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由于笔者的数学不太好,而且网上关于一元线性回归的文章有很多,所以相关内容大家可以查找一下,这里我就简单的搬运一下简单概念。
一元线性回归的方程:
h ( x ) = β 0 + β 1 x h(x)=β_0+β_1x h(x)=β0+β1x
其中第一个参数 β 0 β_0 β0为截距,第二个参数 β 1 β_1 β1为斜率。代价函数
回归分析的主要目的是通过已有的信息,去推测出未知的信息。通过一个例子大家可能会更深刻的理解回归分析的目的。
上图为广告费与销售额的关系图,虚线为我们的一元线性回归方程,通过回归分析,我们可以预测当广告费为14万元时,我们的销售额可能是30万元。
回归分析属于统计学问题,这就说明在给定自变量x时,我们是无法准确的得出因变量y的。但是我们可以通过一些方法去**“减少误差”**,使得预测的结果尽量的接近真实值。所以我们引入了代价函数,其使用最小二乘法的理论去减少这种误差。代价函数数学公式如下:
J ( β 0 , β 1 ) = 1 2 m ∑ i = 1 m [ y i − h ( x i ) ] 2 J(β_0,β_1)=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m[y_i-h(x_i)]^2 J(β0,β1)=2m1i=1∑m[yi−h(xi)]2
为了更好的理解代价函数,这里使第一个参数为零,然后观察一下图片(由于是从视频中截取的图片,所以这里的参数又β变成了θ,是我太懒了😂)当θ=1时,此时回归方程贯穿每一个点,所以误差为零,J(θ)值如右图所示。
当θ=0.5时,我们一顿计算可得,J(θ)≈0.58
当θ=0时,我们同样可以计算出J(θ)的值。
如果我们大量的将θ带入,我们将得到如下的代价函数图
由此我们可以清晰地看到,J(θ)在某一点处是可以取到最小值的,这就是我们的引入代价函数的目的:通过调整参数来减少误差,使得预测的结果尽量的接近真实值。
注:最小二乘法的公式如下:
∑ [ y i − ( β 0 + β 1 x i ) ] 2 \sum[y_i-(β_0+β_1x_i)]^2 ∑[yi−(β0+β1xi)]2梯度下降法
梯度下降法就是一个很好的调整参数的方法,它可以通过下面公式不断调整 β 0 β_0 β0和 β 1 β_1 β1的值,从而得到一个全局最小值,或者是一个局部最小值。
r e p e a t u n t i l c o n v e r g e n c e { β j = β j − α ∂ ∂ β j J ( β 0 , β 1 ) f o r j = 1 a n d j = 0 } repeat\ \ \ until\ \ \ convergence\{ \\ β_j = β_j - α\frac{∂}{∂β_j}J(β_0,β_1) \\ for\ j = 1\ and\ j=0 \\ \} repeat until convergence{βj=βj−α∂βj∂J(β0,β1)for j=1 and j=0}
其中α称为学习率(learning rate),而学习率就是步长,学习率大,一次跨越的距离就远,这样可能会错过全局(局部)最小值点;学习率小,一次跨越的距离就短,这样会花费比较多的时间来处理数据。求偏导后:
j = 0 : β 0 = β 0 − α ( 1 m ∑ i = 1 m ( y i − β 0 − β 1 x i ) ∗ − 1 ) = β 0 − α ( − 1 m ∑ i = 1 m [ y i − ( β 1 x i + β 0 ) ] ) = β 0 − α ( − 1 m ∑ i = 1 m [ y i − ( h ( x i ) ] ) j = 1 : β 1 = β 1 − α ( 1 m ∑ i = 1 m ( y i − β 0 − β 1 x i ) ∗ − x i ) = β 1 − α ( − 1 m ∑ i = 1 m x i [ y i − ( β 1 x i + β 0 ) ] ) = β 1 − α ( − 1 m ∑ i = 1 m x i [ y i − ( h ( x i ) ] ) j=0:β_0 = β_0-α(\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(y_i-β_0-β_1x_i)*-1) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =β_0-α(-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m[y_i-(β_1x_i+β_0)]) \\ \ \ \ =β_0-α(-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m[y_i-(h(x_i)]) \\ j=1:β_1=β_1-α(\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(y_i-β_0-β_1x_i)*-x_i) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =β_1-α(-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^mx_i[y_i-(β_1x_i+β_0)]) \\ \ \ \ \ =β_1-α(-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^mx_i[y_i-(h(x_i)]) j=0:β0=β0−α(m1i=1∑m(yi−β0−β1xi)∗−1) =β0−α(−m1i=1∑m[yi−(β1xi+β0)]) =β0−α(−m1i=1∑m[yi−(h(xi)])j=1:β1=β1−α(m1i=1∑m(yi−β0−β1xi)∗−xi) =β1−α(−m1i=1∑mxi[yi−(β1xi+β0)]) =β1−α(−m1i=1∑mxi[yi−(h(xi)])代码实现:
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt #载入数据 data = np.genfromtxt("data.csv",delimiter=",")#delimiter分隔符,此分隔符为, x_data = data[:,0] y_data = data[:,1] plt.scatter(x_data,y_data) plt.show()
