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  • SPSS 分布类型的检验

    千次阅读 2019-10-04 09:28:41
    分析者可以直接使用K-S检验对样本数据进行正态分布的检验,但值得推荐的第一步是对样本数据进行图形描述,图形可以给分析者一个直观的印象:该数据可能服从什么样的分布类型。 文彤老师的书中对消费者信心指数进行...

    假设检验的标准步骤:

    1、建立假设:根据问题的需要提出原假设H0,以及其对立面备择假设H1

    2、确立检验水准:即设立小概率事件的界值α。

    3、进行试验:得到用于统计分析的样本,以该试验的结果作为假设检验的根据。

    4、选定检验方法,计算检验统计量。

    5、确定P值。

    原假设也称为零假设,备择假设也称为对立假设。对立假设就是对立于原假设,备择假设的意思是,一旦你决定不采纳原假设,则这假设可备你选择。

    根据统计学观点,接受原假设和否定原假设,二者的意义并非对等。接受原假设只是意味着,按所获数据来看,并无足够的根据认为原假设不对,而不是说,从所获数据证明了原假设是对的,因此,问题多少仍处于未决的局面。反之,否定原假设则意味着,按所获数据有充足理由(而非绝对地证明,因为数据有随机性)认为原假设不对,即有充足理由认为对立假设成立。故在一定限度内,可以说问题由了一个明确的结论。

    假设检验的基本思想是统计学的“小概率反证法”原理:对于一个小概率事件而言,其对立面发生的可能性显然要大大高于这一小概率事件,可以认为小概率事件在一次试验中不应当发生。

    假设检验除了分为单/双侧检验外,还可以分为参数检验和非参数检验。参数检验是已知数据的分布形式,只是不了解相应参数时的检验形式。如果数据的分布形式不了解,就必须使用非参数检验确定数据的分布形式。下面将介绍几种常用分布的假设检验。

    一、正态分布的检验

    正太分布的考察方法有:通过计算偏度系数和峰度系数加以考察;通过绘制直方图、PP图等图形工具来考察;也可以进行各种假设检验。最常用的就是K-S单样本检验。

    K-S检验通过对两个分布之间的差异的分析,判断样本的观察结果是否来自制定分布的总体。计算P值的公式比较复杂,可不必深究。

    分析者可以直接使用K-S检验对样本数据进行正态分布的检验,但值得推荐的第一步是对样本数据进行图形描述,图形可以给分析者一个直观的印象:该数据可能服从什么样的分布类型。

    文彤老师的书中对消费者信心指数进行了K-S检验,大致步骤是“分析”——“非参数检验”——“单样本”……,当然首先要选择个案:数据——选择个案——如果条件满足time=200704。然后再进行K-S检验,我的SPSS可能由于版本问题,运行时出现“停止执行该命令”。但是使用旧对话框是可以的,分析——非参数检验——旧对话框——1样本K-S。

    文彤老师对检验结果的批注很值得一读:既然此处拒绝了正态分布假设,那么分析时还可以使用如t检验等对变量分布有要求的方法吗?事实上,K-S检验从实用性角度来说远不如图形工具,因为在样本量少的时候它不够敏感,而样本量大时又总是过于敏感。本例就属于敏感过头的情况,实际上读者们只需要绘制P-P图就可以发现,该数据实际上是基本符合正态分布趋势的,进行后续数据分析时遵循正态分布的分析思路应当不会有任何问题。 

    二、二项分布检验

    二项分布检验是对二分类变量的拟合优度检验,用于考察每个类别中观察值的频数与特定分布下的预期频数间是否存在统计学差异。例子详见参考资料1。

    三、游程检验

    游程检验是对二分变量的随机检验,判断观察值的顺序是否为随机的。

    文彤老师提醒: 在对连续性变量进行游程检验时,采用不同的分割点,就可能得到截然不同的分析结果,因此在实际分析中,应当尽可能多取几个在专业背景上有实际意义的数值作为分割点,比较其游程检验的结果,以得到对序列随机性更为稳健和客观的结论。

     

    参考资料:

    1. 张文彤. 《SPSS统计分析基础教程》

    2. 陈希孺. 《统计学漫话》

    转载于:https://www.cnblogs.com/NaughtyBaby/p/4634175.html

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  • 判断一组数据是否符合正态分布、泊松分布、指数分布、威布尔分布等。
  • 如何判断一维数据集服从何种分布

    千次阅读 2019-08-18 11:00:48
    KL散度 KL 散度是一种衡量两个概率分布的匹配程度的指标,两个分布...第一组:数据集为采集100个人的年龄,为以下表格所示,我们使用KL散度去研究最符合的分布类型。 age 0 1 2 3 4 5 6 ...

