有效数字
 
数学上用“四舍五入”的法则将一个位数很多的数表示成一定位数的数。如果一个近似数的误差限是它某一位的半个单位，则称它准确到这一位（即该位数字是准确的、有效的和可靠的）。并且，从该位起直到前面第一个非零数字为止的所有数字都称为有效数字，即有：
 
定义1：设$x^{\ast }$是一个准确数，x是它的近似数，若
 $$|x^{\ast }-x|<1/2\times 10^{-n}$$
 就是说，用x近似表示$x^{\ast }$时准确到小数点之后第n位（精确度），并把从该位起到x的第一位非零数字之间的一切数字都叫做有效数字，并把有效数字的位数叫做有效数位。
 
例如：若将数x用规格化形式表示，则有
 $$x=\pm 0\cdot a_1{a}_2{a}_3\cdots a_s\cdots a_k\times 10^m(a_1\ne 0)$$
 其中，s为有效数字的位数，m为阶数。m的确定方法如下：
 
当$|x|\ge 1$时，则m=整数部分的位数；
 
当$0.1\le |x|<1$时，则$m=0$;
 
当$|x|<0.1$时，则$m=-$（小数点后零的个数）
 
若
 $$|x-x^{\ast }|<\frac{1}{2}\times 10^{-n}=\frac{1}{2}\times 10^{-(s-m)}=\frac{1}{2}\times 10^{m-s},1\le s\le k\text{\hspace{1em}(1)}$$
 则x的有效数位为：
 $$s=n+m\text{\hspace{1em}(2)}$$
 应用公式（1）和（2）可以判断一个数的某一位数字是否为有效数字，从而可确定该数的有效数位。
 
例1：
 
对于数$0.08698,n=5,m=-1,s=n+m=4$
 
对于数$0.8698,n=4,m=0,s=n+m=4$
 
对于数$869.8,n=1,m=3,s=n+m=4$
 
对于数$8698,n=0,m=4,s=n+m=4$
 
一个数精确到小数点后n位，并不表明它一定有n位有效数字。应注意有效数位s的计算。
 
例2：对于圆周率$\pi =3.1415926\cdots$，用四舍五入取小数点后4位时，近似值为$3.1416$，此时
 $$|\pi -3.1416|\le \frac{1}{2}\times 10^{-4}$$
 即有$m=1,n=4$,所以有效数位为$s=n+m=5$，绝对误差限为$\frac{1}{2}\times 10^{-4}$
 
如果取$\pi =3.14$，则$m=1,n=2$，有效数位为$s=n+m=3$，其绝对误差限为$\frac{1}{2}\times 10^{-2}$
 
例3：设$x^{\ast }=8.000033$，若取$x=8.0000$,则
 $$|x-x^{\ast }|=0.000033=0.33\times 10^{-4}<\frac{1}{2}\times 10^{-4}=\frac{1}{2}\times 10^{1-5}$$
 于是有$m=1,s=5,n=s-m=5-1=4$。所以$8.0000$的有效数字为5位，它精确到小数点后4位
 
例4：设$x^{\ast }=30.4500364\cdots$若取$x=30.45004$，则
 $$|x-x^{\ast }|=0.0000036=0.36\times 10^{-5}<\frac{1}{2}\times 10^{-5}=\frac{1}{2}\times 10^{2-7}$$
 所以，$30.45004$的有效数字为7位，它精确到小数点后5位。
 
相对误差和有效数位之间的关系
 
根据有效数字和相对误差的概念可以得出两者之间的关系。
 
定理2：若近似数$x=\pm 0.a_1{a}_2{a}_3\cdots a_{s-1}{a}_s\times 10^m(a_1\ne 0)$具有s位有效数字，则其相对误差为：
 $$e_r(x)\le {ϵ}_r=\frac{1}{2a_1}\times 10^{-s+1}$$
 例1：求$\sqrt{6}$的近似值，使其相对误差不超过$\frac{1}{2}\times 10^{-3}$
 
解：因为$\sqrt{6}=2.4494$，取$a_1=2$，设$\sqrt{6}$取s位有效数字，则
 $$\begin{gathered} \frac{1}{2a_1}\times 10^{-s+1}=\frac{1}{2\times 2}\times 10^{-s+1}=\frac{1}{2}\times 10^{-3} \\ s=3\cdots ,故s\ge 4,\sqrt{6}\approx 2.449 \end{gathered}$$
 定理3：若近似数$x=\pm 0.a_1{a}_2{a}_3\cdots a_s\times 10^m（a_1\ne 0）$的相对误差
 $$e_r(x)\le \frac{1}{2a_1+1}\times 10^{-s+1}$$
 则该近似数有s位有效数字。
 
从误差和有效数字的定义以及上述两个定理可以看出：绝对误差与小数点后的位数（数的精确度）有关；相对误差与有效数字的位数有关。

1.键盘录入一个整数(正数或者负数都可以,但是符号位不算有效的数字位)
 2.定义一个方法,该方法的功能是计算该数字是几位数字,并将位数返回
 3.在main方法中打印该数字是几位数
 4.演示格式如下:
 (1)演示一:
 请输入一个整数:1234
 控制台输出:1234是4位数字
 (2)演示二:
 请输入一个整数:-34567
 控制台输出:-34567是5位数字
 
package com.it;


import java.util.Scanner;

public class Test1 {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        System.out.println("请输入一个数:");
        int a = sc.nextInt();
        digit(a);
    }

    private static void digit(int a) {
        if(a >= 0){
            String b = a+"";
            System.out.println(a+"是"+b.length()+"位数");
        }else {
            int c = -a;
            String d = c+"";
            System.out.println(a+"是"+d.length()+"位数");
        }

    }
}

今天遇到一个简单的问题，判断一个整数具有几位有效数字，原来打算写一个循环求余判断，最后想到可以把其转化成字符串，然后求取字符串的长度，就很好的解决了这个问题。如：
 
int a =123;
int b=a.ToString().Length;
 
求出来b为3，即为整数a的有效数字个数。

对一个浮点型数字保留两位小数并输出：
 
#include <iomanip>
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
float a = 123.666;
cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(2)<<a;
}
 
输出结果是123.67 
 这里要注意，单独用setprecision（2）是保留两位有效数字，会输出1.2e+002
 
也可以在字符串中进行保留小数位的操作
 
#include<sstream>
#include <iomanip>
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
ostringstream oss;
float a=123.666;
oss<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(2)<<a<<endl;
string s=oss.str();
cout<<s;}
 
输出结果是123.67 
 这种方法可用于字符串添加多次保留一定小数位的浮点型数。 
 这里还要注意，
 
setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(2)
 
对后续所有输出都起作用，而不是仅对后一个对象起作用。