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  • 机器学习的一元线性回归算法的公式与代码实现,具体包括魔心表达式推导,损失函数凹凸性证明,模型评估等。
  • 一元线性回归公式推导 损失函数: 对w,b求偏导: 可求解(先求b,再求w): 或: 这两个式子中的w是等价de,可由第一个w分子分母同除n,再由下式得到第二个w: 参考文献: ......

    一元线性回归公式推导


    平均损失函数:
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    对w,b求偏导:
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    可求解(先求b,再求w):
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    或:
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    这两个式子中的w是等价de,可由第一个w分子分母同除n,再由下式得到第二个w:
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    参考文献:
    https://zhidao.baidu.com/question/2078012458764422708.html

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  • 一元线性回归公式推导 求解偏置b的公式推导 推导思路 Created with Raphaël 2.2.0开始由最小二乘法导出损失函数E(w,b)证明损失函数E(w,b)是关于w和b的凸函数对损失函数E(w,b)关于b求一阶偏导数令一阶偏导数等于0求b...

    求解偏置b的公式推导

    推导思路

    Created with Raphaël 2.2.0开始由最小二乘法导出损失函数E(w,b)证明损失函数E(w,b)是关于w和b的凸函数对损失函数E(w,b)关于b求一阶偏导数令一阶偏导数等于0求b结束

    由最小二乘法导出损失函数E(w,b)

    最小二乘法是最小化均方误差来进行模型求解的,E(w,b)就是所有样本的均方误差加和,均方误差是真实值yiy_{i}与模型的预测值f(xi)f(x_{i})差的平方,即下面这个式子
    E(w,b)=i=1m(yif(xi))2 E{(w,b)}=\sum{i=1}^{m}(y{i}-f(x{i}))^{2}
    其中f(xi)=wxi+bf(x_{i})=wx_{i} + b 带入上式得
    E(w,b)=i=1m(yi(wxi+b))2 E_{(w,b)}=\sum_{i=1}^{m}(y_{i}-(wx_{i} + b))^{2}
    将括号去掉得
    E(w,b)=i=1m(yiwxib)2(1) E_{(w,b)}=\sum_{i=1}^{m}(y_{i}-wx_{i} - b)^{2}\tag{1}
    (1)式即西瓜书3.4 argmin后面那一部分

    证明损失函数E(w,b)是关于w和b的凸函数

    看这个之前先看首先需要明白以下定理

    1. 二元函数判断凹凸性

      设f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数,记A=fxxf(x,y)A = f_{xx}^{''}f(x,y),B=fxyf(x,y)B = f_{xy}^{''}f(x,y),C=fyyf(x,y)C = f_{yy}^{''}f(x,y),则

      • 在D上,恒有A>0,且ACB20AC - B^2\geqslant 0时,f(x,y)在区域D上是凸函数
      • 在D上,恒有A>0,且ACB20AC - B^2\geqslant 0时,f(x,y)在区域D上是凹函数
    2. 二元凹凸函数求最值

      设f(x,y)是在开区域D内具有连续偏函数的凸(或者凹)函数,(x0,y0)D(x_{0},y_{0})\in Dfx(x0,y0)=0f_{x}^{'}(x_{0},y_{0}) = 0,fy(x0,y0)=0f_{y}^{'}(x_{0},y_{0}) = 0,则$f(x_{0},y_{0}) $必为f(x,y)在D内的最小值(或最大值)

    根据上述定理,我们应该首先求出A、B、C
    E(w,b)w=w[i=1m(yiwxib)2]=i=1mw(yiwxib)2=i=1m2(yiwxib)(xi)=2(wi=1mxi2i=1m(yib)xi)(2) \begin{aligned} \frac{\partial E(w,b)}{\partial w} &= \frac{\partial }{\partial w}[\sum_{i=1}^{m}(y_{i} - wx_{i} - b)^2] \\&= \sum_{i = 1}^{m}\frac{\partial }{\partial w}(y_{i} - wx_{i} - b)^2 \\&= \sum_{i = 1}^{m}2(y_{i}-wx_{i}-b)(-x_{i}) \\&= 2(w\sum_{i=1}^{m}x_{i}^2-\sum_{i=1}^{m}(y_{i} - b)x_{i})\tag{2} \end{aligned}
    (2)式就是西瓜书的式3.5

