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  • 解析的概念与CR方程

    2012-12-27 15:42:48
    复变函数解析函数的概念与CR方程的应用。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数,而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数,复变函数论主要就研究复数域上的解析函数,因此通常...
  • Educoder题目:Python入门之函数调用答案解析.md
  • python insert()函数解析(最清晰的解释)

    万次阅读 多人点赞 2019-04-13 15:13:46
    python insert()函数用于将指定对象插入列表的指定位置。 list.insert(index, obj ) 参数: index:对象obj需要插入的索引位置。 obj:要插入列表中的对象。 共有如下5种场景: 1:index=0时,从头部插入...

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    python insert()函数用于将指定对象插入列表的指定位置。

    list.insert(index, obj)
    

    参数:

    • index:对象obj需要插入的索引位置。

    • obj:要插入列表中的对象。

    共有如下5种场景:

    • 1:index=0时,从头部插入obj。

    • 2:index > 0 且 index < len(list)时,在index的位置插入obj。

    • 3:当index < 0 且 abs(index) < len(list)时,从中间插入obj,如:-1 表示从倒数第1位插入obj。

    • 4:当index < 0 且 abs(index) >= len(list)时,从头部插入obj。

    • 5:当index >= len(list)时,从尾部插入obj。

    list.insert(index = -1, obj)除外,当index = -1时,是插在倒数第二位的,也就是:

    lst = [2,2,2,2,2,2]
    lst.insert(-1,6)
    print(lst)
    
    > [2, 2, 2, 2, 2, 6, 2]
    

    例子1:

    lst = [2,2,2,2,2,2]
    lst.insert(0,0)# index=0时,从头部插入obj
    print(lst)
    
    > [0, 2, 2, 2, 2, 2, 2]
    

    例子2:

    lst = [2,2,2,2,2,2]
    lst.insert(6,7)# index > 0 且 index < len(list)时,在index的位置插入obj
    print(lst)
    
    > [2, 2, 2, 2, 2, 2, 7]
    

    例子3:

    lst = [2,2,2,2,2,2]
    lst.insert(-2,6)# 当index < 0 且 abs(index) < len(list)时,从中间插入obj
    print(lst)
    
    > [2, 2, 2, 2, 6, 2, 2]
    

    例子4:

    lst = [2,2,2,2,2,2]
    lst.insert(-20,10)# 当index < 0 且 abs(index) >= len(list)时,从头部插入obj
    print(lst)
    
    > [10, 2, 2, 2, 2, 2, 2]
    

    例子5:

    lst = [2,2,2,2,2,2]
    lst.insert(30,20)# 当index >= len(list)时,从尾部插入obj
    print(lst)
    
    > [2, 2, 2, 2, 2, 2, 20]
    

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  • 解析函数

    千次阅读 2020-09-27 19:52:35
    解析 定义:复变函数f(z)在z0的邻域内处处可导,则称f(z)在z0处解析;如果f(z)在定义域D内处处可导,则称f(z)解析。 判断条件 1. 2. 函数解析与处处可导的关系:

    1. 定义

    复变函数f(z)在z0及z0的邻域内处处可导,则称f(z)在z0处解析;如果f(z)在定义域D内处处可导,则称f(z)解析。

    2. 判断

    ( 1 ) 定 义 法 。 在 z   0   的 邻 域 内 处 处 可 导 。 (1)定义法。在z~0~的邻域内处处可导。 1z 0 

    ( 2 ) u ( x , y ) 和 v ( x , y ) 在 D 内 处 处 可 微 , 而 且 满 足 C − R 方 程 , 则 函 数 处 处 可 导 , 再 由 定 义 法 知 解 析 。 (2)u(x,y)和v(x,y)在D内处处可微,而且满足C-R方程,则函数处处可导,再由定义法知解析。 2u(x,y)v(x,y)DCR

    ( 3 ) 在 D 内 u ′   x   , u ′   y   , v ′   x   , v ′   y   存 在 且 连 续 , 并 且 满 足 C − R 方 程 , 则 f ( z ) 在 D 内 解 析 。 (3)在D内 u'~x~,u'~y~,v'~x~,v'~y~ 存在且连续,并且满足C-R方程,则f(z)在D内解析。 3Du x u y v x v y CRf(z)D

    3. 性质

    (1)在区域D内解析函数的和差积商仍是解析函数。

    (2) u ( x , y ) 和 v ( x , y ) 在 D 内 处 处 可 微 , 而 且 满 足 C − R 方 程 u(x,y)和v(x,y)在D内处处可微,而且满足C-R方程 u(x,y)v(x,y)DCR

    4. 连续,可导,解析的关系

    • 连续 <=>可导 <=> 可微(与关于x,y的二元函数类似
    • 处处可导 <=> 解析
    • 函数在某点解析,则这点一定可导,
    • 函数在某点可导,但这点不一定解析。

    若函数在一点处解析,则一定在该点可导;若函数在一点可导,则不一定在该点解析。

    展开全文
  • 本篇文章是对如何通过PHP函数获取当前运行的环境 来进行判断执行逻辑的技巧进行了详细的分析介绍,需要的朋友参考下
  • 复变函数(2)-复变函数及其解析

    千次阅读 2021-02-19 10:36:45
    复变函数(2)-复变函数及其解析性                            东风夜放花千树,更吹落,星如雨       2.1 复变函数的定义:  设DDD是复平面上一个非空点集。如果...

