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  • 2022-05-17 12:22:01
    #将pyplot字体转化成中文
    matplotlib.rcParams['font.family'] = 'Microsoft YaHei'
    plt.rcParams['font.size'] = 12  # 设置字体大小
    plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 设置正常显示负号
    

    案例背景:寻找房屋面积与价格的关系并进行预测图

    #需要的包
    import matplotlib.pyplot as plt
    from matplotlib import font_manager
    import matplotlib 
    import numpy as np
    import pandas as pd 
    
    # 读取数据函数
    data = pd.read_csv(r"C:\Users\A\Desktop\python\上课用\数据挖掘案例\回归分析\预测房屋面积.csv")
    X = [] #空列表用于接收数据
    Y = []
    for single_square_feet ,single_price_value in zip(data['平方英尺'],data['价格(元/平方英尺)']): #遍历数据
        X.append([float(single_square_feet)]) #存储在相应的list列表中
        Y.append(float(single_price_value))  #存储在相应的list列表中
    X,Y
    
    #将pyplot字体转化成中文
    matplotlib.rcParams['font.family'] = 'Microsoft YaHei'
    plt.rcParams['font.size'] = 12  # 设置字体大小
    plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 设置正常显示负号
    
    #画图判断
    def runplt(size=None):
        plt.figure(figsize=size)#figure(num=None, figsize=None, dpi=None, facecolor=None, edgecolor=None, frameon=True)
        plt.title('散点图')
        plt.xlabel('平方英尺')
        plt.ylabel('价格')
        plt.axis([50, 800, 6450, 20000])
        plt.grid(True)
        return plt
    plt = runplt()
    X=X #赋值
    y=Y
    plt.plot(X, y,"k.")#"k."表示散点图,否则为折线
    plt.show()

    图像为: 

     

    #调用sklearn中的linear_model模块进行线性回归。
    from sklearn import linear_model   
    model = linear_model.LinearRegression()
    model.fit(X, y) #训练模型
    intercept=display(model.intercept_)  #截距
    coefficient=display(model.coef_)  #线性模型的系数
    predict_outcome = model.predict(np.array(predict_value).reshape(1, -1)) #预测数据,此处传入数据必须是数组
    predicted_value=700
    predict_outcome

    结果为:

    进行拟合效果检验:

    #图形检验
    regr = linear_model.LinearRegression().fit(X, y) 
    plt.scatter(X,y,color='blue') #散点图,设置颜色
    plt.plot(X,regr.predict(X),color='red',linewidth=4) #拟合曲线
    plt.xticks(())
    plt.yticks(())
    plt.show() 

     

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    千次阅读 2022-04-11 13:42:53
    3案例:不同行业工龄与薪水的线性回归模型 3.1案例背景 3.2具体代码 3.3模型优化 4总体展示 5线性回归模型评估 6模型评估的数学原理 6.1 R-squared 6.2Adj.R-squared 6.3 P值 参考书籍 1 一元线性回归...

    目录

    1 一元线性回归简介

    2 一元线性回归数学形式

    3 案例:不同行业工龄与薪水的线性回归模型

    3.1 案例背景

    3.2 具体代码

    3.3 模型优化

    4 总体展示

    5 线性回归模型评估

    6 模型评估的数学原理

    6.1 R-squared

    6.2 Adj.R-squared

    6.3 P值

    参考书籍


    1 一元线性回归简介

    线性回归模型是利用线性拟合的方式探寻数据背后的规律。如下图所示,先通过搭建线性回归模型寻找这些散点(也称样本点)背后的趋势线(也称回归曲线),再利用回归曲线进行一些简单的预测分析或因果关系分析

    在线性回归中,根据特征变量(也称自变量)来预测反应变量(也称因变量)

    根据特征变量的个数可将线性回归模型分为一元线性回归和多元线性回归。

    例如,通过“工龄”这一个特征变量来预测“薪水”,就属于一元线性回归;

    而通过“工龄”“行业”“所在城市”等多个特征变量来预测“薪水”,就属于多元线性回归。

    2 一元线性回归数学形式

    一元线性回归模型又称为简单线性回归模型,其形式可以表示为如下所示的公式。

    y=ax+b (y为因变量,x为自变量,a为回归系数,b为截距。)

