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  • 文章目录第三章 一元函数积分概念、计算及应用 第三章 一元函数积分概念、计算及应用

    分部积分表格法指路

    第三章 一元函数积分概念、计算及应用

    一、一元函数积分的概念、性质与基本定理

    (一)原函数与不定积分的概念和基本性质
    1. 原函数与不定积分的定义
    2. 原函数与不定积分的关系
      注意常数C
    3. 求不定积分与求微分(导数)的关系——互为逆运算
      注意常数C
    4. 不定积分的简单性质,(提k(k≠0),加减)
    (二)定积分的概念与基本性质
    1. 定积分的定义

      ① 积分区间有限,被积函数有限
      ② 构造积分和时,小区间的分割是任意
      ③ 定积分存在时,其值只与被积函数与积分区间有关,与积分变量的字母无关

    2. 定积分的几何意义(注意正负)

    3. 函数在区间上的可积性
      ① 函数在闭区间有界
      ② 以下三条满足其一:

    • 闭区间连续
    • 闭区间只有有限个间断点
    • 闭区间单调
    1. 定积分的基本性质
      ① 线性性质(加减)
      ② 对区间的可加性质(中间点可在区间内,也可在区间外)
      ③ 改变有限个点的函数值不改变其可积性与积分值
      ④ 比较定理,区间内函数小积分就小

    推论 1:区间内恒大于等于0函数,积分值大于等于0
    推论 2:积分的绝对值小于等于绝对值的积分
    推论 3:估值定理:m<=f(x)<=Mm<=f(x)<=M且不为常值函数
    m(ba)<abf(x)dx<M(ba)m(b-a)<\int_{a}^{b}f(x)dx<M(b-a)

    ⑤ 积分中值定理
    ⑥ 连续非负函数的积分性质(参考上面的几个推论)
    ⑦ 对于区间内的任意子区间的定积分都为0时,有f(x)0f(x)\equiv0

    (三)基本定理
    1. 变限积分函数的连续性与可导性
      3.1
      ① 若闭区间可积,则变上限积分是连续函数
      ② 若闭区间连续,则变上限积分可导

    推论 1:变下限积分
    推论 2:复合
    推论 3:复合

    1. 原函数的有关问题
      ① 原函数存在定理
      3.2 若连续,变上限积分函数是一个原函数
      若有第一类间断点则没有原函数
      ② 不定积分与变限积分的关系
      若连续,则
      ③ 初等函数一定有原函数,但是原函数不一定是初等函数

    2. 牛顿-莱布尼兹公式
      闭区间

    推论 1:开区间存在原函数且都连续,则
    证明:用洛必达
    推论 2:开区间存在原函数,且端点处分别左右连续则
    证明:引入辅助函数
    推论 3:区间内有间断点

    (四)奇偶函数与周期函数的积分性质
    1. 对称区间上奇偶函数的定积分

    ① 二倍, 0
    ② 偶积奇,奇积偶

    1. 周期函数的积分
      3.5 如果在一个周期上可积,那么
    • T为长度的区间积分值相同
    • 变上限积分是T周期函数的充要条件,T长度区间内积分为0
    • 全体原函数以T为周期的充要条件,T长度区间内积分为0
    (五)利用定积分求某些nn项和式数列的极限

    条件:闭区间连续
    具体题目见第一章


    二、基本积分表与积分法则

    (一)基本积分表


    (二)积分法则
    1. 分项积分法

    2. 分段积分法
      ① 定积分
      ② 不定积分

    • 连续拼接法
    • 变限积分法
    1. 换元积分法
      ① 不定积分的换元积分法

    第一换元积分法(凑微分法)

    ② 第二换元积分法

    • 三角函数替换
    • 幂函数替换
    • 倒替换
    1. 分部函数法
      ① 不定积分的分部积分法
      条件:uu , vv都有连续导函数
      ② 定积分的分部积分法
      条件:uu , vv都导函数闭区间连续
    • 写成udv\int_{}^{}udv或者uvdx\int_{}uv'dx的形式