    KL散度

    KL 散度是一种衡量两个概率分布的匹配程度的指标,两个分布差异越大,KL散度越大。

    定义:

    其中 p(x) 是真实分布,q(x)是目标分布(建模目标分布),如果两个分布完全匹配,那么

     

     第一组:数据集为采集100个人的年龄,为以下表格所示,我们使用KL散度去研究最符合的分布类型。

    age012345678910总数
    count3671113181511754100

    尝试1:使用均匀分布建立模型

    可视化为:黄色的为建立的目标均匀分布模型,与蓝色真实分布的对比。

     

    尝试2:使用高斯分布建立模型

    可视化为:(红色虚线是相同\sigma\mu拟合的一条正态分布曲线,蓝色条形图为概率密度):

    计算分析 :

    如何判断真实分布更接近均匀分布还是高斯分布,用肉眼看是很不准确的,用KL散度来衡量真实分布去匹配目标分布所损失的信息量。所以能够将模型量化去比较从而判断出接近哪种分布。

    1、计算与均匀分布的KL散度:

    import numpy as np
    import math
    count=np.array([3,6,7,11,13,18,15,11,7,5,4])
    count_rate=count/100
    balance_rate=1/11
    sum=0
    for i in range(11):
        sum+=count_rate[i]*math.log(count_rate[i]/balance_rate)
    print(sum)

    计算结果为:0.12899493763053263

     

    2、计算与高斯分布的KL散度:

    
    def gaosi(x):
        mu=5.03
        sigma=2.4349743325135895
        t1=1/(sigma*math.sqrt(2*math.pi))
        t2=((x-mu)**2)/(2*sigma*sigma)
        return math.exp(-1*t2)*t1
    
    count=np.array([3,6,7,11,13,18,15,11,7,5,4])
    count_rate=count/100
    
    sum=0
    for i in range(11):
        sum+=count_rate[i]*math.log(count_rate[i]/gaosi(i))
    print(sum)

    计算结果为:0.03997441345364968

     

    结论:

    在只考虑均匀分布模型与高斯分布模型的情况下,用本身去拟合目标模型时,匹配高斯分布所损失的信息量最少,计算发现该数据集的分布更符合高斯分布。

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  • 根据系统函数快速判断滤波器类型 (1)死办法,用傅里叶变换求出H(f),在画出幅频特copy性曲线,看高频部分是不是“通” (2)用拉氏变换求出H(s),然后记住一句话:分子上有什么就通什么! 举个例子: H(s)=as/(bs+c...

    转载于:https://zhidao.baidu.com/question/262466514.html

    根据系统函数快速判断滤波器类型 (1)死办法,用傅里叶变换求出H(f),在画出幅频特copy性曲线,看高频部分是不是“通”
    (2)用拉氏变换求出H(s),然后记住一句话:分子上有什么就通什么!
    举个例子:
    H(s)=as/(bs+c)
    分子上百有“高次”,所以是高通。
    这里的“高次”是这个意思:
    分母上有s的0次和1次,分子是s的1次,所以是较高的那个,简称“高次”。
    H(s)=a/(bs+c)
    分子上有“低次”,所以是低通。
    H(s)=as2/(bs2+cs+d)
    分子上有“高次”,所以是高通。
    H(s)=a/(bs^2+cs+d)
    分子上有“低次”,所以是低通。
    H(s)=as/(bs^2+cs+d)
    分子上有“中间次”,所以是带通。
    第(2)种方法还没找到理论根据,如果将分子分母都除以“高次”,在判断频率从小变化到无度穷的情况能理解
    如果只有一个零极点,可以根据复平面上零极点位置来判断。

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  • 统计学中最常见的几种概率分布分别是正态分布(normal distribution),t分布(t distribution),F分布(F distribution)和卡方分布(χ2 distribution,chi-squaredistribution),其中后三种属于抽样分布。...