    复变函数(2)-复变函数及其解析性

     

                             东风夜放花千树,更吹落,星如雨
     
     
     

    2.1 复变函数的定义:

     设 D D D是复平面上一个非空点集。如果按照一个确定的法则 f f f,对于 D D D中的每一个点 z z z,都有一个或多个复数 w w w与之对应,则称复变数 w w w是复变数 z z z的函数,简称为复变函数,记为
    w = f ( z )   , z ∈ D w=f(z)\ ,\quad z\in D w=f(z) ,zD 如果 z z z的一个值对应于 w w w的一个值,那么称函数 f ( z ) f(z) f(z)是单值的,如果 z z z的一个值对应着 w w w的多个值,那么称函数 f ( z ) f(z) f(z)是多值的。
     复变函数也可以和两个二元实函数 u ( x , y )   ,   v ( x , y ) u(x,y)\ ,\ v(x,y) u(x,y) , v(x,y)联系起来,设 w = u + v i w=u+vi w=u+vi z = x + y i z=x+yi z=x+yi,则
    w = u + v i = f ( z ) = f ( x + y i ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i w=u+vi=f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)i w=u+vi=f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)i 复变函数可以类比实函数定义其函数特征。

    2.2 指数函数:

     对于复变数 z = x + y i z=x+yi z=x+yi,称复变数 w = e x ( c o s y + i s i n y ) w=e^x(cosy+isiny) w=ex(cosy+isiny)为复变数 z z z的指数函数,记作 w = e z w=e^z w=ez,即
    w = e z = e x ( c o s y + i s i n y ) w=e^z=e^x(cosy+isiny) w=ez=ex(cosy+isiny) { ∣ e z ∣ = e x A r g ( e z ) = y + 2 k π ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) \left\{\begin{aligned} & |e^z|=e^x \\ & Arg(e^z)=y+2k\pi\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots)\end{aligned}\right. {ez=exArg(ez)=y+2kπ(k=0,±1,±2,) 指数函数是单值函数,且在复平面上处处有定义。
     (注:这里单值函数是指在 z = x + y i z=x+yi z=x+yi这样的实部虚部表示法下,函数值 w = e z w=e^z w=ez有唯一确定的实部和虚部。对于虚数的指数表示法 A r g ( e z ) = y + 2 k π Arg(e^z)=y+2k\pi Arg(ez)=y+2kπ,在任何情况下根据定义辐角的取值都是无穷多的,所以不利用复变数的指数和三角表示法来判断函数的单值和多值性。)
     复指数函数具有以下性质:
    e 0 = 1 e^0=1 e0=1 e z ≠ 0 e^z\ne0 ez=0 e z 1 + z 2 = e 1 z e 2 z e^{z_1+z_2}=e^z_1e^z_2 ez1+z2=e1ze2z e − z = 1 e z e^{-z}=\frac{1}{e^z} ez=ez1 e z ‾ = e z ‾ \overline{e^z}=e^{\overline{z}} ez=ez e 2 k π i = 1 e^{2k\pi i}=1 e2kπi=1

    2.3 对数函数

     指数函数的反函数,即满足方程
    e w = z ( z ≠ 0 ) e^w=z\quad (z\ne 0) ew=z(z=0) 的复变数 w w w称为复变数 z z z的对数函数,记作 w = L n   z w=Ln\ z w=Ln z
     对于 w = u + v i w=u+vi w=u+vi
    ∣ z ∣ = ∣ e w ∣ = e u |z|=|e^w|=e^u z=ew=eu A r g   z = A r g   e w = v Arg\ z=Arg\ e^w=v Arg z=Arg ew=v 所以
    u = l n ∣ z ∣   , v = A r g   z u=ln|z|\ ,\quad v=Arg\ z u=lnz ,v=Arg z L n   z = l n ∣ z ∣ + i A r g   z ( z ≠ 0 ) Ln\ z=ln|z|+iArg\ z\quad(z\ne 0) Ln z=lnz+iArg z(z=0) w = L n   z = l n ∣ z ∣ + i a r g   z + 2 k π i ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) w=Ln\ z=ln|z|+iarg\ z+2k\pi i\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots) w=Ln z=lnz+iarg z+2kπi(k=0,±1,±2,) 可以看出对数函数可以得出多种实部和虚部表示,所以对数函数是多值函数。给定确定 k = k 0 k=k_0 k=k0时,可以得到对数函数的一个分支,对数函数的每一个分支都是单值函数。
    k = 0 k=0 k=0时的分支称为对数函数 w = L n   z w=Ln\ z w=Ln z的主分支,对应的函数值为函数主值,记为 l n   z ln\ z ln z,有
    l n   z = l n ∣ z ∣ + i a r g   z ( z ≠ 0 ) ln\ z=ln|z|+iarg\ z\quad (z\ne 0) ln z=lnz+iarg z(z=0)
     对数函数有如下性质
    L n ( z 1 z 2 ) = L n   z 1 + L n   z 2 Ln(z_1z_2)=Ln\ z_1+Ln\ z_2 Ln(z1z2)=Ln z1+Ln z2 L n ( z 1 z 2 ) = L n   z 1 − L n   z 2 Ln(\frac{z_1}{z_2})=Ln\ z_1-Ln\ z_2 Ln(z2z1)=Ln z1Ln z2 等式两边都是多值函数,等号意味着两段可能取得的函数值全体相同。同理,下面的式子不成立
    L n   z n ≠ n L n   z Ln\ z^n\ne nLn\ z Ln zn=nLn z L n   z n ≠ 1 n L n   z Ln\ \sqrt[n]{z}\ne \frac{1}{n}Ln\ z Ln nz =n1Ln z