    如下图所示,其中为实际值,为预测值,一元线性回归的目的就是拟合出一条线来使得预测值和实际值尽可能接近,如果大部分点都落在拟合出来的线上,则该线性回归模型拟合得较好。

    使用残差平方和衡量实际值与预测值之间的接近程度。

    使用最小二乘法求系数与截距。假设线性回归模型的拟合方程为y=ax+b,那么残差平方和(损失函数)可以定义成如下所示的公式。

    拟合的目的是使残差平方和尽可能地小,即实际值和预测值尽可能地接近。根据高等数学中求极值的相关知识,通过对残差平方和进行求导(对a和b进行求导),导数为0时,该残差平方和将取极值,此时便能获得拟合需要的系数a和截距b了。

    3 案例:不同行业工龄与薪水的线性回归模型

    3.1 案例背景

    通常来说,薪水会随着工龄的增长而增长,不同行业的薪水增长速度有所不同。本案例要应用一元线性回归模型探寻工龄对薪水的影响,即搭建薪水预测模型,并通过比较多个行业的薪水预测模型来分析各个行业的特点。

    3.2 具体代码

    # 导入设置
    import matplotlib.pyplot as plt
    import pandas as pd
    import numpy as np
    from sklearn.linear_model import LinearRegression
    
    # 设置显示中文
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['KaiTi']
    plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
    
    #读取数据
    df = pd.read_excel('IT行业收入表.xlsx')
    df.head(10)
    X = df[['工龄']]  #这里的自变量必须写成二维形式,一个因变量可能对应多个自变量
    Y = df['薪水']
    
    # 模型搭建
    model = LinearRegression()
    model.fit(X,Y)
    
    # 模型可视化
    plt.scatter(X,Y)
    plt.plot(X,model.predict(X),color='red')
    plt.xlabel('工龄')
    plt.ylabel('薪水')
    plt.show()
    
    #查看系数,截距:线性回归方程构造
    model.coef_,model.intercept_

    3.3 模型优化

    一元多次线性回归模型。

    之所以还需要研究一元多次线性回归模型,是因为有时真正契合的趋势线可能不是一条直线,而是一条曲线。根据一元二次线性回归模型绘制的曲线更契合散点图呈现的数据变化趋势。

    具体代码如下:

    # 用于增加一个多次项内容的模块PolynomialFeatures
    from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
    
    # 设置最高次项为二次项,为生成二次项数据(x^2)做准备
    poly_reg = PolynomialFeatures(degree=2)
    
    # 将原有的X转换为一个新的二维数组X_,该二维数组包含新生成的二次项数据(x^2)和原有的一次项数据(x)。
    X_ = poly_reg.fit_transform(X)
    
    model = LinearRegression()
    model.fit(X_,Y)
    
    plt.scatter(X,Y)
    plt.plot(X,model.predict(X_),color='r')
    plt.show()
    
    model.coef_,model.intercept_

    说明:

    X_此时的结构:

    查看系数和截距:

    系数,有3个数:第1个数0对应X_中常数项的系数;第2个数对应X_中一次项(x)的系数,即系数b;第3个数对应X_中二次项(x^2)的系数,即系数a。

    截距,常数项c。因此,拟合得到的一元二次线性回归方程为y=400.8x2-743.68x+13988

    4 总体展示

    5 线性回归模型评估

    模型搭建完成后,还需要对模型进行评估,这里主要以3个值作为评判标准:

    R-squared(即统计学中的R2)、Adj.R-squared(即Adjusted R2)、P值。

    其中R-squared和Adj.R-squared用来衡量线性拟合的优劣,P值用来衡量特征变量的显著性。

    R-squared和Adj.R-squared的取值范围为0~1,它们的值越接近1,则模型的拟合程度越高;P值在本质上是个概率值,其取值范围也为0~1,P值越接近0,则特征变量的显著性越高,即该特征变量真的和目标变量具有相关性。

    import statsmodels.api as sm
    
    # add_constant()函数给原来的特征变量X添加常数项,并赋给X2,这样才有y=ax+b中的常数项,即截距b
    X2 = sm.add_constant(X)
    # 用OLS()和fit()函数对Y和X2进行线性回归方程搭建
    est = sm.OLS(Y,X).fit()
    est.summary()

