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  • 前言: ...如果从列的角度看,就是线性组合了。 例如线性方程组: 写成矩阵的形式就是:  即 Ax = b 行图像: 首先我们画出方程2x-y=0和-x+2y=0分别代表的直线: 很显然,我们可以看到该方程

    前言:

    对于一个线性方程组,我们可以通过画出每条方程所代表的曲线,所有曲线的交点就是该线性方程组的解。这种做法可以看做是对矩阵方程Ax = b 的行解法。如果从列的角度看,就是线性组合了。


    例如线性方程组:


    写成矩阵的形式就是:

      即 Ax = b


    行图像:

    首先我们画出方程2x-y=0和-x+2y=0分别代表的直线:


    很显然,我们可以看到该方程组的解是(1,2)。这种解法就是从A矩阵的行的角度来分析的。矩阵A每一行都可以画出一条直线,所有直线的交点就是方程组的解。


    列图像:

    现在我们从列的角度来分析。事实上,我们可以将上面的矩阵方程拆成下面这样:



    如何理解这个方程呢?

    我们可以把 ,  和  看成向量。所以这里想用这两个向量来制造出向量。如果从坐标中理解就是:



    可以看到,要制造出向量,需要1个 和 2个  ,也就是x = 1, y = 2。


    以前学习直角坐标系的时候,我们知道任意的二维向量都可以用 和  这两个基坐标来组合得到,这其实就是线性组合了。只不过现在我们把基坐标换成了,只要在二维平面内,都可以用这两个向量组合出任意的向量,在这里我们把这两个向量叫做基底。


    当然,要能够组合出任意的向量, 必须不在同一条直线上,这个从图上看很显然。


    对于n维向量也是同样的道理,只是比较抽象,没办法用坐标来表示。


    利用线性组合求解矩阵与向量的相乘:

    有了线性组合的这种想法,在解A*b这种结构的矩阵相乘时就可以利用线性组合的想法了。例如:



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    1 测定预测精度的方法

    • 平均误差

    M E = ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) n ME=\frac{\sum\limits_{i=1}^n{\left( y_i-\hat{y}_i \right)}}{n} ME=ni=1n(yiy^i)

    • 平均绝对误差
      M A D = ∑ i = 1 n ∣ y i − y ^ i ∣ n MAD=\frac{\sum\limits_{i=1}^n{\left| y_i-\hat{y}_i \right|}}{n} MAD=ni=1nyiy^i

    • 平均相对误差
      M P E = 1 n ∑ i = 1 n y i − y ^ i y i MPE=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n{\frac{y_i-\hat{y}_i}{y_i}} MPE=n1i=1nyiyiy^i

    • 平均相对误差绝对值
      M A P E = 1 n ∑ i = 1 n ∣ y i − y ^ i y i ∣ MAPE=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n{\left| \frac{y_i-\hat{y}_i}{y_i} \right|} MAPE=n1i=1nyiyiy^i

    • 预测误差的方差(均方误差)
      均方误差MSE(Mean Squared Error)又被称为 L2范数损失 。
      M S E = ∑ i = 1 n e i 2 n = 1 n ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) 2 MSE=\frac{\sum\limits_{i=1}^n{e_i^2}}{n}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n{\text{(}y_i-\hat{y}_i}\text{)}^2 MSE=ni=1nei2=n1i=1n(yiy^i)2
      由于MSE与我们的目标变量的量纲不一致,为了保证量纲一致性,我们需要对MSE进行开方 。

    • 预测误差的标准差(均方根误差,又叫标准误差)

    R M S E = ∑ i = 1 n e i 2 n = 1 n ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) 2 RMSE=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n{e_i^2}}{n}}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n{\text{(}y_i-\hat{y}_i}\text{)}^2} RMSE=ni=1nei2 =n1i=1n(yiy^i)2

    2 组合模型

    组合预测就是设法把不同的预测模型组合起来,综合利用各种预测方法所提供的信息,以适当的加权平均形式得出组合预测模型。

    虽然单项经济预测方法在经济预测中仍占据主导地位,但是各种单项预测模型都有自己的假设前提、特点和适用场合。

    例如

    • 经典线性回归模型要求变量之间线性关系显著,对于出现数据序列相关、异方差性、多重共线性等要进一步讨论。
    • 灰色系统模型虽然要求的数据序列较短,但是用于GM(1,1)建模的原始序列 X 0 X^0 X0 需要一定的前提条件:一是非负序列,二是等时距,同时生成数据序列满足指数规律。

