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  • 2021-04-02 08:51:15

    数据来源:百度知道 pijon 2018.11.06
    https://zhidao.baidu.com/question/269807637063276525.html
    百度百科 https://baike.baidu.com/item/%E8%87%AA%E7%94%B1%E5%BA%A6/13237415
    知乎:黄豆豆
    自由度的概念是从解析几何中导出的:在一根轴上确定一个点的位置需要一个坐标,在一个面上需要两个坐标,在三维空间中需要三个坐标,这种数学上的确定点位置的独立坐标的最低个数在对应的物理问题中就是质点的自由度。对于质点,空间中最少需要三个坐标,也就是自由度为三。

    对于刚体,由于不再是一个质点,三维问题中在质心位置不变的情形下可能处于不同的状态,这种状态称为姿态,这种姿态也需要用三个坐标来表示。对于刚体需要确定其姿态及位置,在三维中姿态坐标与位置坐标各三个,一共六个坐标,也就是说空间刚体问题是有六个自由度。位置坐标可以是刚体上任意一点的三个空间坐标,用来描述刚体的平动;姿态坐标用于描述转动,常用的选取方案包括:欧拉角、罗德里格斯角、欧拉参数。

    振动一般指某个坐标在其平衡位置处的振荡,物理上称为往复运动,由于在具体的问题中某些坐标并不能处于固定的平衡位置处(例如一滑块处于一绝对光滑的水平平面上,处处都是平衡位置,但平衡置不是一个固定的点)因此不会产生往复运动,所以对于刚体一般产生振动的坐标个数少于原问题的坐标个数。

    对于柔性体,自由度为无穷。
    (自由度:确定物体的位置所需要的独立坐标数称作物体的自由度。 空间自由刚体有6个自由度,分别是X、Y、Z直线方向上的3个自由度,和分别绕X、Y、Z轴转动的3个旋转自由度
    在确定的曲线上运动的质点自由度为1,在确定的曲面上运动的质点自由度为2,在三维空间可自由运动的质点自由度为3,自由刚体的自由度为6。
    对于机械而言,我们多需要它有确定的运动轨迹,所以其自由为1.
    在平面内沿直线作纯滚动的轮有2个自由度,一个是所沿直线方向的自由度,一个是纯滚动时绕轮轴轴线的转动自由度。
    水平面运动的球,有5个自由度,分别是X、Y轴方向的2个直线方向的自由度,和3个绕X、Y、Z座标轴的转动自由度。)

    和选取坐标系的关系?
    自由度是指物理学当中描述一个物理状态,独立对物理状态结果产生影响的变量的数量

    如运动自由度是确定一个系统在空间中的位置所需要的最小坐标数。例如火车车厢沿铁轨的运动,只需从某一起点站沿铁轨量出路程,就可完全确定车厢所在的位置,即其位置用一个量就可确定,我们说火车车厢的运动有一个自由度;汽车能在地面上到处运动,自由程度比火车大些,需要用两个量(例如直角坐标x,y)才能确定其位置,我们说汽车的运动有两个自由度;飞机能在空中完全自由地运动,需要用三个量(例如直角坐标x,y,z)才能确定其位置,我们说飞机在空中的运动有三个自由度。所谓自由度数就是确定物体在空间的位置所需独立坐标的数目。

    [1] 哈工大理论力学教研室.理论力学.高等教育出版社,2002
    [2] 物理化学天大五版课件第九章.道客巴巴.2015-02-17 [引用日期2018-02-22]
    [3] 简明物理化学 作  者:朱文涛,王军民,陈琳 著 出 版 社:清华大学出版社

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  • 摘自(9 条消息)人的手臂有几个自由度? - 知乎https://www.zhihu.com/question/36475827/answer/77655656人的手臂有7个自由度:首先介绍一个定理:6个自由度的机械手,在空间中无法在保持末端机构的三维位置不变的...

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    摘自(9 条消息)人的手臂有几个自由度? - 知乎

    https://www.zhihu.com/question/36475827/answer/77655656


    人的手臂有7个自由度:



    首先介绍一个定理:
    6个自由度的机械手,在空间中无法在保持末端机构的三维位置不变的情况下从一个构型变换到另一个构型。

    这个定理乍一看很不好理解,可以考虑一个更简单的情况:


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  • 统计学中自由度的理解和应用

    千次阅读 2020-12-30 18:46:50
    下面引入一些数理统计中的术语:抽样、抽样分布、总体与样本、统计量、自由度、几个常用的分布、正态总体统计量的分布……但是大多数数理统计教材中介绍自由度时,往往一笔带过,没有给出明确的定义或足够的解释,...

