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  • 个解释是行列式就是行列式中的向量所构成的超平行多面体的有向面积或有向体积;(显然这个比较容易接受) 另个解释是矩阵A的行列式detA就是线性变换A下的图形面积或体积的伸缩因子。 举个栗子~ 用维...

    历史遗留问题,当初学的时候压根没搞清楚原理,现在回头看来依旧是个拦路虎,正好这次给搞清楚了,记录一下。

    先从物理意义上来讲:

     1、行列式的几何意义:

    一个解释是行列式就是行列式中的行或列向量所构成的超平行多面体的有向面积或有向体积;(显然这个比较容易接受)

    另一个解释是矩阵A的行列式detA就是线性变换A下的图形面积或体积的伸缩因子。

    举个栗子~
    用三维空间:(x,y,z)
    三个点:
    A(1,0,0)
    B(0,2,0)
    C(0,0,3)
    行列式写为:
    ∣1  0  0∣
    ∣0  2  0∣  = 6 
    ∣0  0  3∣
    就是三个点构成的体积:长方体 1*2*3 = 6
    --------------------------------------华丽的分割线------------------------------------------
    现在令:B为B‘(0,2,2),C为C‘(3,0,3)
    行列式写为:
    ∣1  0  0∣
    ∣0  2  2∣  = 6 
    ∣3  0  3∣
    三个点构成的长方体体积还是: 1*2*3 = 6
    --------------------------------------华丽的分割线------------------------------------------
    ∣1  0  0∣
    ∣0  2  2∣  = 6
    ∣3  0  3∣
    变成方程的形式:
    1x + 0y + 0z = t1
    0x + 2y + 2z = t2
    3x + 0y + 3z = t2
    每一条方程可以画一个平面这里有三个平面,他们相交得到的空间体积等于6
    

    这里虽然说明了面积-体积,但那个有向面积-有向体积又是啥涅:

    二阶行列式的几何意义是xoy平面上以行向量为邻边的平行四边形的有向面积。

    二阶行列式的几何意义就是由行列式的向量所张成的平行四边形的面积。另外,两个向量的叉积也是这个公式。

    二阶行列式的另一个意义就是是两个行向量或列向量的叉积的数值,这个数值是z轴上(在二维平面上,z轴的正向想象为指向读者的方向)的叉积分量。如果数值是正值,则与z坐标同向;负值就与z坐标反向。如果我们不强调叉积是第三维的向量,也就是忽略单位向量,那么二阶行列式就与两个向量的叉积完全等价了。【如果不知道什么是叉积,请自行百度】

    到这里也就理解了什么叫有向面积、体积。

     

    2、现在从几何意义上来解释行列式变号这个问题:

    从行列式的物理意义来考虑:以二维为例——行列式即平行四边形的“有向面积”。

    交换行/列,即“有向面积”变号:
               如两个列向量构成行列式 | α , β | ——表示从α到β(逆时针)的平行四边形的“有向面积”:

     

     

    交换列,得| β , α | ——仍表示从α到β(顺时针)的平行四边形的“有向面积”,但“方向”与之前不同了(变号)

     

     

    综上,交换行列式的行(列),即α到β所构成的平行四边形的“面积”改变方向,体现在行列式上,即行列式变号。

     

    从抽象数学角度证明:

    1、这里其它的就不说了,现在已经知道的是,以仅变换两行为例:

    变换前行列式D的行标排列为1...i...j...n,逆序数为s,列标排列不变逆序数为t

    变换后行列式D'的行标排列为1...j...i...n,逆序数为s',列标排列不变逆序数为t

     

    2、证明排列两元素对换后,排列的奇偶性发生改变,即逆序数±(2m+1)。

    参考:

    https://www.zhihu.com/question/39038501

    https://www.zhihu.com/question/26294660

    http://www.cnblogs.com/AndyJee/p/3491487.html

    https://blog.csdn.net/wo198711203217/article/details/79960699

     

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  • 节 行列式()展开 .数学概念 余子式和代数余子式 在n阶行列式中,把元素 所在第i和第j划去后,留下来的n-1阶行列式叫做元素 的余子式,记作 ,记  ,  叫做元素 的代数余子式。 二....

