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  • 随机变量的分布函数

    千次阅读 2019-09-20 11:03:35
    一、分布函数 1.1、分布函数定义 1.2、分布函数的用途 1.2、阶梯函数 1.2.1、例1 1.2.2、例2 1.3、F(x)的性质 1.3.1、例

    一、分布函数

    前言

    在这里插入图片描述

    1.1、分布函数定义

    在这里插入图片描述

    1.2、分布函数的用途

    注意: F(b-0),此处的0表示比b小于一丁点的数, 所以P(X = b) = P(X<=b) - P(X <b) = F(b) - F(b-0)

    在这里插入图片描述

    1.3、离散随机变量的分布函数

    1.3.1、离散随机变量的分布函数是阶梯函数

    在这里插入图片描述

    1.3.2、例1: 计算离散随机变量的分布函数

    在这里插入图片描述

    1.3.3、例2,通过分布函数,计算离散随机变量的分布律

    在这里插入图片描述

    1.3、分布函数F(x)的性质

    在这里插入图片描述

    1.4、连续性随机变量的分布函数

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

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  • 一、CDF(cumulative distribution function)累积分布函数就是 分布函数,即概率密度函数的积分。 二、针对一组IOU值的CDF曲线:IOU值作为横坐标(从小到大),每个IOU值出现的概率等于IOU值出现的个数除于总个数...

    一、CDF(cumulative distribution function)累积分布函数就是 分布函数,即概率密度函数的积分。

    二、针对一组IOU值的CDF曲线:IOU值作为横坐标(从小到大),每个IOU值出现的概率等于IOU值出现的个数除于总个数。

    三、代码实现横坐标是IOU的CDF曲线:

    import matplotlib.pyplot as plt
    import json
    import numpy as np
    
    
    def CDF(IOU):
        hist, bin_edges = np.histogram(IOU, bins=10)#IOU是列表,其中都是IOU值,bins是格数
        cdf = np.cumsum(hist/sum(hist))
        
        plt.plot(bin_edges[1:], cdf, '-*', color='#ED7D31')
        plt.xlim([0,1])
        plt.ylim([0,1])
        plt.grid()
        plt.show()
    
    
    
    IOU_txt = open("./iou.txt", 'r') #打开制定硬存
    dumps = IOU_txt.read()           #将硬存数据读入缓冲区
    IOU = json.loads(dumps)          #缓冲区数据加载到软存
    IOU_txt.close()
    
    CDF(IOU)
    

     

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  • 正态分布函数

    千次阅读 2019-09-23 02:04:29
    1)使用MatLab画出正态分布的概率密度...%正态分布函数。figure;axes1=axes('Pos',[0.1 0.1 0.85 0.85]);plot(x,y);set(axes1,'YLim',[-0.01 0.43],'XLim',[-3 3]); 图1: 2)验证概率密度函数在区间(-∞,∞)上的积...

    1)使用MatLab画出正态分布的概率密度函数图像。
    x=[-10:0.01:10];
    y=normpdf(x,0,1);%正态分布函数。
    figure;
    axes1=axes('Pos',[0.1 0.1 0.85 0.85]);
    plot(x,y);
    set(axes1,'YLim',[-0.01 0.43],'XLim',[-3 3]);
    图1:4.JPG

    2)验证概率密度函数在区间(-∞,∞)上的积分为1。
    这里取参数mu=3,sigma=5(注:下文全用这两个参数)。
    y='exp(-1/2*((x-3)/5)^2)/(sqrt(2*pi)*5)';
    s=int(y,-inf,inf) %int积分函数(inf代表无穷大)。
    输出:s=1

    3)验证x=mu时取最大值。
    思路:求解函数一阶导数为零的点。

    * 求一阶导数
    y='exp(-1/2*((x-3)/5)^2)/(sqrt(2*pi)*5)';
    d=diff(y);%微分函数。
    sd=simplify(d)
    输出结果:sd = -1/250*(x-3)*exp(-1/50*(x-3)^2)*2^(1/2)/pi^(1/2)