    鉴于不同的单项预测模型利用的样本数据不尽相同,它们从不同的角度提供各个方面有用的信息,各有优点和缺点

    在得到多个独立预测模型的研究结果后,寻找既基于这些单项预测模型的结果,又能够博采众长,从而得到更好效果的组合预测模型

    单项预测模型

    2.1 模式一:线性组合模型

    预测的关键是建立合理的预测模型。不同的预测模型各有长处,通过对不同预测模型的线性组合可以得到效果更好的线性组合预测模型。

    形式如下:
    y ^ t = ω 1 y 1 ( t ) + ω 2 y 2 ( t ) + . . . + ω m y m ( t ) \hat{y}_t=\omega _1y_{1\left( t \right)}+\omega _2y_{2\left( t \right)}+...+\omega _my_{m\left( t \right)} y^t=ω1y1(t)+ω2y2(t)+...+ωmym(t)

    式中, i = 1 , 2 , ⋯   , m  ; t = 1 , 2 , ⋯   , n i=1,2,\cdots ,m\text{ ;}t=1,2,\cdots ,n i=1,2,,m t=1,2,,n

    • y ^ t \hat{y}_t y^t 为 t 时刻的组合预测值;

    • y i ( t ) y_{i(t)} yi(t) 为第 i 个预测模型在 t 时刻的预测值;

    • y ( t ) y_{(t)} y(t) 为一预测对象某个指标实际值序列

    • e i t = y ( t ) − y i ( t ) e_{it}=y_{\left( t \right)}-y_{i\left( t \right)} eit=y(t)yi(t) 第 i 个预测模型在第 t 时刻的预测误差;

    • e t = y ( t ) − y ^ t  , t = 1 , 2 , ⋯   , n e_t=y_{\left( t \right)}-\hat{y}_t\ \text{,}t=1,2,\cdots ,n et=y(t)y^t t=1,2,,n 在 t 时刻线性组合模型的预测误差;

    • W = ( ω 1 , ω 2 , ⋯   , ω m ) T W=\left( \omega _1,\omega _2,\cdots ,\omega _m \right) ^T W=(ω1,ω2,,ωm)T 为 m 个预测模型线性组合的加权系数,且满足 ω 1 + ω 2 + ⋯ + ω m = 1 \omega _1+\omega _2+\cdots +\omega _m=1 ω1+ω2++ωm=1 ω i ≥ 0 \omega _i\ge 0 ωi0


    线性组合预测模型的关键在于确定合理的权数 ω i \omega_i ωi,使得预测模型更加有效地提高预测精度。 一种合理的方法是可以依据误差平方和(SSE)最小原则来加以确定。

    S S E = ∑ t = 1 n e t 2 = ∑ t = 1 n ( ∑ i = 1 m ω i e i t ) 2 = W T E W SSE=\sum_{t=1}^n{e_{t}^{2}}=\sum_{t=1}^n{\left( \sum_{i=1}^m{\omega _ie_{it}} \right) ^2=W^TEW} SSE=t=1net2=t=1n(i=1mωieit)2=WTEW
    其中 E E E 为信息误差矩阵, E = ( e i t ) m × n ( e i t ) m × n T E=\left( e_{it} \right) _{m\times n}\left( e_{it} \right) _{m\times n}^T E=(eit)m×n(eit)m×nT,通过求解线性规划问题的最优解,得到最佳权系数 W 0 W_0 W0


    { min ⁡   S S E = W T E W s . t .   R m W = 1  , W ≥ 0 \left\{ \begin{array}{l} \min\text{\ }SSE=W^TEW\\ \\ s.t.\ R_mW=1\ \text{,}W\ge 0\\ \end{array} \right. min SSE=WTEWs.t. RmW=1 W0

    ⇒ W 0 = E − 1 R m T R m E − 1 R m T \Rightarrow W_0=\frac{E^{-1}R_{m}^{T}}{R_mE^{-1}R_{m}^{T}} W0=RmE1RmTE1RmT

