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  • 判断平面图的库拉托夫斯基定理

    千次阅读 2020-05-07 10:21:57
    平面图 前几天看了B站 分享了一个平面图的库拉托夫斯基定理,但是里面的Up主有一些内容引起了我的兴趣。 1 平面图定义:在图论中,平面图是可以画在平面上并且使得不同的边可以互不交叠的图。 2 非平面图定义: 如果...

    前几天看了B站李博士发布的内容 https://www.bilibili.com/video/BV1YC4y1H7F7
    分享了库拉托夫斯基定理,里面的Up主有一些内容引起了我的兴趣。
    下面是我的一些笔记。

    1 平面图定义:在图论中,平面图是可以画在平面上并且使得不同的边可以互不交叠的图。
    2 非平面图定义: 如果一个图无论怎样都无法画在平面上,并使得不同的边互不交叠,那么这样的图不是平面图,或者称为非平面图。

    下面是几个平面图和非平面图例子。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    3 完全图 K 5 K_5 K5和完全二分图 K 3 , 3 K_{3,3} K3,3(汤玛森图)是最“小”的非平面图。
    这里最小的含义在于 K 5 K_5 K5 是顶点最小的非平面图, K 3 , 3 K_{3,3} K3,3 是边数最小的非平面图。

    4 库拉托夫斯基定理
    在这里插入图片描述

    注: 库拉托夫斯基定理里面涉及的图的同胚含义。 注意并不是同构,也就是说不意味该图一定含 K 5 K_5 K5 K 3 , 3 K_{3,3} K3,3子图.

    图的同胚

    若两图 G G G G ′ G' G,其中 G G G是某图的若干细分变换结果,且 G ′ G' G可以透过其原像套用若干细分变换来形成,则称 G G G G ′ G' G同胚。
    若两图的线条(即从一个顶点出发抵达另外一个顶点中途都没有其他分支的路径)皆能一一对应,则称两图同胚。

    可以用图的细分和简化去描述两图的同胚。这时候理解将会容易一些。
    在这里插入图片描述
    判断两图同胚是一个 N P NP NP 难的问题。所以利用库拉托夫斯基定理去判断一个图是否平面在算法上将不会很好。实际过程并不采用上述定理去判断。但这不影响该定理的理论应用价值。

    至于有效地去找同胚于 K 5 K_5 K5 K 3 , 3 K_{3,3} K3,3的子图呢? 这也是值得思考的问题。

    第一个: 凭直觉! 这可容易理解。但是多少有点运气的成分。
    第二个: 有没有一些程序化地办法去找!这个也是我的疑问。
    我的思考:
    一种似乎可行地办法是依次删除一些边。 这些边满足去掉原图依旧非平面的边。直到所有的边都尝试过。 我们将保留的非平面的边构成我们想要的子图。

    附录
    针对Up主的视频的图我们用 Mathematica 去寻找同胚于 K 5 K_5 K5 K 3 , 3 K_{3,3} K3,3的子图。有时候称这样的子图称为库拉托夫斯基子图。可以调用IGraph处理(需要提前安装)。

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    这可以看出Up视频里面的图不是平面图: 删除边 b f , c e bf,ce bf,ce, 找到同胚于 K 3 , 3 K_{3,3} K3,3的子图 ,即第二张图中红色标注的图,(由抹去顶点e可得到 K 3 , 3 K_{3,3} K3,3 也就是上述代码的IGSmoothen操作:删除二度顶点), 依据库拉托夫斯基定理,可知该图非平面图.
    代码文本:

    g1 = Graph[{a <-> b, a <-> c, a <-> f, b <-> f, b <-> g, b <-> d, 
       c <-> d, c <-> e, c <-> g, d <-> e, e <-> f, f <-> g}, 
      VertexLabels -> Automatic]
    << IGraphM`;
    kuratowski = IGKuratowskiEdges[g1];
    HighlightGraph[g1, Graph[kuratowski]]
    IGSmoothen[Graph[kuratowski]]
    IGLayoutBipartite[%]
    

    可点击此处查看参考内容

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  • 平面图理论】平面图学习笔记

    千次阅读 2015-09-16 13:44:25
    我为什么现在要学平面图 因为顺切HNOI2010遇到了平面图判定… ————————————–线割分是我>w 首先是一些定义: 什么是平面图? 对于一个图G=,如果能把G画在一个平面上,且画出的图的任意两条边除了V中...

