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  • 如何判断系统为线性系统
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    2021-10-23 15:26:58

    目前只写了叠加性部分,齐次性、定常时变类似(之后补)

    如果不是微分方程中含有积分,那么两边微分/求导消去积分

    线性系统

    线性系统有两个重要的特性:叠加性和齐次性。

    叠加性

    定义

    当系统同时存在几个输入量时,其输出量等于各输入量单独作用时所引起的输出量的和。
    即当 r ( t ) = ∑ r i ( t ) r(t)=\sum{r_i(t)} r(t)=ri(t)时,微分方程的解为 c ( t ) = ∑ c i ( t ) c(t)=\sum{c_i(t)} c(t)=ci(t),这就是叠加性。

    判断方法

    • 设各输入量 c i ( t ) c_i(t) ci(t)分别代入微分方程中时,输出量分别为 r i ( t ) r_i(t) ri(t)(证明的时候取两个就可以了)
    • 将各分量的微分方程相加,不管是否线性,等式都成立(式一)
    • 将输入 c ( t ) = ∑ c i ( t ) c(t)=\sum{c_i(t)} c(t)=ci(t)代入微分方程,如果满足叠加性,其输出量应为单独作用时所引起的输出量的和,即同时将 r ( t ) = ∑ r i ( t ) r(t)=\sum{r_i(t)} r(t)=ri(t)代入微分方程中,等式应成立(式二)

    式一是一定成立的,用于证明或者证伪式二。若能证明式二成立,则说明该系统满足叠加性,反之不满足。

    例题

    例1:c(t)为输入,r(t)为输出,系统的微分方程为 t d c ( t ) d t + c ( t ) = r ( t ) + 3 d r ( t ) d t t\frac{dc(t)}{dt}+c(t)=r(t)+3\frac{dr(t)}{dt} tdtdc(t)+c(t)=r(t)+3dtdr(t).
    解: 假设两个输入量 c 1 ( t ) , c 2 ( t ) c_1(t),c_2(t) c1(t),c2(t)分别作用于系统,则由系统的微分方程,分别有
    t d c 1 ( t ) d t + c 1 ( t ) = r 1 ( t ) + 3 d r 1 ( t ) d t    ① t\frac{dc_1(t)}{dt}+c_1(t)=r_1(t)+3\frac{dr_1(t)}{dt} \ \ ① tdtdc1(t)+c1(t)=r1(t)+3dtdr1(t)  
    t d c 2 ( t ) d t + c 2 ( t ) = r 2 ( t ) + 3 d r 2 ( t ) d t    ② t\frac{dc_2(t)}{dt}+c_2(t)=r_2(t)+3\frac{dr_2(t)}{dt} \ \ ② tdtdc2(t)+c2(t)=r2(t)+3dtdr2(t)  
    c 1 ( t ) + c 2 ( t ) c_1(t)+c_2(t) c1(t)+c2(t)同时作用于系统时,假设系统满足叠加性,应有
    t d ( c 1 ( t ) + c 2 ( t ) ) d t + c 1 ( t ) + c 2 ( t ) = r 1 ( t ) + r 2 ( t ) + 3 d ( r 1 ( t ) + r 2 ( t ) ) d t    ③ ( 式 二 ) t\frac{d(c_1(t)+c_2(t))}{dt}+c_1(t)+c_2(t)=r_1(t)+r_2(t)+3\frac{d(r_1(t)+r_2(t))}{dt} \ \ ③(式二) tdtd(c1(t)+c2(t))+c1(t)+c2(t)=r1(t)+r2(t)+3dtd(r1(t)+r2(t))  ()
    ①+②得
    t d ( c 1 ( t ) + c 2 ( t ) ) d t + c 1 ( t ) + c 2 ( t ) = r 1 ( t ) + r 2 ( t ) + 3 d ( r 1 ( t ) + r 2 ( t ) ) d t    ④ ( 式 一 ) t\frac{d(c_1(t)+c_2(t))}{dt}+c_1(t)+c_2(t)=r_1(t)+r_2(t)+3\frac{d(r_1(t)+r_2(t))}{dt} \ \ ④(式一) tdtd(c1(t)+c2(t))+c1(t)+c2(t)=r1(t)+r2(t)+3dtd(r1(t)+r2(t))  ()
    可见③(式二)成立,所以假设成立,系统满足叠加性

