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  • 如何判断线性组合
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    2020-09-20 17:04:54

    1 测定预测精度的方法

    • 平均误差

    M E = ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) n ME=\frac{\sum\limits_{i=1}^n{\left( y_i-\hat{y}_i \right)}}{n} ME=ni=1n(yiy^i)

    • 平均绝对误差
      M A D = ∑ i = 1 n ∣ y i − y ^ i ∣ n MAD=\frac{\sum\limits_{i=1}^n{\left| y_i-\hat{y}_i \right|}}{n} MAD=ni=1nyiy^i

    • 平均相对误差
      M P E = 1 n ∑ i = 1 n y i − y ^ i y i MPE=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n{\frac{y_i-\hat{y}_i}{y_i}} MPE=n1i=1nyiyiy^i

    • 平均相对误差绝对值
      M A P E = 1 n ∑ i = 1 n ∣ y i − y ^ i y i ∣ MAPE=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n{\left| \frac{y_i-\hat{y}_i}{y_i} \right|} MAPE=n1i=1nyiyiy^i

    • 预测误差的方差(均方误差)
      均方误差MSE(Mean Squared Error)又被称为 L2范数损失 。
      M S E = ∑ i = 1 n e i 2 n = 1 n ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) 2 MSE=\frac{\sum\limits_{i=1}^n{e_i^2}}{n}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n{\text{(}y_i-\hat{y}_i}\text{)}^2 MSE=ni=1nei2=n1i=1n(yiy^i)2
      由于MSE与我们的目标变量的量纲不一致,为了保证量纲一致性,我们需要对MSE进行开方 。

    • 预测误差的标准差(均方根误差,又叫标准误差)

    R M S E = ∑ i = 1 n e i 2 n = 1 n ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) 2 RMSE=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n{e_i^2}}{n}}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n{\text{(}y_i-\hat{y}_i}\text{)}^2} RMSE=ni=1nei2 =n1i=1n(yiy^i)2

    2 组合模型

    组合预测就是设法把不同的预测模型组合起来,综合利用各种预测方法所提供的信息,以适当的加权平均形式得出组合预测模型。

    虽然单项经济预测方法在经济预测中仍占据主导地位,但是各种单项预测模型都有自己的假设前提、特点和适用场合。

    例如

    • 经典线性回归模型要求变量之间线性关系显著,对于出现数据序列相关、异方差性、多重共线性等要进一步讨论。
    • 灰色系统模型虽然要求的数据序列较短,但是用于GM(1,1)建模的原始序列 X 0 X^0 X0 需要一定的前提条件:一是非负序列,二是等时距,同时生成数据序列满足指数规律。

    鉴于不同的单项预测模型利用的样本数据不尽相同,它们从不同的角度提供各个方面有用的信息,各有优点和缺点

    在得到多个独立预测模型的研究结果后,寻找既基于这些单项预测模型的结果,又能够博采众长,从而得到更好效果的组合预测模型

    单项预测模型

    2.1 模式一:线性组合模型

    预测的关键是建立合理的预测模型。不同的预测模型各有长处,通过对不同预测模型的线性组合可以得到效果更好的线性组合预测模型。

    形式如下:
    y ^ t = ω 1 y 1 ( t ) + ω 2 y 2 ( t ) + . . . + ω m y m ( t ) \hat{y}_t=\omega _1y_{1\left( t \right)}+\omega _2y_{2\left( t \right)}+...+\omega _my_{m\left( t \right)} y^t=ω1y1(t)+ω2y2(t)+...+ωmym(t)

    式中, i = 1 , 2 , ⋯   , m  ; t = 1 , 2 , ⋯   , n i=1,2,\cdots ,m\text{ ;}t=1,2,\cdots ,n i=1,2,,m t=1,2,,n

    • y ^ t \hat{y}_t y^t 为 t 时刻的组合预测值;

    • y i ( t ) y_{i(t)} yi(t) 为第 i 个预测模型在 t 时刻的预测值;