    我为什么现在要学平面图
    因为顺切HNOI2010遇到了平面图判定…

    ————————————–线割分是我>w<————————————————–

    首先是一些定义:

    什么是平面图?
    对于一个图G=< V,E >,如果能把G画在一个平面上,且画出的图的任意两条边除了V中的节点没有其他交点,则图G为平面图.
    平面图的:
    对于一个平面图,由如果存在一些边围成的区域,且这个区域内不包含这个图的点和边,那么我们称这个区域为该平面图的一个面.
    比如这里面的红色区域:
    这里写图片描述
    对于包围这个区域的那些边构成的圈,我们称之为这个面的边界.边界的长度,称为这个面的.
    我们定义一个面的集合F,于是对于平面图我们可以将其表示为G=< V,E,F >
    平面图的性质(具体内容及证明见国家集训队2003论文刘才良《平面图在信息学中的应用》):

    1.若图G=< V,E,F >为连通平面图, fF d(f)  =2|E|
    2.若图G=< V,E,F >为连通平面图, |V||E|+|F|=2

    当然,对于不连通的平面图,我们可以把它分解成几个联通块,然后对每个联通块这两个性质都成立(这是很显然的),所以就可以得到对不连通的平面图的一些性质.这里我不再赘述.
    从上面两个性质又可以得到如下推论:

    对于给定的连通简单平面图G=< V,E,F >,若|V|>=3,则|E|<=3|V|-6,|F|<=2|V|-4

    原文的第二个推论我觉得好像有问题我不贴了,反正第二个好像也没用
    第一个推论的作用就是告诉我们E的数量级是O(|V|)的…

    平面图的判定(才不会说我就是因为这个才学平面图的):
    做法转自这里

    哈密顿回路会连成一个环,这个图必定被分成两部分,如果两条边相交无论同时在内还是在外都会相交,只有一条在环内一条在外才行——二分图!首先判断出那些边不再回路上然后把有矛盾的边连边利用染色法判断能否构成二分图,二分图的成立决定了平面图的成立。

    接下来是重点:平面图与对偶图
    定义:对于一个平面图,如果它有源点汇点,我们称之为s-t平面图.
    每个平面图都能建出相应的对偶图.
    对于一个平面图G,其对偶图为G*.G*中的一个点,对应原图G中的一个面.
    对于G中的每条边e,如果e属于两个面 f1,f2 ,那么我们在G*中对点 f1,f2 连一条边;
    如果e只属于一个面f,那么在G*中对点 f,f 连一条自环边.
    此时有定理:

    1.G的面数等于G*的点数,G与G*的边数相等.
    2.对于一个s-t平面图,其对偶图中的一个环对应原图中的一个割.

    此时就可以看出我们引入平面图与对偶图有什么作用了.
    我们都知道求最大流的算法与最短路算法在效率上有不小的差距.
    当我们看到一个题数据范围极大但是像是最大流,却又担心单纯的写最大流会TLE的时候
    如果原图满足是平面图,我们不妨先转化为求最小割,然后再建出其对偶图然后求解.
    对对偶图跑一遍Heap-Dijkstra,利用它求出的距离来做距离标号,构造最大流.
    具体题目我好像只知道BeiJing2006 狼与兔子QAQ
    之后单独写题解

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  • 图论(十三)——平面图和对偶图

    千次阅读 2019-04-22 18:41:04
    一、平面图概念 \quad如果能把图G画在平面上,使得除顶点外,边与边之间没有交叉,称G可以嵌入平面,或称G是可平面图。可平面图G的边不交叉的一种画法,称为G的一种平面嵌入,G的平面嵌入表示的图称为平面图。 \...

    一、平面图概念

    \quad 如果能把图G画在平面上,使得除顶点外,边与边之间没有交叉,称G可以嵌入平面,或称G是可平面图。可平面图G的边不交叉的一种画法,称为G的一种平面嵌入,G的平面嵌入表示的图称为平面图。例如下图所示:
    在这里插入图片描述

