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  • 2,\cdots,k_s k1​,k2​,⋯,ks​,使 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k s α s = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0 k1​α1​+k2​α2​+⋯+ks​αs​=0 例题: 判断下列向量组是否线性相关: α 1 = [ ...

    定义:
    向量组 α 1 , α 2 , ⋯   , α s ( s ⩾ 1 ) \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\geqslant1) α1,α2,,αs(s1) 称为线性相关,如果有数域 P P P 中不全为零的数 k 1 , k 2 , ⋯   , k s k_1,k_2,\cdots,k_s k1,k2,,ks,使

    k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k s α s = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0 k1α1+k2α2++ksαs=0


    例题:
    判断下列向量组是否线性相关:
    α 1 = [ − 2 − 5 − 3 − 4 ] , α 2 = [ − 5 11 3 10 ] , α 3 = [ − 3 − 7 − 1 − 6 ] , α 4 = [ − 13 − 30 − 1 2 − 26 ] , \begin{aligned} \alpha_1=\begin{bmatrix}\phantom{-}2\\-5\\\phantom{-}3\\-4\end{bmatrix}, \alpha_2=\begin{bmatrix}-5\\11\\3\\10\end{bmatrix}, \alpha_3=\begin{bmatrix}-3\\\phantom{-}7\\-1\\\phantom{-}6\end{bmatrix}, \alpha_4=\begin{bmatrix}\phantom{-}13\\-30\\\phantom{-1}2\\-26\end{bmatrix}, \end{aligned} α1=2534,α2=511310,α3=3716,α4=13301226,

    例题来源:《高等代数学习指导书》.丘维声著.第二版.P76

    解法一:定义法:

    k 1 , k 2 , k 3 , k 4 ∈ R k_1,k_2,k_3,k_4\in R k1,k2,k3,k4R 满足 k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 + k 4 α 4 = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3+k_4\alpha_4=0 k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0

    即:

    { 2 k 1 − 5 k 2 − 3 k 3 + 13 k 4 = 0 − 5 k 1 + 11 k 2 7 k 3 − 30 k 4 = 0 3 k 1 + 3 k 2 − 1 k 3 + 2 k 4 = 0 − 4 k 1 + 10 k 2 6 k 3 − 26 k 4 = 0 \left\{\begin{aligned} 2k_1&-5k_2&-3k_3&+13k_4&=0\\ -5k_1&+11k_2&7k_3&-30k_4&=0\\ 3k_1&+3k_2&-1k_3&+2k_4&=0\\ -4k_1&+10k_2&6k_3&-26k_4&=0\\ \end{aligned}\right. 2k15k13k14k15k2+11k2+3k2+10k23k37k31k36k3+13k430k4+2k426k4=0=0=0=0

    写成矩阵形式即为:

    [ 2 − 5 − 3 13 − 5 11 7 − 30 3 3 − 1 2 − 4 10 6 − 26 ] [ k 1 k 2 k 3 k 4 ] = [ 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 2&-5&-3&13\\ -5&11&7&-30\\ 3&3&-1&2\\ -4&10&6&-26\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\\k_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix} 253451131037161330226k1k2k3k4=0000

    经过矩阵的初等行变换,我们得到上面的方程组与下面的方程组等价:

    [ 1 0 − 2 3 7 3 0 1 1 3 − 5 3 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ k 1 k 2 k 3 k 4 ] = [ 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 1&0&-\frac{2}{3}&\frac{7}{3}\\ 0&1&\frac{1}{3}&-\frac{5}{3}\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\\k_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix} 10000100323100373500k1k2k3k4=0000

    显然,系数矩阵的行列式等于零,从而方程有非零解。所以向量组线性相关

    如果题目只问向量组是否相关,可以只作答到这一步。下面的步骤是为了求出一组不为零的系数k

    方程的一般解为

    { x 1 = 2 3 x 3 − 7 3 x 4 x 2 = − 1 3 x 3 + 5 3 x 4 \left\{\begin{aligned} x_1&=\frac{2}{3}x_3-\frac{7}{3}x_4\\ x_2&=-\frac13x_3+\frac53x_4 \end{aligned}\right. x1x2=32x337x4=31x3+35x4

    其中一个特解为

    k 1 = 3 , k 2 = − 2 , k 3 = 1 , k 4 = − 1 k_1=3,k_2=-2,k_3=1,k_4=-1 k1=3,k2=2,k3=1,k4=1

    从而:

    3 α 1 − 2 α 2 + α 3 − α 4 = 0 3\alpha_1-2\alpha_2+\alpha_3-\alpha_4=0 3α12α2+α3α4=0


    总结:

    1. k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k n α n = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=0 k1α1+k2α2++knαn=0
    2. 把 1. 中的方程写成矩阵的形式,化成阶梯型行列式,即可判断是否存在非零解
    3. 求出一组非零解

    2021年1月4日19:26:01


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    2021年6月26日 有改动

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  • 线性相关 线性无关

    千次阅读 2020-06-01 22:34:43
    线性相关的定义: 对于一组向量v1,v2,⋯ ,vnv_1, v_2, \cdots, v_nv1​,v2​,⋯,vn​,如果存在一组不全为0的整数k1,k2,⋯ ,knk_1, k_2, \cdots, k_nk1​,k2​,⋯,kn​,使得k1v1+k2v2+⋯+knvn=0k_1v_1 + k_2v_2...