    2.4 幂函数

     设 a a a是复常数,对于复变数 z ≠ 0 z\ne 0 z=0,称复变数 w = e a L n   z w=e^{aLn\ z} w=eaLn z为复变数 z z z的幂函数,即
    w = z a = e a L n   z w=z^a=e^{aLn\ z} w=za=eaLn z 当 a a a为正实数,且 z = 0 z=0 z=0时,规定 z a = 0 z^a=0 za=0
     指数函数的取值性需要分情况讨论。
     (1)当 a = n a=n a=n为整数时
    w = z n = e n L n   z = e n [ l n ∣ z ∣ + i ( a r g   z + 2 k π ) ] = e n l n ∣ z ∣ + ( n a r g   z ) i + 2 n k π i = e n l n ∣ z ∣ + ( n a r g   z ) i ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) w=z^n=e^{nLn\ z}=e^{n[ln|z|+i(arg\ z+2k\pi)]}=e^{nln|z|+(narg\ z)i+2nk\pi i}=e^{nln|z|+(narg\ z)i}\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots) w=zn=enLn z=en[lnz+i(arg z+2kπ)]=enlnz+(narg z)i+2nkπi=enlnz+(narg z)i(k=0,±1,±2,) 所以此时幂函数为单值函数,当 n > 0 n>0 n>0时在复平面上处处有定义。当 n < 0 n<0 n<0时,在复平面除 z = 0 z=0 z=0点外处处有定义。
     (2)当 a = p q a=\frac{p}{q} a=qp p p p q q q为互质的整数, q > 0 q>0 q>0)为有理数时
    w = z a = e p q L n   z = e p q [ l n ∣ z ∣ + i ( a r g   z + 2 k π ) ] = e p q l n ∣ z ∣ + ( p q a r g   z ) i + 2 p q k π i w=z^a=e^{\frac{p}{q}Ln\ z}=e^{\frac{p}{q}[ln|z|+i(arg\ z+2k\pi)]}=e^{\frac{p}{q}ln|z|+(\frac{p}{q}arg\ z)i+2\frac{p}{q}k\pi i} w=za=eqpLn z=eqp[lnz+i(arg z+2kπ)]=eqplnz+(qparg z)i+2qpkπi = e p q l n ∣ z ∣ [ c o s p q ( a r g   z + 2 k π ) + i s i n p q ( a r g   z + 2 k π ) ) ] ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) =e^{\frac{p}{q}ln|z|}[cos\frac{p}{q}(arg\ z+2k\pi)+isin\frac{p}{q}(arg\ z+2k\pi))]\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots) =eqplnz[cosqp(arg z+2kπ)+isinqp(arg z+2kπ))](k=0,±1,±2,)
     根据三角函数的周期性,函数 w = z p q w=z^{\frac{p}{q}} w=zqp具有 q q q个不同的值,当 k = 0 , 1 , … , q − 1 k=0,1,\ldots,q-1 k=0,1,,q1时可以取得。
     (3)当 a a a为无理数或虚数时,幂函数是无穷多值的,在复平面上除了 z = 0 z=0 z=0外处处有定义,每一个单值分支对应于 L n   z Ln\ z Ln z的一个单值分支。

    2.5 三角函数

     分别称
    cos ⁡ ( z ) = e i z + e − i z 2 sin ⁡ ( z ) = e i z − e − i z 2 i \cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\quad \sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} cos(z)=2eiz+eizsin(z)=2ieizeiz 为复变数的余弦函数和正弦函数。
     三角函数具有 2 π 2\pi 2π的周期性和奇偶性,但不再具有有界性,且
    cos ⁡ 2 z + sin ⁡ 2 z = 1 \cos^2{z}+\sin^2z=1 cos2z+sin2z=1 cos ⁡ ( z + π 2 ) = − sin ⁡ ( z ) , cos ⁡ ( z + π ) = − cos ⁡ z \cos(z+\frac{\pi}{2})=-\sin(z),\quad\cos(z+\pi)=-\cos z cos(z+2π)=sin(z),cos(z+π)=cosz sin ⁡ ( z + π 2 ) = cos ⁡ ( z ) , sin ⁡ ( z + π ) = − sin ⁡ z \sin(z+\frac{\pi}{2})=\cos(z),\quad\sin(z+\pi)=-\sin z sin(z+2π)=cos(z),sin(z+π)=sinz sin ⁡ ( z 1 + z 2 ) = sin ⁡ z 1 cos ⁡ z 2 − cos ⁡ z 1 sin ⁡ z 2 \sin(z_1+z_2)=\sin z_1\cos z_2-\cos z_1\sin z_2 sin(z1+z2)=sinz1cosz2cosz1sinz2 cos ⁡ ( z 1 + z 2 ) = cos ⁡ z 1 cos ⁡ z 2 − sin ⁡ z 1 sin ⁡ z 2 \cos(z_1+z_2)=\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2 cos(z1+z2)=cosz1cosz2sinz1sinz2 同理可以定义复变数的正切,余切,正割,余割函数。
    tan ⁡ z = sin ⁡ z cos ⁡ z , cot ⁡ z = cos ⁡ z sin ⁡ z , sec ⁡ z = 1 cos ⁡ z , csc ⁡ z = 1 sin ⁡ z \tan z=\frac{\sin z}{\cos z},\quad\cot z=\frac{\cos z}{\sin z},\quad \sec z=\frac{1}{\cos z},\quad \csc z=\frac{1}{\sin z} tanz=coszsinz,cotz=sinzcosz,secz=cosz1,cscz=sinz1

    2.6 反三角函数

     余弦函数的反函数,满足 cos ⁡ w = z \cos w=z cosw=z的复变数 w w w称为复变数 z z z的反余弦函数,记作 w = A r c cos ⁡ z w=Arc\cos z w=Arccosz
     根据 cos ⁡ w = e i w + e − i w 2 = z \cos w=\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}=z cosw=2eiw+eiw=z可以解得
    w = A r c cos ⁡ z = − i L n ( z + z 2 − 1 ) w=Arc\cos z=-iLn(z+\sqrt{z^2-1}) w=Arccosz=iLn(z+z21 ) z 2 − 1 \sqrt{z^2-1} z21 是双值函数, L n   z Ln\ z Ln z是多值函数,所以反余弦函数是多值函数。
     同理可以定义反正弦函数和反正切函数
    w = A r c sin ⁡ z = − i L n ( z i + 1 − z 2 ) w=Arc\sin z=-iLn(zi+\sqrt{1-z^2}) w=Arcsinz=iLn(zi+1z2 ) w = A r c tan ⁡ z = − i 2 L n i − z i + z w=Arc\tan z=-\frac{i}{2}Ln\frac{i-z}{i+z} w=Arctanz=2iLni+ziz
     它们都是多值函数。