    二、平面图的性质

    \quad 一个平面图G把平面分成若干连通片,这些连通片称为G的区域,或G的一个面。G的面组成的集合用Φ表示。
    在这里插入图片描述
    \quad 在G中,顶点和边都与某个给定区域关联的子图,称为该面的边界。某面 f 的边界中含有的边数(割边计算2次)称为该面 f 的次数, 记为deg(f)。如下图所示:
    在这里插入图片描述
    定理一:平面图的次数公式 ∑ f ∈ Φ d e g ( f ) = 2 m \sum_{f\in Φ} deg(f) = 2m fΦdeg(f)=2m \quad 证明:对G的任意一条边e, 如果e是某面割边,那么由面的次数定义,该边给G的总次数贡献2次;如果e不是割边,那么,它必然是两个面的公共边,因此,由面的次数定义,它也给总次数贡献2次。

    定理二:平面图的欧拉公式
    G = ( n , m ) G=(n,m) G=(n,m)连通平面图,Φ是G的面数,则: n − m + Φ = 2 n-m+Φ=2 nm+Φ=2
    \quad 证明:情形1,G是树,则m=n-1,Φ=1,显然成立;情形2,G不是树的连通平面图,则G存在非割边e,显然,G-e是连通平面图,且边数为m-1,面数为Φ-1,由最小性假设,G-e满足欧拉等式: n − ( m − 1 ) + ( Φ − 1 ) = 2 n-(m-1)+(Φ-1)=2 n(m1)+(Φ1)=2,即 n − m + Φ = 2 n-m+Φ=2 nm+Φ=2,得证。

    欧拉公式的几个推论
    1、设G是具有ф个面k个连通分支的平面图,则: n − m + Φ = k + 1 n-m+Φ=k+1 nm+Φ=k+1证明:对第i (1≦i≦k)个分支来说,设顶点数为 n i n_i ni,边数为 m i m_i mi,面数为фi,由欧拉公式: n i − m i + Φ i = 2 n_i-m_i+Φ_i=2 nimi+Φi=2,得 ∑ i = 1 k ( n i − m i + Φ i ) = 2 k \sum_{i=1}^k (n_i-m_i+Φ_i)=2k i=1k(nimi+Φi)=2k。其中, ∑ i = 1 k n i = n , ∑ i = 1 k m i = m , ∑ i = 1 k Φ i = Φ + k − 1 \sum_{i=1}^k n_i=n, \sum_{i=1}^k m_i = m, \sum_{i=1}^k Φ_i=Φ+k-1 i=1kni=n,i=1kmi=m,i=1kΦi=Φ+k1,因此 n − m + Φ = k + 1 n-m+Φ=k+1 nm+Φ=k+1

    2、设G是具有n个点m条边ф个面的连通平面图,如果对G的每个面f ,有:deg(f) ≥ l ≥3,则: m ≤ l l − 2 ( n − 2 ) m \le \frac{l}{l-2}(n-2) ml2l(n2)证明: ∑ f ∈ Φ d e g ( f ) = 2 m ≥ l Φ , Φ = 2 − n + m ≤ 2 m l \sum_{f\in Φ} deg(f) = 2m \geq lΦ , Φ=2-n+m \le \frac{2m}{l} fΦdeg(f)=2mlΦ,Φ=2n+ml2m,因此 m ≤ l l − 2 ( n − 2 ) m \le \frac{l}{l-2}(n-2) ml2l(n2)
    推论2也可叙述为若图G中 m &gt; l l − 2 ( n − 2 ) m \gt \frac{l}{l-2}(n-2) m>l2l(n2),则G是非可平面图。例如, K 3 , 3 K_{3,3} K3,3是非可平面图,因为它每个面次数至少是4,即 l = 4 l=4 l=4 9 &gt; 4 2 ∗ ( 6 − 2 ) = 8 9 \gt \frac{4}{2}*(6-2)=8 9>24(62)=8,故不是可平面图。

    3、简单平面图 G = ( n , m ) G=(n,m) G=(n,m)满足: m ≤ 3 n − 6 m \le 3n-6 m3n6证明:因为G是简单图,所以每个面的次数至少为3,即l=3。于是,由推论2得: m ≤ 3 n − 6 m \le 3n-6 m3n6。例如, K 5 K_{5} K5不可平面,因为其m=10,n=5,不满足该不等式。

    4、设G是具有n个点m条边的连通平面图,若G的每个圈均由长度是 l l l的圈围成,则: m ( l − 2 ) = l ( n − 2 ) m(l-2)=l(n-2) m(l2)=l(n2)证明: n − m + 2 m l = 2 , l ( n − m ) + 2 m = 2 l , m ( l − 2 ) = l ( n − 2 ) n-m+\frac{2m}{l}=2,l(n-m)+2m=2l, m(l-2)=l(n-2) nm+l2m=2,l(nm)+2m=2l,m(l2)=l(n2)

