关于两个周期函数的和的周期性的讨论
 
 
 
因为排版和敲数学公式的局限性，很多地方写得并不是非常严格，或者有些跳跃，望海涵。
 
 
初衷
 
想这个问题的初衷是在给同学们习题课的时候（华东师大版的数学分析），里面有一道题，如下：
 求下列函数的周期:$\cos \frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{3}$。
 这道题本身比较简单，显然 $12\pi$ 是它的一个周期，如果这里的周期理解为基本周期（最小正周期）的话（有同学发问了），我们还得 check $6\pi$ 不是它的一个周期，这也是很容易的，找两个点算一算即可。
 
那么，作为数学分析课程的学习，我们就不应该满足于此，应该考虑更多一些些？
 
简单地问，两个周期函数的和是否是周期函数？若是，周期是多少？最小正周期又是多少？
 
准备工作
 
定义（可公度）：
 对于实数 $T_1,T_2$，若存在 ${\mathrm{m}}_{,}\mathrm{n}\in \mathrm{N},$ 使 ${\mathrm{T}}_1/{\mathrm{T}}_2=\mathrm{m}/\mathrm{n}$，则称 $T_1,T_2$ 可公度，否则称为不可公度。
 
引理
 设 $T_1,T_2$ 是两个不可公度的正数，则存在数偶序列 $\left(m_k,n_k\right),k=1,2,3,\cdots ,$ 使得
 $$\underset{k\to \infty }{\lim }\left(m_k{T}_1+n_k{T}_2\right)=0$$
 其中 $m_k,n_k$ 都是整数.
 
证明：
 当$T_1=T_2$的时候显然，下面不妨假设$a_0:=T_1>T_2:=a_1$。
 我们可以用辗转相除法构造一个数列$a_k$，
 $$a_0=i_1{a}_1+a_2$$
 $$a_1=i_2{a}_2+a_3$$
 $$\dots \dots$$
 以此类推。易知，这里的 $a_k\to 0$，并且它可以递推地写成：
 $$a_k=m_k{a}_0+n_k{a}_1$$
 的形式。譬如，
 $$a_2=a_0-i_1{a}_1=-i_{1}a+b=m_{1}a+n_{1}b$$
 $$a_3=a_1-i_2{a}_2=\left(1-i_2{m}_1\right)a-i_2{n}_{1}b=m_{2}a+n_{2}b$$
 $$\dots \dots$$
 
证毕。
 
 
 
从这里引理，我们可以隐隐地感觉到，如果一个连续的周期函数的周期可以写成$m_{}{T}_1+n_{}{T}_2,\forall m,n$ 的形式，那么，这个函数的周期可以任意小，也就是说，它应该要是一个常数函数。
 
 
定理和证明
 
有了以上的一些准备，我们就可以证明一些定理。
 
定理（和为周期函数的充要条件）：
 设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的连续非常值最小正周期分别为 $T_1,T_2$ 的周期函数，那么
 $$f+g为\text{周期函数}\leftrightarrow T_1,T2\text{可公度}$$
 
证明：
 充分性是显然的。假设$T_1=ma,T_2=na$，那么 $mna$ 必然是 $f+g$ 的周期。下证必要性。即证，若$T_1,T_2$不可公度，则$f+g$必不是周期函数。
 反证。假设$f+g$是以$T$为周期的周期函数。
 $$f(x+T)+g(x+T)=f(x)+g(x)$$
 则，
 $$f(x+T)-f(x)=g(x)-g(x+T)\equiv \phi (x)$$
 易观察到，$\phi (x)$以$T_1$为周期，也以$T_2$为周期，那么，它便以$m_k{T}_1+n_k{T}_2\equiv T_k$为周期。由引理知$T_k\to 0$，又因$\phi (x)$的连续性质，我们知道$\phi (x)=常数$。
 进一步，由$$f(x+T)-f(x)=常数$$，若 $常数\ne 0$ 意味$f$是个无界函数，这和它是周期函数相矛盾。所以，
 $$f(x+T)-f(x)=g(x)-g(x+T)=0$$
 即$f$和$g$必然以$T$为周期。说明$T=k{T}_1=l{T}_2$，这和$T_1,T_2$不可公度是矛盾的。得证。
 
 
 