    左下角的coef就是常数项(const)和特征变量(工龄)前的系数,即截距b和斜率系数a。

    对于模型评估而言,通常需要关心上图中的R-squared、Adj.R-squared和P值信息。这里的R-squared为0.855,Adj.R-squared为0.854,说明模型的线性拟合程度较高;这里的P值有两个,常数项(const)和特征变量(工龄)的P值都约等于0,所以这两个变量都和目标变量(薪水)显著相关,即真的具有相关性,而不是由偶然因素导致的。

    获取R-squared值的另一种方法:

    from sklearn.metrics import r2_score
    r2 = r2_score(Y,model.predict(X))

    Y为实际值,regr.predict(X)为预测值,打印输出r2的结果为0.855,与利用statsmodels库获得的评估结果是一致的。

    6 模型评估的数学原理

    6.1 R-squared

    要想理解R-squared,得先了解3组新的概念:整体平方和TSS、残差平方和RSS、解释平方和ESS,它们的关系如下图所示。

    其中Yi为实际值,Yfitted为预测值,Ymean为所有散点的平均值,R2为R-squared值。

    对于一个拟合程度较高的线性回归模型,我们希望其实际值要尽可能落在拟合曲线上,即残差平方和RSS尽可能小,根据R-squared的计算公式R2=1-(RSS/TSS),也就是希望R-squared尽可能大。当RSS趋向于0时,说明实际值基本都落在了拟合曲线上,模型的拟合程度非常高,那么此时R-squared趋向于1,所以在实战当中,R-squared越接近1,模型的拟合程度越高。不过拟合程度也不是越高越好,拟合程度过高可能会导致过拟合现象。

    插曲:过拟合与欠拟合

    如下图所示,过拟合即过度拟合,是指模型在训练样本中拟合程度过高,虽然它很好地贴合了训练集数据,但是丧失了泛化能力,不具有推广性,也就是说,如果换了训练集以外的数据就达不到较好的预测效果。与过拟合相对应的概念是欠拟合,欠拟合是指模型拟合程度不高,数据距离拟合曲线较远,或指模型没有很好地捕捉到数据特征,不能很好地拟合数据。

    6.2 Adj.R-squared

    Adj.R-squared是R-squared的改进版,其目的是为了防止选取的特征变量过多而导致虚高的R-squared。每新增一个特征变量,线性回归背后的数学原理都会导致R-squared增加,但是这个新增的特征变量可能对模型并没有什么帮助。为了限制过多的特征变量,引入了Adj.R-squared的概念,它在R-squared的基础上额外考虑了特征变量的数量这一因素,其公式如下。

    其中n为样本数量,k为特征变量数量。从上述公式可以看出,特征变量数量k越大,其实会对Adj.R-squared产生负影响,从而告诫数据建模者不要为了追求高R-squared值而添加过多的特征变量。当考虑了特征变量数量后,Adj.R-squared就能够更准确地反映线性模型的拟合程度。

    6.3 P值

    P值涉及统计学里假设检验中的概念,其原假设为特征变量与目标变量无显著相关性,P值是当原假设为真时所得到的样本观察结果或更极端结果出现的概率。如果该概率越大,即P值越大,原假设为真的可能性就越大,即无显著相关性的可能性越大;如果该概率越小,即P值越小,原假设为真的可能性就越小,即有显著相关性的可能性越大。所以P值越小,显著相关性越大。通常以0.05为阈值,当P值小于0.05时,就认为特征变量与目标变量有显著相关性。

    参考书籍

    《Python大数据分析与机器学习商业案例实战》

    展开全文
  • 一元线性回归的Python代码测试数据,主要是包含一个属性值和label的测试数据
  • 一元线性回归分析 一元回归分析的基本概念 回归模型的建立一般包括: (1)通过某事物现,转化为具体问题; (2)确定指标变量,收集整理数据,并构建模型进行参数估计; (3)模型的检验,当模型检验不通过时,需要...