    第三节 行列式按行(列)展开

    一.数学概念

    余子式和代数余子式

    n阶行列式中,把元素  所在第i行和第j列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做元素  余子式,记作  ,记

     ,

     叫做元素  代数余子式

    二.原理,公式

    引理  一个n阶行列式,如果其中第i行所有元素除  外都为零,那么这行列式等于  与它的代数余子式的乘积。

    定理3.1  行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即

                      

    或                     

    推论  行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即

                      

    范德蒙德(Vandermonde)行列式

    三.重点,难点分析

    本节重点是行列式按行(列)展开的引理、定理、推论。灵活准确的应用行列式的性质和展开定理及其引理是快速、准确计算行列式的关键。而行列式展开定理的推论不仅告诉我们计算行列式时必须用某一行(列)的元素分别乘以该行(列)对应元素的代数余子式乘积之和时才是该行列式的值。否则乘以其它行(列)对应的元素的代数余子式的乘积之和则为零,而且该推论和展开定理并用可以计算行列式中的参数。

    Vandermonde行列式虽然给出了一个计算公式,但是对于某些特殊的行列式怎么变成Vandermonde行列式的形式确是比较困难,当然用Vandermonde行列式能够计算一些难度较大的行列式的计算。

    四.典型例题分析

    例2.设4阶行列式的第2列元素依次为2,m,k,3,第2列元素的余子式依次为1,-1,1,-1,第4行元素的代数余子式依次为3,1,4,2,且行列式值为1,求m,k

    解:这是一道用行列式的展开定理和推论并用的计算行列式中的参数m,k的题型。由行列式的展开定理及其推论得

    即                         

    解得 

    例3.计算

    解:本题从表面上它不是Vandermonde行列式,但是我们可以用行列式的性质将其变成行列的形式,将D的第1列分别乘  加到第3列,得





    第四节 克拉默法则

    一.数学概念

    1.非齐次线性方程组

    其中右端的常数项  不能全为零。

    2.齐次线性方程组

    二.原理,公式和法则

    克拉默法则

    设非齐次线性方程组

    若方程组(1)的系数行列式

    则方程组(1)有唯一解

    其中  是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式,即

    定理4.1  如果线性方程组(1)的系数行列式D≠0,则(1)一定有解,且解是唯一的。

    定理4.1’  如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零。

    定理4.2  如果齐次线性方程组(2)的系数行列式D≠0,则齐次线性方程组(2)没有非零解。

    定理4.2’  如果齐次线性方程组(2)有非零解,则它的系数行列式必为零。

    三.重点,难点分析

    我们用行列式的性质和展开定理计算各种形式的行列式,其最终目的是解未知数的个数与方程组的个数相同的线性方程组。我们要重点掌握克拉默法则,会用克拉默法则解线性方程组。在使用中注意定理4.1,4.2及其逆否定理的区别,联系和应用。

    四.典型例题分析

    例1.解线性方程组

    解:

           

    于是得 

    例2.  取何值时,齐次线性方程组

    有非零解?

    解:由定理4.2’可知,若齐次线性方程组有非零解,则上式的系数行列式D=0。而

    D=0,得  =2,  =5或  =8。不难验证,当  =2,5或8时,题给齐次线性方程组确有非零解。

    本章小节

    行列式的概念是基础。

    行列式的性质是关键。

    行列式的计算是重点。

    用行列式解线性方程组是目的。

     


    from: http://dec3.jlu.edu.cn/webcourse/t000022/teach/index.htm

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  • 行列式

    千次阅读 2018-01-09 18:35:47
    一列的公因子可以提到行列式的外面;推论:某一/列全=0,行列式=0把某一/列的数拆分为两个加数,可以分别由这两个加数和其他/列组成新的两个行列式,它们的和=原来行列式若有两/列相等,行列式=0若两...

    在数学中,是一个函数,其定义域为det的矩阵A,取值为一个标量,写作det(A)或|A|。


    性质

    1. 行列互换,行列式不变.
    2. 一行或一列的公因子可以提到行列式的外面;推论:某一行/列全=0,行列式=0
    3. 把某一行/列的数拆分为两个加数,可以分别由这两个加数和其他行/列组成新的两个行列式,它们的和=原来行列式
    4. 若有两行/列相等,行列式=0
    5. 若两行成比例,行列式=0…利用4和2一起证明
    6. 把一行的倍数加到另一行,行列式不变….利用3、5一起证明
    7. 两行互换,行列式变号



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  • 个方阵看作行列式,并对其按行列式的规则求,这个就称为所对应的行列式。 det(A):求方阵A所对应的行列式。 e.g.验证det(A-1)=1/det(A)。 format rat A=[1,3,2;-3,2,1;4,1,2] det...