    E(w,b)b=b[i=1m(yiwxib)2]=i=1mb(yiwxib)2=i=1m2(yiwxib)(1)=2(i=1mbi=1m(yiwxi))=2(mbi=1m(yiwxi))(3) \begin{aligned} \frac{\partial E(w,b)}{\partial b} &= \frac{\partial }{\partial b}[\sum_{i=1}^{m}(y_{i} - wx_{i} - b)^2] \\&= \sum_{i = 1}^{m}\frac{\partial }{\partial b}(y_{i} - wx_{i} - b)^2 \\&= \sum_{i = 1}^{m}2(y_{i}-wx_{i}-b)(-1) \\&= 2(\sum_{i=1}^{m}b-\sum_{i=1}^{m}(y_{i}-wx_{i})) \\&= 2(mb-\sum_{i=1}^{m}(y_{i}-wx_{i}))\tag{3} \end{aligned}
    (3)此式就是西瓜书的式3.6
    A=2E(w,b)w2=w(E(w,b)w)=w[2(wi=1mxi2i=1m(yib)xi)]=2i=1mxi2 \begin{aligned} A &= \frac{\partial^2 E(w,b)}{\partial w^2} \\&= \frac{\partial }{\partial w}(\frac{\partial E(w,b)}{\partial w}) \\&= \frac{\partial }{\partial w} \left [2(w\sum_{i=1}^{m}x_{i}^2-\sum_{i=1}^{m}(y_{i} - b)x_{i})\right ] \\&= 2\sum_{i=1}^{m}x_{i}^2 \end{aligned}

    B=2E(w,b)wb=b(E(w,b)w)=b[2(wi=1mxi2i=1m(yib)xi)]=2i=1mxi \begin{aligned} B &= \frac{\partial^2 E(w,b)}{\partial w \partial b} \\&= \frac{\partial }{\partial b}(\frac{\partial E(w,b)}{\partial w}) \\&= \frac{\partial }{\partial b} \left [2(w\sum_{i=1}^{m}x_{i}^2-\sum_{i=1}^{m}(y_{i} - b)x_{i})\right ] \\&= 2\sum_{i=1}^{m}x_{i} \end{aligned}

    C=2E(w,b)b2=b(E(w,b)b)=b[2(mbi=1m(yiwxi))]=2m \begin{aligned} C &= \frac{\partial^2 E(w,b)}{\partial b^2} \\&= \frac{\partial }{\partial b}(\frac{\partial E(w,b)}{\partial b}) \\&= \frac{\partial }{\partial b} \left [2(mb-\sum_{i=1}^{m}(y_{i}-wx_{i}))\right ] \\&= 2m \end{aligned}

    此式A是大于0的,因为A如果等于0,则所有的xi=0x_{i}=0,没有意义

    接下来看ACB2AC-B^2
    ACB2=2m2i=1mxi2(2i=1mxi)2=4mi=1mxi24m1m(i=1mxi)2=4mi=1mxi24mxˉi=1mxi=4m(i=1mxi2i=1mxixˉ)=4mi=1m(xi2xixˉ) \begin{aligned} AC-B^2 &= 2m \cdot 2\sum_{i=1}^{m}x_{i}^2 - \left (2\sum_{i=1}^{m}x_{i} \right )^2 \\&= 4m\sum_{i=1}^{m}x_{i}^2 - 4\cdot m\cdot \frac{1}{m}\cdot \left (\sum_{i=1}^{m}x_{i} \right )^2 \\&= 4m\sum_{i=1}^{m}x_{i}^2 - 4m\cdot \bar{x}\cdot \sum_{i=1}^{m}x_{i} \\&= 4m\left (\sum_{i=1}^{m}x_{i}^2 - \sum_{i=1}^{m}x_{i}\bar{x} \right ) \\&= 4m\sum_{i=1}^{m}(x_{i}^2 - x_{i}\bar{x}) \end{aligned}
    又因
    i=1m(xixˉ)=xˉi=1mxi=xˉm1mi=1mxi=mxˉ2=i=1mxˉ2 \sum_{i=1}^{m}( x_{i}\bar{x}) = \bar{x}\sum_{i=1}^{m}x_{i} = \bar{x}\cdot m\cdot \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}x_{i} = m \bar{x}^2 = \sum_{i=1}^{m}\bar{x}^2
    所以
    ACB2=4mi=1m(xi2xixˉ)=4mi=1m(xi2xixˉxixˉ+xixˉ)=4mi=1m(xi22xixˉ+xˉ2)=4mi=1m(xixˉ)2 \begin{aligned} AC-B^2 &= 4m\sum_{i=1}^{m}(x_{i}^2 - x_{i}\bar{x}) \\&= 4m\sum_{i=1}^{m}(x_{i}^2 - x_{i}\bar{x} - x_{i}\bar{x} + x_{i}\bar{x}) \\&= 4m\sum_{i=1}^{m}(x_{i}^2 - 2x_{i}\bar{x} + \bar{x}^2) \\&= 4m\sum_{i=1}^{m}(x_{i} - \bar{x})^2 \end{aligned}
    m是大于等于0的,i=1m(xixˉ)20\sum_{i=1}^{m}(x_{i} - \bar{x})^2\geqslant 0, 即ACB20AC-B^2 \geqslant 0, 也即损失函数E(w,b)是关于w和b的凸函数