    • 多次应用分部积分法,直到求出结果
    • 有时可导出原函数的方程,不要遗漏常数CC
    • 用分部积分法可导出递推公式

    ③ 表格法



    三、几种特殊类型函数的积分法

    (一)有理函数的积分
    (二)简单无理函数的积分

    简单化简后,可使用第二换元积分法

    (三)三角函数有理式的积分

    万能代换


    四、积分计算技巧

    1. 几何意义
    2. 奇偶性
    3. 积分公式,华里士公式(点火)
    4. 被积函数的分解与结合

    五、反常积分(广义积分)

    (一)反常积分(广义积分)的概念
    1. 无穷区间上的反常积分的概念

    2. 无界函数的反常积分的概念
      瑕积分,瑕点

    3. 按定义判断反常积分的敛散性与计算反常积分值

    4. 常见反常积分

    (二)反常积分(广义积分)的运算法则与计算

    六、积分学应用的基本方法——微元分析法


    七、一元函数积分学的几何应用

    (一)平面图形的面积
    1. 直角坐标系中的平面图形的面积
    2. 极坐标
    3. 曲线方程
    (二)平面曲线的弧微分与弧长
    (三)平面曲线的曲率
    1. 概念
    2. 曲率计算公式
    (四)空间图形的体积
    1. 平行截面面积为已知的立体的体积
    2. 旋转体的体积
    (五)旋转体的(侧)面积
    1. 圆台的侧面积公式
    2. 直角坐标系下的计算公式
    3. 参数方程下计算公式
    4. 极坐标公式

    八、一元函数积分学的物理应用

    (一)液体静压力
    (二)变力做功
    (三)引力问题
    (四)质心或形心问题
    1. 均匀线密度为ρρ的质心(形心)问题
    2. 均匀密度平面图形的质心(形心)
    (五)函数在区间上的平均值

    公式


    常考题型约有十五种

    后记:


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  • 文章目录第二章 一元函数的导数与微分概念及其计算一、一元函数的导数与微分二、按定义求导数及其适用的情形三、基本初等函数导数表,导数四则运算法则与复合函数微分法则(一)基本初等函数导数表(微分表)四、...

    文章目录


    第二章 一元函数的导数与微分概念及其计算

    一、一元函数的导数与微分

    (一)导数的定义、几何意义与力学意义
    1. 导数的定义
      2.1 定义
      2.2 左右导数
    2. 几何意义(切线斜率)
    3. 力学意义(物理的速度)
    (二)单侧可导与双侧可导的关系

    2.1 可导的充要条件,左右导数存在且相等

    (三)可微的定义、微分的几何意义及可微、可导与连续之间的关系
    1. 可微的定义
    2. 微分的几何意义
      Δyf(x)的增量,dy是切线的增量
    3. 可导、可微与连续之间的关系
      可微与可导等价
    (四)函数在区间上的可导性,导函数及高阶导数
    1. 函数在区间上的可导性
    2. 导函数
    3. 二阶导数及高阶导数
    4. 二阶导数的力学意义(物理的加速度)
    (五)奇偶函数与周期函数的导数性质

    奇的导数为偶,偶的导数为奇
    周期函数的导数也是周期函数且周期相同


    二、按定义求导数及其适用的情形

    (一)按定义求导数

    注意,Δx→0时,若f(x + Δx) - f(x)不是无穷小量则f '(x0)不存在

    (二)适合用定义求导数的几种情形

    分段函数
    只说连续没说可导

    (三)利用导数的定义求极限

    Ⅰ 直接按导数的定义求,注意增量的替换,只要趋近于0即可替换

    Ⅱ 数列极限与导数的关系


    三、基本初等函数导数表,导数四则运算法则与复合函数微分法则

    (一)基本初等函数导数表(微分表)

    (二)导数与微分的四则运算法则
    (三)复合函数的微分法则

    四、初等函数的求导法


    五、复合函数求导法的应用——由复合函数求导法则导出的几类函数的微分法

    (一)幂指函数的求导(微分)法

    方法1:变成以e为底的幂函数
    方法2:取对数然后再求导

    (二)反函数的求导法

    2.5 反函数的求导公式
    要会求反函数的一阶导数
    要知道 d2x/dy2d^{2}x/dy^{2} 的含义,以及求法

    (三)由参数方程确定的函数的求导法
    (四)隐函数微分法

    直接将两端求导,然后将导数解出来,求二阶导时,直接从一阶导数的两端求导,再把二阶导解出来
    也可以用链式求导法则,按照多元函数的求导法则来求导:
    y ' (x) = - F 'x / F ' y