    其中 R m R_m Rm 为元素全为 1 的 m 维行向量,并且保证的非负最优加权系数可使得线性组合模型有效地提高预测精度。

    例如,在参考文献中,已经得到每个单项模型的预测值
    在这里插入图片描述
    信息误差矩阵

    在这里插入图片描述
    16.2487 = (51.4-50.1)(51.4-50.1)+(44.7-48.01)(44.7-48.01)+…

    通过公式
    W 0 = E − 1 R m T R m E − 1 R m T W_0=\frac{E^{-1}R_{m}^{T}}{R_mE^{-1}R_{m}^{T}} W0=RmE1RmTE1RmT

    得到线性组合模型最优加权系数

    W 0 = ( 0.0323 , 0.4160 , 0.5517 ) T W_0=\left( 0.0323,0.4160,0.5517 \right) ^T W0=(0.0323,0.4160,0.5517)T
    从而得到线性组合模型

    在这里插入图片描述
    可以得到组合模型预测值

    如下表中组合模型第一个预测值

    51.37 = 0.032350.1+0.416049.73+0.5517*52.69

    在这里插入图片描述
    通过比较模型的相对误差,可以判断模型的预测精度。

    2.2 模式二:最优线性组合模型

    原理:利用样本期的实际值和各单项预测模型的拟合值,进行线性回归,然后利用线性回归模型,以原方案的预测值作为外生变量进行外推预测。

    最优线性组合模型的一般形式为:
    y t = a + b 1 y 1 t + . . . + b n y n t y_t=a+b_1y_{1t}+...+b_ny_{nt} yt=a+b1y1t+...+bnynt

    • y t y_t yt 为样本期实际值;
    • y 1 t , y 2 t , . . . , y n t y_{1t},y_{2t},...,y_{nt} y1t,y2t,...,ynt 为样本期n个不同模型得到的预测值。

    最优线性模型是广义的线性组合预测模型,其特点在于组合权数由线性回归得到。

    2.3 模式三:贝叶斯组合模型

    贝叶斯组合模型是线性组合模型的特例

    在 n 种单项预测模型中选择一种为主要方案,由这一方案得出的预测值为原预测值。然后,取其他 n-1 种预测方案在某一时点上的预测值分布的均值和方差,代入下面公式,就得到贝叶斯组合模型。

    Y ^ t + 1 = ( Y t + 1 / s y ,   t + 1 2 + Y ˉ t + 1 / s y ˉ ,   t + 1 2 ) / ( 1 s y ,   t + 1 2 + 1 s y ˉ ,   t + 1 2 ) \hat{Y}_{t+1}=\left( Y_{t+1}/s_{_{y,\,t+1}}^{2}+\bar{Y}_{t+1}/s_{_{\bar{y},\,t+1}}^{2} \right) /\left( \frac{1}{s_{_{y,\,t+1}}^{2}}+\frac{1}{s_{_{\bar{y},\,t+1}}^{2}} \right) Y^t+1=(Yt+1/sy,t+12+Yˉt+1/syˉ,t+12)/(sy,t+121+syˉ,t+121)

    • Y ^ t + 1 \hat{Y}_{t+1} Y^t+1 为贝叶斯组合预测值;

    • Y t + 1 Y_{t+1} Yt+1 为原预测值;

    • Y ˉ t + 1 \bar{Y}_{t+1} Yˉt+1 为其他 n-1 种预测值分布的均值;

    • s y ˉ ,   t + 1 2 s_{_{\bar{y},\,t+1}}^{2} syˉ,t+12 为其他 n-1 种预测值分布的方差;

    • s y ,   t + 1 2 s_{_{y,\,t+1}}^{2} sy,t+12 为原预测值的方差。


    参考文献:
    《线性组合预测模型及其应用》
    《统计预测与决策》

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  • 本文是视频“线性代数的本质”的学习笔记,本小节主要包括内容“00. 序言”、“01. 向量究竟是什么”、“02. 线性组合、张成的空间与基”“03. 矩阵与线性变换”

      本文主要内容为《线性代数的本质》学习笔记,内容和图片主要参考 学习视频 ,感谢3Blue1Brown对于本视频翻译的辛苦付出。有的时候跟不上字幕,所有在这里有些内容参考了此篇博客。在这里我主要记录下自己觉得重要的内容以及一些相关的想法,希望能与大家多多交流~
      本节内容对应视频的“00. 序言”、“01. 向量究竟是什么”、“02. 线性组合、张成的空间与基”和“03. 矩阵与线性变换”这四节的内容。