    若不满足叠加性,结论如下
    可见④与③矛盾,故系统不满足叠加性

    齐次性

    定义

    当输入量增大或缩小k (k为实数)倍时,系统输出量也按同一倍数增大或缩小。
    即当 r ( t ) = k r 1 ( t ) r(t)=kr_1(t) r(t)=kr1(t)时(k为常数实数),微分方程的解为 c ( t ) = k c 1 ( t ) c(t)=kc_1(t) c(t)=kc1(t).

    判断方法

    还没写

    例题

    还没写

    非线性系统

    在构成系统的环节中有一个或一个以上的非线性环节时,则称此系统为非线性系统。典型的非线性特性有饱和特性、死区特性、间隙特性、继电特性、磁滞特性等。

    定常系统

    如果系统中参数不随时间变化,则这类系统称为定常系统。在实践中遇到的系统,大多数属于这一类。

    线性定常系统

    如果一个线性系统微分方程的系数为常数,
    那么系统称为线性定常系统。
    例如:
    d 2 c ( t ) d t 2 + 2 d c ( t ) d t + x ( t ) = r ( t ) \frac{d^2c(t)}{dt^2}+2\frac{dc(t)}{dt}+x(t)=r(t) dt2d2c(t)+2dtdc(t)+x(t)=r(t)

    时变系统

    如果系统中的参数是时间t的函数,则这类系统称为时变系统。

    线性时变系统

    如果一个线性系统微分方程的系数为时间的函数,
    那么系统称为线性时变系统。
    例如:
    d 2 c ( t ) d t 2 + 2 t d c ( t ) d t + x ( t ) = r ( t ) \frac{d^2c(t)}{dt^2}+2t\frac{dc(t)}{dt}+x(t)=r(t) dt2d2c(t)+2tdtdc(t)+x(t)=r(t)

    参考老师上课内容以及网上课件https://www.docin.com/p-107264184.html

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    如何判断一个系统是否为线性系统,时不变系统以及稳定系统?

    先线性运算再经过系统=先经过系统再线性运算是线性系统;

    先时移再经过系统=先经过系统再时移为时不变系统;

    时间趋于无穷大时系统值有界则为稳定的系统,或者对连续系统S域变换,离散系统Z域变换,H(s)极点均在左半平面则稳定,H(z)极点均在单位圆内部则稳定;

    一般的常微分差分方程都是LTI,输入输出有关于t的尺度变换则时变,微分差分方程的系数为关于时间t的函数也时变。

    怎么判断出系统是因果系统还是非因果系统的?

    零状态响应不出现于激励之前的系统(或任一时刻的响应仅决定于该时刻和该时刻以前的输入值,而与将来时刻的输入值无关),称为因果系统。

    一般来讲,若f(·)=0,t《t0(或k《k0)

    则yzs(·)=T[{0},{f(·)}]=0,t《t0(或k《k0)

    就称该系统为因果系统,否则称为非因果系统。

    如系统:yzs(t)=3f(t-1)就是因果系统,因为t1时刻的响应是t1-1时刻的激励引起的,这不就是先有激励后有响应吗,有因才有果,这就是因果。

    而系统yzs(t)=3f(t+1)就不是因果系统,因为t1时刻的响应是t1+1时刻的激励引起的,先有响应后有激励,这就不是因果的了。

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  • 一、判断某个系统是否是 “ 线性系统





    一、判断某个系统是否是 “ 线性 “ 系统



    系统 T T T" 时不变系统 " , 输入序列输出序列 如下图所示 :

    输入为 x 1 ( n ) x_1(n) x1(n) 序列时 , 输出是 y 1 ( n ) y_1(n) y1(n) 序列 ;