    2.7 复变函数的极限

     设函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z) z 0 z_0 z0的去心邻域 U ˚ ( z 0 , ρ ) \mathring{U}(z_0,\rho) U˚(z0,ρ)内有定义, A A A是复常数。若对于任意给定的正实数 ε \varepsilon ε,总存在正实数 δ < ρ \delta <\rho δ<ρ,使得当 0 < ∣ z − z 0 ∣ < δ 0<|z-z_0|<\delta 0<zz0<δ时, ∣ f ( z ) − A ∣ < ε |f(z)-A|<\varepsilon f(z)A<ε,则称 A A A是函数 f ( z ) f(z) f(z) z z z趋近于 z 0 z_0 z0的极限,记作 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = A \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=A zz0limf(z)=A,或当 z → z 0 z\to z_0 zz0时, f ( z ) → A f(z)\to A f(z)A.
     设函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i z 0 = x 0 + y 0 i z_0=x_0+y_0i z0=x0+y0i的某一去心邻域内有定义,常数 A = u 0 + v 0 i A=u_0+v_0i A=u0+v0i,则 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = A \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=A zz0limf(z)=A的充要条件是
    lim ⁡ ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) u ( x , y ) = u 0 , lim ⁡ ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) v ( x , y ) = v 0 \lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=u_0,\quad\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)=v_0 (x,y)(x0,y0)limu(x,y)=u0,(x,y)(x0,y0)limv(x,y)=v0 如果 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = A \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=A zz0limf(z)=A lim ⁡ z → z 0 g ( z ) = B \lim\limits_{z\to z_0}g(z)=B zz0limg(z)=B,那么
    lim ⁡ z → z 0 [ f ( z ) ± g ( z ) ] = lim ⁡ z → z 0 f ( z ) ± lim ⁡ z → z 0 g ( z ) = A ± B \lim\limits_{z\to z_0}[f(z)\pm g(z)]=\lim\limits_{z\to z_0}f(z)\pm \lim\limits_{z\to z_0}g(z)=A\pm B zz0lim[f(z)±g(z)]=zz0limf(z)±zz0limg(z)=A±B lim ⁡ z → z 0 [ f ( z ) ⋅ g ( z ) ] = lim ⁡ z → z 0 f ( z ) ⋅ lim ⁡ z → z 0 g ( z ) = A ⋅ B \lim\limits_{z\to z_0}[f(z)\cdot g(z)]=\lim\limits_{z\to z_0}f(z)\cdot \lim\limits_{z\to z_0}g(z)=A\cdot B zz0lim[f(z)g(z)]=zz0limf(z)zz0limg(z)=AB
    lim ⁡ z → z 0 [ f ( z ) g ( z ) ] = lim ⁡ z → z 0 f ( z ) lim ⁡ z → z 0 g ( z ) = A B ( B ≠ 0 ) \lim\limits_{z\to z_0}[\frac{f(z)}{g(z)}]=\frac{\lim\limits_{z\to z_0}f(z)}{ \lim\limits_{z\to z_0}g(z)}=\frac{A}{B}\quad (B\ne 0) zz0lim[g(z)f(z)]=zz0limg(z)zz0limf(z)=BA(B=0) 对于有理整函数(多项式)
    w = P ( z ) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + ⋯ + a n z n w=P(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots+a_nz^n w=P(z)=a0+a1z+a2z2++anzn lim ⁡ z → z 0 P ( z ) = P ( z 0 ) \lim\limits_{z\to z_0}P(z)=P(z_0) zz0limP(z)=P(z0) 对于有理分式函数
    w = P ( z ) Q ( z ) w=\frac{P(z)}{Q(z)} w=Q(z)P(z) lim ⁡ z → z 0 P ( z ) Q ( z ) = P ( z 0 ) Q ( z 0 ) ( Q ( z 0 ) ≠ 0 ) \lim\limits_{z\to z_0}\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{P(z_0)}{Q(z_0)}\quad (Q(z_0)\ne 0) zz0limQ(z)P(z)=Q(z0)P(z0)(Q(z0)=0)

    2.8 复变函数的连续性

     设函数 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0的某邻域内有定义,若 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = f ( z 0 ) \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=f(z_0) zz0limf(z)=f(z0),则称函数 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0点连续。若 f ( z ) f(z) f(z)在区域 D D D的每一点都连续,则称 f ( z ) f(z) f(z) D D D内连续。
     函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i z 0 = x 0 + y 0 i z_0=x_0+y_0i z0=x0+y0i连续的充要条件是二元实函数 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y) v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处连续。
     连续的性质同实函数。

    2.9 复变函数的导数

     设函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)在区域 D D D内有定义, z 0 z_0 z0 D D D内一点。当 z z z z 0 z_0 z0取得改变量 Δ z \Delta z Δz,且 z 0 + Δ z ∈ D z_0+\Delta z\in D z0+ΔzD时,相应的函数值有改变量 Δ w = f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) \Delta w=f(z_0+\Delta z)-f(z_0) Δw=f(z0+Δz)f(z0)。如果极限
    lim ⁡ Δ z → 0 Δ w Δ z = lim ⁡ Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z \lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{\Delta w}{\Delta z}=\lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} Δz0limΔzΔw=Δz0limΔzf(z0+Δz)f(z0) 存在,则称函数 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0点可导。该极限值称为 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0点的导数,记作
    f ′ ( z 0 ) = d w d z ∣ z = z 0 = lim ⁡ Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z f'(z_0)=\frac{dw}{dz}\Big|_{z=z_0}=\lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} f(z0)=dzdwz=z0=Δz0limΔzf(z0+Δz)f(z0) 如果函数 f ( z ) f(z) f(z)在区域D内的每个点都可导,称 f ( z ) f(z) f(z)在区域 D D D内可导。从而区域 D D D内每个点对应着 f ( z ) f(z) f(z)的一个导数值。这样构成了一个新的函数称为 f ( z ) f(z) f(z)的导函数,记为 f ′ ( z ) f'(z) f(z)或者 d w d z \frac{dw}{dz} dzdw
     设函数 f ( z ) f(z) f(z) g ( z ) g(z) g(z)在区域 D D D内可导,有
    [ f ( z ) ± g ( z ) ] ′ = f ′ ( z ) ± g ′ ( z ) [f(z)\pm g(z)]'=f'(z)\pm g'(z) [f(z)±g(z)]=f(z)±g(z) [ f ( z ) g ( z ) ] ′ = f ′ ( z ) g ( z ) + f ( z ) g ′ ( z ) [f(z) g(z)]'=f'(z)g(z)+f(z) g'(z) [f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z) [ f ( z ) g ( z ) ] ′ = f ′ ( z ) g ( z ) − f ( z ) g ′ ( z ) g 2 ( z ) , ( g ( z ) ≠ 0 ) [\frac{f(z)}{ g(z)}]'=\frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{g^2(z)},\quad (g(z)\ne 0) [g(z)f(z)]=g2(z)f(z)g(z)f(z)g(z),(g(z)=0) { f [ g ( z ) ] } ′ = f ′ ( w ) g ′ ( z ) , ( w = g ( z ) ) \{f[g(z)]\}'=f'(w)g'(z),\quad(w=g(z)) {f[g(z)]}=f(w)g(z),(w=g(z)) 如果 f ( z ) f(z) f(z) φ ( w ) \varphi(w) φ(w)是互为反函数的单值函数,且 φ ′ ( w ) ≠ 0 \varphi'(w)\ne 0 φ(w)=0,则 f ′ ( z ) = 1 φ ′ ( w ) f'(z)=\frac{1}{\varphi'(w)} f(z)=φ(w)1
     有理整函数在复平面内处处可导
    P ( z ) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + ⋯ + a n z n P(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots+a_nz^n P(z)=a0+a1z+a2z2++anzn P ′ ( z ) = a 1 z + 2 a 2 z + ⋯ + n a n z n − 1 P'(z)=a_1z+2a_2z+\cdots+na_nz^{n-1} P(z)=a1z+2a2z++nanzn1 对于有理分式函数
    f ( z ) = P ( z ) Q ( z ) f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)} f(z)=Q(z)P(z) 在 Q ( z ) ≠ 0 Q(z)\ne 0 Q(z)=0的点可导
    f ( z ) ′ = P ′ ( z ) Q ( z ) − P ( z ) Q ′ ( z ) Q 2 ( z ) , ( Q ( z ) ≠ 0 ) f(z)'=\frac{P'(z)Q(z)-P(z)Q'(z)}{Q^2(z)},\quad (Q(z)\ne 0) f(z)=Q2(z)P(z)Q(z)P(z)Q(z),(Q(z)=0) 复变函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)的微分定义为 d w = f ′ ( z ) d z dw=f'(z)dz dw=f(z)dz