    对损失函数E(w,b)关于b求一阶偏导数

    E(w,b)b=b[i=1m(yiwxib)2]=i=1mb(yiwxib)2=i=1m2(yiwxib)(1)=2(i=1mbi=1m(yiwxi))=2(mbi=1m(yiwxi)) \begin{aligned} \frac{\partial E(w,b)}{\partial b} &= \frac{\partial }{\partial b}[\sum_{i=1}^{m}(y_{i} - wx_{i} - b)^2] \\&= \sum_{i = 1}^{m}\frac{\partial }{\partial b}(y_{i} - wx_{i} - b)^2 \\&= \sum_{i = 1}^{m}2(y_{i}-wx_{i}-b)(-1) \\&= 2(\sum_{i=1}^{m}b-\sum_{i=1}^{m}(y_{i}-wx_{i})) \\&= 2(mb-\sum_{i=1}^{m}(y_{i}-wx_{i})) \end{aligned}

    令一阶偏导数等于0求b

    E(w,b)b=2(mbi=1m(yiwxi))=0 \frac{\partial E(w,b)}{\partial b} = 2(mb-\sum_{i=1}^{m}(y_{i}-wx_{i})) = 0


    b=1mi=1m(yiwxi)(4) b = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(y_{i}-wx_{i})\tag{4}
    (4)式也就是西瓜书的式3.8

    同时对b进行恒等变形得
    b=1mi=1m(yiwxi)=1mi=1myiw1mi=1mxi=yˉwxˉ \begin{aligned} b &= \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(y_{i}-wx_{i}) \\&= \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}y_{i} - w\cdot \frac{1}{m}\cdot \sum_{i=1}^{m}x_{i} \\&= \bar{y} - w\bar{x} \end{aligned}

    求解导权重w的公式推导

    推导思路

    Created with Raphaël 2.2.0开始由最小二乘法导出损失函数E(w,b)证明损失函数E(w,b)是关于w和b的凸函数对损失函数E(w,b)关于w求一阶偏导数令一阶偏导数等于0求w结束

    其中由最小二乘法导出损失函数E(w,b)和证明损失函数E(w,b)是关于w和b的凸函数上面已经做过了

    而且已经求出了
    E(w,b)w=w[i=1m(yiwxib)2]=i=1mw(yiwxib)2=i=1m2(yiwxib)(xi)=2(wi=1mxi2i=1m(yib)xi) \begin{aligned} \frac{\partial E(w,b)}{\partial w} &= \frac{\partial }{\partial w}[\sum_{i=1}^{m}(y_{i} - wx_{i} - b)^2] \\&= \sum_{i = 1}^{m}\frac{\partial }{\partial w}(y_{i} - wx_{i} - b)^2 \\&= \sum_{i = 1}^{m}2(y_{i}-wx_{i}-b)(-x_{i}) \\&= 2(w\sum_{i=1}^{m}x_{i}^2-\sum_{i=1}^{m}(y_{i} - b)x_{i}) \end{aligned}