    输入为 x 2 ( n ) x_2(n) x2(n) 序列时 , 输出是 y 2 ( n ) y_2(n) y2(n) 序列 ;

    输入为 x 3 ( n ) x_3(n) x3(n) 序列时 , 输出是 y 3 ( n ) y_3(n) y3(n) 序列 ;

    在这里插入图片描述
    判断上图中的系统 T T T 是是否是 线性系统 ;

    当系统为 T [ δ ( n ) ] T[\delta(n)] T[δ(n)] 时 , 输出是什么 ;


    x 1 ( n ) = δ ( n ) + 2 δ ( n − 1 ) x_1(n) = \delta(n) + 2\delta(n - 1) x1(n)=δ(n)+2δ(n1) , y 1 ( n ) = 2 δ ( n − 1 ) + 3 δ ( n − 2 ) y_1(n) = 2\delta(n - 1) + 3 \delta(n - 2) y1(n)=2δ(n1)+3δ(n2)

    x 2 ( n ) = 2 δ ( n − 1 ) x_2(n) = 2 \delta(n - 1) x2(n)=2δ(n1) , y 2 ( n ) = 2 δ ( n − 2 ) + 4 δ ( n − 3 ) y_2(n) = 2\delta(n - 2) + 4 \delta(n - 3) y2(n)=2δ(n2)+4δ(n3)

    x 3 ( n ) = δ ( n − 4 ) x_3(n) = \delta(n - 4) x3(n)=δ(n4) , y 3 ( n ) = 2 δ ( n + 1 ) + 3 δ ( n + 2 ) y_3(n) = 2\delta(n + 1) + 3 \delta(n + 2) y3(n)=2δ(n+1)+3δ(n+2)


    x 1 ( n ) = x 2 ( n ) + x 3 ( n + 4 ) x_1(n) = x_2(n) + x_3(n + 4) x1(n)=x2(n)+x3(n+4) , 令 x 1 ( n ) x_1(n) x1(n) 中的 δ ( n ) \delta(n) δ(n) 等于 x 3 ( n ) x_3(n) x3(n) 中的 δ ( n − 4 ) \delta(n - 4) δ(n4) , 向左移 4 4 4 即可 ;

    在该系统是 " 时不变 " 系统的前提下 , 如果 y 1 ( n ) = y 2 ( n ) + y 3 ( n + 4 ) y_1(n) = y_2(n) + y_3(n + 4) y1(n)=y2(n)+y3(n+4) , 那么说明该系统是 " 线性 " 系统 ;


    y 1 ( n ) = y 2 ( n ) + y 3 ( n + 4 ) y_1(n) = y_2(n) + y_3(n + 4) y1(n)=y2(n)+y3(n+4)

    y 2 ( n ) + y 3 ( n + 4 ) = 2 δ ( n − 2 ) + 4 δ ( n − 3 ) + 2 δ ( n + 5 ) + 3 δ ( n + 6 ) y_2(n) + y_3(n + 4) =2\delta(n - 2) + 4 \delta(n - 3) + 2\delta(n + 5) + 3 \delta(n + 6) y2(n)+y3(n+4)=2δ(n2)+4δ(n3)+2δ(n+5)+3δ(n+6) , 明显不等于 y 1 ( n ) = 2 δ ( n − 1 ) + 3 δ ( n − 2 ) y_1(n) = 2\delta(n - 1) + 3 \delta(n - 2) y1(n)=2δ(n1)+3δ(n2) ;

    该系统 , 不是 " 线性 " 系统 ;


    T [ δ ( n ) ] T[\delta(n)] T[δ(n)] 系统中 , 如果 输入是 δ ( n ) \delta(n) δ(n) 序列 , 则对应的 " 变换 " 后的输出是 y 3 ( n + 4 ) = 2 δ ( n + 5 ) + 3 δ ( n + 6 ) y_3(n + 4) = 2\delta(n + 5) + 3 \delta(n + 6) y3(n+4)=2δ(n+5)+3δ(n+6) , 得到如下公式 :
    T [ δ ( n ) ] = 2 δ ( n + 5 ) + 3 δ ( n + 6 ) T[\delta(n)] = 2\delta(n + 5) + 3 \delta(n + 6) T[δ(n)]=2δ(n+5)+3δ(n+6)