    * 通过图像判断解的位置
    x=[0:0.001:40];
    sd=-1/250.*(x-3).*exp(-1/50.*(x-3).^2).*2.^(1/2)./pi.^(1/2);
    axes1=axes('Pos',[0.1 0.1 0.85 0.85]);
    plot(x,sd);
    set(axes1,'YLim',[-0.01 0.01],'XLim',[0 40]);
    图2:5.JPG

    从图中可以看出在3附近有解。

    * 定义函数并求解
    function y=f(x)
    y=-1/250.*(x-3).*exp(-1/50.*(x-3).^2).*2.^(1/2)./pi.^(1/2);

    r=fzero('f',3)
    输出:r=3

    从图上看在x > 20以后,几乎是一条直线,若用20:
    r=fzero('f',20)
    输出:r=3

    这说明是无限趋近于0。

    * 进一步说明该点为最大值点
    该概率密度函数一阶导数为0的解为3,此值正好为mu,再取x=1,x=4与x=3时的函数
    值比较。
    >> normpdf(1,3,5)
    ans = 0.0737

    >> normpdf(4,3,5)
    ans = 0.0782

    >> normpdf(3,3,5)
    ans = 0.0798

    显然在x=3的两边函数值都比x=3小,说明该点为极大值点。根据正态分布函数的图像特点可知该点是最大值点。

    4)验证x=mu +- sigma (即8或-2)处曲线有拐点。
    思路:求二阶导数为零的点。

    * 先求二阶微分
    y='exp(-1/2*((x-3)/5)^2)/(sqrt(2*pi)*5)';
    d=diff(y,2);%微分函数。
    sd=simplify(d)
    输出:sd = 1/6250*exp(-1/50*(x-3)^2)*2^(1/2)*(-16+x^2-6*x)/pi^(1/2)

    * 通过图像判断解的位置
    x=[-20:0.001:20];
    sd=1./6250.*exp(-1/50.*(x-3).^2).*2.^(1/2).*(-16+x.^2-6.*x)/pi.^(1/2);
    axes1=axes('Pos',[0.1 0.1 0.85 0.85]);
    plot(x,sd);
    set(axes1,'YLim',[-0.005 0.005],'XLim',[-20 20]);
    图3:6.JPG
    从上图可以看出,曲线在(-5,0)和(5,10)之间分别都与y=0有交点,因此有两个解。

    * 定义函数并求解
    function y=f(x)
    y=1./6250.*exp(-1/50.*(x-3).^2).*2.^(1/2).*(-16+x.^2-6.*x)/pi.^(1/2);

    r=fzero('f',-5)
    r = -2

    >> r=fzero('f',5)
    r = 8.0000

    从而得到了两个拐点x=8和x=-2,也即mu +- sigma。

    5)验证曲线以x轴为渐近线渐近线求解:
    A 垂直渐近线  x=a是y=f(x)的渐近线<==>lim f(x)=∞或lim f(x)=∞
                             x->a+0       x->a-0
      其中a在间断点中找——∞型第二类间断点B 水平渐近线
      x→+∞(-∞)时,y=b是y=f(x)的渐近线<==>lim f(x)=b (或lim f(x)=b)
                                              x->+∞         x->-∞

    求其一阶倒数在x趋向于无穷大时的极限值b,若存在,即有水平渐近线y=b。
    * 先定义函数:
    function y=f(x)
    syms x; %定义符号变量。
    y=exp(-1/2*((x-3)/5)^2)/(sqrt(2*pi)*5);

    * 求x趋向无穷大时一阶导数的极限
    limit(f,inf)
    ans = 0

    6)验证 3 sigma 法则
    思路:求解概率密度函数在[mu-3*sigma,mu+3*sigma]区间上的积分。
    y='exp(-1/2*((x-3)/5)^2)/(sqrt(2*pi)*5)';
    double(int(y,-12,18))
    ans = 0.9973

    转载于:https://www.cnblogs.com/JoeDZ/archive/2008/01/12/1035901.html

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  • 累积分布函数

    万次阅读 2014-05-23 11:35:43
    本节为大家介绍累积分布函数。 AD: WOT2014课程推荐:实战MSA:用开源软件搭建微服务系统 累积分布函数 直方图和核密度估计的主要优势在于直观上的吸引力:能够告诉我们找到某个特定数据...
     