    六、分段函数的求导法

    (一)按定义求分界点初的导数或左右导数
    (二)按求导法则分别求分段函数在分界点处的左右导数
    (三)分界点是连续点时,求导函数在分界点处的极限值或左、右极限值

    七、高阶导数及n阶导数的求法

    (一)归纳法

    先求出一二三阶导数,然后观察规律,使用归纳法

    (二)利用简单的初等函数的n阶导数公式(很难记,也很难用)

    (三)分解法

    将函数分解成为上述简单初等函数之和的形式,然后利用上述n阶导数公式,常有如下情形:

    1. 有理函数与无理函数的分解
    2. 三角函数的分解(利用各种三角恒等变换,二倍角公式等等)
    (四)莱布尼兹法则

    (五)利用泰勒公式(详见第五章泰勒公式的应用)

    八、一元函数微分学的简单应用

    (一)平面曲线的切线与法线
    1. 用显式方程表示的平面曲线
      根据导数,会写切线方程,法线方程

    2. 用参数方程表示的平面曲线

    3. 用极坐标方程表示的平面曲线

    4. 用隐式方程表示的平面曲线

    (二)平面曲线的曲率(见第三章)
    (三)用导数描述某些物理量

    速度,密度,电流强度,功率等


    本章常考题型约有七种


    后记:


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  • 撰写的《基础微积分》教材是有贡献的,该教材将导数概念置于函数连续性之前进行讲授,可谓“别具一格”,实质上,这是将微积分学引向正确的方向:研究连续、光滑的几何对象及其性质(注意:数学性质不同于物理性质,...
    
    

           无穷小微积分学引导我们前往何方?对于这类问题,拿来“考问”学生似乎不太合适。这是微积分学教员首先需要思考的问题,因为是教员引导着学生在走路,而不是相反。

                对于进入社会的成年人,不论有何种学位头衔,如果你问他:什么叫微积分?他多半摇头不语,或是避而不答。这是什么原因呢?这个问题与微积分的教学目标有关。实际上,翻阅国内外的微积分学教材,几乎都是一个“套路”:实数、极限、连续、级数、导数、微分、积分,......导数微分概念似乎总要安排在函数的连续性之后才算合理。微积分教学改革就要打破这套“规矩”,使微积分更加适合人们的认识规律,容易进入脑壳,终生不忘。

               对于在美国进行的微积分改革运动(CRM),J.Keisler撰写的《基础微积分》教材是有贡献的,该教材将导数概念置于函数连续性之前进行讲授,可谓“别具一格”,实质上,这是将微积分学引向正确的方向:研究连续、光滑的几何对象及其性质(注意:数学性质不同于物理性质,前者只是后者的抽象。)。

            在《基础微积分》第三章第四节第125页给出函数连续性的正式定义:

             DEFINITION

                f is said to be continuos at a point c if:

           (I) f is defined at c

         (ii) whenever x is infinittely close to c ,f(x) is infinitely close to f(c).

             初看上去,这个定义很平凡,没有什么稀奇之处。但是,转而一想,如果我们将定义中的点“c”运动起来,令其充满一个闭区间[ab],岂不是有了闭区间上的连续函数的概念?进一步,如果函数f在该区间内部处处可微分,光滑的连续曲线不就出来了吗?这种光滑、连续的曲线有什么性质呢?能不能加以严格的数学证明?其实微积分学的”结论“(定理)在你脑壳里面早就有了,直觉上是很显然的东西,只是重新给予了严格的数学证明而已。你怎么会忘记它呢?

              有人担心,函数连续性在无穷小微积分学(超实数)里面很简单,但是,能不能”等价“回到原来的传统微积分学呢?这个问题不必担心,在《无穷小微积分基础》第五章里面,这些问题全部解决了,你大可放心学习、使用这种无穷小微积分学的新方法、新途径,将其应用到实际问题中,其真实性不比传统微积分高,也不比传统微积分低,只是更为适合我们的直觉思维习惯而已。

             在函数连续性定义中,我们要注意的是:定义中的函数f是从实数系R转移到超实数系*R上的函数f的自然延伸(或扩张),应当在左上角加上一个星号”*“,也就是*f。按照我们的约定,在定义里面就把星号”*“统统省略了。当你习惯了在无穷小微积分学领地上驾车疯跑之后,无限风光在眼前,有新的发现,有新的体验,就顾不上老传统,老套路了。这就是推出”袖珍电子书“的目的,也许有人会说,这是”险恶“的用心。



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  • 本节为高等数学复习笔记的第二部分,一元函数微分学的概念,计算以及几何应用,主要包括: 导数的定义,高阶导数的求解,极值点判断的充分条件,凹凸判断的充分条件,拐点判断的充分条件与必要条件,渐近线以及...