    数理统计研究问题的方式,不是对所研究对象的全体(称为总体)进行观察,而是抽取其中的部分(称为样本)进行观察获得数据(抽样),并通过这些数据对总体进行推断。数理统计方法具有“部分推断整体”的特征。

    下面引入一些数理统计中的术语:抽样、抽样分布、总体与样本、统计量、自由度、几个常用的分布、正态总体统计量的分布……但是大多数数理统计教材中介绍自由度时,往往一笔带过,没有给出明确的定义或足够的解释,增加了自由度理解学习具有的难度,尢其对于初学者来说,自由度就像一个黑箱子,难以捉摸。

    数学中的自由度一般是指能够自由取值的变量个数。数理统计中的自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时,样本中独立或能自由变化的数据的个数,自由度通常记为df。数理统计上的这个定义可以从如下几个方面来理解:

    第一,“统计量”(如样本数据的平均数X、样本数据的标准差)是研究者通过调查样本的数据人为地计算出来的,而“参数”(如总体均值μ、总体标准差δ)是被调查的总体所客观存在的,这是两者的区别。在统计学的理论层面上,要求或者假定统计量是参数的无偏估计,认为二者是相等的(在实际研究中,由于抽样的偏差,可能导致两者不相等,但对于这种情况,研究者是无法知道的,知道就没有抽样调查的必要了)。在理论假设下,统计量也就和参数一样被看作是客观的、确定的。

    第二,既然在理论上统计量被要求是确定的,那么在实际层面上,计算统计量的那组数据就 不是完全自由的。这一点很重要,因为自由度中“自由”的含义就是相对这个“确定”条件而言的。正是统计量的这种“确定性”限制了与之相关的一组数据的自由度,也就是说,一组数据不是可以完全自由取值的,它必须支持“统计量与总体参数相等”的理论假设。这就是自由度存在的理由。

    有必要举例来进一步说明“独立或能自由变化的数据”的含义。在心理、社会等领域的测量或者调查过程中,研究者设置了一些变量(如智商、收入等),这些变量是随机变量。所谓随机变量是指,在调查总体中,变量的取值范围及其所对应的频次(两者合起来称为变量的分布)是确定的,但在一次具体的抽样调查中,变量的取值及其所对应的频次则是不确定的,但在大样本的抽样调查中,变量的分布又是能体现总体的特征和规律的。

    例如:研究者在调查某个城市在岗职女工的平均收入时,从总体40000万人中,研究者随机抽取了200人进行调查。在这个例子中,总体40000个在岗女工的收入的平均数是总体参数,是客观的、确定的,尽管研究者不知道。通过随机抽样和问卷调查,研究者获得了200人的收入的数据。运用这组数据可以算出样本的平均数,它是统计量。由于在理论上要求统计量与参数相等,所以这200个数据中只有199个数据可以“自由”变动,所以,这组数据在求平均数这个统计量时的自由度就是:K=200-1=199。

    第三,在上面的例子中,研究者只抽了一个200人的样本,而在实际层面,这200人的收入是确定的,因为每个被调查者只有一个确定的收入。既然这样,“199个数据可以自由变动”是什么意思呢?

    这需要回到理论上去回答。在理论上,从20000人中随机抽取200人有种抽取方法,也就是说,在理论上研究者可以得到个不同的、样本容量均为200人的样本,这个数据量是很大的(没有必要确切知道它的值)。这样,在理论上就存在很多组调查数据(虽然研究者确实只调查了一个200人的样本,也只获得了一组数据),每组都有200个数据。每组数据在理论上都有对应的统计量,正是这些统计量的分布,构成了统计学中所说的抽样分布,它是基础统计学的核心内容。所以,仅仅在理论上,这200个数据中的199个数据是可以随不同样本而变化的、自由的。当然,话说回来,这种自由并非是绝对的,它们也只能在总体的取值范围内变动,例如,关于“收入”这个变量的取值就不可能为负值。

    众所周知,很多统计量的计算公式中都有自由度的概念,可为什么同样是计算标准差,总体标准差的自由度是n,而样本标准差的自由度就是n-1?为什么其它公式中的自由度还有n-2、n-3呢?它到底是什么含意?

    在统计模型中,自由度指样本中可以自由变动的变量的个数,当有约束条件时,自由度减少 自由度计算公式:自由度=样本个数-样本数据受约束条件的个数,即df=n-k(df自由度,n样本个数,k约束条件个数),n-1是通常的计算方法,更准确的讲应该是n-k,n表示“处理”的数量,k表示实际需要计算的参数的数量。如需要计算2个参数,则数据里只有n-2个数据可以自由变化。例如,一组数据,平均数一定,则这组数据有n-1个数据可以自由变化;如一组数据平均数一定,标准差也一定,则有n-2个数据可以自由变化。

    第四,自由度是谁的?从前面的分析中可以知道,自由度产生于这样的背景下:运用一组数据来求“统计量”。离开“一组数据”就不可能有“统计量”,不计算“统计量”,“一组数据”就失去了科学的价值。所以,“自由度”应该是“统计量”和“一组数据”所共同拥有的。当然,为了方便,我们说“统计量的自由度”或者“一组数据的自由度”也都是可以接受的。

