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  • 向量个数,向量维数,向量空间维数

    万次阅读 多人点赞 2018-09-18 17:39:23
     向量空间维数的定义 下面是线性空间的定义,元素a与基V。从定义中可知向量空间的维数就是求存在多少个元素a线性无关。 向量空间的维数是不是就是对应矩阵的秩,向量空间的基是不是就是对应列向量组的最大...

    关于向量个数和向量位数,我贴一张图大家就明白了

     向量空间维数的定义


    下面是线性空间的定义,元素a与基V。从定义中可知向量空间的维数就是求存在多少个元素a线性无关。

    向量空间的维数是不是就是对应矩阵的秩,向量空间的基是不是就是对应列向量组的最大线性无关向量组。

    具体大家也可以看这里:https://www.zhihu.com/question/35672869

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  • 矩阵的列空间、行空间维数、秩理解

    万次阅读 多人点赞 2019-07-23 12:36:35
    空间 ColA 对于 m×n 矩阵 A 列空间就是 A的各列的线性组合的集合,记为 ColA,是的 一个子空间,由 矩阵的主元列构成,即Ax=b中,方程的解基本变量。 零空间 NulA 对于 m×n 矩阵 A 零空间就是 齐次方程 Ax=...

    列空间 ColA

    对于 m×n 矩阵 A   列空间就是 A的各列的线性组合的集合,记为 ColA,是\large R^m的 一个子空间,由 矩阵的主元列构成,即Ax=b中,方程的解基本变量。

     

    零空间 NulA

    对于 m×n 矩阵 A   零空间就是 齐次方程 Ax=0 的 所有解得 集合 ,记 NulA,是\large R^n 的一个子空间,由 Ax=0 的解构成,即 Ax=0 的解中的 自由变量

     

    子空间的基

    \large R^n 中 子空间H的一组基是H中的一个线性无关集,它可以生成 H

     

    维数 dimH

    非零子空间H的维数(dimH)是H的任意一个基的向量个数

     

    秩 rankA

    矩阵A的秩(rankA)是A列空间的维数,也就是矩阵A主元列的个数

     

    秩定理

    如果一个矩阵A 有n列,则 rankA+ dimNulA=n

    即列空间的维数和零空间的维数之和为n,也就是 主元列的个数+非主元列的个数为n,也就是 基本变量+自由变量的个数为 n

     

    举例:

    矩阵 A=

    \large \begin{bmatrix} 2&6& -6 & 6 &3 &6 \\ -2&-3 &6 &-3 &0 &-6 \\ 4& 9 &-12 &9 &3 &12 \\ -2&3 &6 &3 &3 &-6 \end{bmatrix}  

    经过化简为

    \large \begin{bmatrix} 2 &6 &-6 &6 &3 &6 \\ 0&3 &0 &3 &3 &0 \\ 0&0 &0 &0 &3 &0 \\ 0& 0 &0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}

    显然主元列 为 第一列、第二列、第五列

    列空间的基为 原来的矩阵的主元列

    \large \begin{bmatrix} 2\\ -2 \\4 \\-2 \end{bmatrix}\large \begin{bmatrix} 6\\ -3\\ 9\\3 \end{bmatrix}\large \begin{bmatrix} 3\\0\\3 \\3 \end{bmatrix}           维数为3

    零 空间 即: Ax=0

    \large \begin{bmatrix} 2 &6 &-6 &6 &3 &6 &0 \\ 0&3 &0 &3 &3 &0&0 \\ 0&0 &0 &0 &3 &0 &0\\ 0& 0 &0 &0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}

    可以得出   \large \begin{bmatrix} x1\\ x2 \\x3 \\x4 \\x5\\x6 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 3x_3-3x_6 \\ -x_4 \\x_3 \\ x_4 \\x_5 \\x_6\end{bmatrix} = x_3* \begin{bmatrix} 3\\ 0 \\1 \\ 0 \\0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4*\begin{bmatrix} 0\\ -1 \\1 \\ 0 \\0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_6 *\begin{bmatrix} -3\\ 0\\0 \\ 0 \\0 \\ 1\end{bmatrix}   

    所以零空间为     \large \begin{bmatrix} 3\\ 0 \\1 \\ 0 \\0 \\ 0 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 0\\ -1 \\1 \\ 0 \\0 \\ 0 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} -3\\ 0\\0 \\ 0 \\0 \\ 1\end{bmatrix}  维数为3

     

    由此可以看出 列空间 就是主元列 、 零空间就是非主元列

    满秩矩阵

    所以可以看出,满秩矩阵就是 rankA=n 的矩阵 ,也就是 全部都是主元列 ,也就是所有列都是 线性无关。

    行满秩矩阵 就是 行向量之间线性无关 ,列满秩矩阵 就是 列向量之间线性无关

    对于方阵 来说  满秩矩阵 可以说明 这是一个 可逆矩阵(非奇异矩阵)

    满秩矩阵是一个很重要的概念, 它是判断一个矩阵是否可逆的充分必要条件

    一个方阵A是可逆的当且仅当A的行列式不等于0.

    因为当A的行列式等于0,则A的行是线性相关的,即A的转置是线性相关的,则A的转置不可逆,则A就不可逆了。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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  • 上节说到: 1. 考虑对比两个几何体的内部和边界的交集–&...得到【维数拓展的9交集模型】 维数扩展的9交集模型 【英文名】Dimensionally Extended nine-Intersection Model (DE-9IM) 【听小弟说...