    令一阶偏导数等于0求w

    E(w,b)w=2(wi=1mxi2i=1m(yib)xi)=0 \frac{\partial E(w,b)}{\partial w} = 2(w\sum_{i=1}^{m}x_{i}^2-\sum_{i=1}^{m}(y_{i} - b)x_{i}) = 0

    wi=1mxi2=i=1m(yib)xi w\sum_{i=1}^{m}x_{i}^2=\sum_{i=1}^{m}(y_{i} - b)x_{i}

    b=yˉwxˉb = \bar{y} - w\bar{x}代入得
    wi=1mxi2=i=1m(yixiyˉxi+wxˉxi) w\sum_{i=1}^{m}x_{i}^2=\sum_{i=1}^{m}(y_{i}x_{i} - \bar{y}x_{i}+w\bar{x}x_{i})

    wi=1mxi2wi=1mxˉxi=i=1m(yixiyˉxi) w\sum_{i=1}^{m}x_{i}^2 - w\sum_{i=1}^{m}\bar{x}x_{i}=\sum_{i=1}^{m}(y_{i}x_{i} - \bar{y}x_{i})

    解得
    w=i=1m(yixiyˉxi)i=1mxi2i=1mxˉxi(5) w = \frac{\sum_{i=1}^{m}(y_{i}x_{i} - \bar{y}x_{i})}{\sum_{i=1}^{m}x_{i}^2 - \sum_{i=1}^{m}\bar{x}x_{i}}\tag{5}
    又因
    i=1mxˉxi=xˉi=1mxi=1mmxˉi=1mxi=1m(i=1mxi)(i=1mxi)=1m(i=1mxi)2 \begin{aligned} \sum_{i=1}^{m} \bar{x}x_{i} &= \bar{x}\sum_{i=1}^{m}x_{i} \\&=\frac{1}{m}\cdot m\cdot \bar{x}\cdot \sum_{i=1}^{m}x_{i} \\&= \frac{1}{m}(\sum_{i=1}^{m}x_{i})(\sum_{i=1}^{m}x_{i}) \\&= \frac{1}{m}(\sum_{i=1}^{m}x_{i})^2 \end{aligned}

    i=1myˉxi=yˉi=1mxi=myˉ1mi=1mxi=i=1myixˉ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{m} \bar{y}x_{i} &= \bar{y}\sum_{i=1}^{m}x_{i} \\&= m\cdot \bar{y}\cdot \frac{1}{m}\cdot \sum_{i=1}^{m}x_{i} \\&= \sum_{i=1}^{m}y_{i}\bar{x} \end{aligned}

    代入(5)式得
    w=i=1m(yixiyˉxi)i=1mxi2i=1mxˉxi=i=1m(yixiyixˉ)i=1mxi21m(i=1mxi)2=i=1myi(xixˉ)i=1mxi21m(i=1mxi)2(6) \begin{aligned} w &= \frac{\sum_{i=1}^{m}(y_{i}x_{i} - \bar{y}x_{i})}{\sum_{i=1}^{m}x_{i}^2 - \sum_{i=1}^{m}\bar{x}x_{i}} \\&= \frac{\sum_{i=1}^{m}(y_{i}x_{i} - y_{i}\bar{x})}{\sum_{i=1}^{m}x_{i}^2 - \frac{1}{m}(\sum_{i=1}^{m}x_{i})^2} \\&= \frac{\sum_{i=1}^{m}y_{i}(x_{i} - \bar{x})}{\sum_{i=1}^{m}x_{i}^2 - \frac{1}{m}(\sum_{i=1}^{m}x_{i})^2}\tag{6} \end{aligned}

    (6)式即西瓜书公式3.7

    向量化w

    什么是向量化,观察w=i=1myi(xixˉ)i=1mxi21m(i=1mxi)2w = \frac{\sum_{i=1}^{m}y_{i}(x_{i} - \bar{x})}{\sum_{i=1}^{m}x_{i}^2 - \frac{1}{m}(\sum_{i=1}^{m}x_{i})^2} ,分子分母都有累加的式子,而这些累加的式子很像向量的点乘后的结果,将累加的式子抽象成向量的点乘的过程,就是向量化

    为什么要向量化,分子分母这些累加式子翻译成python代码,就是for循环,循环的次数和样本数量m成正比,时间复杂度比较高,向量化之后,就可以直接使用Numpy进行计算,Numpy,提供了大量矩阵运算相关的函数,对这些函数在内部实现进行了优化,使其性能提升了很多,这就是向量化的原因