    本节为高等数学复习笔记的第二部分,一元函数微分学的概念,计算以及几何应用,主要包括: 导数的定义,高阶导数的求解,极值点判断的充分条件,凹凸性判断的充分条件,拐点判断的充分条件与必要条件,渐近线以及复杂函数图形的作图方法。

    1. 导数定义

      f(x0)=dfdxx=x0=limΔx0x0+ΔxΔx=limxx0f(x)f(x0)xx0f'(x_0)=\frac{df}{dx}|_{x=x_0}=lim_{\Delta x \rightarrow0}\frac{x_0+\Delta x}{\Delta x}=lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},下面看一道例题:

      eg.δ<0f(x)[δ,δ]f(0)=1limx0ln(12x)+2xf(x)x2=0f(x)x=0f(x)eg.设\delta<0,f(x)在[-\delta,\delta]上有定义,f(0)=1,且有lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1-2x)+2xf(x)}{x^2}=0,证明:f(x)在x=0处可导并求f'(x)。

      limx0ln(12x)+2xf(x)x2=limx02x12(2x)2+o(x2)+2xf(x)x2=2limx0f(x)1x2+0=0limx0f(x)1x=limx0f(x)f(0)x0=1f(x)x=0f(x)=1解:lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1-2x)+2xf(x)}{x^2}=lim_{x\rightarrow 0}\frac{-2x-\frac12(-2x)^2+o(x^2)+2xf(x)}{x^2}(泰勒展开)=2lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-1}{x}-2+0=0,即lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-1}{x}=lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=1,即f(x)在x=0处可导且f'(x)=1。

    2. 高阶导数

      (x=0)y=f(x)=Σn=0f(n)(0)n!xn泰勒展开(x=0处):y=f(x)=\Sigma_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n,看一道例题:

      eg.y=f(x)=x3sinxy(6)(0)eg.y=f(x)=x^3sinx,求y^{(6)}(0)。

      1)y=x3sinxy=Σn=0f(n)(0)n!xn2)y=x3sinx=x3(x16x3+o(x3))=x416x6+o(x6)3)1)2)y(6)(0)6!=16y(6)(0)=120解:1) 展开:由于y=x^3sinx无穷阶可导,可先抽象展开为y=\Sigma_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n;2) 又由于y=x^3sinx=x^3(x-\frac16x^3+o(x^3))=x^4-\frac16x^6+o(x^6);3) 根据展开式的唯一性,比较1)2)两步,\frac{y^{(6)}(0)}{6!}=-\frac16,可得y^{(6)}(0)=-\frac1{20}。

      几个常见的展开式(x=0处):

    • ex=Σn=0xnn!=1+x+x22+...+xnne^x=\Sigma_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2}+...+\frac{x^n}{n}
    • 11+x=Σn=0(1)nxn=1x+x2+...+(1)nxn\frac{1}{1+x}=\Sigma_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n=1-x+x^2-+...+(-1)^nx^n
    • 11x=Σn=0xn=1+x+x2+...+xn\frac{1}{1-x}=\Sigma_{n=0}^{\infty}x^n=1+x+x^2+...+x^n
    • ln(1+x)=Σn=0(1)n1xnn=xx22+x33x44+...ln(1+x)=\Sigma_{n=0}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...
    • sinx=Σn=0(1)nx2n+1(2n+1)!=xx33!+x55!x77!+...sinx=\Sigma_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...
    • cosx=Σn=0(1)nx2n(2n)!=xx22!+x44!x66!+...cosx=\Sigma_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=x-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...