PS:
 1、事实上，这里的必要性证明只要$f$和$g$中有一个是连续的即可。
 2、非常值条件的设定是因为常值函数没太大意义。
 3、定义在 $\mathbb{R}$上和连续的假设，是符合常规考虑的。
 4、如果没有连续性和周期性的假设，那么有一些更广泛的讨论。可以参考一些书，比如《数学分析中的问题和反例》、《实分析中的反例 微积分中的反例》、《吉米多维奇数学分析习题集学习指引》、《数学分析拾遗》（赵显曾 著）、裴礼文的习题集等等。还有网上的一些中小学老师写的一些文章（鸟不拉屎错误连连）。
 5、事实上，这里的最小正周期这个条件可以换为周期。
 
 
定理 （周期函数和的最小正周期，$m,n>1$）
 
设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的连续非常值最小正周期分别为 $T_1=n\alpha ,T_2=m\alpha$ 的周期函数，这里
 $$\mathrm{m},\mathrm{n}\in \mathrm{N},\mathrm{m},\mathrm{n}>1,(\mathrm{m},\mathrm{n})=1,\alpha \text{是正实数}$$
 那么函数 $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})+g(x)$是周期函数，且最小正周期为$mn\alpha$。
 
证明：
 
和为周期函数的充要条件知 $h$ 是周期函数，$mn\alpha$ 是一个周期，下证其为最小正周期。
 只要证最小正周期为$m$的$f_0(x):=f(\alpha x)$与最小正周期为$n$的$g_0(x):=g(\alpha x)$之和$h_0(x)$的最小正周期为$mn$即可。
 
下面用反证。
 
若$mn$不是最小正周期。因为$m\ne n$，必然存在$a<mn$ 是 $h_0(x)$的最小正周期。那么$a$不可能整除$m$和$n$中的任何一个，否则，不妨假设$a$整除$m$，那么$m$是$h_0$的周期，也是$g_0=h_0-f_0$的周期。则$n$整除$m$，这和题设条件矛盾。
 因此，$a$不能整除$m$和$n$，故而$a$不能整除$mn$，这个和$a$是最小正周期且$mn$是周期矛盾。
 得证。
 
定理 （周期函数和的最小正周期，$m>1,n=1$）
 
设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的连续非常值最小正周期分别为 $T_1=n\alpha ,T_2=m\alpha$ 的周期函数，这里
 $$\mathrm{m}\in \mathrm{N},\mathrm{m}>1,\mathrm{n}=1,\alpha \text{是正实数}$$
 那么函数 $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})+g(x)$是周期函数，且最小正周期可能为$m\alpha$或者$\frac{\alpha m}{k}(k、m互相不整除)$。
 
证明：
 
只要证最小正周期为$m$的$f_0(x):=f(\alpha x)$与最小正周期为$1$的$g_0(x):=g(\alpha x)$之和$h_0(x)$的最小正周期只可能为$m$或者$\frac{m}{k}$即可。
 
只要证明在$k\ne 1$的情况下，若$m$整除$k$或者$k$整除$m$，$m/k$都不可能是最小正周期即可。
 
若$s_1=m/k<m$ 为整数，那么它是$h_0$的周期，也是$g_0$的周期，那么它也是$f_0$的周期，它和$m$是$f_0$的最小正周期矛盾。
 
若$1/s_2=m/k$ ，其中$s_2$为整数，那么 1 本是$g_0$的周期，现也是$h_0$的周期，推得它也是$f_0$的周期，它和$m$是$f_0$的最小正周期且$m>1$矛盾。
 
定理 （周期函数和的最小正周期，$m=n=1$）
 
设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的连续非常值最小正周期分别为 $T_1=\alpha ,T_2=\alpha$ 的周期函数， 则函数 $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{g}(\mathrm{x})$的最小正周期为$\frac{\alpha }{k}$（$k$为某个确定的自然数，取到无穷说明最小正周期不存在，是常值函数）。
 
证明：
 我们知道$\alpha$是$h$的一个周期，那么，最小正周期必为$\frac{\alpha }{k}$（$k$为某个确定的自然数）。$k$和$f$和$g$的具体情况有关，无法确定。
 
举例如下图：
 
 
从图上可以看到，这是红蓝两个函数在一个周期内的图像，他们的周期都是 1，但是他们的和的后期就是$1/k$，图中我的$k=5$，其实可以等于任意的值。它们和的周期为
    