    项目github地址:bitcarmanlee easy-algorithm-interview-and-practice
    欢迎大家star,留言,一起学习进步

    1.线性相关(linearly dependent)与线性无关的(linearly independent)定义

    线性相关的定义为:
    对于一组向量 v 1 , v 2 , ⋯   , v n v_1, v_2, \cdots, v_n v1,v2,,vn,如果存在一组不全为0的整数 k 1 , k 2 , ⋯   , k n k_1, k_2, \cdots, k_n k1,k2,,kn,使得 k 1 v 1 + k 2 v 2 + ⋯ + k n v n = 0 k_1v_1 + k_2v_2 + \cdots + k_nv_n = 0 k1v1+k2v2++knvn=0成立,那么这组向量是线性相关的。如果只有当 k 1 , k 2 , ⋯   , k n k_1, k_2, \cdots, k_n k1,k2,,kn均为0时等式才成立,该向量组为线性无关的。

    2.简单理解

    上面的定义不是特别好理解,下面我们换一种更容易理解的方式。
    如果有一组不全为0的数,那至少有一个数不为0,假设 k n k_n kn不为0,那么该组向量线性相关。
    k 1 v 1 + k 2 v 2 + ⋯ + k n v n = 0 k_1v_1 + k_2v_2 + \cdots + k_nv_n = 0 k1v1+k2v2++knvn=0
    可以得知
    − k 1 v 1 − k 2 v 2 + − ⋯ − k n − 1 v n − 1 = k n v n -k_1v_1 - k_2v_2 +-\cdots -k_{n-1}v_{n-1} = k_nv_n k1v1k2v2+kn1vn1=knvn

    v n = − k 1 k n v 1 − k 2 k n v 2 − ⋯ − k n − 1 k n v n − 1 v_n = -\frac{k_1}{k_n}v_1-\frac{k_2}{k_n}v_2 - \cdots -\frac{k_{n-1}}{k_n}v_{n-1} vn=knk1v1knk2v2knkn1vn1

    不难看出, v n v_n vn可以由其他向量的线性组合表示,也就是说这个向量组是线性相关的。

    3.实例

    再举两个简单例子, v 1 = ( 1 , 0 ) , v 2 = ( 0 , 1 ) v_1 = (1, 0), v_2 = (0, 1) v1=(1,0),v2=(0,1),这就是我们熟悉的笛卡尔坐标系。如果要使得 k 1 v 1 + k 2 v 2 = 0 k_1v_1 + k_2v_2=0 k1v1+k2v2=0,必有 k 1 = k 2 = 0 k_1=k_2=0 k1=k2=0,因此这组向量线性无关。
    如果 v 1 = ( 1 , 1 ) , v 2 = ( − 1 , − 1 ) v_1 = (1, 1), v_2 = (-1, -1) v1=(1,1),v2=(1,1),很明显 v 1 + v 2 = 0 v_1 + v_2 = 0 v1+v2=0,此时存在 k 1 = k 2 = 1 k_1 = k_2 = 1 k1=k2=1,使得 k 1 v 1 + k 2 v 2 = 0 k_1v_1 + k_2v_2 = 0 k1v1+k2v2=0,因此这组向量是线性相关的。

    4.一些结论

    1.当向量组所含向量的个数与向量的维数相等,该向量组线性无关的充要条件为该向量构成的行列式值不为0。
    2.由该向量组构成的齐次方程组,如果该其次方程组有非零解,则该向量组线性相关。如果该方程组只有零解,则该向量组线性无关。
    3.若向量组的秩等于向量的个数,则该向量组是线性无关。如果秩小于向量的个数,则该向量组线性相关。
    4.若向量组所含向量的个数多于向量的维数,该向量组一定线性相关。

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  • 线性相关和线性无关证明方法

    万次阅读 2016-10-15 11:01:39
    线性相关和线性无关证明方法常用方法

    线性相关和线性无关证明方法

    常用方法有两个:定义法结合拆项或重组 || 用秩
    线性无关:秩等于向量个数,齐次方程组只有零解。

    这里重点强调一下齐次方程组只有零解,虽然思考可以想明白,但不如直接掌握以后运用更加快速。

    设A是nxm矩阵,B是mxn矩阵,其中n < m,若AB=E,证明B的列向量无关。

    通过这题分析证明方法;