    3. 几何应用

    3.1 判断极值点的第一充分条件

      f(x)x=x0x0U(x0,δ)设f(x)在x=x_0处连续,在x_0某去心邻域U(x_0,\delta)内可导:

    • a.x(x0δ,x0)f(x)<0x(x0,x0+δ)f(x)>0a. 若当x\in(x_0-\delta,x_0)时f'(x)<0,当x\in(x_0,x_0+\delta)时f'(x)>0,则极小值点
    • a.x(x0δ,x0)f(x)>0x(x0,x0+δ)f(x)<0a. 若当x\in(x_0-\delta,x_0)时f'(x)>0,当x\in(x_0,x_0+\delta)时f'(x)<0,则极大值点
    • f(x)(x0δ,x0)(x0,x0+δ)f'(x)在(x_0-\delta,x_0)和(x_0,x_0+\delta)上不变号,则不是极值点

    3.2 判断极值点的第三充分条件(第二充分条件是三的特例)

      f(x)x0nf(m)(x0)=0(m=1,2,...,n1)f(n)(x0)0(n2):设f(x)在x_0处n阶可导,且f^{(m)}(x_0)=0(m=1,2,...,n-1),f^{(n)}(x_0)\neq0(n\geq2):

    • nf(n)(x0)<0f(x)x0当n为偶数时且f^{(n)}(x_0)<0,f(x)在x_0处取极大值
    • nf(n)(x0)>0f(x)x0当n为偶数时且f^{(n)}(x_0)>0,f(x)在x_0处取极小值

    3.3 凹凸性

      f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)线线定义:\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}>f(\frac{x_1+x_2}{2}),图形上任意弧段位于弦的下方\rightarrow 凹曲线;反之,凸曲线。

      f(x)I(a)If(x)>0f(x)I(b)If(x)<0f(x)I充分条件:设函数f(x)在I上二阶可导,(a)若在I上f''(x)>0,在f(x)在I上的图形是凹的;(b)若在I上f''(x)<0,在f(x)在I上的图形是凸的。

      f(x)(a,b)(a,b)x1,x2,λ(0,1)f[λx1+(1λ)x2]λf(x1)+(1λ)f(x2)f(x)(a,b)另一种凹凸性的定义:设f(x)在(a,b)上连续,若对(a,b)内任意两点x_1,x_2,\lambda\in(0,1),有f[\lambda x_1+(1-\lambda)x_2]\geq\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2),则称f(x)在(a,b)内的图形是凸的;否则,凹。

    3.4 拐点

      定义:连续曲线凹弧和凸弧的分界点。

      f(x0)(x0,f(x0))线f(x0)=0必要条件:设f''(x_0)存在,且点(x_0,f(x_0))为曲线上的拐点,则f''(x_0)=0

      f(x)x=x0x=x0U(x0,δ)第一充分条件:设f(x)在点x=x_0处连续,在点x=x_0的某去心邻域U(x_0,\delta)内二阶导数存在,且在改点的左右邻域变号(x0,f(x0))线则点(x_0,f(x_0))为曲线上的拐点。

      f(x)x0nf(m)(x0)=0(m=2,...,n1)f(n)(x0)0(n3)n(x0,f(x0))第三充分条件:设f(x)在x_0处n阶可导,且f^{(m)}(x_0)=0(m=2,...,n-1),f^{(n)}(x_0)\neq 0(n \geq 3),则当n为奇数时,(x_0,f(x_0))为拐点。

    3.5 渐近线

      线limx+f(x)x=limxf(x)x=klimx+[f(x)kx]=limx[f(x)kx]=by=kx+b线y=f(x)线斜渐近线的定义:若lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{f(x)}{x}=k,lim_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-kx]=lim_{x\rightarrow -\infty}[f(x)-kx]=b,则称y=kx+b是曲线y=f(x)的一条斜渐近线。

