（超实数）里面很简单，但是，能不能”等价“回到原来的传统微积分学呢？这个问题不必担心，在《无穷小微积分基础》第五章里面，这些问题全部解决了，你大可放心学习、使用这种无穷小微积分学的新方法、新途径，将其应用到实际问题中，其真实性不比传统微积分高，也不比传统微积分低，只是更为适合我们的直觉思维习惯而已。
 
         在函数连续性定义中，我们要注意的是：定义中的函数f是从实数系R转移到超实数系*R上的函数f的自然延伸（或扩张），应当在左上角加上一个星号”*“，也就是*f。按照我们的约定，在定义里面就把星号”*“统统省略了。当你习惯了在无穷小微积分学领地上驾车疯跑之后，无限风光在眼前，有新的发现，有新的体验，就顾不上老传统，老套路了。这就是推出”袖珍电子书“的目的，也许有人会说，这是”险恶“的用心。