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  • 循环矩阵傅里叶对角化

    万次阅读 多人点赞 2016-03-15 14:10:30
    “任意循环矩阵可以被傅里叶变换矩阵对角化”这个概念常常出现在论文中,本文其做简单解释。

    All circulant matrices are made diagonal by the Discrete Fourier Transform (DFT), regardless of the generating vector x.
    任意循环矩阵可以被傅里叶变换矩阵对角化。

    文献中,一般用如下方式表达这一概念:
    X=C(x)=Fdiag(x^)FHX=C(x)=F \cdot diag(\hat{x}) \cdot F^H

    其中XX是循环矩阵,x^\hat{x}是原向量xx的傅里叶变换,FF是傅里叶变换矩阵,上标H表示共轭转置:XH=(X)TX^H=(X^{*})^T
    换句话说,XX相似于对角阵,XX的特征值是x^\hat x的元素。

    另一方面,如果一个矩阵能够表示成两个傅里叶矩阵夹一个对角阵的乘积形式,则它是一个循环矩阵。其生成向量是对角元素的傅里叶逆变换:

    Fdiag(y)FH=C(F1(y))F \cdot diag(y) \cdot F^H = C(\mathcal{F}^{-1}(y))
    这个公式初看疑问很多,以下一一讨论。

    XX是什么?

    XX是由原向量xx生成的循环矩阵。以矩阵尺寸K=4K=4为例。

    X=C(x)=[x1x2x3x4x4x1x2x3x3x4x1x2x2x3x4x1]X=C(x)=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ x_4 & x_1 & x_2 & x_3 \\ x_3 & x_4 & x_1 & x_2 \\ x_2 & x_3 & x_4 & x_1 \\ \end{bmatrix}

    FF 是什么?

    FF是离散傅里叶矩阵(DFT matrix),可以用一个复数ω=e2πi/K\omega = e^{-2\pi i/K}表示,其中KK为方阵FF的尺寸。以K=4K=4为例。

    F=1K[11111ωω2ω31ω2ω4ω61ω3ω6ω9]F=\frac{1}{\sqrt{K}} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 & \omega^3 \\ 1 & \omega^2 & \omega ^4 & \omega^6 \\ 1 & \omega^3 & \omega^6 & \omega^9 \end{bmatrix}

    ω\omega想象成一个角度为2π/K2\pi/K的向量,这个矩阵的每一行是这个向量在不断旋转。从上到下,旋转速度越来越快。

    之所以称为DFT matrix,是因为一个信号的DFT变换可以用此矩阵的乘积获得:

    x^=DFT(x)=KFx\hat{x}=DFT(x)=\sqrt{K}\cdot F \cdot x

    反傅里叶变换也可以通过类似手段得到:

    x=1KF1x^x=\frac{1}{\sqrt{K}}F^{-1}\hat{x}

    傅里叶矩阵有许多性质:

    • 是对称矩阵,观察ω\omega的规律即可知;
    • 满足FHF=FFH=IF^HF=FF^H=I,也就是说它是个酉矩阵(unitary)。可以通过将FHF^{H}展开成ωH\omega^{H}验证。

    注意:FF是常数,可以提前计算好,和要处理的xx无关。

    对角化怎么理解?

    把原公式两边乘以逆矩阵:

    F1X(FH)1=diag(x^)F^{-1} \cdot X \cdot (F^H)^{-1}=diag(\hat{x})
    利用前述酉矩阵性质:
    =FHXF=diag(x^)左边=F^{H}XF=diag(\hat{x})

    也就是说,矩阵XX通过相似变换FF变成对角阵diag(x^)diag(\hat{x}),即对循环矩阵XX进行对角化。
    另外,FHXFF^HXF是矩阵XX的2D DFT变换。即傅里叶变换可以把循环矩阵对角化。

    怎么证明?

