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  • 2022-03-04 11:51:08

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    一元线性回归

    ​由于笔者的数学不太好,而且网上关于一元线性回归的文章有很多,所以相关内容大家可以查找一下,这里我就简单的搬运一下简单概念。

    一元线性回归的方程:
    h ( x ) = β 0 + β 1 x h(x)=β_0+β_1x h(x)=β0+β1x
    其中第一个参数 β 0 β_0 β0为截距,第二个参数 β 1 β_1 β1为斜率。

    代价函数

    ​ 回归分析的主要目的是通过已有的信息,去推测出未知的信息。通过一个例子大家可能会更深刻的理解回归分析的目的。

    在这里插入图片描述

    上图为广告费与销售额的关系图,虚线为我们的一元线性回归方程,通过回归分析,我们可以预测当广告费为14万元时,我们的销售额可能是30万元。

    ​回归分析属于统计学问题,这就说明在给定自变量x时,我们是无法准确的得出因变量y的。但是我们可以通过一些方法去**“减少误差”**,使得预测的结果尽量的接近真实值。所以我们引入了代价函数,其使用最小二乘法的理论去减少这种误差。代价函数数学公式如下:
    J ( β 0 , β 1 ) = 1 2 m ∑ i = 1 m [ y i − h ( x i ) ] 2 J(β_0,β_1)=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m[y_i-h(x_i)]^2 J(β0,β1)=2m1i=1m[yih(xi)]2
    ​ 为了更好的理解代价函数,这里使第一个参数为零,然后观察一下图片(由于是从视频中截取的图片,所以这里的参数又β变成了θ,是我太懒了😂)

    在这里插入图片描述

    当θ=1时,此时回归方程贯穿每一个点,所以误差为零,J(θ)值如右图所示。

    在这里插入图片描述

    当θ=0.5时,我们一顿计算可得,J(θ)≈0.58

    在这里插入图片描述

    当θ=0时,我们同样可以计算出J(θ)的值。

    如果我们大量的将θ带入,我们将得到如下的代价函数图

    在这里插入图片描述

    由此我们可以清晰地看到,J(θ)在某一点处是可以取到最小值的,这就是我们的引入代价函数的目的:通过调整参数来减少误差,使得预测的结果尽量的接近真实值。

    注:最小二乘法的公式如下:
    ∑ [ y i − ( β 0 + β 1 x i ) ] 2 \sum[y_i-(β_0+β_1x_i)]^2 [yi(β0+β1xi)]2

    梯度下降法

    ​梯度下降法就是一个很好的调整参数的方法,它可以通过下面公式不断调整 β 0 β_0 β0 β 1 β_1 β1的值,从而得到一个全局最小值,或者是一个局部最小值。
    r e p e a t     u n t i l     c o n v e r g e n c e { β j = β j − α ∂ ∂ β j J ( β 0 , β 1 ) f o r   j = 1   a n d   j = 0 } repeat\ \ \ until\ \ \ convergence\{ \\ β_j = β_j - α\frac{∂}{∂β_j}J(β_0,β_1) \\ for\ j = 1\ and\ j=0 \\ \} repeat   until   convergence{βj=βjαβjJ(β0,β1)for j=1 and j=0}
    其中α称为学习率(learning rate),而学习率就是步长,学习率大,一次跨越的距离就远,这样可能会错过全局(局部)最小值点;学习率小,一次跨越的距离就短,这样会花费比较多的时间来处理数据。

