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  • 当我们应用统计方法对数据进行分析时,会发现许多计量资料的分析方法,例如常用的T检验、方差分析、相关分析以及线性回归等等,都要求数据服从正态分布或者近似正态分布,但这一前提条件往往被使用者所忽略。...

    当我们应用统计方法对数据进行分析时,会发现许多计量资料的分析方法,例如常用的T检验、方差分析、相关分析以及线性回归等等,都要求数据服从正态分布或者近似正态分布,但这一前提条件往往被使用者所忽略。因此为了保证数据满足上述统计方法的应用条件,对原始数据进行正态性检验是十分必要的,这一节内容我们主要向大家介绍如何对数据资料进行正态性检验。

     

    一、正态性检验:偏度和峰度

     

    1、偏度(Skewness):描述数据分布不对称的方向及其程度(见图1)。

    2.png

    当偏度≈0时,可认为分布是对称的,服从正态分布;

     

    当偏度>0时,分布为右偏,即拖尾在右边,峰尖在左边,也称为正偏态;

     

    当偏度<0时,分布为左偏,即拖尾在左边,峰尖在右边,也称为负偏态;

     

    注意:数据分布的左偏或右偏,指的是数值拖尾的方向,而不是峰的位置,容易引起误解。

     

    2、峰度(Kurtosis):描述数据分布形态的陡缓程度(图2)。

    下载.jpeg

    当峰度≈0时,可认为分布的峰态合适,服从正态分布(不胖不瘦);

     

    当峰度>0时,分布的峰态陡峭(高尖);

     

    当峰度<0时,分布的峰态平缓(矮胖);

     

    利用偏度和峰度进行正态性检验时,可以同时计算其相应的Z评分(Z-score),即:偏度Z-score=偏度值/标准误,峰度Z-score=峰度值/标准误。在α=0.05的检验水平下,若Z-score在±1.96之间,则可认为资料服从正态分布。

     

    了解偏度和峰度这两个统计量的含义很重要,在对数据进行正态转换时,需要将其作为参考,选择合适的转换方法。

     

     

    3、SPSS操作方法

     

     

    以分析某人群BMI的分布特征为例。


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  • 正态分布:若随机变量x服从有个数学期望为μ,方差为σ2 的正态分布,记为N(μ,σ)其中期望值决定密度函数的位置,标准差决定分布的幅度,当υ=0,σ=0 时的正态分布是标准正态分布判断方法有画图/k-s检验画图:#导入...

    正态分布:

    若随机变量x服从有个数学期望为μ,方差为σ2 的正态分布,记为N(μ,σ)

    其中期望值决定密度函数的位置,标准差决定分布的幅度,当υ=0,σ=0 时的正态分布是标准正态分布

    判断方法有画图/k-s检验

    画图:

    #导入模块

    import numpy as np

    import pandas as pd

    import matplotlib.pyplot as plt

    %matplotlib inline

    #构造一组随机数据

    s = pd.DataFrame(np.random.randn(1000)+10,columns = ['value'])

    #画散点图和直方图

    fig = plt.figure(figsize = (10,6))

    ax1 = fig.add_subplot(2,1,1) # 创建子图1

    ax1.scatter(s.index, s.values)

    plt.grid()

    ax2 = fig.add_subplot(2,1,2) # 创建子图2

    s.hist(bins=30,alpha = 0.5,ax = ax2)

    s.plot(kind = 'kde', secondary_y=True,ax = ax2)

    plt.grid()

    结果如下:

    2020923152316793.png?2020823152325

    使用ks检验:

    #导入scipy模块

    from scipy import stats

    """

    kstest方法:KS检验,参数分别是:待检验的数据,检验方法(这里设置成norm正态分布),均值与标准差

    结果返回两个值:statistic → D值,pvalue → P值

    p值大于0.05,为正态分布

    H0:样本符合

    H1:样本不符合

    如何p>0.05接受H0 ,反之

    """

    u = s['value'].mean() # 计算均值

    std = s['value'].std() # 计算标准差

    stats.kstest(s['value'], 'norm', (u, std))

    结果是KstestResult(statistic=0.01441344628501079, pvalue=0.9855029319675546),p值大于0.05为正太分布

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  • 正态分布:若随机变量x服从有个数学期望为μ,方差为σ2 的正态分布,记为N(μ,σ)其中期望值决定密度函数的位置,标准差决定分布的幅度,当υ=0,σ=0 时的正态分布是标准正态分布判断方法有画图/k-s检验画图:#导入...