    统计学中最常见的几种概率分布分别是正态分布(normal distribution),t分布(t distribution),F分布(F distribution)和卡方分布(χ2 distributionchi-square distribution),其中后三种属于抽样分布。

     

    为什么要研究概率分布呢?因为通过研究概率分布,我们可以找出数据的分布规律,并根据这些规律来解决特定条件下的问题。比如:假设随机变量X服从某个已知的分布,我们就可以利用这个分布对X的取值是否显著异于分布期望值进行检验。

     

    下面来看一下这几种概率分布的类型:

     

    正态分布又叫高斯分布(Gaussian distribution),是最为人们所熟知的分布类型

    正态分布最为人们所熟知是因为在实际生活中我们经常可以看到正态分布的例子。比如男女身高,学习成绩等都服从正态分布。也就是说身高和学习成绩处于中游水平的人的数量最多,而身高特别高或特别矮以及成绩特别好或特别差的人的数量很少(趋于0),上图的曲线看起来像一口钟,因此正态分布曲线又被称为钟形曲线(bell curve)。

     

    若随机变量X服从一个期望为μ,方差为σ2的正态分布,那么记作X~N(μ,σ2)。正态分布的期望值μ决定了其位置,标准差σ决定了分布的幅度。正态分布的概率密度函数为

     

    如果数据服从正态分布,我们可以看到大约68%的数据分布在均值的第一个标准差范围之内,95%分布在均值的两个标准差范围之内,99.7%分布在均值的三个标准差范围之内,这就是经验法则(empirical rule)。

     

    我们可以通过计算随机变量的z值(z score),得知其距离平均值有多少个标准差。z值的计算公式为:。(其中x是随机变量的值,μ是总体均值,σ是总体标准差)

     

    当μ=0,σ=1时,正态分布就成为标准正态分布,记作N(0,1)。通过把服从正态分布的原始数据转变为z值,其z值分布就变为标准正态分布。

     

    通过查找z值表(z-table),我们可以找到z值对应的概率,此概率是z值出现的累计概率(也就是小于此z值的概率)。通过转换,我们就能知道某z值落在某个区间内的概率是多少了。

    (如何使用z值表可参考:http://www.z-table.com/how-to-use-z-score-table.html

     

    我们在实践中为何总是选择使用正态分布呢?正态分布在自然界中的频繁出现只是原因之一,还有一个重要的原因是正态分布的最大熵性质。很多时候,我们并不知道数据的真实分布是什么,我们能从数据中获取到的比较好的知识就是均值和方差,除此之外没有其它更加有用的信息。因此按照最大熵原理,我们应该选择在给定的知识的限制下熵最大的概率分布,而这恰好是正态分布。因此按照最大熵的原理,由于我们对真实分布一无所知,如果数据不能有效提供除了均值和方差之外的更多的知识,即便数据的真实分布不是正态分布,那这时候正态分布就是最佳的选择。(此段摘自正态分布的前世今生)

     

    正态分布的前世今生:

    http://songshuhui.net/archives/76501

    http://songshuhui.net/archives/77386

     

    t分布小样本分布

    根据中心极限定理,如果从服从正态分布的总体中多次抽样,每次抽取n个观察值,只要抽样次数足够多,那么样本平均数的分布仍然服从正态分布,即~N(μ, )。

    我们可以把这个公式转换一下,变为,这样计算出某样本均值的z值,就可以找到其对应的累计概率。反过来,我们也可以通过设置置信度(level of confidence),找到相应的z值,然后计算出总体均值的置信区间

     

    但有一个问题,就是在实际应用中,总体的标准差σ往往是未知的,因此人们常用样本标准差s作为σ的估计值。这个问题是解决了,但是还有一个问题。根据样本标准差的计算公式,如果样本中的观察值数量很少,那么样本的标准差就会很大,因此如果在样本量小的情况下直接使用z值公式,得出的结果是不准确的。

     

    那么怎么办呢?有个叫Gosset的人通过计算大量样本均值和样本标准差的比值,得到了这个比值的分布,叫做t分布。

     