    可以用构造特征值和特征向量的方法证明(参看这篇论文1的3.1节),此处简单描述。
    考察待证明等式的第k列:
    Xfk=x^kfkX\cdot f_k=\hat x_k\cdot f_k

    其中fkf_k表示DFT矩阵的第k列,x^k\hat x_k表示傅里叶变换的第k个元素。等价于求证:fkf_kx^k\hat x_kXX的一对特征向量和特征值。

    左边向量的第i个元素为:lefti=[xi,fk]left_i = \left[ x^i, f_k \right]xix_i表示把生成向量xx向右移动i位,[][]表示内积。
    内积只和两个向量的相对位移有关,所以可以把fkf_k向左移动i位:lefti=[x,fki]left_i=\left[ x, f_k^{-i}\right]
    DFT矩阵列的移位可以通过数乘ω\omega的幂实现:fki=f0ωikf_k^i=f_0\cdot \omega^{ik}

    举例:K=3K=3
    F=1K[1111ωω21ω2ω4]F=\frac{1}{\sqrt{K}} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega ^4 \end{bmatrix}

    利用ωN=1\omega^N=1.
    f1ω=[1,ω,ω2]ω=[ω,ω2,ω3]=[ω,ω2,1]=f11f_1\cdot \omega =[1,\omega,\omega^2]\cdot \omega = [\omega, \omega^2,\omega^3] = [\omega, \omega^2, 1]=f_1^{-1}

    f1ω2=[1,ω,ω2]ω2=[ω2,ω3,ω4]=[ω2,1,ω]=f12f_1\cdot \omega^2 =[1,\omega,\omega^2]\cdot \omega^2 = [\omega^2, \omega^3,\omega^4] = [\omega^2, 1, \omega]=f_1^{-2}

    于是有:
    lefti=[x,fkωik]=[x,fk]ωikleft_i= \left [x, f_k \cdot \omega^{ik}\right ]=\left [x, f_k\right ] \cdot \omega^{ik}

    右边的$\hat x = F\cdot x ,考虑到Fkk的第k行和第k列相同,\hat x_k=[f_k,x]。另外f_ki的第i个元素为\omega^{ik}$:
    righti=x^kfki=[fk,x]ωkiright_i = \hat x_k\cdot f_{ki}=[f_k^*,x]\cdot \omega^{ki}

    对任意k列的第i个元素有:lefti=rightileft_i=right_i

    更多性质

    利用对角化,能推导出循环矩阵的许多性质。

    转置

    循环矩阵的转置也是一个循环矩阵(可以查看循环矩阵各元素排列证明),其特征值和原特征值共轭。
    XT=Fdiag((x^))FHX^T=F \cdot diag((\hat{x})^*) \cdot F^H
    可以通过如下方式证明:
    XT=(FH)Tdiag(x^)FTX^T=(F^H)^T\cdot diag(\hat x) F^T
    由于FF是对称酉矩阵,且已知XX是实矩阵:
    XT=Fdiag(x^)F=(Fdiag(x^)F)=Fdiag((x^))FHX^T=F^*\cdot diag(\hat x) F=\left( F^*\cdot diag(\hat x) F\right)^*=F\cdot diag((\hat x)^*) \cdot F^H

    如果原生成向量xx是对称向量(例如[1,2,3,4,3,2]),则其傅里叶变换为实数,则:
    XT=C(F1(x^))=C(x)X^T=C\left( \mathcal F^{-1}(\hat x)^* \right)=C(x)

    卷积

    循环矩阵乘向量等价于生成向量的逆序和该向量卷积,可进一步转化为福利也变化相乘。
    注意卷积本身即包含逆序操作,另外利用了信号与系统中经典的“时域卷积,频域相乘”。

    F(Xy)=F(C(x)y)=F(xˉy)=F(x)F(y)\mathcal{F}(Xy) = \mathcal{F}(C(x)y)=\mathcal{F}(\bar x*y)=\mathcal{F}^*(x)\odot \mathcal{F}(y)
    其中xˉ\bar x表示把xx的元素倒序排列。星号表示共轭。

    相乘

    C,BC,B为循环矩阵,其乘积的特征值等于特征值的乘积:

    AB=Fdiag(a^)FHFdiag(b^)FHAB = F\cdot diag(\hat a) \cdot F^H \cdot F \cdot diag(\hat b) \cdot F^H

    =Fdiag(a^)diag(b^)FH=Fdiag(a^b^)FH= F\cdot diag(\hat a) \cdot diag(\hat b) \cdot F^H=F\cdot diag(\hat a \odot \hat b) \cdot F^H

    =C(F1(a^b^))=C\left( \mathcal F^{-1}(\hat a \odot \hat b)\right)
    乘积也是循环矩阵,其生成向量是原生成向量对位相乘的傅里叶逆变换。

    相加

    和的特征值等于特征值的和:
    A+B=Fdiag(a^)FH+Fdiag(b^)FH=Fdiag(a^+b^)FHA+B = F\cdot diag(\hat a) \cdot F^H + F \cdot diag(\hat b) \cdot F^H=F\cdot diag(\hat a +\hat b) \cdot F^H

    =C(F1(a^+b^))=C(F1(a^)+F1(b^))=C(a+b)=C\left( \mathcal F^{-1} (\hat a +\hat b)\right)=C\left( \mathcal F^{-1} (\hat a )+F^{-1} (\hat b )\right)=C\left( a+b\right)
    和也是循环矩阵,其生成向量是原生成向量的和。

    求逆

    循环矩阵的逆,等价于将其特征值求逆。
    X1=Fdiag(x^)1FH=C(F1(diag(x^)1))X^{-1}=F\cdot diag(\hat{x})^{-1}F^H=C\left( \mathcal F^{-1}(diag(\hat{x})^{-1}) \right)
    对角阵求逆等价于对角元素求逆。以下证明:
    Fdiag(x^)1FHFdiag(x^)FHF\cdot diag(\hat{x})^{-1}\cdot F^H \cdot F\cdot diag(\hat{x}) \cdot F^H

    =Fdiag(x^)1diag(x^)FH=FFH=I=F\cdot diag(\hat{x})^{-1}\cdot diag(\hat{x}) \cdot F^H=F\cdot F^H=I

    逆也是循环矩阵

    有什么用?

    该性质可以将循环矩阵的许多运算转换成更简单的运算。例如:

    XHX=Fdiag(x^x^)FH=C(F1(x^x^))X^HX=F \cdot diag(\hat{x} \odot \hat{x}^*)\cdot F^H=C\left( \mathcal F^{-1}(\hat{x} \odot \hat{x}^*) \right)

    原始计算量:两个方阵相乘(O(K3)O(K^3)
    转化后的计算量:反向傅里叶(KlogKK\log K)+向量点乘(KK)。

    CV的许多算法中,都利用了这些性质提高运算速度,例如2015年TPAMI的这篇高速跟踪KCF方法2

    二维情况

    以上探讨的都是原始信号为一维的情况。以下证明二维情况下的FHXF=diag(x^)F^HXF=diag(\hat x),推导方法和一维类似。

    xx是二维生成矩阵,尺寸N×NN\times N
    XX是一个N2×N2N^2\times N^2的分块循环矩阵,其uv块记为xuvx^{uv},表示xx下移u行,右移v列。
    FFN2×N2N^2\times N^2的二维DFT矩阵,其第uv块记为fuv={ωui+vj}ijf_{uv}=\left\{ \omega^{ui+vj} \right\} _{ij}

    举例:N=3 f01=[1ωω21ωω21ωω2],f11=[1ωω2ωω2ω3ω2ω3ω4]f_{01}=\begin{bmatrix} 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega & \omega^2\end{bmatrix}, f_{11}=\begin{bmatrix} 1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & \omega^2 & \omega^3 \\ \omega^2 & \omega^3 & \omega^4\end{bmatrix}\\

    需要验证的共有N×NN\times N个等式,其中第uvuv个为:
    [X,fuv]=x^uvfuv[X, f_{uv}]=\hat x_{uv}\cdot f_{uv}
    其中[X,fuv][X, f_{uv}]表示把xuvx^{uv}分别和fuvf_{uv}做点乘,结果矩阵元素求和。
    这个等式的第ij元素为:
    [xij,fuv]=x^uvωui+vj[x^{ij},f_{uv}]=\hat x_{uv} \cdot \omega^{ui+vj}

