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  • 系统稳定类型的判断

    千次阅读 2020-11-21 10:01:39
    系统稳定类型的判断 BIBO稳定 传递函数形式: 正则有理传递函数的SISO系统BIBO稳定,当且仅当的任一极点均具有负实部时,或等价地描述:位于s的左半平面内; 正则有理传递函数的SISO系统BIBO稳定,当且仅...

    系统稳定类型的判断


    BIBO稳定

    传递函数形式:

    1. 正则有理传递函数为\hat{g}(s)的SISO系统BIBO稳定,当且仅当\hat{g}(s)的任一极点均具有负实部时,或等价地描述为:位于s的左半平面内;
    2. 正则有理传递函数为\hat{g}(s)的SISO系统BIBO稳定,当且仅当其冲激响应g(t)随着t\rightarrow \infty而趋于0;

    状态空间方程形式:

    1. 冲激响应矩阵为G(t)=[g_{ij}(t)]的MIMO系统BIBO稳定,当且仅当每个\hat{g_{ij}}(s)[0,\infty )区间绝对可积时;
    2. 正则有理传递矩阵为\hat{G}(s)=[\hat{g}_{ij}(s)]的MIMO系统BIBO稳定,当且仅当每个\hat{g}_{ij}(s)的每个极点都具有负实部时;

    临界稳定

    方程\dot{x}(t)=Ax(t)临界稳定,当且仅当A的所有特征值均具有零实部或负实部,并且具有零实部的那些特征值是A的最小多项式的单根。

    注:最小多项式的求法参考:https://blog.csdn.net/Whitecedar/article/details/109720618


    渐近稳定

    方程\dot{x}(t)=Ax(t)渐近稳定,当且仅当A的所有特征值均具有负实部。

     

     

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  • 根据bode图判断系统稳定

    千次阅读 2020-02-05 23:51:40
    定性的分析系统的性能的时候,通常将bode图分为高、中、低三...2、截止频率或被称之剪切频率,wc越高,则系统快速性越好。 3、低频段希望保证较高的增益,以便能精准的跟踪被控量,即稳态精度好。 4、高频衰减的越...

    定性的分析系统的性能的时候,通常将bode图分为高、中、低三个频段,频段的分割也是相对的,但是不影响具体分析。
    1、中频段一般是比较关键的,涉及到系统能否稳定等问题。比如如果中频段是-20dB衰减,那么我们希望中频段能够有较大带宽,以保证系统稳定性。
    2、截止频率或被称之为剪切频率,wc越高,则系统快速性越好。
    3、低频段希望保证较高的增益,以便能精准的跟踪被控量,即稳态精度好。
    4、高频衰减的越快,说明系统抗高频噪声干扰能力越强。

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  • matlab判断系统稳定性 -Routh劳斯判据

    千次阅读 2020-07-26 13:30:42
    Routh(稳定判据)-代数判据(依据根与系数的关系判断根的分布) 1.系统稳定的必要条件 设系统特征方程: D(s)=ansn+an−1sn−1+⋯+a1s+a0=0\boldsymbol{D}(s)=\boldsymbol{a}_{n} \boldsymbol{s}^{n}+\boldsymbol{a}_{...

    Routh(稳定判据)-代数判据(依据根与系数的关系判断根的分布)

    1.系统稳定的必要条件

    设系统特征方程为:
    D ( s ) = a n s n + a n − 1 s n − 1 + ⋯ + a 1 s + a 0 = 0 \boldsymbol{D}(s)=\boldsymbol{a}_{n} \boldsymbol{s}^{n}+\boldsymbol{a}_{n-1} \boldsymbol{s}^{n-1}+\cdots+\boldsymbol{a}_{1} s+\boldsymbol{a}_{0}=\boldsymbol{0} D(s)=ansn+an1sn1++a1s+a0=0

    s n + a n − 1 a n s n − 1 + ⋯ + a 1 a n s + a 0 a n = ( s − s 1 ) ( s − s 2 ) ⋯ ( s − s n ) s^{n}+\frac{a_{n-1}}{a_{n}} s^{n-1}+\cdots+\frac{a_{1}}{a_{n}} s+\frac{a_{0}}{a_{n}}=\left(s-s_{1}\right)\left(s-s_{2}\right) \cdots\left(s-s_{n}\right) sn+anan1sn1++ana1s+ana0=(ss1)(ss2)(ssn)
    特征根是: s 1 , s 2 , s 3 . . . s_1,s_2,s_3... s1,s2,s3...