    在这里插入图片描述

    求偏导后:
    j = 0 : β 0 = β 0 − α ( 1 m ∑ i = 1 m ( y i − β 0 − β 1 x i ) ∗ − 1 )               = β 0 − α ( − 1 m ∑ i = 1 m [ y i − ( β 1 x i + β 0 ) ] )     = β 0 − α ( − 1 m ∑ i = 1 m [ y i − ( h ( x i ) ] ) j = 1 : β 1 = β 1 − α ( 1 m ∑ i = 1 m ( y i − β 0 − β 1 x i ) ∗ − x i )                = β 1 − α ( − 1 m ∑ i = 1 m x i [ y i − ( β 1 x i + β 0 ) ] )      = β 1 − α ( − 1 m ∑ i = 1 m x i [ y i − ( h ( x i ) ] ) j=0:β_0 = β_0-α(\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(y_i-β_0-β_1x_i)*-1) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =β_0-α(-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m[y_i-(β_1x_i+β_0)]) \\ \ \ \ =β_0-α(-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m[y_i-(h(x_i)]) \\ j=1:β_1=β_1-α(\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(y_i-β_0-β_1x_i)*-x_i) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =β_1-α(-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^mx_i[y_i-(β_1x_i+β_0)]) \\ \ \ \ \ =β_1-α(-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^mx_i[y_i-(h(x_i)]) j=0:β0=β0α(m1i=1m(yiβ0β1xi)1)             =β0α(m1i=1m[yi(β1xi+β0)])   =β0α(m1i=1m[yi(h(xi)])j=1:β1=β1α(m1i=1m(yiβ0β1xi)xi)              =β1α(m1i=1mxi[yi(β1xi+β0)])    =β1α(m1i=1mxi[yi(h(xi)])

    代码实现:

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    #载入数据
    data = np.genfromtxt("data.csv",delimiter=",")#delimiter分隔符,此分隔符为,
    x_data = data[:,0]
    y_data = data[:,1]
    plt.scatter(x_data,y_data)
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    #学习率 learning rate
    lr = 0.0001
    #截距
    b = 0
    #斜率
    k = 0
    #最大迭代次数
    epochs = 50
    
    #最小二乘法
    def compute_error(b, k, x_data, y_data):
        totalError = 0
        for i in range(0, len(x_data)):
            totalError += (y_data[i] - (k * x_data[i] + b)) ** 2
        return totalError / float(len(x_data)) /2.0 #最小二乘法法公式
    
    def gradient_descent_runner(x_data, y_data, b, k, lr, epochs):
        #计算总数据量
        m = float(len(x_data))
        #循环epochs次
        for i in range(epochs):
            b_grad = 0
            k_grad = 0
            #计算梯度的总和再求平均
            for j in range(0, len(x_data)):
                b_grad += -(1/m)*(y_data[j]-(k * x_data[j] + b))
                k_grad += -(1/m)*x_data[j] * (y_data[j] - (k * x_data[j] + b))
            #更新b和k
            b = b - (lr * b_grad)
            k = k - (lr * k_grad)
             # 每迭代5次,输出一次图像
    ''' 方面查看变化趋势
    			if i % 5==0:
                print("epochs:",i)
                plt.plot(x_data, y_data, 'b.')
                plt.plot(x_data, k*x_data + b, 'r')
                plt.show()
                '''
        return b, k
    
    b, k = gradient_descent_runner(x_data, y_data, b, k, lr, epochs)
    #画图
    plt.scatter(x_data, y_data, c='b')
    plt.plot(x_data, k*x_data + b, 'r')
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

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  • 一元线性回归分析 一元回归分析的基本概念 回归模型的建立一般包括: (1)通过某事物现,转化为具体问题; (2)确定指标变量,收集整理数据,并构建模型进行参数估计; (3)模型的检验,当模型检验不通过时,需要...

    一元线性回归分析

    一元回归分析的基本概念
    回归模型的建立一般包括:
    (1)通过某事物现,转化为具体问题;
    (2)确定指标变量,收集整理数据,并构建模型进行参数估计;
    (3)模型的检验,当模型检验不通过时,需要重新修改模型;
    (4)模型的应用,得出结论,运行给出决策等。

    基本概念
    通常我们要先收集与研究相关的数据的一组或者多组样本,为直观观察数据的分布规律,我们可以将收集到每组数据绘制二维数据散点图。

    一元回归分析的参数估计
    一元回归模型的参数估计一般采用极大似然法与最小二乘法,其中最常用的是最小二乘法估计。

    相关系数的检验

    实际例子:

    #给出因变量自变量的值
    x <- c(3.4,1.8,4.6,2.3,3.1,5.5,0.7,
           3.0,2.6,4.3,2.1,1.1,6.1,4.8,3.8)
    y <- c(26.2,17.8,31.3,23.1,27.5,36.0,14.1,
           22.3,19.6,31.3,24.0,17.3,43.2,36.4,26.1)
    plot(x,y)
    abline(lm)
    #建立回归方程
    lm <-lm(y~x)
    #输出回归分析的结果
    summary(lm)
    