    5、设G是具有n个点m条边的简单平面图,则: δ ≤ 5 \delta \le 5 δ5
    反证:若 δ ≥ 6 \delta \geq 6 δ6,由握手定理, 6 n ≤ ∑ d ( v ) = 2 m , m &gt; 3 n − 6 6n \le \sum d(v) =2m, m&gt;3n-6 6nd(v)=2m,m>3n6,故与推论3矛盾。

    三、极大平面图及其性质

    定义:设G是简单可平面图,如果G是 K i ( 1 ≦ i ≦ 4 ) K_i (1≦i≦4) Ki(1i4),或者在G的任意非邻接顶点间添加一条边后,得到的图均是非可平面图,则称G是极大可平面图。极大可平面图的平面嵌入称为极大平面图。
    显然的结论:设G是极大平面图,则G必然连通;若G结束大于等于3,则G无割边
    需注意的点:顶点数相同的极大平面图并不唯一
    定理一:极大平面图的三角形特征
    \quad 设G是至少有3个顶点的平面图,则G是极大平面图,当且仅当G的每个面的次数是3且为单图。此时,每个面的边界是三角形。由此可推得, m = 3 n − 6 , Φ = 2 n − 4 m=3n-6,Φ=2n-4 m=3n6,Φ=2n4

    四、极大外平面图及其性质

    \quad 定义:若一个可平面图G存在一种平面嵌入,使得其所有顶点均在某个面的边界上,称该图为外可平面图。外可平面图的一种外平面嵌入,称为外平面图。设G是一个简单外可平面图,若在G中任意不邻接顶点间添上一条边后,G成为非外可平面图,则称G是极大外可平面图。极大外可平面图的外平面嵌入,称为极大外平面图。
    定理1:G是一个连通简单外可平面图,则在G中有一个度数至多是2的顶点。
    定理2:设G是一个有n (n≥3)个点,且所有点均在外部面上的极大外平面图,则G有n-2个内部面。
    定理3:设G是一个有n (n≥3)个点,且所有点均在外部面上的外平面图,则G是极大外平面图,当且仅当其外部面的边界是圈,内部面是三角形。

    四、平面图的对偶图

    对于给定图G,得到G的对偶图 G ∗ G^* G的规则如下:

    • 在G的每个面 f i f_i fi内取一个点 v i ∗ v_i^* vi作为 G ∗ G^* G的一个顶点
    • 对G的一条边e,若e是两个面的公共边,则连接这两个面的顶点,且连线穿过e;若e是某个面割边,则以该面顶点作环,且让它与e相交。在这里插入图片描述

    对偶图的性质:

    • G ∗ G^* G顶点数等于G的面数
    • G ∗ G^* G边数等于G的边数
    • G ∗ G^* G面数等于G的顶点数
    • d ( v ∗ ) = d e g ( f ) d(v^*)=deg(f) d(v)=deg(f)
    • 对于连通的平面图G,其 ( G ∗ ) ∗ = G (G^*)^*=G (G)=G
    • 同构的平面图可以有不同构的对偶图

    定理一:平面图G的对偶图必然连通
    欧拉图的对偶图是偶图

    五、平面图的判定

    \quad 对于3阶以上的具有m条边的单图G来说,如果G满足如下条件之一: (1)m>3n-6; (2) K 5 K_5 K5(5阶完全图)是G的一个子图;(3) K 3 , 3 K_{3,3} K3,3(3阶完全偶图)是G的一个子图,那么,G是非可平面图。
    \quad 下面给出平面图判定的充要条件,在此之前,我们先来看看图的两种操作——2度顶点扩充和2度顶点收缩。
    \quad 在图G的边上插入一个2度顶点,使一条边分成两条边,称将图在2度顶点内扩充;去掉一个图的2度顶点,使关联它们的两条边合并成一条边,称将图G在2度顶点内收缩。
    在这里插入图片描述
    \quad 定义两图同胚,即通过反复在2度顶点扩充或收缩后能够变成一对同构的图。
    \quad 重头戏来啦,库拉托斯基给出了平面图判定的充要条件,如下:图G是可平面的,当且仅当它不含 K 5 K_5 K5 K 3 , 3 K_{3,3} K3,3同胚的子图。
    \quad 判断一张图是否是平面图,可以首先看看其子图经过2度顶点操作能不能变成五阶完全图,我们需要知道五阶完全图每个顶点的度数是4,如果不能,再看看能不能变成 k 3 , 3 k_{3,3} k3,3 k 3 , 3 k_{3,3} k3,3每个顶点度数为3。
    \quad 与之相似的判定定理是瓦格纳提出来的:设u,v是简单图G的一条边。去掉该边,重合其端点,在删去由此产生的环和平行边。这一过程称为图G的初等收缩或图的边收缩运算。简单图G是可平面图当且仅当它不含有可收缩到 K 5 K_5 K5 K 3 , 3 K_{3,3} K3,3的子图。
    \quad 一个用枚举法证明的小定理:至少有9个顶点的简单可平面图的补图是不可平面的,而9是这个数目中的最小的一个。
    在这里插入图片描述