    第五,统计学上的自由度包括两方面的内容:

    首先,在估计总体的平均数时,由于样本中的n个数都是相互独立的,从其中抽出任何一个数都不影响其他数据,所以其自由度为n。

    在估计总体的方差时,使用的是离差平方和。只要n-1个数的离差平方和确定了,方差也就确定了;因为在均值确定后,如果知道了其中n-1个数的值,第n个数的值也就确定了。这里,均值就相当于一个限制条件,由于加了这个限制条件,估计总体方差的自由度为n-1。例如,有一个有4个数据(n=4)的样本, 其平均值m等于5,即受到m=5的条件限制,在自由确定4、2、5三个数据后, 第四个数据只能是9,否则m≠5。因而这里的自由度υ=n-1=4-1=3。推而广之,任何统计量的自由度υ=n-限制条件的个数。

    其次,统计模型的自由度等于可自由取值的自变量的个数。如在回归方程中,如果共有p个参数需要估计,则其中包括了p-1个自变量(与截距对应的自变量是常量1)。因此该回归方程的自由度为p-1。

    在一个包含n个个体的总体中,平均数为m。知道了n-1个个体时,剩下的一个个体不可以随意变化。为什么总体方差计算,是除以n而不是n-1呢?方差是实际值与期望值之差平方的期望值,所以知道总体个数n时方差应除以n,除以n-1时是方差的一个无偏估计。

    上述从不同角度对自由度的概念与定义进行了阐述,我们认为,在统计学上,自由度是建立在统计量之上的概念,它是统计量的数学特征。至此,我们可以给出数理统计中自由度的科学定义:自由度是指在一组样本数据中,能够自由取值且不违反给定约束条件的样本数值的个数。这样,我们就较科学地将实际样本容量和自由度区别开来。

    下面将进一步举例说明自由度在不同方面的应用。

    一、样本方差的自由度

    许多教科书在列出样本方差的计算公式时都没有说分子n-1(n为样本容量)就是自由度,也很少解释清楚为什么是除以n-1而不是n。假设一个容量为10的样本,如果没有其他关于该样本的信息或约束的话,任意从总体中抽取的10个观察值都可以形成这样的样本。也就是说,这10个观察值可以任意地被从总体中抽取的其他观察值所取代。当我们想要计算样本方差时,必须先算出样本均值

    ,设

    =35。此时,这10个观察值就不能任意地被总体中抽取的其他观察值所取代了。因为n

    =350,10个观察值的总和必须等于350。这样一来,样本中只有9个观察值可以随意改变,因为如果任意9个观察值确定了,第10个观察值也被这9个值确定了。因此在计算样本方差时自由度等于9。有效样本容量被减少为n-1,在此基础上,我们可以很好地理解为什么作为均方差的样本方差计算时,要用自由度来平均而非用n平均。这也说明了如果从样本数据中估计了一个总体参数,自由度就会减少一个。因为样本方差的自由度为n-1,所以在比较两个独立总体的均值大小的t检验中,合并方差的自由度等于n1+n2-2=(n1-1)+(n2-1);在比较两个独立总体的方差大小的F检验中,F统计量的自由度为(n1-1,n2-1),其中n1,n2分别为两个样本的容量。

    二、独立性检验中的自由度

    在独立性的卡方检验中,列联表是必不可少的。 我们运用列联表来说明其中自由度的思想。见表1,一张2×3的列联表,它的行和与列和已经给定了。如果不能给出更多的频数,这张表是有空缺的。如果填入一个频数,如(n2,m2)=45,另一个频数(n1,m2)就可以被确定(n1,m2)=45。倘若再给出一个频数,那么整个列联表就填列完整了。如令(n1,m1)=15,则(n2,m1)=5,(n2,m3)=20,(n1,m3)=20。对于2行3列的列联表,只要给出2个独立的必要的信息,我们就可以确定整张表的信息内容。也就是说列联表有(r-1)(c-1)=(2-1)(3-1)=2个自由度。可以想象,一张r行c列的列联表,在各行和与列和给定的情况下,我们只要填上任意(r-1)行(c-1)列的频数,表中其他的频数也会随之确定下来,所以列联表有(r-1)(c-1)个自由度。

    总之,数理统计中的自由度对于整个统计学而言是一个很重要的概念,它在抽样分布和假设检验中的作用尤其突出。统计量的自由度和检验该统计量是否显著的临界值之间的对应关系,从而为判断是否显著提供了一定的标准。全面地认识理解数理统计中自由度的含义和应用方向,对理解和在实际中应用数理统计学具有至关重要的作用。

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  • 自由度(degree of freedom)

    千次阅读 2021-06-24 18:17:05
    自由度(degree of freedom)1. 刚体的自由度2. 运动副与关节3. 机器人的自由度4. 机器人的自由度 Reference: 物理中自由度怎么理解?平动,转动,振动的自由度,还有刚体的自由度? 你真的懂这是几轴吗?还是先从...