    一元线性回归分析

    一元回归分析的基本概念
    回归模型的建立一般包括:
    (1)通过某事物现,转化为具体问题;
    (2)确定指标变量,收集整理数据,并构建模型进行参数估计;
    (3)模型的检验,当模型检验不通过时,需要重新修改模型;
    (4)模型的应用,得出结论,运行给出决策等。

    基本概念
    通常我们要先收集与研究相关的数据的一组或者多组样本,为直观观察数据的分布规律,我们可以将收集到每组数据绘制二维数据散点图。

    一元回归分析的参数估计
    一元回归模型的参数估计一般采用极大似然法与最小二乘法,其中最常用的是最小二乘法估计。

    相关系数的检验

    实际例子:

    #给出因变量自变量的值
    x <- c(3.4,1.8,4.6,2.3,3.1,5.5,0.7,
           3.0,2.6,4.3,2.1,1.1,6.1,4.8,3.8)
    y <- c(26.2,17.8,31.3,23.1,27.5,36.0,14.1,
           22.3,19.6,31.3,24.0,17.3,43.2,36.4,26.1)
    plot(x,y)
    abline(lm)
    #建立回归方程
    lm <-lm(y~x)
    #输出回归分析的结果
    summary(lm)
    

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    summary()函数用于结果的展示,其中包括残差的最大值最小值、中位数、回归系数、以及回归系数估计值、显著性检验的值,它包含的结果非常多。其中intercept为截距,也就是回归常数项的估计值,Estimate是回归系数的估计值,std是标准差,后面的为T检验的值与检验P值与显著性结果。判断显著性的方法除了P值外,还可以使用方差分析来判断。
    拟合模型
    在这里插入图片描述

    方差分析

    #方差分析
    anova(lm)
    

    在这里插入图片描述
    从方差分析的结果来看,自由度为13,sum-sq为回归平方和为SSR=841.77,与残差平方和SSE=69.75,从P值得结果可知,回归方程是显著的。

    计算相关系数与显著性检验
    回归系数的检验方式有很多,比如kendall检验,spearman检验等,在这里采用常用的pearson相关系数检验。

    #计算相关系数并进行显著性检验、皮尔选相关系数检验
    cor(x,y,method = "pearson")
    
    #相关系数显著性检验
    cor.test(x,y,alternative = "two.sided",
             method = "pearson",conf.level = 0.95)
    

    在这里插入图片描述
    最后得到相关系数为:0.9609777,95%置信区间为[0.8837722,0.9872459],其中P值小于0.05,则可以说明两者具有高度显著的线性相关。

    残差分析

    #残差分析、保留3位小数
    e <- resid(lm)
    round(e,3)
    #残差图的绘制
    plot(x,e)
    

    在这里插入图片描述

    回归系数的置信区间

    #计算回归系数的置信区间
    confint(lm)
    

    在这里插入图片描述
    可见常数项的置信区间为[7.209605,13.346252],回归系数的置信区间为[4.070851 5.767811]。

    预测值

    #模型预测
    new_data <- data.frame(x = 3.3)
    #计算预测值,给定置信区间0.95
    y.pred <- predict(lm,new_data,interval = "prediction",level = 0.95)
    #计算因变量平均值的预测区间的置信区间
    y.conf <- predict(lm,new_data,interval = "confidence",level = 0.95)
    

    在这里插入图片描述

    模型诊断

    #回归诊断
    library("lindia")
    gg_diagnose(lm)
    

    在这里插入图片描述
    其中第一为残差直方图,可以用来判断残差的正态性是否存在极端值;第二张自变量与残差的关系图;第三张为预测值与残差的关系图,可以用来判断方差齐性的评估,每个点随机的分布在参考线的两侧,没有规律;第四张为残差的Q-Q图,用于残差的正态性判断;第五张当参考线水平时证明方差齐性,第六张为杠杆和残差的关系图,第七张为Cook’s Distance图,用于识别是否存在强影响点。

    完整代码

    #给出因变量自变量的值
    x <- c(3.4,1.8,4.6,2.3,3.1,5.5,0.7,
           3.0,2.6,4.3,2.1,1.1,6.1,4.8,3.8)
    y <- c(26.2,17.8,31.3,23.1,27.5,36.0,14.1,
           22.3,19.6,31.3,24.0,17.3,43.2,36.4,26.1)
    #绘制散点图
    plot(x,y)
    #添加趋势线
    abline(lm)
    #建立回归方程
    lm <-lm(y~x)
    #输出回归分析的结果 
    summary(lm)
    