    3.6 作函数图形

      1)f(x)2)f(x),f(x),f(x)f(x)=0f(x)f(x)=0f(x)1) 确定f(x)的定义域,判断奇偶性;2) 求出f'(x),f''(x),用f(x)的无定义点,f'(x)=0的点,f'(x)不存在的点,f''(x)=0的点,f''(x)不存在的点将定义域划分为多个子区间,确定每个子区间上的单调性3)线,凹凸性,得到极值点和拐点;3)渐近线。看一个例题:

      eg.f(x)=sinx1sinx[π,π]eg.画出函数f(x)=\frac{sinx}{1-sinx}在[-\pi,\pi]上的图形。

      [π,π2)(π2,π]解:确定定义域[-\pi,\frac{\pi}{2})\bigcup (\frac{\pi}{2},\pi]

      f(x)=cosx(1sinx)2f(x)=0x1=π2x2=π2一阶导:f'(x)=\frac{cosx}{(1-sinx)^2},令f'(x)=0,得x_1=-\frac{\pi}{2},x_2=\frac{\pi}{2}(无定义)

      f(x)=sinx(1sinx)2cosx2(1sinx)(cosx)(1sinx)4=1(1sinx)2+cos2x(1sinx)3(π,π2)(π2,π)0f(π2)=12;二阶导:f''(x)=\frac{-sinx(1-sinx)^2-cosx\cdot 2(1-sinx)(-cosx)}{(1-sinx)^4}=\frac{1}{(1-sinx)^2}+\frac{cos^2x}{(1-sinx)^3},可知在区间(-\pi,\frac{\pi}{2})\bigcup (\frac{\pi}{2},\pi)上二阶导数大于0,f(-\frac{\pi}{2})=-\frac12为极小值点;

      limxπ2f(x)=limxπ2sinx1sinx=+x=π2线f(0)=f(π)=f(π)=0并且,lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}f(x)=lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{sinx}{1-sinx}=+\infty,所以x=\frac{\pi}{2}是一条铅锤渐近线。另外f(0)=f(-\pi)=f(\pi)=0,列表并画图如下:
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  • 文章目录 第八讲 一元函数积分学的概念与计算 不定积分 原函数(不定积分)存在定理 用导数介值定理解释 定积分 变限积分 不定积分与变限积分的比较 积分的奇偶 积分的周期 反常积分 基本积分公式 基本积分方法 ...
  • 在高等数学一元函数微分学中研究的关键问题之一是可导和可微,夹杂着函数连续,简短等知识点,这几个相关的概念混在一块总是难以理解,什么可导一定可微,可导一定连续之类的。 这里把这几个概念就自己的理解做一下...
  • 微积分(六)——一元函数微分学

    千次阅读 2020-08-07 16:21:53
    (一)一元函数微分学基础 这一部分只会讨论什么是导数与微分,以及它们的计算。也是一元函数微分学最基础的部分。 1)讨论导数与微分的概念 给出函数判断导数是否存在: 利用导数的定义判断在某一点导数是否存在,...
  • 建议同学们在学习中,注意将二元函数的概念与结论与一元函数的相应的概念与结论加以比较,区别并理解二者之间的“同中之异,异中之同”,这样会大大地提高学习效率。 一、区域 1、邻域 设是...
  • 函数、极限与连续。 求分段函数的复合函数;(注意复合函数内层函数值域与外层函数的定义域交不为空) 反函数(一个y,只有"唯一"的x对应) x^3 函数单调增不能推出 导数...讨论函数连续性,判断间断点的类型; 无穷小
  • 不定积分与定积分的概念、性质、理论 定义 原函数与不定积分。[《全书》P77] 定积分。[《全书》P77] 重要性质、定理、公式 定积分存在定理。[《全书》P78] 原函数存在定理。[《全书》P78] 变上限函数对上限变量...
  • 关于函数连续性,还有几个相应的概念。 1、如果 ,称函数 在 处 左连续 。 2、如果 ,称函数 在 处 右连续 。 3、如果函数在区间 上每一点均连续, 称函数在区间 上连续; 若 包括端点 ,那么...
  • 第一节 原函数与不定积分的概念; 第二节 不定积分的换元法; 第三节 分部积分法; 第四节 微分方程简介; 第五节 定积分的概念; 第六节 定积分的基本性质; 第七节 微积分基本公式; 第八节 定积分的换元法与分部...
  • 平面点集与多元函数 1.平面点集 (1)坐标平面与平面点集: 注:①或简称"数对" ②一般地,对于∀2∀2∀2个数集(或点集)A,BA,BA,B,记A×B={(x,y) ∣ x∈A,y∈B}A×B=\{(x,y)\,|\,x∈A,y∈B\}A×B={(x,y)∣x∈A,y∈B}...
  • 一元函数积分学性质概念3.2(结论)3.43.7一元积分比大小3.103.13 三.一元函数积分学 性质概念 3.2(结论) f(x)以T为周期,证明:∫0Tf(x)dx=0⇔∫0xf(t)dt以t为周期f(x)以T为周期,证明:\int_0^Tf(x)dx=0\...
  • 多元函数的基本概念