    正态分布:

    若随机变量x服从有个数学期望为μ,方差为σ2 的正态分布,记为N(μ,σ)

    其中期望值决定密度函数的位置,标准差决定分布的幅度,当υ=0,σ=0 时的正态分布是标准正态分布

    判断方法有画图/k-s检验

    画图:

    #导入模块

    import numpy as np

    import pandas as pd

    import matplotlib.pyplot as plt

    %matplotlib inline

    #构造一组随机数据

    s = pd.DataFrame(np.random.randn(1000)+10,columns = ['value'])

    #画散点图和直方图

    fig = plt.figure(figsize = (10,6))

    ax1 = fig.add_subplot(2,1,1) # 创建子图1

    ax1.scatter(s.index, s.values)

    plt.grid()

    ax2 = fig.add_subplot(2,1,2) # 创建子图2

    s.hist(bins=30,alpha = 0.5,ax = ax2)

    s.plot(kind = 'kde', secondary_y=True,ax = ax2)

    plt.grid()

    结果如下:

    20200923181931858.png

    使用ks检验:

    #导入scipy模块

    from scipy import stats

    """

    kstest方法:KS检验,参数分别是:待检验的数据,检验方法(这里设置成norm正态分布),均值与标准差

    结果返回两个值:statistic → D值,pvalue → P值

    p值大于0.05,为正态分布

    H0:样本符合

    H1:样本不符合

    如何p>0.05接受H0 ,反之

    """

    u = s['value'].mean() # 计算均值

    std = s['value'].std() # 计算标准差

    stats.kstest(s['value'], 'norm', (u, std))

    结果是KstestResult(statistic=0.01441344628501079, pvalue=0.9855029319675546),p值大于0.05为正太分布

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  • 这篇文章主要讲讲如何判断数据是否符合正态分布。主要分为两种方法:描述统计方法和统计检验方法。描述统计方法描述统计就是用描述的数字或图表来判断数据是否符合正态分布。常用的方法有Q-Q图、P-P图、直方图、茎叶...
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    7506d30c6dc0c9b56aeeeab08307d5ae.gif

    在前面的文章中讲过,很多模型的假设条件都是数据是服从正态分布的。这篇文章主要讲讲如何判断数据是否符合正态分布。主要分为两种方法:描述统计方法和统计检验方法。

    描述统计方法 6e04db3d40b17f28633fe9c43a229503.gif

    描述统计就是用描述的数字或图表来判断数据是否符合正态分布。常用的方法有Q-Q图、P-P图、直方图、茎叶图。

    1. Q-Q图

    此Q-Q非用于聊天的QQ,Q是quantile的缩写,即分位数。分位数就是将数据从小到大排序,然后切成100份,看不同位置处的值。比如中位数,就是中间位置的值。

    Q-Q图的x轴为分位数,y轴为分位数对应的样本值。x-y是散点图的形式,通过散点图可以拟合出一条直线,如果这条直线是从左下角到右上角的一条直线,则可以判断数据符合正态分布,否则则不可以。

    46e3d52fcfb6a9543d68aa0e929765a3.png

    拟合出来的这条直线和正态分布之间有什么关系呢?为什么可以根据这条直线来判断数据是否符合正态分布呢。

    我们先来想一下正态分布的特征,正态分布的x轴为样本值,从左到右x是逐渐增大的,y轴是每个样本值对应的出现的概率。概率值先上升后下降,且在中间位置达到最高。

    可以把Q-Q图中的y轴理解成正态分布中的x轴,如果拟合出来的直线是45度,可以保证中位数两边的数值分布是一样的,即正态分布中基于中位数左右对称。

    在Python中可以使用如下代码来绘制Q-Q图:

    from scipy import statsfig = plt.figure()res = stats.probplot(x, plot=plt)plt.show()