    2.10 解析函数

     如果函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)在点 z z z的某个邻域内可导,那么称函数 f ( z ) f(z) f(z)在点 z z z解析。如果 f ( z ) f(z) f(z)在区域 D D D内每一点都解析,称函数 f ( z ) f(z) f(z) D D D内解析,或称 f ( z ) f(z) f(z) D D D内的解析函数。如果 f ( z ) f(z) f(z)在点 z z z不解析,那么称点 z z z为函数 f ( z ) f(z) f(z)的奇点。
     函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i在点 z = x + y i z=x+yi z=x+yi处可导的充要条件是二元实函数 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y) v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处可微,且满足柯西-黎曼方程
    ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} xu=yv,yu=xv 从而有
    f ′ ( z ) = ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ x i = ∂ v ∂ y − ∂ u ∂ y i f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial x}i=\frac{\partial v}{\partial y}-\frac{\partial u}{\partial y}i f(z)=xu+xvi=yvyui 函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i在区域 D D D内解析的充要条件是二元实函数 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y) v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)在区域 D D D内可微,且满足柯西-黎曼方程。

    2.11 调和函数

     如果二元实函数 φ ( x , y ) \varphi(x,y) φ(x,y)在区域 D D D内具有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程
    ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 = 0 \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}=0 x22φ+y22φ=0 那么称 φ ( x , y ) \varphi(x,y) φ(x,y)为区域 D D D内的调和函数。
     任何在区域 D D D内解析的函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i,它的实部 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)和和虚部 v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)都是 D D D内的调和函数。且这两个函数满足柯西-黎曼条件,所以又称虚部 v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)是实部 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)的共轭调和函数。
     即满足柯西-黎曼方程的两个调和函数可以构成共轭调和函数。在区域 D D D内以该函数为实部,其共轭调和函数为虚部,所构成的复变函数在区域 D D D内是解析的。
     函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i在区域 D D D内解析的充要条件是它的虚部 v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)是实部 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)的共轭调和函数。

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  • 判断函数凹凸性

    千次阅读 2020-05-18 17:39:37
    假设fff可微,则函数fff是凸函数的充要条件是domfdom fdomf是凸集且对于任意x,y∈domfx, y∈domfx,y∈domf, f(y)⩾f(x)+∇f(x)T(y−x)f(y) \geqslant f(x)+\nabla f(x)^{T}(y-x)f(y)⩾f(x)+∇f(x)T(y−x)成立。...

    一阶条件

    假设 f f f可微,则函数 f f f是凸函数的充要条件是 d o m f dom f domf是凸集且对于任意 x , y ∈ d o m f x, y∈domf x,ydomf, f ( y ) ⩾ f ( x ) + ∇ f ( x ) T ( y − x ) f(y) \geqslant f(x)+\nabla f(x)^{T}(y-x) f(y)f(x)+f(x)T(yx)成立。
    在这里插入图片描述

    二阶条件

    假设 f f f二阶可微,则函数 f f f是凸函数的充要条件是:其 H e s s i a n Hessian Hessian矩阵是半正定阵,即对于所有的 x ∈ d o m f x∈domf xdomf,有 ∇ 2 f ( x ) ⪰ 0 \nabla^{2} f(x) \succeq 0 2f(x)0
    对于在 R R R上的函数,上式可简化为 f ′ ′ ( x ) ⩾ 0 f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0 f(x)0

    例子:

    二次函数 f : R n → R f: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R} f:RnR,其定义域为 d o m f = R n domf=R^n domf=Rn,其表达式为 f ( x ) = ( 1 / 2 ) x T P x + q T x + r f(x)=(1 / 2) x^{T} P x+q^{T} x+r f(x)=(1/2)xTPx+qTx+r,其中 P ∈ S n , q ∈ R n , r ∈ R P \in \mathbf{S}^{n}, q \in \mathbf{R}^{n}, r \in \mathbf{R} PSn,qRn,rR
    一阶导为 f ′ ( x ) = ( 1 / 2 ) × 2 P x + q T f'(x)=(1 / 2) ×2Px+q^T f(x)=(1/2)×2Px+qT,二阶导为 f ′ ′ ( x ) = P f''(x)=P f(x)=P,
    当且仅当 P ⪰ 0 P \succeq 0 P0时,函数 f f f是凸的。