    首先对w进行恒等变形
    w=i=1myi(xixˉ)i=1mxi21m(i=1mxi)2=i=1m(yixiyixˉ)i=1mxi21m(i=1mxi)(i=1mxi)=i=1m(yixiyixˉ)i=1mxi2i=1mxixˉ=i=1m(yixiyixˉ)i=1m(xi2xixˉ)(7) \begin{aligned} w &= \frac{\sum_{i=1}^{m}y_{i}(x_{i} - \bar{x})}{\sum_{i=1}^{m}x_{i}^2 - \frac{1}{m}(\sum_{i=1}^{m}x_{i})^2} \\&= \frac{\sum_{i=1}^{m}(y_{i}x_{i} - y_{i}\bar{x})}{\sum_{i=1}^{m}x_{i}^2 - \frac{1}{m}(\sum_{i=1}^{m}x_{i})(\sum_{i=1}^{m}x_{i})} \\&= \frac{\sum_{i=1}^{m}(y_{i}x_{i} - y_{i}\bar{x})}{\sum_{i=1}^{m}x_{i}^2 -\sum_{i=1}^{m}x_{i}\bar{x}} \\&= \frac{\sum_{i=1}^{m}(y_{i}x_{i} - y_{i}\bar{x})}{\sum_{i=1}^{m}(x_{i}^2 -x_{i}\bar{x})}\tag{7} \end{aligned}

    同时有
    i=1myixˉ=mxˉ1mi=1myi=i=1mxiyˉ(8) \begin{aligned} \sum_{i=1}^{m}y_{i}\bar{x} = m \cdot \bar{x}\cdot \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}y_{i} =\sum_{i=1}^{m}x_{i} \bar{y}\tag{8} \end{aligned}

    i=1myixˉ=mxˉ1mi=1myi=mxˉyˉ=i=1mxˉyˉ(9) \begin{aligned} \sum_{i=1}^{m}y_{i}\bar{x}= m \cdot \bar{x}\cdot \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}y_{i} = m \cdot \bar{x}\cdot\bar{y}=\sum_{i=1}^{m}\bar{x} \bar{y}\tag{9} \end{aligned}

    i=1mxixˉ=mxˉ1mi=1mxi=mxˉxˉ=i=1mxˉ2(10) \begin{aligned} \sum_{i=1}^{m}x_{i}\bar{x}= m \cdot \bar{x}\cdot \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}x_{i} = m \cdot \bar{x}\cdot\bar{x}=\sum_{i=1}^{m}\bar{x}^2\tag{10} \end{aligned}

    将(8)(9)(10)三个式子代入(7)式再次对w进行恒等变形
    w=i=1m(yixiyixˉ)i=1m(xi2xixˉ)=i=1m(yixiyixˉyixˉ+yixˉ)i=1m(xi2xixˉxixˉ+xixˉ)=i=1m(yixiyixˉxiyˉ+xˉyˉ)i=1m(xi2xixˉxixˉ+xˉ2)=i=1m(yiyˉ)(xixˉ)i=1m(xixˉ)2 \begin{aligned} w &= \frac{\sum_{i=1}^{m}(y_{i}x_{i} - y_{i}\bar{x})}{\sum_{i=1}^{m}(x_{i}^2 -x_{i}\bar{x})} \\&= \frac{\sum_{i=1}^{m}(y_{i}x_{i} - y_{i}\bar{x} - y_{i}\bar{x} + y_{i}\bar{x})}{\sum_{i=1}^{m}(x_{i}^2 -x_{i}\bar{x}-x_{i}\bar{x}+x_{i}\bar{x})} \\&= \frac{\sum_{i=1}^{m}(y_{i}x_{i} - y_{i}\bar{x} - x_{i}\bar{y} + \bar{x}\bar{y})}{\sum_{i=1}^{m}(x_{i}^2 -x_{i}\bar{x}-x_{i}\bar{x}+\bar{x}^2)} \\&= \frac{\sum_{i=1}^{m}(y_{i}-\bar{y})(x_{i}-\bar{x})}{\sum_{i=1}^{m}(x_{i}-\bar{x})^2} \end{aligned}

    定义向量化时需要使用的向量
    x=(x1x2...xm)T \vec{x} = \begin{pmatrix} x_{1} &x_{2} &... & x_{m} \end{pmatrix} ^{\mathrm{T}}

    xd=(x1xˉx2xˉ...xmxˉ)T \vec{x_{d}} = \begin{pmatrix} x_{1}-\bar{x} &x_{2}-\bar{x} &... & x_{m} -\bar{x} \end{pmatrix} ^{\mathrm{T}}

    y=(y1y2...ym)T \vec{y} = \begin{pmatrix} y_{1} &y_{2} &... & y_{m} \end{pmatrix} ^{\mathrm{T}}

    yd=(y1yˉy2yˉ...ymyˉ)T \vec{y_{d}} = \begin{pmatrix} y_{1}-\bar{y} &y_{2}-\bar{y} &... & y_{m} -\bar{y} \end{pmatrix} ^{\mathrm{T}}