    比较系数:
    a n − 1 a n = − ∑ i = 1 n s i , a n − 2 a n = ∑ i ≤ j i = 1 , j = 2 n s i s j \frac{a_{n-1}}{a_{n}}=-\sum_{i=1}^{n} s_{i}, \quad \frac{a_{n-2}}{a_{n}}=\sum_{i \leq j \atop i=1, j=2}^{n} s_{i} s_{j} anan1=i=1nsi,anan2=i=1,j=2ijnsisj
    a n − 3 a n = − ∑ i < j < k i = 1 , j = 2 , k = 3 n s i s j s k , a 0 a n = ( − 1 ) n ∏ i = 1 n s i \frac{a_{n-3}}{a_{n}}=-\sum_{i<j<k \atop i=1, j=2, k=3}^{n} s_{i} s_{j} s_{k}, \quad \frac{a_{0}}{a_{n}}=(-1)^{n} \prod_{i=1}^{n} s_{i} anan3=i=1,j=2,k=3i<j<knsisjsk,ana0=(1)ni=1nsi

    系统稳定的必要条件:
    各系数同号且不为零

    a n > 0 , a u − 1 > 0 , … , a 1 > 0 , a 0 > 0 a_{\mathrm{n}}>0, a_{\mathrm{u}-1}>0, \ldots, a_{1}>0, a_{0}>0 an>0,au1>0,,a1>0,a0>0

    2.系统稳定的充要条件

    特征方程: D ( s ) = a n s n + a n − 1 s n − 1 + ⋯ + a 1 s + a 0 = 0 \boldsymbol{D}(s)=\boldsymbol{a}_{n} \boldsymbol{s}^{n}+\boldsymbol{a}_{n-1} \boldsymbol{s}^{n-1}+\cdots+\boldsymbol{a}_{1} s+\boldsymbol{a}_{0}=\mathbf{0} D(s)=ansn+an1sn1++a1s+a0=0

    Routh表:
    s n a n a n − 2 a n − 4 a n − 6 ⋯ s n − 1 a n − 1 a n − 3 a n − 5 a n − 7 ⋯ s n − 2 A 1 A 2 A 3 A 4 ⋯ s n − 3 B 1 B 2 B 3 B 4 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ s 2 D 1 D 2 s 1 E 1 s 0 F 1 \begin{array}{lllllll} s^{n} & a_{n} & a_{n-2} & a_{n-4} & a_{n-6} & \cdots \\ s^{n-1} & a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} & a_{n-7} & \cdots \\ s^{n-2} & A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} & \cdots \\ s^{n-3} & B_{1} & B_{2} & B_{3} & B_{4} & \cdots \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ s^{2} & D_{1} & D_{2} & & & \\ s^{1} & E_{1} & & & & \\ s^{0} & F_{1} & & & & \end{array} snsn1sn2sn3s2s1s0anan1A1B1D1E1F1an2an3A2B2D2an4an5A3B3an6an7A4B4

    其中:
    A 1 = a n − 1 a n − 2 − a n a n − 3 a n − 1 B 1 = A 1 a n − 3 − a n − 1 A 2 A 1 A 2 = a n − 1 a n − 4 − a n a n − 5 a n − 1 B 2 = A 1 a n − 5 − a n − 1 A 3 A 1 A 3 = a n − 1 a n − 6 − a n a n − 7 a n − 1 B 3 = A 1 a n − 7 − a n − 1 A 4 A 1 \begin{array}{cl} A_{1}=\frac{a_{n-1} a_{n-2}-a_{n} a_{n-3}}{a_{n-1}} & B_{1}=\frac{A_{1} a_{n-3}-a_{n-1} A_{2}}{A_{1}} \\ A_{2}=\frac{a_{n-1} a_{n-4}-a_{n} a_{n-5}}{a_{n-1}} & B_{2}=\frac{A_{1} a_{n-5}-a_{n-1} A_{3}}{A_{1}} \\ A_{3}=\frac{a_{n-1} a_{n-6}-a_{n} a_{n-7}}{a_{n-1}} & B_{3}=\frac{A_{1} a_{n-7}-a_{n-1} A_{4}}{A_{1}} \end{array} A1=an1an1an2anan3A2=an1an1an4anan5A3=an1an1an6anan7B1=A1A1an3an1A2B2=A1A1an5an1A3B3=A1A1an7an1A4

    Routh判据:
    Routh表中第一列各元符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。
    因此,系统稳定的充要条件是Routh表中第一列各元的符号均为正,且值不为零。
    上面的内容都来自[1]

    ###########################下面是matlab计算routh表######################

    例1.系统的特征方程
    D ( s ) = s 4 + s 3 − 19 s 2 + 11 s + 30 = 0 \mathbf{D}(s)=s^{4}+s^{3}-19 s^{2}+11 s+30=0 D(s)=s4+s319s2+11s+30=0