    • y ( t ) y_{(t)} y(t) 为一预测对象某个指标实际值序列

    • e i t = y ( t ) − y i ( t ) e_{it}=y_{\left( t \right)}-y_{i\left( t \right)} eit=y(t)yi(t) 第 i 个预测模型在第 t 时刻的预测误差;

    • e t = y ( t ) − y ^ t  , t = 1 , 2 , ⋯   , n e_t=y_{\left( t \right)}-\hat{y}_t\ \text{,}t=1,2,\cdots ,n et=y(t)y^t t=1,2,,n 在 t 时刻线性组合模型的预测误差;

    • W = ( ω 1 , ω 2 , ⋯   , ω m ) T W=\left( \omega _1,\omega _2,\cdots ,\omega _m \right) ^T W=(ω1,ω2,,ωm)T 为 m 个预测模型线性组合的加权系数,且满足 ω 1 + ω 2 + ⋯ + ω m = 1 \omega _1+\omega _2+\cdots +\omega _m=1 ω1+ω2++ωm=1 ω i ≥ 0 \omega _i\ge 0 ωi0


    线性组合预测模型的关键在于确定合理的权数 ω i \omega_i ωi,使得预测模型更加有效地提高预测精度。 一种合理的方法是可以依据误差平方和(SSE)最小原则来加以确定。

    S S E = ∑ t = 1 n e t 2 = ∑ t = 1 n ( ∑ i = 1 m ω i e i t ) 2 = W T E W SSE=\sum_{t=1}^n{e_{t}^{2}}=\sum_{t=1}^n{\left( \sum_{i=1}^m{\omega _ie_{it}} \right) ^2=W^TEW} SSE=t=1net2=t=1n(i=1mωieit)2=WTEW
    其中 E E E 为信息误差矩阵, E = ( e i t ) m × n ( e i t ) m × n T E=\left( e_{it} \right) _{m\times n}\left( e_{it} \right) _{m\times n}^T E=(eit)m×n(eit)m×nT,通过求解线性规划问题的最优解,得到最佳权系数 W 0 W_0 W0


    { min ⁡   S S E = W T E W s . t .   R m W = 1  , W ≥ 0 \left\{ \begin{array}{l} \min\text{\ }SSE=W^TEW\\ \\ s.t.\ R_mW=1\ \text{,}W\ge 0\\ \end{array} \right. min SSE=WTEWs.t. RmW=1 W0

    ⇒ W 0 = E − 1 R m T R m E − 1 R m T \Rightarrow W_0=\frac{E^{-1}R_{m}^{T}}{R_mE^{-1}R_{m}^{T}} W0=RmE1RmTE1RmT

    其中 R m R_m Rm 为元素全为 1 的 m 维行向量,并且保证的非负最优加权系数可使得线性组合模型有效地提高预测精度。

    例如,在参考文献中,已经得到每个单项模型的预测值
    在这里插入图片描述
    信息误差矩阵

    在这里插入图片描述
    16.2487 = (51.4-50.1)(51.4-50.1)+(44.7-48.01)(44.7-48.01)+…

    通过公式
    W 0 = E − 1 R m T R m E − 1 R m T W_0=\frac{E^{-1}R_{m}^{T}}{R_mE^{-1}R_{m}^{T}} W0=RmE1RmTE1RmT

    得到线性组合模型最优加权系数

    W 0 = ( 0.0323 , 0.4160 , 0.5517 ) T W_0=\left( 0.0323,0.4160,0.5517 \right) ^T W0=(0.0323,0.4160,0.5517)T
    从而得到线性组合模型

    在这里插入图片描述
    可以得到组合模型预测值

    如下表中组合模型第一个预测值

    51.37 = 0.032350.1+0.416049.73+0.5517*52.69

    在这里插入图片描述
    通过比较模型的相对误差,可以判断模型的预测精度。

    2.2 模式二:最优线性组合模型

    原理:利用样本期的实际值和各单项预测模型的拟合值,进行线性回归,然后利用线性回归模型,以原方案的预测值作为外生变量进行外推预测。

    最优线性组合模型的一般形式为:
    y t = a + b 1 y 1 t + . . . + b n y n t y_t=a+b_1y_{1t}+...+b_ny_{nt} yt=a+b1y1t+...+bnynt