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    summary()函数用于结果的展示,其中包括残差的最大值最小值、中位数、回归系数、以及回归系数估计值、显著性检验的值,它包含的结果非常多。其中intercept为截距,也就是回归常数项的估计值,Estimate是回归系数的估计值,std是标准差,后面的为T检验的值与检验P值与显著性结果。判断显著性的方法除了P值外,还可以使用方差分析来判断。
    拟合模型
    在这里插入图片描述

    方差分析

    #方差分析
    anova(lm)
    

    在这里插入图片描述
    从方差分析的结果来看,自由度为13,sum-sq为回归平方和为SSR=841.77,与残差平方和SSE=69.75,从P值得结果可知,回归方程是显著的。

    计算相关系数与显著性检验
    回归系数的检验方式有很多,比如kendall检验,spearman检验等,在这里采用常用的pearson相关系数检验。

    #计算相关系数并进行显著性检验、皮尔选相关系数检验
    cor(x,y,method = "pearson")
    
    #相关系数显著性检验
    cor.test(x,y,alternative = "two.sided",
             method = "pearson",conf.level = 0.95)
    

    在这里插入图片描述
    最后得到相关系数为:0.9609777,95%置信区间为[0.8837722,0.9872459],其中P值小于0.05,则可以说明两者具有高度显著的线性相关。

    残差分析

    #残差分析、保留3位小数
    e <- resid(lm)
    round(e,3)
    #残差图的绘制
    plot(x,e)
    

    在这里插入图片描述

    回归系数的置信区间

    #计算回归系数的置信区间
    confint(lm)
    

    在这里插入图片描述
    可见常数项的置信区间为[7.209605,13.346252],回归系数的置信区间为[4.070851 5.767811]。

    预测值

    #模型预测
    new_data <- data.frame(x = 3.3)
    #计算预测值,给定置信区间0.95
    y.pred <- predict(lm,new_data,interval = "prediction",level = 0.95)
    #计算因变量平均值的预测区间的置信区间
    y.conf <- predict(lm,new_data,interval = "confidence",level = 0.95)
    

    在这里插入图片描述

    模型诊断

    #回归诊断
    library("lindia")
    gg_diagnose(lm)
    

    在这里插入图片描述
    其中第一为残差直方图,可以用来判断残差的正态性是否存在极端值;第二张自变量与残差的关系图;第三张为预测值与残差的关系图,可以用来判断方差齐性的评估,每个点随机的分布在参考线的两侧,没有规律;第四张为残差的Q-Q图,用于残差的正态性判断;第五张当参考线水平时证明方差齐性,第六张为杠杆和残差的关系图,第七张为Cook’s Distance图,用于识别是否存在强影响点。

    完整代码

    #给出因变量自变量的值
    x <- c(3.4,1.8,4.6,2.3,3.1,5.5,0.7,
           3.0,2.6,4.3,2.1,1.1,6.1,4.8,3.8)
    y <- c(26.2,17.8,31.3,23.1,27.5,36.0,14.1,
           22.3,19.6,31.3,24.0,17.3,43.2,36.4,26.1)
    #绘制散点图
    plot(x,y)
    #添加趋势线
    abline(lm)
    #建立回归方程
    lm <-lm(y~x)
    #输出回归分析的结果 
    summary(lm)
    
    #方差分析
    anova(lm)
    
    #计算相关系数并进行显著性检验、皮尔选相关系数检验
    cor(x,y,method = "pearson")
    
    #相关系数显著性检验
    cor.test(x,y,alternative = "two.sided",
             method = "pearson",conf.level = 0.95)
    #残差分析、保留3位小数
    e <- resid(lm)
    round(e,3)
    
    #绘制残差图
    plot(x,e)
    
    #标准化残差
    zre <- e/2.316
    #计算学生化残差
    sre <- rstandard(lm)
    
    #计算回归系数的置信区间
    confint(lm)
    
    #模型预测
    new_data <- data.frame(x = 3.3)
    #计算预测值,给定置信区间0.95
    y.pred <- predict(lm,new_data,interval = "prediction",level = 0.95)
    #计算因变量平均值的预测区间的置信区间
    y.conf <- predict(lm,new_data,interval = "confidence",level = 0.95)
    
    #回归诊断
    library("lindia")
    gg_diagnose(lm)
    
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  • """ 使用最小二乘法,拟合出一元线性回归模型:z = wx + b。 一元的意思是样本x通过一个属性描述,原本可能是矢量x_i = (x_i1, x_i2...,x_id)被例如颜色,大小... 属性描述,现在只有一个x_i1描述,则直接把矢量x_i...