    再次利用两个性质:1) 点乘只和两个矩阵相对位移有关,2) fuvf_{uv}的位移可以用乘ω\omega幂实现:
    leftij=[x,fuvij]=[x,fuv]ωui+vj=x^uvωui+vj=rightijleft_{ij}=[x,f_{uv}^{-i-j}]=[x,f_{uv}]\cdot \omega^{ui+vj}=\hat x_{uv} \cdot \omega^{ui+vj}=right_{ij}

    代码

    以下matlab代码验证上述性质。需要注意的是,matlab中的dftmatx函数给出的结果和本文定义略有不同,需做一简单转换。另外,matlab中的撇号表示共轭转置,transpose为转置函数,conj为共轭函数。

    clear;clc;close all;
    
    % 1. diagnolize 
    K = 5;      % dimension of problem
    
    x_base = rand(1,K);     % generator vector
    X = zeros(K,K);         % circulant matrix
    for k=1:K
        X(k,:) = circshift(x_base, [0 k-1]);
    end
    
    x_hat = fft(x_base);    % DFT
    
    F = transpose(dftmtx(K))/sqrt(K);       % the " ' " in matlab is transpose + conjugation
    
    X2 = F*diag(x_hat)*F';
    
    display(X);
    display(real(X2));
    
    % 2. fast compute correlation
    C = X'*X;
    C2 = (x_hat.*conj(x_hat))*conj(F)/sqrt(K);
    
    display(C);
    display(C2);
    

    1. Gray, Robert M. Toeplitz and circulant matrices: A review. now publishers inc, 2006. ↩︎

    2. Henriques, João F., et al. “High-speed tracking with kernelized correlation filters.” Pattern Analysis and Machine Intelligence, IEEE Transactions on 37.3 (2015): 583-596. ↩︎

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  • 实对称矩阵一定可以对角化

    千次阅读 2020-06-28 11:11:44
    实对称矩阵一定可以对角化. 最近看共轭梯度下降的时候看到有人的推导里面用到了这个命题. 虽然以前学过, 但是学得很渣, 所以没有自己想过这个命题怎么样成立的. 现在将这些证明过程梳理一下. 实对称矩阵含有n个实根 ...

    UTF8gbsn

    实对称矩阵一定可以对角化.
    最近看共轭梯度下降的时候看到有人的推导里面用到了这个命题. 虽然以前学过,
    但是学得很渣, 所以没有自己想过这个命题怎么样成立的.
    现在将这些证明过程梳理一下.

    实对称矩阵含有n个实根

    首先我们来证明一个命题, 实对称矩阵含有n个实根,
    注意,n个实根并不一定都是不同的, 可能含有重根.
    比如(r1)2=0(r-1)^2=0就含有两个重根r=1r=1.在计算根数目的时候这个方程的解算两个.

    • 首先, 任意的矩阵A\mathbf{A},它的特征多项式
      AλI=0|\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I}|=0
      是一个nn次多项式(这是很显然的).
      由于nn次多项式必定有nn个根(在复数域上). 这个命题暂不证明,
      直接使用. 我写过另外一篇文章简要的证明了一下这个定理.

    • 有了上一步的结论,
      我们现在只需要证明每一个根λi\lambda_i是实根就可以了.
      这个证明过程很简单. 假设λi\lambda_i是任意根之一,
      并且αi\mathbf{\alpha}_i(当然也是在复数域),
      那么根据特征值和特征向量的定义.我们可以得
      Aαi=λiαi\mathbf{A}\mathbf{\alpha}_i=\lambda_i\mathbf{\alpha}_i 取共轭得
      Aαi=λiαi\mathbf{A}\mathbf{\overline{\alpha}}_i=\overline{\lambda}_i\mathbf{\overline{\alpha}}_i
      再进行转置得, 注意AT=AA^T=A, 对称矩阵.
      αiTA=λiαiT\mathbf{\overline{\alpha}}_i^T\mathbf{A}=\overline{\lambda}_i\mathbf{\overline{\alpha}}_i^T
      右边乘αi\mathbf{\alpha}_i
      αiTAαi=λiαiTαi\mathbf{\overline{\alpha}}_i^T\mathbf{A}\mathbf{\alpha}_i=\overline{\lambda}_i\mathbf{\overline{\alpha}}_i^T\mathbf{\alpha}_i