    0. 序言

      线性代数具有代数含义和几何含义两个方面。代数含义学过线性代数的大家都很清楚,但是几何水平上的理解能够让你判断出解决特定问题需要用什么样的工具,感受它们为什么有用以及如何解读最终结果,也就是所谓线性代数的本质。

    1. 向量究竟是什么

      不同的专业对于向量有着不同的理解,如图1 所示


    图1. 理解向量的三个方面

    图1 中从左向右依次为,物理专业:向量是空间中的箭头,由长度和方向决定。可以自由移动;数学专业:向量可以是任何东西,只保证向量加法和数乘运算有意义;计算机专业:向量是有序的数字列表,起始点在原点上。

      实际上可以用计算机专业的方式对对物理专业的表达方式进行解释,数字列表中上面表示沿着X轴走了多远,下面表示沿着y轴走了多远,每一对数与一个向量一一对应。所以向量的加法,向量的移动,可以看做数轴上加法的拓展;向量的数乘,对向量进行拉伸或者压缩,称为缩放。

    2. 线性组合、张成的空间与基

      在空间中选取一对特殊的向量 i,j 作为空间的基,将每个坐标看做标量,表示如何拉伸或者压缩一个向量。

      如下图所示,当你思考一个向量的时候,使用物理的那种带箭头的方式;当考虑多个向量的时候,就把他们都看作点。


    图 2 用箭头表示向量与用点来表示向量

    这样可以不用考虑箭头,而只需要考虑一个无限大的平面,如下图所示


    图3. 实际需要考虑的二维空间的表达形式

      所有可以表示为给定向量线性组合的向量集合被称为给定向量张成的空间。对于大部分的二维向量,它们张成的空间是所有二维向量的集合,当它们共线时,张成的空间就是终点落在一条直线上的向量的集合。因为线性代数紧紧围绕着向量加法和数乘,所以实际上向量的张成问题是在考虑仅通过向量加法和数乘这两种基础运算,你能获得的所有可能向量集合是什么。

      两个向量在三维空间中往往构成的是一个平面,有的时候也可能是一个直线。三个向量一般在三维空间中张成了整个三维空间,可以想象一下,两个向量已经张成了一个平面,而平面沿着第三个向量进行平移,张成了整个三维空间。新增的向量如果落在了原有向量张成的空间中,那么这个向量与原先的向量是线性相关的;另一方面如果所有向量都给张成的空间增添了新的维度,它们就是线性无关的。

      空间的一组基的严格定义是这样的:张成该空间的一个线性无关的向量的组合。

    3. 矩阵与线性变换

      解析“线性变换”这一术语。“变换”实际上就是函数,它接受输入内容并输出对应结果,而在线性变换中输入的是向量,输出的也是一个向量,这中间的这个函数就是变换矩阵。

      从几何的角度考虑,线性变换必须满足两点要求,首先变换前后直线依旧是直线,其次原点保持不变。值得注意的是不仅仅要考虑水平与竖直的直线变换前后是否依旧是直线,还要考虑对角线的不是水平的线。如下图所示


    图3. 一种线性变换



    图4. 三种非线性变换

    从上面的四幅图可以看出,线性变换应该是一种保持网格平行且等距分布的变换。网格平行且等距分布的性质有一个重要的推论就是,某一个向量在变换前后基向量的的系数不变,也就是说线性变换只是对基进行变换,而不是基的系数。所以如何用数值描述线性变换:实际上只需要记录两个基向量变换前后的位置即可。如下图所示,为将向量进行某一个角度的旋转之后,求旋转后向量。

    这里写图片描述

    通过上述内容我们知道,对向量进行旋转(一种线性变换)实际上是对基向量进行旋转,而基向量的系数不变。这里我们假设未旋转向量的坐标为 [ab] ,明显可以看出直角坐标系下的基 [10] 旋转为 [cosθsinθ] ,基 [01] 旋转为 [sinθcosθ] ,所以这一过程可以表示为

    a[cosθsinθ]+b[sinθcosθ]=[cosθsinθsinθcosθ][ab]=[ab]

      所以从上式可以看到在原始向量左乘一个变换矩阵就可以得到变换后的向量坐标,注意原始向量是列向量,变换矩阵的每一列代表着变换后基向量的坐标,且变换矩阵每一列中从上到下代表坐标的次序与原始向量中的次序相同。