    代码如下:

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    from numpy import array
    
    """ 使用最小二乘法,拟合出一元线性回归模型:z = wx + b。
    一元的意思是样本x通过一个属性描述,原本可能是矢量x_i = (x_i1, x_i2...,x_id)被例如颜色,大小...
    属性描述,现在只有一个x_i1描述,则直接把矢量x_i看成标量,w也是标量
    
    计算出使得损失最小的w和b,
    画出拟合直线和原始的散点图
    点距离拟合直线越远,代表误差越大
    """
    
    
    # 画出样例的真实分布,输入样本x和真实标记y
    def plot_origin(points: array) -> None:
        """
        :param points: array类型的二维数组
        :return:
        """
        arr_x = points[:, 0]  # return list: 所有元素(子数组)中的第一个元素:x
        arr_y = points[:, 1]  # return list: 所有元素(子数组)中的第二个元素:y
    
        # 画出散点图:照理说学的时间越长,考试分数越高
        plt.scatter(arr_x, arr_y)
        plt.show()
    
    
    # 2. 策略:求均方误差(损失函数)
    def compute_cost(w: float, b: float, points: array) -> float:
        """ 计算均方误差(损失函数):预测输出和真实标记之间的差距: y - (wx + b)
                    z = wx + b 为我们要拟合的线性模型
        :param w: 线性模型参数
        :param b: 线性模型参数
        :param points: array类型的二维数组:所有样例
        :return:  输出E(w,b) 均方误差值
        """
        total_cost = 0
        m = len(points)  # 样本个数m
    
        # 计算均方误差
        for i in range(m):
            x_i = points[i, 0]  # 第i个样例的第一个元素:x
            y_i = points[i, 1]  # 第i个样例的第二个元素:y
            total_cost += (y_i - w * x_i - b) ** 2
        return total_cost / m  # 均方误差
    
    
    """3. 算法:拟合:学得z = wx+b 近似于真实标记y
    使用基于均方误差最小化的 最小二乘参数估计
    求能使得均方误差最小的w和b:损失函数分别对w,b求偏导=0
    以下代码都基于公式推导出来的w,b的表示方法
    """
    
    
    # 求列表内元素平均值
    def avg(lst):
        l = len(lst)
        return sum(lst[i] for i in range(l)) / l
    
    
    def fit(points: array) -> tuple:
        x_avg = avg(points[:, 0])  # 样本均值
        m = len(points)
        # 求w
        numerator, denominator = 0, -m * x_avg ** 2  # w公式的分子,分母
        for i in range(m):
            x_i, y_i = points[i, 0], points[i, 1]
            numerator += y_i * (x_i - x_avg)
            denominator += x_i ** 2
        w = numerator / denominator
    
        # 求b
        sum_y = 0
        for i in range(m):
            x_i, y_i = points[i, 0], points[i, 1]
            sum_y += y_i
        b = (sum_y - w * x_avg * m) / m
        return w, b
    
    
    # 画出拟合函数:一元线性回归模型
    def plot_fit(arr_x: array, arr_y: array) -> None:
        plt.scatter(arr_x, arr_y)  # 画散 点 图
        # array类型可以直接对每个元素乘上一个常数,不用for循环慢慢一个个乘
        predict_y = w * arr_x + b  # 拟合的线性模型:预测标记y
        plt.plot(x, predict_y, c='r')  # 画 经过x,y的曲线/直线
        plt.show()
    
    
    if __name__ == '__main__':
        points = np.genfromtxt('D:\Pycharm\code\MY_machine_learning\mydata\data.csv', delimiter=',')  # array
        x = points[:, 0]  # return array: 所有元素(子数组)中的第一个元素:x
        y = points[:, 1]  # return array: 所有元素(子数组)中的第二个元素:y
    
        w, b = fit(points)
        print('w, b分别为', w, b)
    
        print('损失为:', compute_cost(w, b, points))
    
        plot_fit(x, y)

    运行结果如下:

     附data.csv网盘提取

    百度网盘 请输入提取码

    提取码:rstx

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一元线性回归模型概念