      再看Aαi=λiαi\mathbf{A}\mathbf{\alpha}_i=\lambda_i\mathbf{\alpha}_i,
      对它左边乘αiT\overline{\mathbf{\alpha}}_i^{T}可得
      αiTAαi=λiαiTαi\mathbf{\overline{\alpha}}_i^T\mathbf{A}\mathbf{\alpha}_i=\lambda_i\mathbf{\overline{\alpha}}_i^T\mathbf{\alpha}_i

    • 上面两个式子相减得
      0=(λiλi)αiTαi0=(\mathbf{\overline{\lambda}_i-\lambda_i})\mathbf{\overline{\alpha}}_i^T\mathbf{\alpha}_i
      因为,αiTαi\mathbf{\overline{\alpha}}_i^T\mathbf{\alpha}_i是非0向量.所以我们可得λiλi=0\overline{\lambda}_i-\lambda_i=0.
      也就是说λi\lambda_i是实数.
      又因为λi\lambda_i是任意的特征值,所以A\mathbf{A},
      的所有特征值都是实数.

    实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交

    接下来我们再来证明一个命题,实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交.我们先假设两个不同的特征值位λi,λj\lambda_i,\lambda_j,
    他们对应的特征向量为αi,αj\mathbf{\alpha}_i, \mathbf{\alpha}_j. 假如,
    我们定义(αi,αj)(\mathbf{\alpha}_i, \mathbf{\alpha}_j)表示点积.
    那么我们可以按照下面的推导.

    λi(αi,αj)=(λiαi,αj)=(Aαi,αj)=αjTAαi=αiTAαj\lambda_i(\mathbf{\alpha}_i, \mathbf{\alpha}_j)=(\lambda_i\mathbf{\alpha}_i, \mathbf{\alpha}_j)=(\mathbf{A\alpha}_i, \mathbf{\alpha}_j)=\mathbf{\alpha_j^TA\alpha_i}=\mathbf{\alpha_i^TA\alpha_j}
    λj(αi,αj)=(αi,λjαj)=(αi,Aαj)=αiTAαj\lambda_j(\mathbf{\alpha}_i, \mathbf{\alpha}_j)=(\mathbf{\alpha}_i, \lambda_j\mathbf{\alpha}_j)=(\mathbf{\alpha}_i, \mathbf{A\alpha}_j)=\mathbf{\alpha_i^TA\alpha_j}

    下相减得(λiλj)(αi,αj)=0(\lambda_i-\lambda_j)(\mathbf{\alpha}_i, \mathbf{\alpha}_j)=0,
    又因为λiλjαiTαj=0\lambda_i\neq \lambda_j \Rightarrow \mathbf{\alpha}_i^T\cdot \mathbf{\alpha}_j=0,
    也就是正交成立.

    实对称矩阵可对角化

    这里我们使用归纳法来证明.

    • 首先假设n=1n=1. A=a11\mathbf{A}=a_{11}. 这个不证自明.

    • 假设n=k1n=k-1, 命题撤成立.