#学习率 learning rate lr = 0.0001 #截距 b = 0 #斜率 k = 0 #最大迭代次数 epochs = 50 #最小二乘法 def compute_error(b, k, x_data, y_data): totalError = 0 for i in range(0, len(x_data)): totalError += (y_data[i] - (k * x_data[i] + b)) ** 2 return totalError / float(len(x_data)) /2.0 #最小二乘法法公式 def gradient_descent_runner(x_data, y_data, b, k, lr, epochs): #计算总数据量 m = float(len(x_data)) #循环epochs次 for i in range(epochs): b_grad = 0 k_grad = 0 #计算梯度的总和再求平均 for j in range(0, len(x_data)): b_grad += -(1/m)*(y_data[j]-(k * x_data[j] + b)) k_grad += -(1/m)*x_data[j] * (y_data[j] - (k * x_data[j] + b)) #更新b和k b = b - (lr * b_grad) k = k - (lr * k_grad) # 每迭代5次,输出一次图像 ''' 方面查看变化趋势 if i % 5==0: print("epochs:",i) plt.plot(x_data, y_data, 'b.') plt.plot(x_data, k*x_data + b, 'r') plt.show() ''' return b, k
b, k = gradient_descent_runner(x_data, y_data, b, k, lr, epochs) #画图 plt.scatter(x_data, y_data, c='b') plt.plot(x_data, k*x_data + b, 'r') plt.show()
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一元回归分析的基本概念
回归模型的建立一般包括:
(1)通过某事物现,转化为具体问题;
(2)确定指标变量,收集整理数据,并构建模型进行参数估计;
(3)模型的检验,当模型检验不通过时,需要重新修改模型;
(4)模型的应用,得出结论,运行给出决策等。基本概念
通常我们要先收集与研究相关的数据的一组或者多组样本,为直观观察数据的分布规律,我们可以将收集到每组数据绘制二维数据散点图。一元回归分析的参数估计
一元回归模型的参数估计一般采用极大似然法与最小二乘法,其中最常用的是最小二乘法估计。相关系数的检验
实际例子:
#给出因变量自变量的值 x <- c(3.4,1.8,4.6,2.3,3.1,5.5,0.7, 3.0,2.6,4.3,2.1,1.1,6.1,4.8,3.8) y <- c(26.2,17.8,31.3,23.1,27.5,36.0,14.1, 22.3,19.6,31.3,24.0,17.3,43.2,36.4,26.1) plot(x,y) abline(lm) #建立回归方程 lm <-lm(y~x) #输出回归分析的结果 summary(lm)
summary()函数用于结果的展示,其中包括残差的最大值最小值、中位数、回归系数、以及回归系数估计值、显著性检验的值,它包含的结果非常多。其中intercept为截距,也就是回归常数项的估计值,Estimate是回归系数的估计值,std是标准差,后面的为T检验的值与检验P值与显著性结果。判断显著性的方法除了P值外,还可以使用方差分析来判断。
拟合模型
方差分析
#方差分析 anova(lm)
从方差分析的结果来看,自由度为13,sum-sq为回归平方和为SSR=841.77,与残差平方和SSE=69.75,从P值得结果可知,回归方程是显著的。计算相关系数与显著性检验
回归系数的检验方式有很多,比如kendall检验,spearman检验等,在这里采用常用的pearson相关系数检验。#计算相关系数并进行显著性检验、皮尔选相关系数检验 cor(x,y,method = "pearson") #相关系数显著性检验 cor.test(x,y,alternative = "two.sided", method = "pearson",conf.level = 0.95)
最后得到相关系数为:0.9609777,95%置信区间为[0.8837722,0.9872459],其中P值小于0.05,则可以说明两者具有高度显著的线性相关。残差分析
#残差分析、保留3位小数 e <- resid(lm) round(e,3) #残差图的绘制 plot(x,e)
回归系数的置信区间
#计算回归系数的置信区间 confint(lm)
可见常数项的置信区间为[7.209605,13.346252],回归系数的置信区间为[4.070851 5.767811]。预测值
#模型预测 new_data <- data.frame(x = 3.3) #计算预测值,给定置信区间0.95 y.pred <- predict(lm,new_data,interval = "prediction",level = 0.95) #计算因变量平均值的预测区间的置信区间 y.conf <- predict(lm,new_data,interval = "confidence",level = 0.95)
模型诊断
#回归诊断 library("lindia") gg_diagnose(lm)
其中第一为残差直方图,可以用来判断残差的正态性是否存在极端值;第二张自变量与残差的关系图;第三张为预测值与残差的关系图,可以用来判断方差齐性的评估,每个点随机的分布在参考线的两侧,没有规律;第四张为残差的Q-Q图,用于残差的正态性判断;第五张当参考线水平时证明方差齐性,第六张为杠杆和残差的关系图,第七张为Cook’s Distance图,用于识别是否存在强影响点。完整代码