    对w进行向量化得
    w=xdTydxdTxd w = \frac{ \vec{x_{d}}^{\mathrm{T}} \vec{y_{d}}}{\vec{x_{d}}^{\mathrm{T}} \vec{x_{d}}}

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  • 一元线性回归模型 如果 X 和 Y 之间存在着较强的相关关系,则我们有 Y ≈ α+βX,如果我们能求出 α 和 β 的值,根据 X 的值,可以得到 Y 预测值:   如何确定 α 和 β 呢?我们确定的 α 和 β 可以使得 ...

    一元线性回归的数学推导

    一元线性回归概念


    用相关系数去衡量线性相关性的强弱。



    一元线性回归模型

    如果 X 和 Y 之间存在着较强的相关关系,则我们有 Y ≈ α+βX,如果我们能求出 α  和 β 的值,根据 X 的值,可以得到 Y 预测值:

     

    如何确定  α  和 β 呢?我们确定的 α  和 β 可以使得 平方误差和最小,根据最小二乘法:


    式中: α  和 β 未知。求上式子最小时候的α  和 β 值。对α  和 β 求偏导。






    根据:

    最后可得:



    数学简单示例:


    参考:
    黄志洪老师课件

    一元线性回归的Python实现

    import pandas as pd
    import matplotlib.pyplot as plt
    import sklearn
    from sklearn.linear_model import LinearRegression
    #载入数据
    lr = LinearRegression(fit_intercept=True)
    columns = ["mpg", "cylinders", "displacement", "horsepower", "weight", "acceleration", "model year", "origin", "car name"]
    cars = pd.read_table("auto_mpg.data",delim_whitespace=True, names=columns)
    #训练数据
    lr.fit(cars[["weight"]], cars[["mpg"]])
    predictions = lr.predict(cars[["weight"]])
    #显示图形
    plt.scatter(cars[["weight"]], cars["mpg"], c='red')
    plt.scatter(cars[["weight"]], predictions, c='blue')
    plt.show()





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    千次阅读 2019-10-08 19:27:05
    一元线性回归模型 参数估计(最小二乘法) 最小二乘法c++实现 导言 监督学习中,预测的变量是离散的,则称分类 otherwise 连续的变量称回归。 回归中只包含一个自变量和因变量,二者为线性关系,则为一元线性...
  • 普通最小二乘估计对数据进行一元线性回归分析原理,附详细推导
  • 一元线性回归推导(西瓜书)
  • 线性回归从一元线性回归入门

    千次阅读 2018-08-07 01:03:59
    本文是从一元线性回归为为基础来理解线性回归,适合于线性回归的入门,让初学者对于线性回归有直观的理解。本文也是我对于线性回归算法入门学习,分享给大家。 线性回归的定义 回归是用于应用于输入变量与输出...
  • 1.9一元线性回归

    2020-05-16 08:15:00
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  • 一元线性回归

    2017-10-11 23:53:12
    机器学习,一元线性回归
  • 006 一元线性回归

    2019-02-24 11:40:00
     一元线性回归模型的应用 一:参数估计 1.一元线性回归模型  在研究某一现象时,主要关心与影响最主要因素关系时,两者有密切关系,但并非一个变量唯一确定另一个变量,可以使用一元线性回归方程      ...
  • R语言解读一元线性回归模型

    千次阅读 2016-10-25 08:34:57
    前言在我们的日常生活中,存在大量的具有相关性的事件,比如大气压和海拔高度,海拔越高大气压强越小;人的身高和体重,普遍来看越高的人体重也越重。...一元线性回归分析是处理两个变量之间关系的最简单模型
  • 多元线性回归多元线性回归模型实际中有很多问题是一个因变量与多个自变量成线性相关,我们可以用一个多元线性回归方程来表示。为了方便计算,我们将上式写成矩阵形式:Y = XW假设自变量维度为NW为自变量的系数,下标0...

空空如也

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一元线性回归模型推导