    Reference:

    1. 物理中自由度怎么理解?平动,转动,振动的自由度,还有刚体的自由度?
    2. 你真的懂这是几轴吗?还是先从自由度学起吧,一篇文章全搞懂

    自由度的概念是从解析几何中导出的:在一根轴上确定一个点的位置需要一个坐标,在一个面上需要两个坐标,在三维空间中需要三个坐标,这种数学上的确定点位置的独立坐标的最低个数在对应的物理问题中就是质点的自由度。对于质点,空间中最少需要三个坐标,也就是自由度为三。

    对于刚体,由于不再是一个质点,三维问题中在质心位置不变的情形下可能处于不同的状态,这种状态称为姿态,这种姿态也需要用三个坐标来表示。对于刚体需要确定其姿态及位置,在三维中姿态坐标与位置坐标各三个,一共六个坐标,也就是说空间刚体问题是有六个自由度。位置坐标可以是刚体上任意一点的三个空间坐标,用来描述刚体的平动;姿态坐标用于描述转动,常用的选取方案包括:欧拉角、罗德里格斯角、欧拉参数。

    对于柔性体,自由度为无穷。

    1. 刚体的自由度

    自由度指物体能够对坐标系进行独立运动的数目,物体所能进行的运动如下图:

    在这里插入图片描述一个物体可以相对于坐标系,进行三个平移和三个旋转运动,即一个简单的物体有六个自由度

    如一个刚体只能上下移动且不能旋转,那么就只有一个自由度。

    2. 运动副与关节

    运动副是两构件直接接触并能产生相对运动的活动联接。运动副引入约束进而限制6个自由度中的某些自由度。在机器人学中,运动副也成为机器人的关节。

    在这里插入图片描述上图中列举了一些简单的运动副,按由上及下,由左及右的顺序依次为移动副、转动副、螺旋副、凸轮和球铰。移动副限制了一个方向移动的所有自由度,因而它只剩下一个自由度;转动副限制了一个方向转动以外的所有自由度,它也只剩下一个自由度;最后一个球铰引入3个约束,限制了所有方向的移动,因而只具有 x x x y y y z z z 轴方向的转动,即3个自由度。

    3. 机器人的自由度

    机器人的自由度是指机器人所具有的独立坐标轴运动的数目,但一般不包括手部(末端操作器)的开合自由度(开合本身就没有自由度吧)。自由度表示了机器人动作灵活的尺度,但也不是自由度越多越好。因为随着自由度的增加,其结构也会变得更加复杂。

    在这里插入图片描述

    上图中,展示了一个简单的机械结构的动作图,关于它的自由度数,我们可以通过下图来计算。因而可以得出,这是一个简单的3自由度的机械臂。(动图中看着像两个,没有显示最底下那个轴的转动)

    在这里插入图片描述

    4. 机器人自由度的诠释

    和电路一样,机器人的自由度也有串并联之分,它们之间的区别在哪呢?举一个简单的例子,串联机器人像是我们用一只手拿起一个东西,并联机器人就相当于两个手一起端一个东西。从我们生活经验来看(读者们可以自己端个杯子试试),并联机器人具有刚度大、承载能力强、精度高、末端件惯性小等优点,串联机器人具有结构简单、控制简单、运动空间大等优点。

    而关于机器人自由度的完美诠释,我们举两个例子。

    • 串联机器人–7自由度机械臂

    一般来讲,由之前我们所讲的刚体的自由度来看,6自由度的机械臂已经足够确定末端物体的位姿,那为什么还要增加一个冗余自由度呢?先看一个有趣的例子。
    在这里插入图片描述
    上图为人的手臂自由度剖析图,除去末端手指的自由自由度,这恰好也是7个自由度。如果我们把上图分解为一个个转动副的关节,便可以得到下面的数学模型:
    在这里插入图片描述
    那么为什么上帝多为我们的手臂创造了七个自由度而不是六个呢?关于它的答案有特别学术的解释:改善运动学特性(奇异构型、关节位移超限、工作环境中存在的障碍);改善动力学特性(七轴机器人可以实现关节力矩的再分配,使整个机器人的力矩分配均匀合理);容错性(即使有一个关节失效,还可以继续正常工作)。

    • 6 自由度机器人
      在这里插入图片描述
    • 7 自由度机器人
      在这里插入图片描述

    可以看出,7 自由度机器人可以实现不改变末端位置,只改变机械臂姿态。这对于 6 自由度机器人来说是无法实现的。

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空空如也

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怎么判断限制了哪个自由度

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