    • y t y_t yt 为样本期实际值;
    • y 1 t , y 2 t , . . . , y n t y_{1t},y_{2t},...,y_{nt} y1t,y2t,...,ynt 为样本期n个不同模型得到的预测值。

    最优线性模型是广义的线性组合预测模型,其特点在于组合权数由线性回归得到。

    2.3 模式三:贝叶斯组合模型

    贝叶斯组合模型是线性组合模型的特例

    在 n 种单项预测模型中选择一种为主要方案,由这一方案得出的预测值为原预测值。然后,取其他 n-1 种预测方案在某一时点上的预测值分布的均值和方差,代入下面公式,就得到贝叶斯组合模型。

    Y ^ t + 1 = ( Y t + 1 / s y ,   t + 1 2 + Y ˉ t + 1 / s y ˉ ,   t + 1 2 ) / ( 1 s y ,   t + 1 2 + 1 s y ˉ ,   t + 1 2 ) \hat{Y}_{t+1}=\left( Y_{t+1}/s_{_{y,\,t+1}}^{2}+\bar{Y}_{t+1}/s_{_{\bar{y},\,t+1}}^{2} \right) /\left( \frac{1}{s_{_{y,\,t+1}}^{2}}+\frac{1}{s_{_{\bar{y},\,t+1}}^{2}} \right) Y^t+1=(Yt+1/sy,t+12+Yˉt+1/syˉ,t+12)/(sy,t+121+syˉ,t+121)

    • Y ^ t + 1 \hat{Y}_{t+1} Y^t+1 为贝叶斯组合预测值;

    • Y t + 1 Y_{t+1} Yt+1 为原预测值;

    • Y ˉ t + 1 \bar{Y}_{t+1} Yˉt+1 为其他 n-1 种预测值分布的均值;

    • s y ˉ ,   t + 1 2 s_{_{\bar{y},\,t+1}}^{2} syˉ,t+12 为其他 n-1 种预测值分布的方差;

    • s y ,   t + 1 2 s_{_{y,\,t+1}}^{2} sy,t+12 为原预测值的方差。


    参考文献:
    《线性组合预测模型及其应用》
    《统计预测与决策》

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    前言:

    对于一个线性方程组,我们可以通过画出每条方程所代表的曲线,所有曲线的交点就是该线性方程组的解。这种做法可以看做是对矩阵方程Ax = b 的行解法。如果从列的角度看,就是线性组合了。


    例如线性方程组:


    写成矩阵的形式就是:

      即 Ax = b


    行图像:

    首先我们画出方程2x-y=0和-x+2y=0分别代表的直线:


    很显然,我们可以看到该方程组的解是(1,2)。这种解法就是从A矩阵的行的角度来分析的。矩阵A每一行都可以画出一条直线,所有直线的交点就是方程组的解。


    列图像:

    现在我们从列的角度来分析。事实上,我们可以将上面的矩阵方程拆成下面这样:



    如何理解这个方程呢?

    我们可以把 ,  和  看成向量。所以这里想用这两个向量来制造出向量。如果从坐标中理解就是:



    可以看到,要制造出向量,需要1个 和 2个  ,也就是x = 1, y = 2。


    以前学习直角坐标系的时候,我们知道任意的二维向量都可以用 和  这两个基坐标来组合得到,这其实就是线性组合了。只不过现在我们把基坐标换成了,只要在二维平面内,都可以用这两个向量组合出任意的向量,在这里我们把这两个向量叫做基底。


    当然,要能够组合出任意的向量, 必须不在同一条直线上,这个从图上看很显然。


    对于n维向量也是同样的道理,只是比较抽象,没办法用坐标来表示。


    利用线性组合求解矩阵与向量的相乘:

    有了线性组合的这种想法,在解A*b这种结构的矩阵相乘时就可以利用线性组合的想法了。例如:



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    1.基向量
    在这里插入图片描述
    2.线性组合:两个数乘向量的和。
    在这里插入图片描述
    3.张成空间:所有可以表示为给定向量线性组合的向量的集合,被称为向量的张成空间。在二维平面上,(1)若给定的两个向量不在一条直线上,则他们的张成空间是整个平面;(2)若给定的向量在一条直线上,在他们的张成空间是一条直线;(3)若给定的两个向量都是零向量,则他们的张成空间是原点。
    在这里插入图片描述
    4.单个向量可以看作箭头,多个向量看作点。
    在这里插入图片描述
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    5.向量共线
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    6.三维空间中任取两个指向不同方向的向量,他们张成的空间是一个平面。
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    7.三个向量的线性组合
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    8.线性相关
    表述一:存在多个向量,并且可以移除其中一个而不减小张成空间,我们便称他们为“线性相关”。
    在这里插入图片描述
    表述二:存在多个向量,其中一个可以表述为其他向量的线性组合,我们便称他们为“线性相关”。
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    9.线性无关:如果所有向量都给张成空间增添了新的维度,则称他们是线性无关的。
    在这里插入图片描述
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  • 重温线性代数(1)——线性组合

    千次阅读 2014-07-11 22:39:51
    线性代数是数学中的基础,也是十分重要的数学

            线性代数是数学中的基础,也是十分重要的数学工具。在接触机器学习之后,我逐渐认识到了线性代数的重要性,矩阵运算,优化求解,都离不开线性代数的知识。同时,我也发现了自己数学基础的严重不足,急需好好重学一遍线性代数,为之后的学习打好基础。因此,“重温线性代数”这个系列就诞生了。或许大家会觉得这个系列的内容稍微基础了点,但学习就是如此,一遍又一遍,脚踏实地,温故知新,每次学习都会有新的收获。

            离开了大学的课堂,但还好现在有琳琅满目的网络公开课课程。我选择学习的是网上颇受赞赏的MIT "Introdution to Linear Algebra"课程,由Gilbert Strang主讲。参考书目为Strang编写的《Introduction to Linear Algebra》4th edition。目前为止,我觉得这门课给我提供了不少新的有趣的思路,是我之前学习线性代数的时候没有思考过的,值得一学。

    ——————————————————————————————————————————————————————————————————

            本文涉及的内容是课程视频的前5课,对应的是书中的前两章Introduction to Vectors 和 Solving Linear Equations。由于这两章的内容最为基础,我不会详细地介绍书的内容(我也没看),只是根据课程视频总结一些有趣的points。

            这一部分让我印象最深的有两点:

    1. 如何看待矩阵相乘AX:AX 可以看作矩阵A中列向量的组合(各列向量的组合权重即为x中各项的值);
    2. 如何看待消元法:消元法可以看作将矩阵A分解为 A = LU。
            以下慢慢道来。

    1、线性组合

           我们先来看以下一个简单的包含两个未知数,两个方程的方程组:

           

            该方程组可以通过矩阵表示:AX = b。其中  为系数矩阵,X为包含未知数的向量,b也是一个向量。
            我们可以有两种角度对这个方程组进行几何解释。第一种是按照行的角度来看(Row Picture),即逐个看方程组中的每个方程。对于二元方程组而言,很明显,每一个方程代表着一条直线,而两条直线的角点则是方程组的解。
           值得关注的是另一种解释方式,即以列向量的角度来看(Column Picture)。我们可以将方程组写成以下形式:

            
           
           可以清楚地看到,AX实际上将A中的两列按照x, y的权重进行组合,即AX is a combination of colums of A。因此,求解该方程组,即使在寻找一个合适的权重系数组合,使其组合结果等于右侧向量的值。若用向量图来表示则更加直观:



           线性组合是理解矩阵乘积的新思路,也是课程中老师一直在强调的内容,值得再三回味。

    2、置换、转置、逆

           置换(permutation)包括行变换和列变换。对于矩阵思路来说,行变换可以通过对矩阵A左乘一个置换矩阵实现,相对的,列变换可以通过对矩阵A右乘一个置换矩阵实现。置换矩阵P实际上就是一个行(列)重新排列的的单位阵,比如置换矩阵第一行和第三行的置换矩阵为:
             