#给出因变量自变量的值 x <- c(3.4,1.8,4.6,2.3,3.1,5.5,0.7, 3.0,2.6,4.3,2.1,1.1,6.1,4.8,3.8) y <- c(26.2,17.8,31.3,23.1,27.5,36.0,14.1, 22.3,19.6,31.3,24.0,17.3,43.2,36.4,26.1) #绘制散点图 plot(x,y) #添加趋势线 abline(lm) #建立回归方程 lm <-lm(y~x) #输出回归分析的结果 summary(lm) #方差分析 anova(lm) #计算相关系数并进行显著性检验、皮尔选相关系数检验 cor(x,y,method = "pearson") #相关系数显著性检验 cor.test(x,y,alternative = "two.sided", method = "pearson",conf.level = 0.95) #残差分析、保留3位小数 e <- resid(lm) round(e,3) #绘制残差图 plot(x,e) #标准化残差 zre <- e/2.316 #计算学生化残差 sre <- rstandard(lm) #计算回归系数的置信区间 confint(lm) #模型预测 new_data <- data.frame(x = 3.3) #计算预测值,给定置信区间0.95 y.pred <- predict(lm,new_data,interval = "prediction",level = 0.95) #计算因变量平均值的预测区间的置信区间 y.conf <- predict(lm,new_data,interval = "confidence",level = 0.95) #回归诊断 library("lindia") gg_diagnose(lm)
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import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from numpy import array """ 使用最小二乘法,拟合出一元线性回归模型:z = wx + b。 一元的意思是样本x通过一个属性描述,原本可能是矢量x_i = (x_i1, x_i2...,x_id)被例如颜色,大小... 属性描述,现在只有一个x_i1描述,则直接把矢量x_i看成标量,w也是标量 计算出使得损失最小的w和b, 画出拟合直线和原始的散点图 点距离拟合直线越远,代表误差越大 """ # 画出样例的真实分布,输入样本x和真实标记y def plot_origin(points: array) -> None: """ :param points: array类型的二维数组 :return: """ arr_x = points[:, 0] # return list: 所有元素(子数组)中的第一个元素:x arr_y = points[:, 1] # return list: 所有元素(子数组)中的第二个元素:y # 画出散点图:照理说学的时间越长,考试分数越高 plt.scatter(arr_x, arr_y) plt.show() # 2. 策略:求均方误差(损失函数) def compute_cost(w: float, b: float, points: array) -> float: """ 计算均方误差(损失函数):预测输出和真实标记之间的差距: y - (wx + b) z = wx + b 为我们要拟合的线性模型 :param w: 线性模型参数 :param b: 线性模型参数 :param points: array类型的二维数组:所有样例 :return: 输出E(w,b) 均方误差值 """ total_cost = 0 m = len(points) # 样本个数m # 计算均方误差 for i in range(m): x_i = points[i, 0] # 第i个样例的第一个元素:x y_i = points[i, 1] # 第i个样例的第二个元素:y total_cost += (y_i - w * x_i - b) ** 2 return total_cost / m # 均方误差 """3. 算法:拟合:学得z = wx+b 近似于真实标记y 使用基于均方误差最小化的 最小二乘参数估计 求能使得均方误差最小的w和b:损失函数分别对w,b求偏导=0 以下代码都基于公式推导出来的w,b的表示方法 """ # 求列表内元素平均值 def avg(lst): l = len(lst) return sum(lst[i] for i in range(l)) / l def fit(points: array) -> tuple: x_avg = avg(points[:, 0]) # 样本均值 m = len(points) # 求w numerator, denominator = 0, -m * x_avg ** 2 # w公式的分子,分母 for i in range(m): x_i, y_i = points[i, 0], points[i, 1] numerator += y_i * (x_i - x_avg) denominator += x_i ** 2 w = numerator / denominator # 求b sum_y = 0 for i in range(m): x_i, y_i = points[i, 0], points[i, 1] sum_y += y_i b = (sum_y - w * x_avg * m) / m return w, b # 画出拟合函数:一元线性回归模型 def plot_fit(arr_x: array, arr_y: array) -> None: plt.scatter(arr_x, arr_y) # 画散 点 图 # array类型可以直接对每个元素乘上一个常数,不用for循环慢慢一个个乘 predict_y = w * arr_x + b # 拟合的线性模型:预测标记y plt.plot(x, predict_y, c='r') # 画 经过x,y的曲线/直线 plt.show() if __name__ == '__main__': points = np.genfromtxt('D:\Pycharm\code\MY_machine_learning\mydata\data.csv', delimiter=',') # array x = points[:, 0] # return array: 所有元素(子数组)中的第一个元素:x y = points[:, 1] # return array: 所有元素(子数组)中的第二个元素:y w, b = fit(points) print('w, b分别为', w, b) print('损失为:', compute_cost(w, b, points)) plot_fit(x, y)
运行结果如下:
附data.csv网盘提取
提取码:rstx
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