      总之,线性变换是一种操纵空间的手段,它保持网格线平行且等距分布,并且保持原点不变。且这种线性变换只需要找到变换之后的基就可以轻松得到,以这些坐标为列构成的矩阵为我们提供了一种描述线性变换的语言,而矩阵与向量的乘法就是计算线性变换作用于给定向量的一种途径。因此每当你看到一个矩阵,你都可以把它解读为对空间的一种特定变换。

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    本文是对BiliBili上的一个系列视频的学习记录,非常推荐大家去B站上观看,记得三连,不要白嫖,链接:https://www.bilibili.com/video/av6731067/?p=2

    上文中说到,向量坐标中的数字,可视为对基向量的拉伸或压缩,同样也说到,可以选择不同的基向量,构建完全合理的坐标系:

    通过选择两个标量 ,分别用于缩放二者的其中之一,然后相加,我们会得到不同的结果,通过改变这两个标量,我们可以得到哪些二维向量?

    由上图,可以明显知道,我们可以得到所有二维空间中的向量。当我们用数字描述向量时,都依赖于我们正在使用的基。

    两个数乘向量的和称为这两个向量的线性组合:

                                        x_{1}V+x_{2}W=x_{1}\begin{bmatrix} v_{1}\\ v_{2} \end{bmatrix}+x_{2}\begin{bmatrix} w_{1}\\ w_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} v_{1} &w_{1} \\ v_{2} &w_{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_{1}v_{1}+x_{2}w_{1}\\ x_{1}v_{2}+x_{2}w_{2} \end{bmatrix}

     在选择不同的向量,来作为新坐标系时,有三种情况:

    一:一般情况

    二:向量共线

     这两个初始向量所产生的向量,被限制在一条过原点的直线上

    三:两个向量都是零向量

    被限制在原点

     

    所有可以表示为给定向量线性组合的向量的集合,被称为给定向量张成的空间(span)

    对大部分二维向量来说,它们张成的空间是所有二维向量的集合,但当共线时,它们的张成空间就是,终点落在一条直线上的向量的集合。

    如果我们用向量加法和向量数乘来描述张成空间,应该是:仅通过向量加法和向量数乘这两种基础运算,所能获得的所有可能向量的集合

    因为向量加法和向量数乘都是线性运算,所以张成空间由可以描述为:向量的所有线性组合构成它们的张成空间

     

    当我们考虑三维空间时,张成空间这个概念变得有趣了:

    两个三维空间中的向量张成的空间,是三维空间中的一个过原点的平面,当我们再添加一个向量,如果这个向量与前两个向量共面,那么张成空间没有变化,如果不共面,张成空间就是整个三维空间。

    从而,引出,基的严格定义:

    向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集

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    向量空间又称线性空间,是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后,使许多问题的处理变得更为简洁和清晰,在... 线性组合(liner combinations)这个概念曾经被多次提到,如果v1,v2…vn是...
  • 用遗传算法求解非线性问题是常见的求解算法之一,求解的过程就是随机生成解,计算适应度,然后选择,交叉,变异,更新种群,不断迭代,这样,每个个体都会向每代中最佳的个体学习并靠拢,这是局部最优解;...
  • 线性回归模型总结

    千次阅读 2019-06-10 22:24:59
    线性模型(Linear model)主要是想通过属性学得一个线性组合来预测函数。一般表示为: f(x)=w1x1+w2x2+⋯+wnxn+d f(x) = w_1x_1 + w_2x_2 + \dots + w_nx_n +d f(x)=w1​x1​+w2​x2​+⋯+wn​xn​+d 向量形式为: f(x...
  • 线性分组码

    万次阅读 多人点赞 2019-03-31 19:09:13
    线性码中信息位和监督位是由一些线性代数方程联系着的,或者说线性码使按照一组线性方程构成的。汉明码是一种能够纠正一位错码并且编码效率较高的线性分组码。下面将介绍汉明码的构造原理。 汉明码的构造原理 ...
  • 引入一些判断向量关系的方法,例如通过观察法来判定两个向量之间的关系,并从几何的角度去理解这种关系,接着研究了两个或多个向量彼此之间的关系,并引入了一些新的定理,用来判定向量集合的相关关系,例如从线性...

空空如也

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如何判断线性组合