    与Q-Q图类似的是P-P图,两者的区别是前者的y轴是具体的分位数对应的样本值,而后者是累计概率。

    2. 直方图

    直方图分为两种,一种是频率分布直方图,一种是频数分布直方图。频数就是样本值出现的次数,频率是某个值出现的次数与所有样本值出现总次数的比值。

    在Python中我们可以使用如下代码来绘制频数分布直方图:

    import matplotlib.pyplot as pltplt.hist(x,bins = 10)

    4e44e6bec61bf2482b12aaf2e67007bd.png

    可以使用如下代码来绘制频率分布直方图:

    import seaborn as snssns.distplot(x)

    f5cf8354801eb58cbe5198a395079508.png

    与直方图类似的还有茎叶图,茎叶图是类似于表格形式去表示每个值出现的频次。

    统计检验方法 6e04db3d40b17f28633fe9c43a229503.gif

    讲完了描述统计的方法,我们来看一下统计检验的方法。统计检验的方法主要有SW检验、KS检验、AD检验、W检验。

    SW检验中的S就是偏度,W就是峰度,峰度和偏度与正态的关系我们在前面的文章有讲过,没看过的同学可以去看看:你到底偏哪边的?

    1. KS检验

    KS检验是基于样本累积分布函数来进行判断的。可以用于判断某个样本集是否符合某个已知分布,也可以用于检验两个样本之间的显著性差异。

    如果是判断某个样本是否符合某个已知分布,比如正态分布,则需要先计算出标准正态分布的累计分布函数,然后在计算样本集的累计分布函数。两个函数之间在不同的取值处会有不同的差值。我们只需要找出来差值最大的那个点D。然后基于样本集的样本数和显著性水平找到差值边界值(类似于t检验的边界值)。判断边界值和D的关系,如果D小于边界值,则可以认为样本的分布符合已知分布,否则不可以。

    PDF( probability density function):概率密度函数
    CDF( cumulative distribution function):累积分布函数,是概率密度函数的积分

    314aa6809699740628f90ed08e9893e6.png

    在Python中有现成的包可以直接用于KS检验:

    from scipy.stats import kstestkstest(x,cdf = "norm")

    x表示待检验的样本集,cdf用来指明要判断的已知分布类型,有:‘norm’,’expon’,’logistic’,’gumbel’,’gumbel_l’, gumbel_r’,
    ‘extreme1’值可以选,其中norm表示正态分布检验。

    kstest会返回两个值:D和对应的p_value值。

    2. AD检验

    AD检验是在KS基础上进行改造的,KS检验只考虑了两个分布之间差值最大的那个点,但是这容易受异常值的影响。AD检验考虑了分布上每个点处的差值。

    在Python中可以用如下代码:

    from scipy.stats import andersonanderson(x, dist='norm')

    x为待检验的样本集,dist用来指明已知分布的类型。可选值与ks检验中可选值一致。

    上面代码会返回三个结果: 第一个为统计值,第二个为评判值,第三个为每个评判值对应的显著性水平

    AD检验和anderson有啥关系呢?anderson发明了AD检验。

    3. W检验

    W检验(Shapiro-Wilk的简称)是基于两个分布的相关性来进行判断,会得出一个类似于皮尔逊相关系数的值。值越大,说明两个分布越相关,越符合某个分布。

    在Python中的实现代码如下:

    from scipy.stats import shapiroshapiro(x)

    上面的代码会返回两个结果:W值和其对应的p_value。

    shapiro是专门用于正态性检验的,所以不需要指明分布类型。且 shapiro 不适合做样本数>5000的正态性检验。

    非正态数据的处理办法 6e04db3d40b17f28633fe9c43a229503.gif

    一般数据不是正态就是偏态,如果偏态不严重可以对数据取平方根来进行转换。如果偏态很严重,则可以对数据进行对数转换。转换方法在偏态文章中也有讲过。

    End.

    来源:俊红的数据分析之路

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如何判断数据正态分布