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  • 判断多元函数连续

    千次阅读 2020-04-29 22:43:55
    判断极限是否存在。 或者看能不能把Xy看成一个整体。转变成一元函数求极限 另外一个是用夹逼定理。就是求这个函数的绝对值。用不等式 就得这个函数的绝对值小于等于零。 常用的不等式。 一个是xy,小于等于1/2x方加...

    第一步求极限值和函数值是否相等。
    然后就极限值的时候,
    一般需要用到两种方法。
    一个是找特殊值。判断极限是否存在。
    或者看能不能把Xy看成一个整体。转变成一元函数求极限
    另外一个是用夹逼定理。就是求这个函数的绝对值。用不等式 就得这个函数的绝对值小于等于零。
    常用的不等式。
    注意常用不等式,经常用到,建议到百度上总结下来

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  • 今天刷题碰到了这样一个 f(x) 在 [0, 1] 上连续,g(x) = f(x) -1 + 2*x 在 [0, 1] 上是否连续的问题,通过搜集资料和自己求证,我发现: 因为 f(x) 在该区间上...但是两个连续函数的相除就不一定了,例如: f(x)...

    今天刷题碰到了一个 f(x) 在 [0, 1] 上连续,g(x) = f(x) -1 + 2*x 在 [0, 1] 上是否连续的问题,通过搜集资料和自己求证,我发现:

    因为 f(x) 在该区间上连续,且 -1 + 2*x 在该区间上也连续,那么他们的复合函数在该区间上没有间断点,所以 g(x) 在该区间上必然连续。

    同理可以求证 减、乘。但是两个连续函数的相除就不一定了,例如:

    f(x) = x , g(x) = x^2,那么,f(x)/g(x) = 1/x,显然在 R 上不连续。

    所以我得出的结论是:

      如果两个函数在同一区间上都连续,那么他们的复合函数(除法以外的三种运算)在该区间上一定连续。

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  • 为什么连续函数的原函数之一为奇函数,关于奇偶性的判定看这里就够了

    在考研数学复习中大家都遇到过这个知识点,看网课的时候很多老师都证明过,但是过不了多久就又忘了,等到做题时又在纠结,不如自己掌握证明方法吧!

    证法

    在这里插入图片描述

    2 关于记忆

    若函数f(x)有原函数,那么其原函数为无穷多个.即f(x)的任意一个原函数加上任意一个常数C,仍然为f(x)的原函数.

    结合奇偶性的判断,奇函数需要关于原点对称,而这里的常数C相当于令函数在直角坐标系上沿y轴上下移动,所以不可能所有原函数都为奇函数。

    同理可知,偶函数是关于Y轴对称,所以上下移动对其没有影响。

    注:以上只是我便于记忆的一点思考。

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  • §1.11 闭区间上连续函数的性质 如果函数在开区间内连续,在右端点左连续,在左端点右连续,那未函数就在闭区间上连续。 一、最大值与最小值定理 先介绍最大值与最小值概念: 对于区间上有定义的函数,如果有...

    §1.11  闭区间上连续函数的性质

    如果函数在开区间内连续,在右端点左连续,在左端点右连续,那未函数就在闭区间上连续。

    一、最大值与最小值定理

    先介绍最大值与最小值概念:

    对于区间上有定义的函数,如果有,使得对于任一都有    

    则称是函数在区间上的最大值(最小值)

    【定理一】(最大值和最小值定理)

    在闭区间上连续的函数一定取得最大值和最小值。

    这一定理在几何上是十分显然的。

    设想有一条有弹性的弦,两个端点固定,呈水平地放置在坐标系中;若它上面的两点受到方向相反的两个力的作用,则产生形变,成为一条有高低起伏的曲线。

    显然,C点与D点的纵坐标分别是曲线所代表的函数的最大值与最小值。

    最值存在定理中的两个条件:(1)、闭区间,(2)、连续缺一不可,否则结论不成立。

    根据定理一,下面的定理二,几乎是一望便知的事实。

    【定理二】( 有界性定理 )