    注意:在判断凸函数时,不管是一阶条件还是二阶条件,都必须满足 d o m f domf domf是凸集这个条件。例如:凸集这个前提条件必须满足。例如,考虑函数 f ( x ) = 1 / x 2 f(x)= 1/x^2 f(x)=1/x2, 其定义域为 d o m f = x ∈ R ∣ x ≠ 0 domf={x∈R|x≠0} domf=xRx=0,对于所有 x ∈ d o m f x∈domf xdomf均满足 f ′ ′ ( x ) > 0 f''(x)> 0 f(x)>0,但是函数 f ( x ) f(x) f(x)并不是凸函数。

    判断凸集的方法:某个集合是否为凸集,看集合中任意两点之间的线段是否在集合中,若在集合中才为凸集。

    几个凸函数/凹函数

    定义域在 R R R上的一些函数,自变量为 x x x

    指数函数。对任意 a ∈ R a∈R aR,函数 e a x e^{ax} eax R R R上是凸的。

    幂函数。当 a ≥ 1 a≥1 a1 a ≤ 0 a≤0 a0时, x a x^a xa R + + {R}_{++} R++上是凸函数,当 0 ≤ a ≤ 1 0≤a≤1 0a1时, a x a a^{xa} axa R + + {R}_{++} R++上是凹函数。

    绝对值幂函数。当 p ≥ 1 p≥1 p1时,函数 ∣ x ∣ P |x|P xP R R R上是凸函数。

    对数函数。函数 l o g x logx logx R + + {R}_{++} R++上是凹函数。

    负熵。函数 x l o g x xlogx xlogx在其定义域上是凸函数。(定义域为 R + + {R}_{++} R++或者 R + R^{+} R,当 x = 0 x=0 x=0时定义函数值为0.)

    我们可以通过二阶导数半正定或半负定来判断上述函数是凸的或是凹的。

    定义域在 R n R^n Rn上的一些函数。

    范数 R R R上的任意范数均为凸函数。

    证明:如果函数 f : R n → R f: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R} f:RnR是范数,任取 0 ≤ θ ≤ 1 0≤θ≤1 0θ1,有 f ( θ x + ( 1 − θ ) y ) ≤ f ( θ x ) + f ( ( 1 − θ ) y ) = θ f ( x ) + ( 1 − θ ) f ( y ) f(θx+(1- θ)y)≤f(θx)+ f((1- θ)y)= θf(x)+ (1 -θ )f(y) f(θx+(1θ)y)f(θx)+f((1θ)y)=θf(x)+(1θ)f(y),当范数满足齐次性时,上述不等式取等号。

    最大值函数。函数 f ( x ) = max ⁡ { x 1 , ⋯   , x n } f(x)=\max \left\{x_{1}, \cdots, x_{n}\right\} f(x)=max{x1,,xn} R n R^n Rn上是凸的。

    证明:对于任意的 0 ≤ θ ≤ 1 0≤θ≤1 0θ1,函数 f ( x ) = max ⁡ i x i f(x)=\max _{i} x_{i} f(x)=maxixi满足

    f ( θ x + ( 1 − θ ) y ) = max ⁡ i ( θ x i + ( 1 − θ ) y i ) ⩽ θ max ⁡ i x i + ( 1 − θ ) max ⁡ i y i = θ f ( x ) + ( 1 − θ ) f ( y ) \begin{aligned} f(\theta x+(1-\theta) y) &=\max _{i}\left(\theta x_{i}+(1-\theta) y_{i}\right) \\ & \leqslant \theta \max _{i} x_{i}+(1-\theta) \max _{i} y_{i} \\ &=\theta f(x)+(1-\theta) f(y) \end{aligned} f(θx+(1θ)y)=imax(θxi+(1θ)yi)θimaxxi+(1θ)imaxyi=θf(x)+(1θ)f(y)

    二次-线性分式函数。 函数 f ( x , y ) = x 2 / y f(x,y)=x^2/y f(x,y)=x2/y,其定义域为 dom ⁡ f = R × R + + = { ( x , y ) ∈ R 2 ∣ y > 0 } \operatorname{dom} f=\mathbf{R} \times \mathbf{R}_{++}=\left\{(x, y) \in \mathbf{R}^{2} | y>0\right\} domf=R×R++={(x,y)R2y>0}是凸函数。

    证明:对于 y > 0 y>0 y>0,有

    ∇ 2 f ( x , y ) = 2 y 3 [ y 2 − x y − x y x 2 ] = 2 y 3 [ y − x ] [ y − x ] T ⪰ 0 \nabla^{2} f(x, y)=\frac{2}{y^{3}}\left[\begin{array}{cc} y^{2} & -x y \\ -x y & x^{2} \end{array}\right]=\frac{2}{y^{3}}\left[\begin{array}{c} y \\ -x \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} y \\ -x \end{array}\right]^{T} \succeq 0 2f(x,y)=y32[y2xyxyx2]=y32[yx][yx]T0

    指数和的对数。函数 f ( x ) = log ⁡ ( e x 1 + ⋯ + e x n ) f(x)=\log \left(e^{x_{1}}+\cdots+e^{x_{n}}\right) f(x)=log(ex1++exn) R n R^n Rn上是凸函数。这个函数可以看成最大值函数的可微(实际上是解析)近似,因为对任意 x x x,不等式 max ⁡ { x 1 , ⋯   , x n } ⩽ f ( x ) ⩽ max ⁡ { x 1 , ⋯   , x n } + log ⁡ n \max \left\{x_{1}, \cdots, x_{n}\right\} \leqslant f(x) \leqslant \max \left\{x_{1}, \cdots, x_{n}\right\}+\log n max{x1,,xn}f(x)max{x1,,xn}+logn成立。