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  • 目录石墨笔记 PPT版1 二部图 偶图 双图 二分图 Ks,t G(V1,V2,E)2 欧拉图3 哈密顿图4 平面图欧拉公式推论: n-m+r = k+1m <=3n-6是平面图的必要条件m <= ((k-2)/k )*(n-2)是平面图的必要条件库拉图斯基定理: ...

    石墨笔记 PPT版

    https://shimo.im/docs/TPjwqXqPr8PCRWdD

    1 二部图 偶图 双图 二分图 Ks,t G(V1,V2,E)

    使用场景 选取部门分管人员,
    完全二部图:V1与V2中任一顶点有且仅有一条关联
    完全 二部图Kst:定点数n=s+t,边数m=k*s
    充分必要条件:当且仅当G中无奇数长度的回路
    匹配:二部图中的边互不相邻
    极大匹配: E1∈E,E1中再加一条边就不匹配了,E1是极大匹配
    最大匹配:二部图G中边数最多的匹配称为G的最大匹配
    完备匹配: V1<=V2,E1=V1,E1是V1到V2的完备匹配
    完美匹配:完备匹配条件为V1=V2时,双射关系
    霍尔(Hall)定理:V1中任意的k个结点至少与V2中的k个结点相邻 ,相异性条件,算法复杂度为2的n次幂,也是判定二分图的充分必要条件
    t条件(充分条件):
    ①V1中每个顶点至少关联t条边
    ②V2中每个顶点至多关联t条边
    ③则说明G中存在V1到V2的完备匹配

    如何判断二部图:
    1 先用充分条件t条件判断,若满足则为二部图
    2 利用二部图 无奇数长度回路的特性判断,若有则不是
    3 1不能判断出来再用相异性条件

    2 欧拉图

    哥尼斯堡问题,一笔画完问题

    平凡图是欧拉图,平凡图是只有一个顶点的图
    欧拉通路是简单通路(简单图不含平行边也不含环的图,所有边不同的通路是简单通路)
    欧拉通路:G中经过每条边一次并且仅有一次的通路
    欧拉回路:G中每条边只经过一次的回路称做欧拉回路
    有欧拉通路,没有欧拉回路的图不是欧拉图

    无向欧拉回路,连通图且无奇度顶点
    无向欧拉通路,连通图恰有两个奇度顶点,在有两个奇度顶点的连通图中,每条欧拉通路都以这两个奇度顶点为端点. 例子:矩形加一条对角线
    有向欧拉回路:连通且所以顶点入度=出度
    有向欧拉通路:连通且两个奇度顶点,一个入度+1=出度,另一个出度+1=入度
    若存在入度比出度大2,或出度比入度大2的顶点,肯定没有欧拉通路,更不是欧拉图

    3 哈密顿图

    环游世界问题,
    哈密顿通路:G经过图中每个顶点一次且仅一次的通路
    哈密顿回路:G经过图中每个顶点一次且仅一次的回路
    哈密顿图:存在哈密顿图

    哈密顿图的特性:
    1 一定是连通图
    2 是初级通路,初级回路 (通路(回路)中所有结点不同,边也不同)
    3 存在哈密顿回路一定有哈密顿通路,反之不一定

    哈密顿图的必要条件:
    P(G-V1) <= |V1| 减去V1个顶点的连通分支小于等于V1顶点的个数
    推论:有割点的图一定不是哈密顿图

    无向图哈密顿涂的充分条件:
    设G是n(n>=3)的无向简单图,对于G中一对不相邻的顶点u,v均有
    d(u)+d(v) >= n-1 则G中存在哈密顿通路, 又若
    d(u)+d(v) >= n , 则G中存在哈密顿回路
    推论: G是n(n>=3)阶无向简单图,如果任一顶点V>=n/2,则G是哈密顿图
    注意这是充分条件,不满足充分条件任然可以是哈密顿图,如 正六边形