    在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。

    为了介绍闭区间上连续函数十分常用零点定理,先引入一个概念:

    如果使, 则称 为函数的一个零点

    事实上,也可以看成函数方程  的一个

    【定理三】( 零点定理 )

    在闭区间上连续,且异号(即), 则在开区间内至少有函数的一个零点,即存在点,使

    零点定理的几何意义十分显然, 它表明:

    若连续曲线弧的两个端点位于轴的不同侧,则曲线弧与轴至少有一个交点。

    利用这一思想,可用计算机作图来观察方程是否有实数根,有几个实根;若有实根,其实根所处的大致位置。

    下面我们用 matlab 来介绍几个实例。具体做法是:将函数与直线作在同一个图上,观察它们是否相交。

    【例1】判断方程  在是否有根?

    解:利用MATLAB,作函数的图形

    从图形上可看出,函数在[-2,2]之间确有两个零点。其作图程序如下:

    x=-2:0.0005:2;

    y=x.^2+x-1;

    plot(x,y,'*')

    hold

    plot([-2,2],[0,0],'r')

    plot([0,0],[-2,5],'r')

    【例2】判断方程  有几个实数根。

    解:利用MATLAB,作函数的图形

    从图形上可看出,函数在[-1,1]之间确有两个零点。其作图程序如下:

    x=-4:0.0005:4;

    y=exp(-x.^2)-0.5;

    plot(x,y,'*')

    hold

    plot([-4,4],[0,0],'r')

    plot([0,0],[-0.5,0.5],'r')

    【定理4】( 介值定理 )

    设函数在闭区间上连续,且在这区间的端点取不同的函数值

     及

    那末,对于之间的任意一个数,在开区间内至少有一点

    使得      

    这定理的几何意义是:

    连续曲线弧与水平直线至少相交于一点。

    证明:, 则在闭区间上连续,且

     与

    异号。据零点定理,开区间内至少有一点使得

    ,因此由上式即得

    【推论】

    闭区间上的连续函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值。

    【例3】给定一元三次方程  

    1. 说明该方程在内至少有一个根;
    2. 利用计算机作图,说明该方程根的大致位置;
    3. 用计算方法中的两分法求此根近似值(精确到小数点后2位)。

    解:函数  在闭区间  上连续,又

    ,     

    根据零点定理,在(0,1)内至少有一点,使得   

    即    

    故方程在区间(0,1)内至少有一个根

    下面作出函数上的图象。

    x=-1:0.0005:4;

    y=x.^3-4*x.^2+1;

    plot(x,y,'*')

    hold

    plot([-1,4],[0,0],'r')

    plot([0,0],[-10,2],'r')

    从图象可看出,函数在(0,1)间有一个零点,大约在0.5附近。但较为精确地给出该根却是作图无法企及的。

    利用零点定理的原理,采用下面介绍的两分法来解决这一问题。

    注1:课堂上的两分法演示(做四次 )

    具体做法:

    1. 建立一个函数文件f.m,存放在盘符X:\matlab\bin下

    function   y=f(x)

    y=x^3-4*x^2+1;

    1. 在命令窗口下键入命令示意图

    注2:真正的两分法程序为gs0107.m

    注3:利用matlab内部函数,可以直接求出根

    c=[1,-4,0,1]

    roots(c)

    输出结果为:3.9354     0.5374   -0.4728

    【例4】试证明有且只有一个实根。

    证明:设,它是在上连续的初等函数。

    而 

    同理 

    利用函数的保号性

    必存在两个充分大的正数

    使得 

    在闭区间  上利用零点定理,至少存在一点,使得

    即:方程至少有一个实根。

    (下面来证明,函数的零点是唯一的)

    假设函数存在两个互异的零点,则有

    于是有

    ,故   

    另一方面

    产生矛盾。

    故:只有唯一零点,方程 只有唯一实根。

     

     

    转自:

    https://sxyd.sdut.edu.cn/_upload/tpl/02/32/562/template562/onlineLearning/gaodengshuxueshang/index.htm

     

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空空如也

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如何判断是连续函数