     
      
       
        min
       
       
        ⁡
       
       
        {
       
       
        1
       
       
        ,
       
       
        ∣
       
       
        
         1
        
        
         k
        
       
       
        ∣
       
       
        }
       
      
      
       \min\{1,|\frac{1}{k}|\}
      
     
    min{1,∣k1​∣}。
 
我所用的 MATLAB 作图代码为：
 
clc
clear
k = 5;
T = 1/k;
x = 0:0.001:1;
y0 = sin(2*k*pi.*x);
y1 = y0;
y2 = y0;
y1(x>=0.5) = 0;
y2(x<0.5) = 0;
plot(x,y1,'red',x,y2,'blue','LineWidth',5);
axis([0 1 -2 2]);
h = legend('$f(x)$','$g(x)$');
set(h,'Interpreter','latex')
title('The period of $f(x)$ and $g(x)$ is 1, but the period of $f+g$ is $1/k$','Interpreter','LaTex','FontSize',13)

结论
 
若周期函数可导，有：
 
周期函数的导数也是周期函数，且导数的周期和原函数的周期一致。
 
证明
 
令f(x)是周期为T的可导函数，
 
则f(x)=f(x+T)
 
对等式两边求导：
 
f(x)`=f(x+T)`(x+T)`
 
f(x)`=f(x+T)`
 
所以周期函数的导数也是周期函数，且导数的周期和原函数的周期一致。

vue3.0 Composition API 上手初体验 神奇的 setup 函数 (三) 生命周期函数
 
通过前面两讲，我相信大家对于 vue 3.0 双向绑定数据，已经有了一些了解了。但是，对于生命周期函数，还是一脸懵逼的。
 
这一讲，我们来讲解生命周期函数。
 
vue 2.0 生命周期对比 3.0 生命周期
 
2.0 周期名称
3.0 周期名称
说明
beforeCreate
setup
组件创建之前
created
setup
组件创建完成
beforeMount
onBeforeMount
组件挂载之前
mounted
onMounted
组件挂载完成
beforeUpdate
onBeforeUpdate
数据更新，虚拟 DOM 打补丁之前
updated
onUpdated
数据更新，虚拟 DOM 渲染完成
beforeDestroy
onBeforeUnmount
组件销毁之前
destroyed
onUnmounted
组件销毁后
通过上表对比，我们可以看到，原有的生命周期，基本都是存在的。并且新的明明，更加直观，通过 on 前缀，可以直观的看到，这是一个生命周期函数。
 
生命周期是如何使用的呢？上代码！
 
我们在我们项目中，创建一个文件 src\views\Life.vue， 并在路由中挂载该组件。
 
# 进入项目文件夹
cd ~/Sites/myWork/demo/vue3-demo
# 创建新组件文件
touch src/views/Life.vue
 
src/router/index.js
 
// ...
{
  path: '/life',
  component: () => import('@/views/Life.vue')
}
// ...
 
 
 
后续章节，我就不写上面的代码了。大家应该都知道了。
 
 
编写 srv/views/Life.vue 内容
 
<template>
  <router-link to="/">点这里去首页</router-link>
  <hr>
  <div class="home">
    这里是一个计数器 >>> <span class="red">{{count}}</span> <br>
    <button @click="countAdd">点击加数字</button>
  </div>
</template>
<script>
// 你需要使用到什么生命周期，就引出来什么生命周期
import {
  onBeforeMount,
  onMounted,
  onBeforeUpdate,
  onUpdated,
  onBeforeUnmount,
  onUnmounted,
  ref
} from 'vue'

export default {
  // setup 函数，就相当于 vue 2.0 中的 created
  setup () {
    const count = ref(0)
    // 其他的生命周期都写在这里
    onBeforeMount (() => {
      count.value++
      console.log('onBeforeMount', count.value)
    })
    onMounted (() => {
      count.value++
      console.log('onMounted', count.value)
    })
    // 注意，onBeforeUpdate 和 onUpdated 里面不要修改值，会死循环的哦！
    onBeforeUpdate (() => {
      console.log('onBeforeUpdate', count.value)
    })
    onUpdated (() => {
      console.log('onUpdated', count.value)
    })
    onBeforeUnmount (() => {
      count.value++
      console.log('onBeforeUnmount', count.value)
    })
    onUnmounted (() => {
      count.value++
      console.log('onUnmounted', count.value)
    })
    // 定义一个函数，修改 count 的值。
    const countAdd = () => {
      count.value++
    }
    return {
      count,
      countAdd
    }
  }
}
</script>
 