    其他判定方法:
    方法一 删除高度数点,必要条件判定
    方法二 反证法
    方法3 AB标记法
    有向图中哈密顿通路怕你当:
    n>=2阶的有向图中,如果略去所有方向,所得无向图中含生成子图Kn,则D中存在哈密顿图

    4 平面图

    平面图:除顶点外没有边交叉的图
    包含面的回路称为面的边界
    面r的边界长度称为该面的次数:
    平面图所有面的次数之和等于其边数的二倍
    极大平面图:任意不相邻顶点加一条,所得图为非平面图
    极大平面图的性质:
    1 极大平面图是连通的
    2 n(n>=3)阶平面图是极大平面图的充分必要条件是他的每个面的次数都为3

    欧拉公式

    n-m+r = 2
    n:节点数
    m:面的次数,围成面的边数
    r:面的个数

    推论: n-m+r = k+1

    G是具有k(k>=2)个连通分支的平面图

    m <=3n-6是平面图的必要条件

    不满足m <=3n-6是非平面图

    m <= ((k-2)/k )*(n-2)是平面图的必要条件

    G是连通的平面图,且每个面的次数至少为K ,n是顶点数 ,m是边数
    注意:K不是度数,是面的次数

    证明K5和K3,3都不是平面图 (K5是五个顶点的完全图)
    K5 中 n=5,边数 m=10,若K5是平面图则每个面的次数至少大于等于3
    10 <= 3/3-2 *(5-2)=9
    这是个矛盾,因而K5不是平面图

    K3,3作为偶图,回路的长度为偶数,且长度>3,所以回路长度至少为4,m>=4
    ,n=6,m是边数等于9
    9 <= 4/4-2 *(6-2) = 8
    矛盾,所有K3,3不是平面图

    库拉图斯基定理:

    1 一个图是平面图当且仅当它不含与k5同胚的子图,也不含与K3,3同胚的子图
    2 一个图是平面图当且仅当它没有可以收缩到与k5同±胚的子图,也没有可以收缩到K3,3同胚的子图

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  • 第十一章 平面图 本章讨论的图均为平面图 11.1 平面图的基本概念 平面图:如果G可以以除了顶点处以外没有边相交的方式画在平面π上,则称之为可嵌入平面π;如果无向图G可以嵌入平面π,则称为(可)平面图;否则...
  • 平面图的基本概念及性质 前言: 内容来源这篇博客 原文链接 为了免去跳转麻烦,直接复制博客内容过来。 基本概念 平面图:设无向图G,若能将G画在一个平面上,使得任何两条边仅在顶点处相交,则称G是具有平面性质的...
  • 判断一个简单是否的平面的BMP算法实现,亲手所写
  • 平面图是什么呢?平面图是在平面上所示的图形,将构成物体形状的所有线段垂直投影于平面上所示的图形,并且使得不同的边互不交叠。 能帮助我们清楚地了解事物图形的大概轮廓。根据比例进行调整,让内容呈现在一张...
  • 题目大意:给出一个平面图,这个平面图中分布着一些点,可以用平面图中的边将一些点围住,问围住k个点的最小花费是多少。 思路:这题重点是平面图转对偶图。做法不难理解。先将所有的边拆成两条,枚举所有的边...
  • vue+openlayer实现选房平面图

    千次阅读 2020-05-26 22:16:23
    使用vue+openlayer实现选房平面图,动态改变图层是否选中的状态等。
  • 因为这是平面图,没有边相交,所以它的最小割,一定可以用铅笔画一条线,把图的S,T两点分在两边,使得铅笔线穿过的边权值最小。 于是可以建立把原图分为上下两部分,并建立对偶图,使得对偶图的边权为原图的边权: ...
  • 1. 点线面数据格式 点: { x: xxx, y: xxx } 线: [{ x: xxx, y: xxx }, { x: xxx, y: xxx }] 面: [{ x: xxx, y: xxx }, { x: xxx, y: xxx }, { x...//判断点是否在另一平面图中 function isPointInPolygon(po...
  • 关于网络流和平面图