    ###MATLAB基础三

    1. 方阵的行列式
      把一个方阵看作一个行列式,并对其按行列式的规则求值,这个值就称为所对应的行列式的值。
      det(A):求方阵A所对应的行列式的值。
      e.g.验证det(A-1)=1/det(A)。

    format rat
    A=[1,3,2;-3,2,1;4,1,2]
    det(inv(A))
    1/det(A)

    1. 矩阵的秩
      矩阵线性无关的行数或列数称为矩阵的秩。
      rank(A):求矩阵A的秩。
      e.g.求3~20阶魔方阵的秩。

    for n=3:20
    r(n)=rank(magic(n));
    end
    bar®
    grid on
    axis([2,21,0,20])
    [3:20;r(3:20)]

    1. 矩阵的迹
      矩阵的迹等于对角线元素之和,也等于矩阵的特征值之和。
      trace(A):求矩阵A的迹。

    >>a=[1,3,2;-3,2,1;4,1,2]
    a =
    1 3 2
    -3 2 1
    4 1 2
    >> b=trace(a)
    b =
    5
    >> t=sum(diag(a))
    t =
    5

    1. 向量和矩阵的范数
      矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。
      (1)向量的3种常用范数
      范数1
      求向量范数的函数为:
      norm(V,1):计算向量V的1–范数。
      norm(V)或norm(V,2):计算向量V的2–范数。
      norm(V,inf):计算向量V的∞–范数。
      (2)矩阵的范数
      矩阵的范数

    >>x=[2,0,1;-1,1,0;-3,3,0]
    x =
    2 0 1
    -1 1 0
    -3 3 0
    >> n=norm(x)
    n =
    4.7234
    >> n=norm(x,1)
    n =
    6

    1. 矩阵的条件数
      矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积。
      条件数越接近于1,矩阵的性能越好,反之,矩阵的性能越差。
      计算矩阵A的条件数的函数为:
      cond(A,1):计算A的1–范数下的条件数。
      cond(A)或cond(A,2):计算A的2–范数下的条件数。
      cond(A,inf):计算A的∞–范数下的条件数。
      e.g.求2~10阶希尔伯特矩阵的条件数。

    for n=2:10
    c(n)=cond(hilb(n));
    end
    format long
    c’

    1. 矩阵的特征值和特征向量
      计算矩阵的特征值和特征向量的函数是eig,常用的调用格式有两种:
      E=eig(A):求矩阵A的全部特征值,构成向量E。
      [X,D]=eig(A):求矩阵A的全部特征值,构成对角阵D,并产生矩阵X,X各列是相应的特征向量。

    >>R=[-1,2,0;2,-4,1;1,1,-6];
    >>S=[1,2;2,3];
    >>A=>>[R,zeros(3,2);zeros(2,3),S];
    >>[X1,d1]=eig®
    >>[X2,d2]=eig(S)
    >>[X3,d3]=eig(A)
    X1 =
    0.8553 0.4517 0.1899
    0.4703 -0.8395 -0.5111
    0.2173 -0.3021 0.8383
    d1 =
    0.0996 0 0
    0 -4.7165 0
    0 0 -6.3832
    X2 =
    -0.8507 0.5257
    0.5257 0.8507
    d2 =
    -0.2361 0
    0 4.2361
    X3 =
    0.8553 0.4517 0.1899 0 0
    0.4703 -0.8395 -0.5111 0 0
    0.2173 -0.3021 0.8383 0 0
    0 0 0 -0.8507 -0.5257
    0 0 0 0.5257 -0.8507
    d3 =
    0.0996 0 0 0 0
    0 -4.7165 0 0 0
    0 0 -6.3832 0 0
    0 0 0 -0.2361 0
    0 0 0 0 4.2361

    >>x=[0,0.5,0.5,3,5.5,5.5,6,6,3,0;0,0,6,0,6,0,0,8,1,8];
    >>A=[1,0.5;0,1];
    >>y=A*x;
    >>subplot(2,2,1);
    >>fill(x(1,:),x(2,:),‘r’);
    >>subplot(2,2,2);
    >>fill(y(1,:),y(2,:),‘r’);
    倾斜

    定义变换矩阵A,再利用A对x进行变换,得到y矩阵,最后分别绘制变换前后的图形,M原来是正体,变换后改为斜体。
    在构建字库时,不必单独创建斜体字库,而只需对正体字库进行适当的线性变换即可,这样可以大大节省存储空间。

    参考:MOOC《科学计算与MATLAB语言》

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空空如也

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一列三行行列式的值