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  • 线性系统 顾名思义,满足线性性质的系统 它有三个特性: 齐次性 可加性 线性性 这里常见在选择题里让你判断 f1(.)f_{1}(.)f1​(.)代表的是激励,系统的响应不仅和它当前的状态相关,还和以前的状态相关的系统被...

    今天我们说一说系统的分类

    线性系统

    顾名思义,满足线性性质的系统
    它有三个特性:

    1. 齐次性
    2. 可加性
    3. 线性性
      这里常见在选择题里让你判断
      在这里插入图片描述
      f 1 ( . ) f_{1}(.) f1(.)代表的是激励,系统的响应不仅和它当前的状态相关,还和以前的状态相关的系统被称为记忆系统,电路与系统就是一家,这类电路通常包含电感与电容,反之则称为即时系统或无记忆系统
      在这里插入图片描述

    全响应:由储能元件的初始储能和独立电源共同引起的响应,称为完全响应,简称全响应。
    零输入响应:在没有外加激励时,仅由t = 0时刻的非零初始状态引起的响应。取决于初始状态和电路特性,这种响应随时间按指数规律衰减。
    零状态响应:就是电路在零初始状态下(动态元件初始储能为零)由外施激励引起的响应

    这三个响应后面会出答题,掌握规律,其实并不难

    那么如何才能判断一个系统是不是线性的呢?
    这就要用到刚才列举的三个响应的式子了

    全响应=零输入+零状态

    y ( t ) = y x ( t ) + y f ( t ) y(t)=y_x(t)+y_f(t) y(t)=yx(t)+yf(t)
    拿到一个式子,首先看能不能把它分解为这两个子式,举个例子:
    在这里插入图片描述
    显而易见, x ( 0 ) f ( t ) x(0)f(t) x(0)f(t)是分不开的,只要分不开,就不满足分解性,它就不是线性的,我们再来看下面几个线性判别依据:
    在这里插入图片描述
    再看一题:
    在这里插入图片描述
    这个我们要用到零状态线性来判断,就是 f ( t ) f(t) f(t)前面有一个系数 a ( a ≠ 0 ) a(a\neq0) a(a=0)但是这里的 f ( t ) f(t) f(t)带了一个绝对值,所以你把a提到外面之后是不能保证a在绝对值符号里面时 f ( t ) f(t) f(t)的值与原来相等,也可以理解看到 ∣ f ( t ) ∣ |f(t)| f(t)这种带了个绝对值它十有八九不满足线性(当然,遇到复杂情况自己演算一下)
    在这里插入图片描述
    最后一题:
    在这里插入图片描述
    判断一个系统是不是线性系统分三步走:
    1.是否满足可分解性?可以看到0输入与0状态响应是分开的,故满足
    2.是否满足0状态线性?
    看是否满足这个条件:
    在这里插入图片描述
    就把前面的 a f 1 ( t ) + b f 2 ( t ) af_1(t)+bf_2(t) af1(t)+bf2(t)带入 f ( x ) f(x) f(x)
    得到
    在这里插入图片描述
    满足了输入的线性组合等于输出的线性组合这一条件,即为满足了0状态线性

    3.零输入线性
    e − t x ( 0 ) e^{-t}x(0) etx(0)这一项代表的是0输入响应,因为它有 x ( 0 ) x(0) x(0),自变量是t,和判断0状态线性一样的道理,把 [ a f 1 ( x ) + b f 2 ( x ) ] [af_1(x)+bf_2(x)] [af1(x)+bf2(x)]代入,得到:
    在这里插入图片描述
    也满足了输入线性组合等于输出线性组合这一条件。综上,这个系统是线性系统

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