    方法一:基于定义法。首先对B进行列分块得到向量组,,这样就有了分析对象。 B=(β1,β2,...,βn) ,作 βx=0 ,如果证得x只有零解则问题可解。
    另外基于题干中条件,根据提示原则:AB=E,左乘A
    ABx=A0=0x=0

    即向量x只有零解,那么就证明了列向量线性无关。

    方法二:基于的判定
    r(B)n,r(B)r(AB)=r(B)=nr(B)=n,B线

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  •   2019-01-07 22:08:07 ...线性函数:可以简单定义始终遵循以下原则的函数: 输入/输出=常数。 线性方程总是1次多项式(例如x+2y+3=0)。在二维情况下,它们总是形成直线;在其他维度中,它们也可以...

    https://www.toutiao.com/a6643756436406944259/

     

    2019-01-07 22:08:07

    首先,线性和非线性函数之间的区别:

    如何判断机器学习数据集是否是线性的?

    (左)线性函数(右)非线性函数

    线性函数:可以简单定义为始终遵循以下原则的函数:

    输入/输出=常数。

    线性方程总是1次多项式(例如x+2y+3=0)。在二维情况下,它们总是形成直线;在其他维度中,它们也可以形成平面、点或超平面。它们的“形状”总是笔直的,没有任何曲线。这就是为什么我们叫它们线性方程。

    非线性函数:即函数图像不是一条直线的函数。高阶多项式是非线性的。三角函数(如sin或cos)是非线性的。平方根是非线性的。

    我们如何找到机器学习数据集是否是线性呢?如果我们只有一个维度,那么图形很简单,但是如何处理多维机器学习数据集呢?

    如何判断机器学习数据集是否是线性的?

    生成一个线性数据集

    如何判断机器学习数据集是否是线性的?

    数据集的图形

    正如我们在上面的图中所看到的,从图中得到一个函数是否是线性的并不总是那么简单。

    问:我们如何解决呢?

    因此,我们的想法是将简单的线性回归应用于数据集,然后检查最小平方误差。如果最小平方误差显示高准确度,则意味着机器学习数据集本质上是线性的,否则数据集是非线性的。

    好吧,让我们来看看Python代码:

    从线性机器学习数据集开始:

    # General imports
    import numpy as np
    import pandas as pd
    import matplotlib.pyplot as plt
    # Generating data
    X = np.random.randn(100,1)
    c = np.random.uniform(-10,10,(100,))
    # adding another linear column
    X = np.hstack((X, 4*X))
    Y = (4*X[:,1] + c)
    plt.scatter(X[:, 0], Y)
    plt.show()
    plt.scatter(X[:, 1], Y)
    plt.show()
    # Applying linear reg
    from sklearn.linear_model import LinearRegression
    regressor = LinearRegression().fit(X, Y)
    # Checking the accuracy
    from sklearn.metrics import r2_score
    print(r2_score(regressor.predict(X), Y))

    如何判断机器学习数据集是否是线性的?

     

    输出:

    如何判断机器学习数据集是否是线性的?

    Graph of the first column with y

    如何判断机器学习数据集是否是线性的?

    Graph of the second column with y

    如何判断机器学习数据集是否是线性的?

    R2准确度得分约为84%

    非线性机器学习数据集:

    # General imports
    import numpy as np
    import pandas as pd
    import matplotlib.pyplot as plt
    # Generating data
    X = np.random.randn(100,1)
    c = np.random.uniform(-10,10,(100,))
    # adding another non-linear column
    X = np.hstack((X, X*X))
    Y = (4*X[:,1] + c)
    plt.scatter(X[:, 0], Y)
    plt.show()
    plt.scatter(X[:, 1], Y)
    plt.show()
    # Applying linear reg
    from sklearn.linear_model import LinearRegression
    regressor = LinearRegression().fit(X, Y)
    # Checking the accuracy
    from sklearn.metrics import r2_score
    print(r2_score(regressor.predict(X), Y))

    如何判断机器学习数据集是否是线性的?

     

    输出:

    如何判断机器学习数据集是否是线性的?

    Graph of the first column with y

    如何判断机器学习数据集是否是线性的?

    Graph of the second column with y

    如何判断机器学习数据集是否是线性的?

    R2准确度得分约为-122%

    不用说,这是非常不理想的准确度得分。虽然整个代码几乎相同,但我们可以看到非线性的增加对准确度得分有非常深远的影响。

    在开始使用机器学习数据集之前,在小型验证集上使用简单Python代码来检查机器学习数据集是否为线性,可以节省大量的时间。

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空空如也

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如何判断是否为线性相关