            置换矩阵有以下有趣的性质:,即

            转置的定义相信大家十分清楚。所谓对称矩阵即是其转置等于其本身的矩阵。大家想想有什么方法可以快速得到一个对称矩阵呢?以下提供一种有趣的方法:矩阵  一定是一个对称矩阵,其证明也非常简单。

            如果有:,我们则说为矩阵A的逆矩阵。矩阵A的逆矩阵不一定存在,以下便是其中一种特殊情况:如果能够找到一个非零向量x使Ax = 0成立,则矩阵A不可逆。利用反证法,我们将等式两边同时左乘即证明该结论。

            求解一个可逆矩阵A的逆矩阵的基本方法是Gauss-Jordan方法,即将矩阵  通过消元法得到 ,则矩阵B则为矩阵A的逆矩阵。证明方法如下:

            设消元矩阵为E,则有

            因此 ,可得

            所以 。   证毕。

            一个小性质:

    3、消元法

           消元法是求解线性方程组的基本方法,通过消元得到一个上三角矩阵(对角线一下元素都为零)U,然后通过回代得到各个未知数的解。消元法的具体方法在此不再叙述,但这里我们用矩阵的思想重新解读一下消元法。

           需要注意的是,当使用消元法得到主元为零时(主元即对角线上的元素),消元法将会失效。在某些情况下,我们可以通过行交换消除这种主元为零的情况,这样消元法仍然是有效的。我们先考虑不需要进行行交换,消元法仍然有效的情况。

            消元法实际上就是在作行变换:

            

             然而实际上,我们有一种更加合理的方式对此进行理解,即将A进行分解得:

             

             其中L为下三角矩阵,U为上三角矩阵。结合以上两个式子,我们可以看到L其实是E的逆:。通俗的理解该等式,矩阵A可以通过消元得到的上三角阵U通过消元的逆操作L得到。

             使用L的好处是:消元时的乘数可以直接反映在L当中(multipliers go directly into L),我们举个例子来充分理解上述问题。我们对以下矩阵进行消元:

              

              按照常规方法,我们需要两步:1、用第二行减去3倍的第一行;2、用第三行减去2倍的第二行。得到上三角矩阵:

             

              采用矩阵的思路,我们可得消元矩阵分别为:

                                  

             而L矩阵则为:

               

             可见L中只反映了消元乘数3和2,比E更具有合理性。

             对于需要作行交换的情况,上述分解式即变为:,其中P为置换矩阵。

    4、小结

            本文的内容的确比较基础,也比较简单,但其中的两个重点还是值得玩味的。将矩阵乘法看作矩阵中向量的线性组合,既有着非常直观的几何意义,也揭露了矩阵运算的实质。而利用矩阵分解的思路解释消元法则能够用矩阵的思路对消元操作进行理解。接下来的一章将开始接触到线性代数的“核心”:向量空间和子空间,相信会有更多的收获和更深刻的理解,值得期待!
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  • 线性代数笔记【秩】

    千次阅读 2021-06-23 16:15:16
    向量组的线性相关性 线性方程组Ax=b又可以写成向量形式a1x1+a2x2⋯+anxn=ba_1x_1+a_2x_2\cdots+a_nx_n=ba1​x1​+a2...线性组合 对于向量组a1、a2、…an、b,若存在n个数k1、k2、…kn,使得b=k1x1+k2x2⋯+knxnb=k_1x_1
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  • R 实现线性判别分析教程

    千次阅读 2022-01-14 19:44:17
    本文介绍线性判别分析概念,并通过示例介绍R的实现过程。 介绍线性判别分析模型 线性判别分析用于基于一组变量把响应变量分为俩类或更多的算法。但线性判别算法对数据有一些要求: 响应变量必须是类别变量。线性...
  • 研究目的:研究人员对期望值模型中使用的线性补偿组合规则进行了批评,该规则广泛用于解释客户如何在满意度判断中整合属性级别的信息。 数据/方法:数据是从在线旅行社的客户那里收集的。 在通过电话与客户服务顾问...
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空空如也

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