    证明:指数和的对数函数的 H e s s i a n Hessian Hessian 矩阵为 ∇ 2 f ( x ) = 1 ( 1 T z ) 2 ( ( 1 T z ) diag ⁡ ( z ) − z z T ) \nabla^{2} f(x)=\frac{1}{\left(\mathbf{1}^{T} z\right)^{2}}\left(\left(\mathbf{1}^{T} z\right) \operatorname{diag}(z)-z z^{T}\right) 2f(x)=(1Tz)21((1Tz)diag(z)zzT),其中 z = ( e x 1 , ⋯   , e x n ) z=\left(e^{x_{1}}, \cdots, e^{x_{n}}\right) z=(ex1,,exn),为了说明 ∇ 2 f ( x ) ⪰ 0 \nabla^{2} f(x) \succeq 0 2f(x)0,我们证明对任意 v v v,有 v T ∇ 2 f ( x ) v ⩾ 0 v^{T} \nabla^{2} f(x) v \geqslant 0 vT2f(x)v0,即

    v T ∇ 2 f ( x ) v = 1 ( 1 T z ) 2 ( ( ∑ i = 1 n z i ) ( ∑ i = 1 n v i 2 z i ) − ( ∑ i = 1 n v i z i ) 2 ) ⩾ 0 v^{T} \nabla^{2} f(x) v=\frac{1}{\left(1^{T} z\right)^{2}}\left(\left(\sum_{i=1}^{n} z_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} v_{i}^{2} z_{i}\right)-\left(\sum_{i=1}^{n} v_{i} z_{i}\right)^{2}\right) \geqslant 0 vT2f(x)v=(1Tz)21((i=1nzi)(i=1nvi2zi)(i=1nvizi)2)0

    上述不等式可以应用Cauchy-Schwarz不等式 ( a T a ) ( b T b ) ≥ ( a T b ) 2 (a^Ta)(b^Tb)≥(a^Tb)^2 (aTa)(bTb)(aTb)2得到,此时向量 a a a b b b的分量为 a i = v i z i , b i = z i a_{i}=v_{i} \sqrt{z_{i}}, \quad b_{i}=\sqrt{z_{i}} ai=vizi ,bi=zi .

    几何平均。几何平均函数 f ( x ) = ( ∏ i = 1 n x i ) 1 / n f(x)=\left(\prod_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{1 / n} f(x)=(i=1nxi)1/n在定义域 dom ⁡ f = R + + n \operatorname{dom} f=\mathbf{R}_{++}^n domf=R++n上是凹函数。

    证明:其 H e s s i a n Hessian Hessian矩阵 ∇ 2 f ( x ) \nabla^{2} f(x) 2f(x)可以通过下面两个式子给出:

    ∂ 2 f ( x ) ∂ x k 2 = − ( n − 1 ) ( ∏ i = 1 n x i ) 1 / n n 2 x k 2 , ∂ 2 f ( x ) ∂ x k ∂ x l = ( ∏ i = 1 n x i ) 1 / n n 2 x k x l ∀ k ≠ l \frac{\partial^{2} f(x)}{\partial x_{k}^{2}}=-(n-1) \frac{\left(\prod_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{1 / n}}{n^{2} x_{k}^{2}}, \quad \frac{\partial^{2} f(x)}{\partial x_{k} \partial x_{l}}=\frac{\left(\prod_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{1 / n}}{n^{2} x_{k} x_{l}} \quad \forall k \neq l xk22f(x)=(n1)n2xk2(i=1nxi)1/n,xkxl2f(x)=n2xkxl(i=1nxi)1/nk=l

    因此 ∇ 2 f ( x ) \nabla^{2} f(x) 2f(x)具有如下表达式:

    ∇ 2 f ( x ) = − ∏ i = 1 n x i 1 / n n 2 ( n diag ⁡ ( 1 / x 1 2 , ⋯   , 1 / x n 2 ) − q q T ) \nabla^{2} f(x)=-\frac{\prod_{i=1}^{n} x_{i}^{1 / n}}{n^{2}}\left(n \operatorname{diag}\left(1 / x_{1}^{2}, \cdots, 1 / x_{n}^{2}\right)-q q^{T}\right) 2f(x)=n2i=1nxi1/n(ndiag(1/x12,,1/xn2)qqT)

    其中, q i = 1 / x i q_{i}=1 / x_{i} qi=1/xi,要证明 ∇ 2 f ( x ) ⪯ 0 \nabla^{2} f(x) \preceq 0 2f(x)0,即对于任意的向量 v v v,有

    v T ∇ 2 f ( x ) v = − ∏ i = 1 n x i 1 / n n 2 ( n ∑ i = 1 n v i 2 / x i 2 − ( ∑ i = 1 n v i / x i ) 2 ) ⩽ 0 v^{T} \nabla^{2} f(x) v=-\frac{\prod_{i=1}^{n} x_{i}^{1 / n}}{n^{2}}\left(n \sum_{i=1}^{n} v_{i}^{2} / x_{i}^{2}-\left(\sum_{i=1}^{n} v_{i} / x_{i}\right)^{2}\right) \leqslant 0 vT2f(x)v=n2i=1nxi1/n(ni=1nvi2/xi2(i=1nvi/xi)2)0

    上述不等式可以应用Cauchy-Schwarz不等式 ( a T a ) ( b T b ) ≥ ( a T b ) 2 (a^Ta)(b^Tb)≥(a^Tb)^2 (aTa)(bTb)(aTb)2得到,只需令向量 a = 1 a=1 a=1,向量 b b b的分量为 b i = v i / x i b_{i}=v_{i} / x_{i} bi=vi/xi.