看结果
 
我们在浏览器中进入页面，并且点击两下按钮，然后回到首页，可以在控制台中看到完整的生命周期的输出，如下图所示：
 
 
划重点
 
首先，在 vue 3.0 中，生命周期是从 vue 中导出的，我们需要用到哪些，就导出哪些。
 
可能不少看官会认为多次一举，但实则不然。vue 提供这么多的生命周期，有几个是我们常用的？在大多数的组件中，我们用不到生命周期。即便是页面级别的应用，可能用到最多的是 onMounted 即可。
 
当然，那些绑定时间的操作会用到解绑，因此会用到 onUnmounted。其它的生命周期，正常情况下是基本用不到的。所以，通过引入使用的这种设定，可以减少我们的最终编译的项目的体积。而且，这样的引入使用，更加的逻辑清晰。
 
其次，除 setup 之外，其他的生命周期函数，都是在 setup 里面直接书写函数即可。
 
好的，生命周期我相信已经讲解清楚了。下一讲，我们来讨论计算属性。
 
 
 
本文由 FungLeo 原创，允许转载，但转载必须保留首发链接。
 
 
 
《vue3.0 Composition API 上手初体验》 文章目录地址： https://blog.csdn.net/fungleo/category_10020552.html 我会不定期的补充一些相关内容，欢迎关注订阅！
 
文章代码仓库 https://github.com/fengcms/vue3-demo 会用 git 的朋友，可以去直接下载我的代码。当然，给我点个 star 啥的，也不是不可以的哈！

 

  
对于实现页面逻辑交互等效果，我们必须知晓vue的生命周期，才能愉快的玩耍，知道我们写的东西应该挂载到哪里，vue官方给出的api讲解的那叫一个简单啊，如下：
  
所有的生命周期钩子自动绑定this上下文到实例中，因此你可以访问数据，对属性和方法进行运算。这意味着你不能使用箭头函数来定义一个生命周期方法(例如created: () => this.fetchTodos())。这是因为箭头函数绑定了父上下文，因此this与你期待的 Vue 实例不同，this.fetchTodos的行为未定义。

  
下面附加一张生命周期图示
  


  

   

    

    

     
    
   
   

  
  
那么接下来一个一个来，一起揭开生命周期以及钩子函数的神秘面纱
  
1、beforeCreated
  
在实例创建之前，数据还没有初始化，dom结构还没有挂载
  


  

   

    

    

     
    
   
   

  
  


  

   

    

    

     
    
   
   

  
  
2、created
  
实例已经创建完成之后被调用，完成了属性和方法的运算，初始化完毕，dom结构依然没有挂载

  
在这个钩子里面可以执行一些函数自调用和一些数据的初始化
  


  

   

    

    

     
    
   
   

  
  


  

   

    

    

     
    
   
   

  
  
3、beforeMount
  
在挂载开始之前被调用，初始化完毕，dom结构依然没有挂载
  


  

   

    

    

     
    
   
   

  
  


  

   

    

    

     
    
   
   

  
  
4、mounted
  
在挂载完成之后被调用，初始化完毕，dom结构已经挂载

  
在这个钩子里面可以进行一些数据的交互，dom结构的操作
  


  

   

    

    

     
    
   
   

  
  


  

   

    

    

     
    
   
   

  
  
5、beforeUpdate，updated
  
更新时调用  以及  更新完成时调用 这个放在一起来看，当然这里面我们添加一个事件，用来更改dom结构中的文字
  
但是在log中我们看到更新前和更新后的dom中的msg显示的都是更新后的数据，这里我不知道为什么，可能是更新之后beforeUpdate的数据又是更新前的数据了
  

   

    

    

     
    
   
   

  
  

   

    

    

     
    
   
   

  
  


  

   

    

    

     
    
   
   

  
  


  

   

    

    

     
    
   
   

  
  
以上是对钩子函数的个人理解，目前一直在用vue写东西，都是在自己一边探索一边写，一切都是源自对大前端的热爱和对Vue的热爱！！哈哈
 
 

 
作者：一本正经的胡说八道LV
 
链接：https://www.jianshu.com/p/e672df55d643
 
來源：简书
 
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