    我们按照计算z值的方式,把样本平均数转换成标准值,这个数值就叫做t值(t statistic),t值的分布服从t分布。t值的计算公式为:。(其中是随机样本均值,μ是总体均值,s是样本标准差,n是样本中的观察值数量)

     

    t分布以0为中心,左右对称,其形态变化与自由度ν(degrees of freedom)有关。自由度ν越小,t分布曲线越低平;自由度ν越大,t分布曲线越接近标准正态分布曲线。(自由度指在数据集中能自由变化的观察值的数量,对于某个抽样样本来说,其自由度等于样本中的观察值数量减一,即v=n-1)

     

    我们发现,当样本中的观察值数量接近30时,t分布开始逐渐接近标准正态分布。因此,t分布被广泛使用,因为其不管对于小样本或者大样本都是正确的,而正态分布只对大样本正确。

     

    通过自由度(v)和设置置信度(1-α),在t值表(t-table)上查找出对应的t值。这样,我们可以通过样本均值来对总体均值进行估计(点估计,point estimate),并且可以计算出在某个置信度下(比如95%),总体均值的置信区间(区间估计,interval estimate)。

     

    t分布的发现:

    http://www.360doc.com/content/16/1101/21/36719146_603220801.shtml

    https://blog.csdn.net/lengxiao1993/article/details/81985399

     

    卡方分布:样本期望值和观察值之间差异的分布

     

    假设O代表某个样本中某个类别的观察频数,E代表基于零假设计算出的期望频数,O与E之差称为残差。残差可以表示某一个类别变量观察值和期望值的偏离程度。但因为残差有正有负,相加后会彼此抵消,因此不能将残差简单相加以表示观察频数与期望频数的差别,为此可以将残差进行平方然后求和。另一方面,残差的大小是一个相对的概念。当期望频数为10时,残差为20显得较大,但当期望频数为1000时,20的残差就很小了。考虑到这一点,人们又将残差平方除以期望频数。对于多个观察值,只要将这些残差平方相加,得到的数值就是χ2值(χstatistic),χ2值服从卡方分布。χ2值的计算公式为:

     

    卡方分布的正式定义:若k个相互独立的随机变量服从标准正态分布N(0,1)(也称独立同分布于标准正态分布),则这k个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一个新的随机变量,其分布称为卡方分布(chi-square distribution),自由度为k。

     

    从卡方分布图可以看出:卡方值都是正值,呈右偏态,随着自由度k的增大,其分布趋近于正态分布。(卡方分布的极限就是正态分布)

     

    卡方分布主要用于卡方检验。有两种检验目的,一种是检验样本中各个类别的观察值与期望值是否有显著的不同(goodness of fit),另一种是检验样本中两个类别之间是否相互独立(independence)。

     

    卡方检验的例子:

    https://www.jianshu.com/p/807b2c2bfd9b

     

    F分布:多个样本方差比率的分布

    t检验和卡方检验可以用来检验单个样本的均值是否和总体一致,或者检验两个样本之间的均值是否一致。那么如果我们需要检验两个以上的样本的均值是否一致该怎么办呢?为此,Fisher创造出了方差分析(analysis of variance,ANOVA),通过分析多个样本的方差来检验这几个样本的均值是否相同。

     

    将多个样本之间的方差(组间方差)除以样本内部的方差(组内方差),得出的比率被称为F值(F Ratio),F值服从F分布。F值的计算公式为:。(其中是总均值,,k是样本数量,N是k个样本的总观察值的数量)

     

    如果组间方差和组内方差相差不大,那么F值应该在1附近,说明这些样本的均值是一致的;如果F值远远大于1,那么说明不是所有的样本均值都是一致的。

     

    F分布的正式定义:假设X、Y为两个独立的随机变量,X服从自由度为n的卡方分布,Y服从自由度为m的卡方分布,这两个独立的卡方分布除以各自的自由度以后的比率服从F分布。

     

    F分布是一种非对称分布,它有两个自由度,即n-1和m-1,相应的分布记为F(n–1,m-1), n-1通常称为分子自由度, m-1通常称为分母自由度。不同的自由度决定了F分布的形状。

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/HuZihu/p/9442316.html

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