    • 现在n=kn=k, 我们假设其中一个特征值位λ1\lambda_1,
      那么我可以使用施密特正交化求一组RnR^n的正交基.
      T=(η1,η2,,ηn)T=(\eta_1, \eta_2,\cdots, \eta_n). 那么我们可以得
      T1AT=(T1λ1η1,T1Aη2,,T1Aηn)T^{-1}AT=(T^{-1}\lambda_1\eta_1, T^{-1}A\eta_2, \cdots, T^{-1}A\eta_n)
      又因为T1T=IT^{-1}T=I, 那么,
      我们可以得T1η1=ε1T^{-1}\eta_1=\mathbf{\varepsilon}_1. 那么可得
      T1AT=(λ1α0B)T^{-1}AT=\left( \begin{array}{cc} \lambda_1 & \mathbf{\alpha} \\ \mathbf{0} & \mathbf{B} \end{array} \right)

      由于AA, 是一个实对称矩阵,
      那么T1ATT^{-1}AT也是一个实对称矩阵.进而α=0\mathbf{\alpha}=\mathbf{0}.
      由此可见BB也是一个(k1)×(k1)(k-1)\times (k-1)的实对称矩阵. 按照假设,
      它是可以对角化的.现在假设.
      T21BT2=diag{λ2,λ3,,λn}T_2^{-1}BT_{2}=diag\{\lambda_2, \lambda_3, \cdots, \lambda_n\}
      并设 Tf=T(100T2)T_f=T\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & T_2 \end{array} \right) 那么 Tf1ATf=(100T2)1T1AT(100T2)=(100T21)(λ100B)(100T2)T^{-1}_fAT_{f}=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & T_2 \end{array} \right)^{-1}T^{-1}AT\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & T_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & T_2^{-1} \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} \lambda_1 & 0 \\ 0 & B \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & T_2 \end{array} \right) =(λ100T21BT2)=diag{λ1,λ2,,λn}=\left( \begin{array}{cc} \lambda_1& 0 \\ 0 & T_2^{-1}BT_{2} \end{array} \right)=diag\{\lambda_1,\lambda_2, \cdots, \lambda_n\}

    至此, 原式得证. 也就是说实对称矩阵一定可以对角化.
    反过来也说明实对称矩阵的特征多项式的代叔重述等于几何重数.

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  • 相似矩阵矩阵的相似对角化

    万次阅读 多人点赞 2016-10-19 19:12:47
    特殊的,如果A∼Λ,Λ是矩阵A \sim \Lambda, \Lambda 是矩阵, 则称A可以相似对角化。Λ\Lambda是相似标准形。矩阵可相似对角化的充要条件 n阶矩阵A可对角化 ⟺\Longleftrightarrow A有n个线性无关的特征向

    相似矩阵的定义

    A,B都是n阶矩阵。若存在可逆矩阵P,使得P1AP=B,则称A相似于B,记作AB
    特殊的,如果AΛ,Λ, 则称A可以相似对角化。Λ是相似标准形。

    矩阵可相似对角化的充要条件

    • n阶矩阵A可对角化 A有n个线性无关的特征向量。

      注意这里说的不是A的秩为满,也不是λEA矩阵秩满时,可以得到A有n个线性无关的特征向量。而是方程|λEA|=0可以取得n个特征值。
      一个特征值下有多少无关的特征向量呢?需要代入方程(λEA)x=0计算。

    • 不相等的特征值对应的特征向量一定无关。而相同特征值下的特征向量不一定无关(相同特征值还有重数的概念)。即,若λ1λ2,则A的对应于λ1λ2的特征向量线性无关。

      由此引出的推论是:若A有n个互不相同的特征值,那么就可以得出A有n个无关的特征向量。从而得出A可以相似对角化,且主对角线元素是n个特征值。

    如果,A有n个线性无关特征向量只有这一种情况的话,将会无聊得太多了。幸而实际上不是。同样的特征值也有可能得出多个无关向量。

    • λi是n阶矩阵A的ri重特征值,则其对应的线性无关特征向量的个数小于等于ri个。

    推论:每一个ri重特征值对应的线性无关特征向量的个数等于该特征值的重数时,等价于n阶矩阵A可以相似对角化。

    综合上面可以看到,矩阵相似对角化的核心是可以得到矩阵A有n个线性无关的特征向量。已知A可以求出A的特征值,这些特征值不必各个不同,可以部分相同,相同的个数称之为对应的特征值的重数。再根据这个特征值求得的特征向量个数,二者比较,可以得出是不是有n个线性无关的特征向量。