    #方差分析
    anova(lm)
    
    #计算相关系数并进行显著性检验、皮尔选相关系数检验
    cor(x,y,method = "pearson")
    
    #相关系数显著性检验
    cor.test(x,y,alternative = "two.sided",
             method = "pearson",conf.level = 0.95)
    #残差分析、保留3位小数
    e <- resid(lm)
    round(e,3)
    
    #绘制残差图
    plot(x,e)
    
    #标准化残差
    zre <- e/2.316
    #计算学生化残差
    sre <- rstandard(lm)
    
    #计算回归系数的置信区间
    confint(lm)
    
    #模型预测
    new_data <- data.frame(x = 3.3)
    #计算预测值,给定置信区间0.95
    y.pred <- predict(lm,new_data,interval = "prediction",level = 0.95)
    #计算因变量平均值的预测区间的置信区间
    y.conf <- predict(lm,new_data,interval = "confidence",level = 0.95)
    
    #回归诊断
    library("lindia")
    gg_diagnose(lm)
    
    展开全文
  • 一元线性回归分析案例.pptx
  • 一元线性回归 ​由于笔者的数学不太好,而且网上关于一元线性回归的文章有很多,所以相关内容大家可以查找一下,这里我就简单的搬运一下...上图为广告费与销售额的关系图,虚线为我们的一元线性回归方程,通过回归分析

    一元线性回归

    ​由于笔者的数学不太好,而且网上关于一元线性回归的文章有很多,所以相关内容大家可以查找一下,这里我就简单的搬运一下简单概念。

    一元线性回归的方程:
    h ( x ) = β 0 + β 1 x h(x)=β_0+β_1x h(x)=β0+β1x
    其中第一个参数 β 0 β_0 β0为截距,第二个参数 β 1 β_1 β1为斜率。

    代价函数

    ​ 回归分析的主要目的是通过已有的信息,去推测出未知的信息。通过一个例子大家可能会更深刻的理解回归分析的目的。

    在这里插入图片描述

    上图为广告费与销售额的关系图,虚线为我们的一元线性回归方程,通过回归分析,我们可以预测当广告费为14万元时,我们的销售额可能是30万元。

    ​回归分析属于统计学问题,这就说明在给定自变量x时,我们是无法准确的得出因变量y的。但是我们可以通过一些方法去**“减少误差”**,使得预测的结果尽量的接近真实值。所以我们引入了代价函数,其使用最小二乘法的理论去减少这种误差。代价函数数学公式如下:
    J ( β 0 , β 1 ) = 1 2 m ∑ i = 1 m [ y i − h ( x i ) ] 2 J(β_0,β_1)=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m[y_i-h(x_i)]^2 J(β0,β1)=2m1i=1m[yih(xi)]2
    ​ 为了更好的理解代价函数,这里使第一个参数为零,然后观察一下图片(由于是从视频中截取的图片,所以这里的参数又β变成了θ,是我太懒了😂)

    在这里插入图片描述

    当θ=1时,此时回归方程贯穿每一个点,所以误差为零,J(θ)值如右图所示。

    在这里插入图片描述

    当θ=0.5时,我们一顿计算可得,J(θ)≈0.58

    在这里插入图片描述

    当θ=0时,我们同样可以计算出J(θ)的值。

    如果我们大量的将θ带入,我们将得到如下的代价函数图

    在这里插入图片描述

    由此我们可以清晰地看到,J(θ)在某一点处是可以取到最小值的,这就是我们的引入代价函数的目的:通过调整参数来减少误差,使得预测的结果尽量的接近真实值。

    注:最小二乘法的公式如下:
    ∑ [ y i − ( β 0 + β 1 x i ) ] 2 \sum[y_i-(β_0+β_1x_i)]^2 [yi(β0+β1xi)]2