    千次阅读 2012-01-02 17:15:02
    在久远的2010年,湖南省队集训的时候出了一道题叫c国,其本质是求平面图的最小割 //平面图,可以画在平面上边不相交的图 但是由于题目规模太大,一般的网络流都是过不了的…… 但是当时雅礼机子太好,以至于dinic...
  • 文章很不错。 摘要研究了3可染色平面图的结构特征利用dischargig方法证明了不含4圈和5圈且三角 形间的距离至少是2的平面图是3一可染色的.
  • 平面图中的欧拉定理

    千次阅读 2016-08-09 21:38:02
    定理:设G为任意的连通的平面图,则v-e+f=2,v是G的顶点数,e是G的边数,f是G的面数。题目描述:给出一个一笔画图形的n个节点的坐标,请你求解这个图形把平面分成了几个面 一笔画图形一个是把图上所有的边仅且遍历...
  • js 判断平面几何图形是否重叠

    千次阅读 热门讨论 2018-09-05 10:20:08
    1. 点线面数据格式 点: { x: xxx, y: xxx } 线: [{ x: xxx, y: xxx }, { x: xxx, y: xxx }] 面: [{ x: xxx, y: xxx }, { x: xxx, y: xxx }, { x: xxx, y: xxx }.....(1 判断相交 //判断两多边形线段是否相交 fu...
  • 平面图的判定定理:Kuratowski定理Kuratowski定理:图的同胚:K5和K3,3是非平面图的证明 Kuratowski定理: G是平面图当且仅当G中不含与K5或K3,3同胚的子图G是平面图当且仅当G中不含与K_5或K_{3,3}同胚的子图 G是平面...
  • [HNOI 2010] 平面图判定

    千次阅读 2012-10-19 20:41:18
    平面图判定(程序文件名:planar.exe)100 分,运行时限:1s 若能将无向图 G=(V,E)画在平面上使得任意两条无重合顶点的边不相交,则称 G 是平面图。 判定一个图是否为平面图的问题是图论中的一个重要问题。现在假设...
  • 第六章 平面图 一、平面图概念与性质 (一)、平面图的概念 定义1 如果能把图G画在平面上,使得除顶点外,边与边之间没有交叉,称G可以嵌入平面,或称G是可平面图。可平面图G的边不交叉的一种画法,称为G的一种平面...
  • 判断平面多边形的凹凸性

    万次阅读 2017-04-14 23:51:15
    对于平面多边形的三角化处理也是计算机图形学里面的一个领域,最近由于项目的需要...1、使用角度和判断凹凸性 我们知道,任意n个顶点的凸多边形可以分解成(n-2)个三角形,一个三角形的内角和是180°,所有三角形的内角
  • [图论] 平面图 平面性的判定

    千次阅读 2010-10-28 12:54:00
    可以用定理(非平面图判定)(库拉托夫斯基):一线图为非平面图的充要条件是他包含同胚于K5或K3,3的子图。来判定,但较复杂。 下面介绍不可分线图平面性的判定 基础--------------------1 桥 线图G中选择一回路C,则...
  • 判断平面上两条直线是否相交

    千次阅读 2018-11-15 06:10:44
    判断平面上两条直线是否相交
  • 现在做一个可交互的平面图形。 要求是: 1.三个不同的平面图形 2.可以通过鼠标“各自”进行指定的操作。 3.第二条中操作包括:旋转、平移、缩放 该文章:首先介绍一个图形时候的情况。多个图形不断更新。 ...
  • Java--平面图形M打印(通用版)

    万次阅读 2017-09-14 11:16:29
    这是一道面试题,题目就是 打印图形 ,图形类似于: M ...用数字填充后,效果如下: ...注意,对称关系也要求的话,还要判断数字...遇见这种数字图形打印题的时候,一般不要慌,又不是3D的图形,只要是平面,我们
  • 待续
  • 注意,对称关系也要求的话,还要判断数字的长度,比如,数字超过9的话,后面的数字打印空格的时候,就要打印两遍(两位数),如果数字超过99的话,逢空格就要打印三遍(三位数),依次类推。 遇见这种数字图形打印...
  • 本程序主要实现输入平面坐标系中四边形四个顶点的坐标值并判断是否是正方形。在程序中首先需要输入待判断的四边形个数,然后依次输入各四边形四个顶点的坐标值,每个四边形的坐标由两行数据组成,第一行数据是四个...

空空如也

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如何判断平面图