    也就是说,充要条件的限制很大,或者说可选的范围很小。也因此,必要条件就很多。这也成为了解题的一大依据。

    矩阵相似的必要条件

    A simB=(1)|λEA|=|λEB|,(2)r(A)=r(B),(3)AB,(4)|A|=|B|=ni=1λi,(5)ni=1aii=ni=1bii=ni=1λi

    值得注意的是,当两个矩阵相似时,不要认为主对角线秩积等于特征值之积。。。

    初等行变换后,特征值一般会变化。这也是值得注意的点。

    基本上我们常常研究的秩,行列式,特征值,特征方程都相同,但也只是必要条件。

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  • 矩阵对角化

    千次阅读 2015-11-02 12:15:57
    矩阵对角化
    矩阵对角化
    
    展开全文
  • 矩阵对角化,SVD分解

    千次阅读 2019-09-20 12:18:39
    - [矩阵对角化](#矩阵对角化) - [SVD分解](#svd分解) - [参考链接](#参考链接) 矩阵对角化 矩阵的相似 设 A\boldsymbol{A}A、 B\boldsymbol{B}B 为两个nnn阶矩阵,若存在可逆矩阵 P\boldsymbol{P}P,使得...
  • 1.可以理解矩阵运算,多维运算 2.可以用于理解tensorflow,pytorch的tensor张量运算,二维张量就是矩阵 例如新建一个矩阵 a = np.arange(1,10).reshape(3,-1) 上下三角矩阵 a = np.arange(1,10).reshape(3,...
  • 一定可以直接用一般矩阵的方法求其角阵,即可以不用正交单位化,直接用【p逆Ap=A的角阵】来做,书上一上来就说用正交阵来对角化就是淡村为了体现这个方法而已,但是还是有好处的,比如正交单位化后,要求p逆...
  • 矩阵对角化的充要条件及证明

    万次阅读 2018-08-04 22:37:04
    对角化:若方阵A相似于矩阵,即存在可逆矩阵P和矩阵D,有,则称A可对角化。 可对角化的充要条件: n*n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。 充分性证明: 设A的n个线性无关的...
  • 矩阵对角化

    千次阅读 2015-03-29 10:16:53
    矩阵对角化 讲解矩阵对角化之前,先了解下相似矩阵。 相似矩阵的定义:A、B都是n阶矩阵,若存在可逆矩阵P,使得P-1AP = B,(注意全文中所有的P-1=P的逆矩阵)则定义矩阵B是矩阵A的相似矩阵或称矩阵A与矩阵B...
  • 线性代数笔记8:矩阵对角化

    万次阅读 多人点赞 2018-04-02 21:33:36
    本文主要讲矩阵对角化的证明及应用。 矩阵对角化条件 定义一:若存在可逆矩阵SSS,使得S−1ASS−1ASS^{-1}AS为矩阵,则称为矩阵AAA是可对角化的(diagonalized)。 设n×nn×nn\times n矩阵有nnn个线性...
  • 矩阵对角化的条件

    千次阅读 2020-05-29 21:04:36
    总结:对于任意方阵,如果没有重根,矩阵总是可以对角化。麻烦的是重根问题 如果有重根,那么需要验证所谓几何重数,与代数重数相等。 那么对于有重根,不能对角化矩阵怎么办?这就引入了Jordan标准型的故事。 ...
  • 矩阵可相似对角化的条件

    万次阅读 2020-06-20 16:40:27
    矩阵可以对角化的条件为有n个线性无关的特征向量,具体判断为 1.实对称矩阵必定可以相似对角化 2.如果特征值两两互不相同或,那么也可以立马断定矩阵可以相似对角化 3.如果有k重特征值λ,那么n-r(λE-A)=k,因为...
  • 实对称矩阵必可正交对角化证明

    千次阅读 2018-08-05 13:36:26
    n阶矩阵A可正交对角化的充分条件是A是实对称矩阵,即若A是实对称矩阵则A必可正交对角化。 首先,有以下定理: 若的特征值为,且,则存在正交矩阵Q,使A相似于如下三角矩阵: 证明如下(数学归纳法): 设n*n阶...
  • 矩阵对角化条件