    千次阅读 2020-03-10 08:20:11
    二、多元函数概念 2.1、二元函数 二元函数的图像是一张曲面 2.2、多元函数: 二元类推 三、多元函数的极限 3.1、二元函数极限定义 3.1.1、重要的逆否命题:P(x,y)以不同的方式趋于P(x0, y0)时,f(x, y)趋于不同...
  • 2.1 导数与微分的概念 2.2 导数公式及求导法则 2.3 高阶导数
  • 多元函数的基本概念
  • 设二元函数 为定义在点集 上的函数。...注:二元函数连续性的定义与一元函数连续性的定义有所不同,在一元函数的连续性的定义中,要求函数 必须在 的某一邻域 上有定义,并且要求的是 ,当 时, ,则称函...
  • 【数学】一元函数积分学(宇哥笔记)

    千次阅读 多人点赞 2019-03-15 12:02:19
    定积分定义 很早人们就发现了一个矩形的面积是底*高,而一个边为曲线的图形呢? 黎曼(1826-1866)发现,将这钟图形任意分割成n份,就可以粗略的看到一个个小矩形。...概念(性质) 1.奇偶 ∫0...
  • 一、平面点集 去心邻域:比对数轴的去心邻域概念,平面上一个点的去心邻域就是以该点为中心取一个大于0的值为半径的圆标识的范围(不包括...多元函数:还是比对一元函数理解,一元函数是有一个自变量x和一个因变量y
  • 参考相关公式请进入:专升本高数——常用公式总结大全【补充扩展】 ... 12集30分钟~24集第三讲: ...在闭区间上连续 在闭区间内可导 f(a)=f(b) 则在区间(a,b)上至少存在一点c使得f(c)的导数等于0 ...
  • 如果 、 都是以数为元素的集合(称为数集),基于映射的概念就得到一元函数的定义: 对给定的两个数集 、 ,若对任一 ,按某个确定的对应关系 ,在 中总有唯一的数 与 对应,则称这一关系 在 、 间建立了一个一元...
  • 1.邻域: ...TIP:值得一提的在二维以上的领域是一个以点 为中心的 中心对称区域 ,在研究函数的极限,连续性,导数等等凡是提到这些和趋势变化逼近有关的的内容时若用到邻域,都是指从四面八方逼近。...
  • 多项式逼近连续函数

    2020-12-21 22:04:44
    本文可作为线性代数实现线性回归的下篇,先简单回顾一下,线性代数实现线性回归中介绍了子空间的概念,把子空间想象成一个超平面,子空间中任意一个向量都可以用子空间的基线组成,线性回归原理是已知一个超平面...
  • 函数

    2021-03-14 13:17:52
    注意一元与多元概念的不同点(比如:一元可导能推出连续,但是多元可导不能推出连续) 难点: 一元微分学 递推型数列极限 微分中值定理证明题 一元积分学 定积分的等式不等式证明 多元积分学 重积分 线面积分 ...
  • 多元函数概念和偏导数

    千次阅读 2020-04-21 14:56:48
    偏导数 ...对多元函数而言,即使函数的各个偏导数都存在,也不能保证函数在该点连续。 即是可导不一定连续 3.高级偏导数 四个二阶偏导数 其中二三叫做混合偏导数 二阶及二阶以上的叫做高阶偏导数 ...
  • 多元函数的极限与连续 一、基本概念 1.1 总论 ​ 我觉得进到多元范畴,有两点是重要的,一个是形式的统一,另一个是条件的强弱。形式的统一有两个方面,一个是把新的概念用旧的概念解释,一个是将旧的概念,狭义的...
  • 函数与极限 1. 函数 1.1. 基本函数性质与相关函数 ...1.1.6. 函数的基本态 1.1.6.1. 单调 1.1.6.2. 奇偶 1.1.6.3. 周期 1.1.6.4. 有界 1.2. 基本初等函数 1.2.1. 高中基本初等函数 1...

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一元函数连续性的概念