    梯度下降法

    ​梯度下降法就是一个很好的调整参数的方法,它可以通过下面公式不断调整 β 0 β_0 β0 β 1 β_1 β1的值,从而得到一个全局最小值,或者是一个局部最小值。
    r e p e a t     u n t i l     c o n v e r g e n c e { β j = β j − α ∂ ∂ β j J ( β 0 , β 1 ) f o r   j = 1   a n d   j = 0 } repeat\ \ \ until\ \ \ convergence\{ \\ β_j = β_j - α\frac{∂}{∂β_j}J(β_0,β_1) \\ for\ j = 1\ and\ j=0 \\ \} repeat   until   convergence{βj=βjαβjJ(β0,β1)for j=1 and j=0}
    其中α称为学习率(learning rate),而学习率就是步长,学习率大,一次跨越的距离就远,这样可能会错过全局(局部)最小值点;学习率小,一次跨越的距离就短,这样会花费比较多的时间来处理数据。

    在这里插入图片描述

    求偏导后:
    j = 0 : β 0 = β 0 − α ( 1 m ∑ i = 1 m ( y i − β 0 − β 1 x i ) ∗ − 1 )               = β 0 − α ( − 1 m ∑ i = 1 m [ y i − ( β 1 x i + β 0 ) ] )     = β 0 − α ( − 1 m ∑ i = 1 m [ y i − ( h ( x i ) ] ) j = 1 : β 1 = β 1 − α ( 1 m ∑ i = 1 m ( y i − β 0 − β 1 x i ) ∗ − x i )                = β 1 − α ( − 1 m ∑ i = 1 m x i [ y i − ( β 1 x i + β 0 ) ] )      = β 1 − α ( − 1 m ∑ i = 1 m x i [ y i − ( h ( x i ) ] ) j=0:β_0 = β_0-α(\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(y_i-β_0-β_1x_i)*-1) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =β_0-α(-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m[y_i-(β_1x_i+β_0)]) \\ \ \ \ =β_0-α(-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m[y_i-(h(x_i)]) \\ j=1:β_1=β_1-α(\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(y_i-β_0-β_1x_i)*-x_i) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =β_1-α(-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^mx_i[y_i-(β_1x_i+β_0)]) \\ \ \ \ \ =β_1-α(-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^mx_i[y_i-(h(x_i)]) j=0:β0=β0α(m1i=1m(yiβ0β1xi)1)             =β0α(m1i=1m[yi(β1xi+β0)])   =β0α(m1i=1m[yi(h(xi)])j=1:β1=β1α(m1i=1m(yiβ0β1xi)xi)              =β1α(m1i=1mxi[yi(β1xi+β0)])    =β1α(m1i=1mxi[yi(h(xi)])

    代码实现:

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    #载入数据
    data = np.genfromtxt("data.csv",delimiter=",")#delimiter分隔符,此分隔符为,
    x_data = data[:,0]
    y_data = data[:,1]
    plt.scatter(x_data,y_data)
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    #学习率 learning rate
    lr = 0.0001
    #截距
    b = 0
    #斜率
    k = 0
    #最大迭代次数
    epochs = 50
    
    #最小二乘法
    def compute_error(b, k, x_data, y_data):
        totalError = 0
        for i in range(0, len(x_data)):
            totalError += (y_data[i] - (k * x_data[i] + b)) ** 2
        return totalError / float(len(x_data)) /2.0 #最小二乘法法公式
    
    def gradient_descent_runner(x_data, y_data, b, k, lr, epochs):
        #计算总数据量
        m = float(len(x_data))
        #循环epochs次
        for i in range(epochs):
            b_grad = 0
            k_grad = 0
            #计算梯度的总和再求平均
            for j in range(0, len(x_data)):
                b_grad += -(1/m)*(y_data[j]-(k * x_data[j] + b))
                k_grad += -(1/m)*x_data[j] * (y_data[j] - (k * x_data[j] + b))
            #更新b和k
            b = b - (lr * b_grad)
            k = k - (lr * k_grad)
             # 每迭代5次,输出一次图像
    ''' 方面查看变化趋势
    			if i % 5==0:
                print("epochs:",i)
                plt.plot(x_data, y_data, 'b.')
                plt.plot(x_data, k*x_data + b, 'r')
                plt.show()
                '''
        return b, k
    
    b, k = gradient_descent_runner(x_data, y_data, b, k, lr, epochs)
    #画图
    plt.scatter(x_data, y_data, c='b')
    plt.plot(x_data, k*x_data + b, 'r')
    plt.show()
    

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一元线性回归模型分析案例