    Routh表:
    s 4 1 − 19 30 s 3 1 11 0 s 2 1 × ( − 19 ) − 1 × 11 1 = − 30 30 0 ( 改 变 符 号 一 次 ) s 1 ( − 30 ) × 11 − 1 × 30 − 30 = 12 0 0 ( 改 变 符 号 一 次 ) s 0 30 0 0 \begin{array}{lccc} s^{4} & \mathbf{1} & \mathbf{- 1 9} & \mathbf{3 0} \\ s^{3} & \mathbf{1} & \mathbf{1 1} & \mathbf{0} \\ s^{2} & \frac{\mathbf{1} \times(-\mathbf{1 9})-\mathbf{1} \times \mathbf{1 1}}{\mathbf{1}}=-\mathbf{3 0} & \mathbf{3 0} & \mathbf{0}(改变符号一次) \\ s^{1} & \frac{(-\mathbf{3 0}) \times \mathbf{1 1}-\mathbf{1} \times \mathbf{3 0}}{-\mathbf{3 0}}=\mathbf{1 2} & \mathbf{0} & \mathbf{0}(改变符号一次) \\ s^{0} & \mathbf{3 0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{array} s4s3s2s1s01111×(19)1×11=3030(30)×111×30=1230191130003000()0()0

    routh_compute.m计算得到:
    [ 1, -19, 30]
    [ 1, 11, 0]
    [ -30, 30, 0]
    [ 12, 0, 0]
    [ 30, 0, 0]

    Matlab实验结果分析:
    由于第一列元素没有全部为正,因此该系统不稳定.

    特别地有:

    系统阶数n的值充要条件
    二阶2 a 2 > 0 , a 1 > 0 , a 0 > 0 a_{2}>0, \quad a_{1}>0, \quad a_{0}>0 a2>0,a1>0,a0>0
    三阶3 a 3 > 0 , a 2 > 0 , a 0 > 0 , a 1 a 2 − a 0 a 3 > 0 a_{3}>0, \quad a_{2}>0, \quad a_{0}>0, \quad a_{1} a_{2}-a_{0} a_{3}>0 a3>0,a2>0,a0>0,a1a2a0a3>0

    Reference:
    [1系统的稳定性常见判据

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  • 数字信号处理技术:系统因果性及稳定判断

    万次阅读 多人点赞 2018-09-20 17:42:35
    系统的因果性和稳定性  老师您好!  系统的因果稳定性这个部分我学得不是很好。  因果性讲到系统某个时刻的输出只取决于某时刻及其以前,这个我挺困惑,  (1)书(数字信号处理,高西全,西电出版社,第4版...

    Q:2252530960@qq.com

    系统的因果性和稳定性

             老师您好!

             系统的因果稳定性这个部分我学得不是很好。

              因果性讲到系统某个时刻的输出只取决于某时刻及其以前,这个我挺困惑,

                 (1)书(数字信号处理,高西全,西电出版社,第4版)上33页6(1)小题为什么不考虑(n-k)的时刻呢,如果k<n的话也可以说是n以前的时刻呀?

                  (2)对于有界性,如何确定系统是有界的呢?如果它的定义域为负无穷到正无穷呢?看见很多系统都说的是有界,可以举个无界的例子吗?

                      暂时只有这个小问题,麻烦您了,谢谢您。

     

    A:

    你好!

    1)因果系统,故名思义,是指有因(因在果前,输入在输出之前或与输出相同时刻)才有果(果在因后)。因此,对某一个观察时刻n0来讲,y(n0)这个输出值,只能由n0,或n0以前时刻的输入值x(n0)、x(n0-k)(k>1)决定。举个例子,y(1)这个值,只能由x(1),x(0),X(-1)...等值决定,不能由x(2),x(3)...等值决定。推而广之,对于y(n)这个值,只能由x(n),x(n-1),x(n-2)...等值决定,不能由x(n+1),x(n+2)...等值决定。

    具体到p33页6(1)这小题,由于k>0,因此实际上是y(n)=1/N * [x(n)+x(n-1)+x(n-2)+....x(n-N+1)]。n时刻的输出值y(n),一定是由n时刻,及有以前时刻的输入决定的。因此是因果系统。你所讲的k<n时,比如k=1,n=2,代入上式,可得y(2)=1/N * [x(2)+x(1)+x(0)+x(-1)+....x(-N+1)], 1这个时刻的输出值y(1), 是由1时刻,及以前的输入决定的。因此是因果的。

    2) 一个序列界,只有输入有界,输出有界,就说系统稳定。定义是序列绝对可和。书上p20,例1.3.9举例说h(n)=u(n),这个例子就是不稳定的。这个系统,我们设输入也是u(n),这个序列是有界的吧,因为输入信号始终为1。但是输出y(n)=x(0)+x(1)+x(2)+x(3)+...x(n)=u(0)+u(1)+u(2)+...u(n)=1+1+1+..=n,随着时间序列的延长,n会始终增加,当时间无限长时,输出y(n)就无限大了。这样,就说这个系统是不稳定的了。

    这里有一个概念,输入有界的条件,是指输入信号的值无论时间多长,始终不会是无穷大的。输出有界,我们要考查在整个时间轴上的状态,即时间趋于无穷长的情况。

    祝学习愉快!

    杜勇

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空空如也

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如何判断是否为稳定系统