    千次阅读 2019-08-31 16:21:28
    文章目录 充要条件① 定理2 充要条件② 充要条件③ 充要条件① ...可以用这个条件推不可对角化: A A A 的特征多项式若有一个复根 ∉ K \notin K ∈ / ​ K 有一个特征值的几何重数<代数重数
  • Toeplitz 矩阵对角化

    千次阅读 2015-08-13 10:17:07
    Toeplitz 矩阵是一种比较特殊的矩阵:其中任何一条对角线的元素取相同的值,
  • Note:PCA主成分分析用到实对称阵的相似对角化。1.角阵概念2.矩阵角阵相似的条件3.一般矩阵的相似对角化4.实对称矩阵的相似对角化5.协方差矩阵的相似对角化(end)...
  • 本微信图文从变换的角度解释了相似矩阵对角化
  • 矩阵对角化:AS = S(讲AS展开可以推导出这个公式) 上式两边的左边同时乘以S-1,得出S-1AS = 。这就是方阵的对角化公式 上式两边的右边同时乘以S-1,得出A = SS-1,这就是矩阵的句对话分解。   如果A的特征值...
  • 当且仅当 AB=BA 时,可对角化矩阵 A 与 B 具有相同的特征向量 也就是说, AB=BAAB=BAAB=BA 是 两个可对角化矩阵 A 与 B 具有相同特征向量的充分且必要条件。 先证 必要性: 假设可对角化矩阵 A 与 B 具有相同的特征...
  • 矩阵对角化、SVD分解及应用矩阵对角化、SVD分解及应用矩阵运算的总结矩阵对角化SVD分解张量(tensor)转置(transpose) 矩阵对角化、SVD分解及应用 许多数学对象可以通过将它们分解成多个组成部分或者找到它们的...
  • import numpy as np a = np.matrix( [[0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0 ,0],[0, 1, 0, 0, 1], [1, 0, 0, 0, ...#以t为对角元素建立对角元素 T = np.diag(t) A2 = Q * (T * T * T) * Q**- 1 print (a** 3 ) print (A2)
  • 矩阵对角化的那些事——blog2

    千次阅读 2021-03-19 09:40:52
    对角化的两个小定理小唠嗑定理1:矩阵AAA可对角化的充要条件是AAA有nnn个线性无关的特征向量小定理1:矩阵AAA可对角化等价于矩阵AAA与一个矩阵相似定理2:任意nnn级实对称矩阵AAA都正交相似于一个矩阵小定理:...
  • 特征向量对角化一个矩阵:3、假设n×nn\times n矩阵有nn个线性无关的特征向量,如果这些向量是矩阵SS的列,那么S−1ASS^{-1}AS是一个矩阵Λ\Lambda,AA的特征值在Λ\Lambda的角线上: S−1AS=Λ=⎡⎣⎢⎢⎢⎢...
  •  最终得到了S和一个以特征值为对角线的对角矩阵的乘积,这个对角矩阵就是特征值矩阵,用Λ表示:  没有人关心线性相关的特征向量,上式有意义的前提是S由n个线性无关的特征向量组成,这意味着S可逆,等式两侧...
  • 矩阵对角化(Diagonalizing a Matrix )

    万次阅读 2014-03-26 14:47:17
    1.对角化 我们假设一个n*n的矩阵有n个线性无关的特征向量x1,x2....,xn,所有的向量组成一个特征向量矩阵S,则为特征值矩阵Λ: 证明:根据特征值和特征向量的定义我们有: 我们把矩阵AS拆分成S乘以Λ:
  • 4.一定可以用正交矩阵相似对角化(满足的矩阵为正交阵),步骤如下 (1)求A的特征值λ1、λ2、λ3 (2)求特征向量α1、α2、α3 (3)改造特征向量 a. 如λi≠λj 只需要单位化 ...

空空如也

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一定可以对角化的矩阵