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    累积分布函数

    直方图和核密度估计的主要优势在于直观上的吸引力:能够告诉我们找到某个特定数据点的可能性有多大。例如,从图2-2可以清楚看出250毫秒左右的值出现的可能性非常大,而大于2000毫秒的值则非常罕见。

    但是具体有多罕见呢?这个问题仅靠图2-2的直方图是很难找到答案的。另外,除了想知道尾部所占的比重,我们可能还想知道哪部分请求是在150~350毫秒这个典型时间段完成的。当然,大多数事件都是在这个时间段完成的,但如果想知道具体有多少事件,就需要累加那个区域中所有矩形框的事件。

    累积分布函数(Cumulative Distribution Function,CDF)就具有这样的功能。点x的CDF能告诉我们哪部分事件发生在x的"左边"。换而言之,CDF是满足xi≤x的所有xi。

    图2-7显示的数据集与图2-2的相同,但是,这里的数据是用KDE(带宽h = 30)来表示的而不是使用直方图。另外,该图也包含对应的CDF。(KDE和CDF都规一化为1。)

    我们可以直接从CDF读出一些有趣的东西。例如,我们可以看到在t = 1500处(位于该分布的尾部)CDF仍然小于0.85;这意味着只有15%的请求的响应时间超过1500毫秒。相反,大约三分之一的请求是在典型区域150~500毫秒的时间内完成的。(我们是怎样知道这些的呢?t = 150的CDF大概是0.05,t = 500的CDF大概是0.40。换句话说,约40%的请求是在少于500毫秒的时间内完成的,在这些请求中,只有5%的请求是在少于150毫秒的时间内完成的。因此,大约35%的请求响应时间介于150~500毫秒之间。)

     
    图2-7 图2-2所示服务器响应时间的核密度估计和累积分布函数

    我们有必要停下来思考一下这些新发现,因为它们表明直方图(或者KDE)是怎样误导人的,尽管(或者正是因为)它们直观上很吸引人!单独从直方图或KDE来判断,绝对有理由假设大部分的事件发生在t=300附近的大峰上,而t>1500的尾部所起的作用非常小。然而,CDE清楚地说明事实并非如此。(问题在于我们的眼睛更善于判断距离而不是面积,因此我们被直方图中峰值附近那些很大的值误导,而没有发现与曲线下的总面积相比,高峰下方的面积并没有那么大。)

    在基本图形分析中,CDF可能是最不出名且最不受待见的工具。相对于直方图和KDE,它们没有太多直观上的吸引力,但它们能够让我们对数据做出定量的描述,这是我们常常需要却又很难从直方图获得的。

    从它们的计算过程可以得出累积分布函数的一些重要特性。

    因为位置x处的CDF值是x左侧的那一部分数据点,因而CDF常常随着x的增加单调递增。

    CDF不像直方图(或者KDE)那样抖动得厉害,但它本质上是以不太显眼的形式包含相同的信息。

    CDF不需要任何的矩形分组,因而不会丢失任何信息。因此,相较于直方图,它表示的数据更可靠。

    随着x趋于负无穷,所有的CDF趋于0。CDF通常是归一化的,因此随着x趋于正无穷,它将趋于1。

    对于指定的数据集,其CDF是唯一的。

    如果你有很好的数学功底,可能已经看出CDF是(一个近似)直方图的不定积分,直方图是CDF的微分:

    累积分布函数有多种用途。第一个也是最重要的用途是,它们回答了本节前面提出的问题:有多大比例的点落在某两个值之间?答案可以从图中轻松得出。第二个用途是CDF能帮助我们理解分布的不平衡性--换句话说,尾部占总体多少比重。

    当我们想要比较两个分布时,累积分布函数也是很有用的。在直方图中比较两个钟状的曲线是非常困难的。比较相应的CDF则通常更容易得出结论。

    在本节结束之前还要提的最后一点:在文献中,你会发现这个词:"分位数图"(quantile plot)。分位数图是一个CDF图,在该图中,x轴和y轴互换了。图2-8再次使用了服务器响应时间数据集的例子。通过这种方式绘图,我们可以很容易地回答出类似于"哪个响应时间对应于占10%比重的响应时间?"的问题。不过,这个图包含的信息和一个CDF图包含的信息是完全一样的。

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