    对数----行列式。 函数 f ( X ) = l o g d e t X f(X)= logdetX f(X)=logdetX在定义域 dom ⁡ f = S + + n \operatorname{dom} f=\mathbf{S}_{++}^n domf=S++n上是凹函数。

    证明:可将其转化为任意直线上的单变量函数来验证它是凹的。令 X = Z + t V X= Z+tV X=Z+tV,其中 Z , V ∈ S n Z, V∈S^n Z,VSn,定义 g ( t ) = f ( Z + t V ) g(t)= f(Z+tV) g(t)=f(Z+tV),自变量 t t t满足 Z + t V > 0 Z+tV > 0 Z+tV>0。不失一般性, 假设 t = 0 t=0 t=0满足条件,即 Z > 0 Z> 0 Z>0。我们有

    g ( t ) = log ⁡ det ⁡ ( Z + t V ) = log ⁡ det ⁡ ( Z 1 / 2 ( I + t Z − 1 / 2 V Z − 1 / 2 ) Z 1 / 2 ) = ∑ i = 1 n log ⁡ ( 1 + t λ i ) + log ⁡ det ⁡ Z \begin{aligned} g(t) &=\log \operatorname{det}(Z+t V) \\ &=\log \operatorname{det}\left(Z^{1 / 2}\left(I+t Z^{-1 / 2} V Z^{-1 / 2}\right) Z^{1 / 2}\right) \\ &=\sum_{i=1}^{n} \log \left(1+t \lambda_{i}\right)+\log \operatorname{det} Z \end{aligned} g(t)=logdet(Z+tV)=logdet(Z1/2(I+tZ1/2VZ1/2)Z1/2)=i=1nlog(1+tλi)+logdetZ

    其中 λ 1 , ⋯   , λ n \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n} λ1,,λn是矩阵 Z − 1 / 2 V Z − 1 / 2 Z^{-1 / 2} V Z^{-1 / 2} Z1/2VZ1/2的特征值。因此下式成立

    g ′ ( t ) = ∑ i = 1 n λ i 1 + t λ i , g ′ ′ ( t ) = − ∑ i = 1 n λ i 2 ( 1 + t λ i ) 2 g^{\prime}(t)=\sum_{i=1}^{n} \frac{\lambda_{i}}{1+t \lambda_{i}}, \quad g^{\prime \prime}(t)=-\sum_{i=1}^{n} \frac{\lambda_{i}^{2}}{\left(1+t \lambda_{i}\right)^{2}} g(t)=i=1n1+tλiλi,g(t)=i=1n(1+tλi)2λi2

    因为 g ′ ′ ( t ) ⩽ 0 g^{\prime \prime}(t) \leqslant 0 g(t)0,所以函数 f f f是凹的。

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    函数语法 K= isa(obj, 'class_name') 参数解析 K = isa(obj, 'class_name') 判断obj是否为class_name类型。如果是,返回逻辑1(真);如果不是,返回逻辑0(假)。 参量obj是一个MATLAB对象或者...
  • Python内置函数作用及解析

    万次阅读 多人点赞 2018-06-30 15:44:45
    Python内置的函数及其用法。为了方便记忆,已经有很多开发者将这些内置函数进行了如下分类: 数学运算(7个) 类型转换(24个) 序列操作(8个) 对象操作(7个) 反射操作(8个) 变量操作(2个) 交互操作(2个) 文件操作(1个) ...
  • python解析excel函数

    万次阅读 2019-08-15 00:18:22
    python解析excel函数 在现在的开发的工作中,随着数据的重要性日益凸显,经常需要与excel文件打交道,目前的大多数第三方库只提供读取excel文件的方法,但有时候需要将预先定义好的 “excel函数” 插入到excel文件...
  • 专题10:高考数学中函数图像的判断解析版)-备战高考数学(文)三轮复习查缺补漏特色专题.pdf
  • 专题10:高考数学中函数图像的判断解析版)-备战高考数学(理)三轮复习查缺补漏特色专题.pdf
  • javaScript学习笔记(一)js基础

    万次阅读 多人点赞 2018-09-21 10:07:18
    JavaScript是目前web开发中不可缺少的脚本语言,js不需要编译即可运行,运行在客户端,需要通过浏览器来解析执行JavaScript代码。 诞生于1995年,当时的主要目的是验证表单的数据是否合法。 Java...
  • OpenCV-------drawContours函数解析

    万次阅读 2018-08-31 15:48:51
    1、drawContours函数的作用 主要用于画出图像的轮廓 2、函数的调用形式 void&amp;nbsp;drawContours(InputOutputArray&amp;nbsp;image, InputArrayOfArrays&amp;nbsp;contours, int&amp;nbsp;...
  • 生成网络(GAN)是近年来很火的课题,原始论文《Generative Adversarial Nets》的介绍请移步... 本篇主要详细解析它的损失函数。在论文中损失函数定义为: 当然乍一看去,没看懂这个损失函数。我们细细来看: ...
  • xml的规范判断函数xsd

    2011-04-14 22:24:17
    xml规范的辅助文件XSD的功能函数,对xml开发能有所帮助
  • 我是看到了大佬的博客还能这样解析,我们来解析一下思路并扩展一下,传送门:java实现公式解析 1. Stack的介绍 栈(stack)在计算机科学中是限定仅在表尾进行插入或删除操作的线性表。栈是一种数据结构,它按照...
  • ZigBee_数据接收函数解析

    千次阅读 2017-03-15 00:08:06
    数据包被发送到到一个注册登记过的端点,在应用层通过OSAL事件处理函数中的接受信息事件 AF_INCOMING_MSG_CMD 来处理数据的接受。其中数据的接受是通过在Af层定义的结构体 afIncomingMSGPacket_t 来进行的。typedef ...
  • MATLAB函数速查手册

    千次阅读 多人点赞 2018-03-25 09:06:26
    《MATLAB函数速查手册》较全面地介绍了MATLAB的函数,主要包括MATLAB操作基础、矩阵及其基本运算、与数值计算相关的基本函数、符号运算的函数、概率统计函数、绘图与图形处理函数、MATLAB程序设计相关函数、Simulink...
  • Nginx 对字符串编码函数解析

    千次阅读 2016-12-25 17:35:21
    Nginx函数ngx_escape_uri对非普通字符进行编码转换,源码如下:ngx_escape_uri(u_char *dst, u_char *src, size_t size, ngx_uint_t type) { ngx_uint_t n; uint32_t *escape; static u_char hex[] = "012345678
  • Linux中---exec族函数解析

    万次阅读 多人点赞 2016-10-18 20:17:22
    (1)exec函数说明 fork函数是用于创建一个子进程,该子进程几乎是父进程的副本,而有时我们希望子进程去执行另外的程序,exec函数族就提供了一个在进程中启动另一个程序执行的方法。它可以根据指定的文件名或目录...

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如何判断函数解析