    上节说到:

    1. 考虑对比两个几何体的内部和边界的交集–>【4交集模型】
    2. 【4交集模型】,再考虑到输入几何体的外部–>得到【9交集模型】
    3. 【9交集模型】,在维度上拓展–>得到【维数拓展的9交集模型】

    维数扩展的9交集模型

    【英文名】Dimensionally Extended nine-Intersection Model (DE-9IM)

    【听小弟说来】就是两个几何体,它们两个人内部、边界、外部两两交集(一共9个咯),画成一个矩形,就成3X3的矩阵的–>根据这个矩阵的特点,我们就可以很容易的得出两个几何体的拓扑关系

    【约定】

    1. 函数dim(x):返回x中几何体的最大维数
      • dim(∅)=-1:∅表示空集
      • dim(点)=0
      • dim(线)=1
      • dim(面)=2
    2. I(a):a的内部
    3. B(a):a的边界
    4. E(a):a的外部

    【上个图举个例】有了这个例子就很清楚了,不多解释了

    这里写图片描述

    数学最喜欢符号了,咱们用这个符号表示:

    这里写图片描述
    所以,这里有了(横着写):
    这里写图片描述

    最后,我们把这个东西,写成这样:{2,1,2,1,0,1,2,1,2}

    【大佬们说】以上的这些步骤:模型矩阵由9种模式-值集合构成,一种集合对应矩阵一个单元,{2,1,2,1,0,1,2,1,2},这里的每一个值称之为【模式值p】

    空间关系的判定

    【约定】

    模式值p:p有几种情况?p∈{T,F,*,0,1,2}

    1. p=T:dim(x)∈{0,1,2},即x≠∅(存在交集)
    2. p=F:dim(x)=-1,即x=∅(交集为∅)
    3. p=*:dim(x)∈{-1,0,1,2},即任何一种情况
    4. p=0:dim(x)=0,交集是点
    5. p=1:dim(x)=1,交集是线
    6. p=2:dim(x)=2,交集是面

    这个p很重要,我们接下来讨论A,B是什么拓扑关系,就看这个p,9个p值什么情况,就是什么关系

    看什么关系?对照这个表:

    这里写图片描述

    1. P:零维的几何体(点、多点)
    2. L:一维的集合体(LineStrings、MultiLineStrings)
    3. A:二维的几何体(面和多面)

    wiki百科相关资料

    https://en.wikipedia.org/wiki/DE-9IM

    【定义】The Dimensionally Extended nine-Intersection Model (DE-9IM) is a topological model and a standard used to describe the spatial relations of two regions (two geometries in two-dimensions, R2), in Geometry, Point-set topology, Geospatial topology, and fields related to computer spatial analysis. Since the spatial relations expressed by the model are topological they are invariant to rotation, translation and scaling transformations.

    【dim(x)函数】
    这里写图片描述

    【关系判定】
    这里写图片描述

    这里写图片描述

    这里写图片描述

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  • 线性无关,向量空间的基,维数

    千次阅读 2018-11-26 23:01:29
    以上说的是它的定义,按实际我们用什么方法来判断几个向量是否线性无关呢? 1.我们把一系列向量写成矩阵形式A,如果A的零空间只有零向量,那么代表A中各向量线性无关 如果A的零空间不只有零向量,那么代表A中各...

    线性无关(Independent)

    一系列的向量无论经过怎样的线性组合都得不到0向量。
    以上说的是它的定义,按实际我们用什么方法来判断几个向量是否线性无关呢?
    1.我们把一系列向量写成矩阵形式A,如果A的零空间只有零向量,那么代表A中各向量线性无关
    如果A的零空间不只有零向量,那么代表A中各向量线性相关。
    2.依然是构成一个矩阵A,如果矩阵的秩是等于向量个数,那么各向量线性无关,不等于线性相关。
    向量组构成一个向量空间也就是说向量空间包括该向量组向量的线性组合。

    向量空间的基是指一系列的向量

    这些向量的两大性质(不多不少)
    1,他们是线性无关的(不能过多)
    2,它们能生成整个空间(不能过少)
    基如果是一个方阵,根据我们之前对可逆矩阵的判断方法学习,以上两个性质可直接用可逆来代替。
    维数
    对于给定空间,它的基有很多种,但是基的向量个数一定是相同的,这里所说的向量个数也就是维数
    对维数的理解,一个m×n的矩阵,
    列空间的维数=主列的个数=矩阵的秩r,
    零空间的维数=矩阵自由变量的个数n-r。
    举例说明上述意义。
    在这里插入图片描述如图所示,一个3×4的矩阵。
    很显然这里的四个向量是线性相关的,经过消元我们也可以得到它的秩是2,列空间的维数是2,说明它们能够构成一个二维的空间。
    A有两个自由变量,那我们可以算出它的一个特解
    在这里插入图片描述
    很显然它是线性无关的,维数为2,也就是自由变量的个数。

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  • 是否存在一个统计量,去评估一组三数据是否具有共线性,或共线性好坏。
  • 本文内容包括: - 三维空间中射线与平面的表示方法, - 三维空间判断射线与平面是否相交。
  • 从该点出发,作任意方向的一根射线, 考察此射线与三物体各面的交点, 如果总数=0或其它偶数,则在三物体之外, 如果总数为奇,则在三物体之内.
  • 矩阵的维数

    千次阅读 2015-10-11 21:36:00
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  • 线性相关性、基、维数

    千次阅读 2014-07-03 21:49:12
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    千次阅读 2019-03-09 18:13:34
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