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  • 排序公式 与 组合公式

    千次阅读 2016-12-30 09:57:43
    总结C-代表-Combination–组合数 A-代表-Arrangement–排列数(在...-代表-阶乘博客(http://jingyan.baidu.com/article/63acb44ac60d4e61fcc17e2e.html)排序公式从n个不同元素中,任取m个元素按照一定的顺序排成一列

    总结

    C-代表-Combination–组合数
    A-代表-Arrangement–排列数(在旧教材为P-permutation–排列)
    N-代表-元素的总个数
    M-代表-参与选择的元素个数
    !-代表-阶乘


    博客(http://jingyan.baidu.com/article/63acb44ac60d4e61fcc17e2e.html

    排序公式

    从n个不同元素中,任取m个元素按照一定的顺序排成一列

    用例测试:

    1. 4种颜色,按不同颜色进行排列,有多少种排列方法?
    2. 6种颜色,按不同颜色进行排列,有多少种排序方法?
    3. 6种颜色,取出4种颜色进行排列,有多少种排序方法?

    这里写图片描述

    计算公式:

    这里写图片描述

    组合公式

    从n个不同元素中,任取m个元素并成一组;(不顺序要求)

    用例测试:

    1. 从4种颜色中,取出2种颜色,能形成多少种组合?

    这里写图片描述

    计算公式:

    这里写图片描述

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  • 错位排序公式

    千次阅读 2018-07-01 20:03:29
    首先,对于D(n),有1~n这样n个元素错排,...错排公式 。 递推代码 long long rc[maxn]; inline void get_cp() { rc[0]=1ll; for(int i=2;i;i++) rc[i]=(i-1)*(rc[i-2]+rc[i-1])%mod; }      

    首先,对于D(n),有1~n这样n个元素错排,所以对于第一个元素①,它现在可能的位置有(n-1)个,倘若它在第k个元素的位置上,对于第k个元素而言,它所在的位置就有两种可能—第一种,它处在非第一个元素①位置上,所以对于接下来的排列就相当于是n-1个元素的错排,即D(n-1);第二种,它处在第一个元素①的位置上,所以在排列D(n)中有两个元素找到了位置,那么接下来的队列就相当于是n-2个元素的错排。因此,对于D(n)都有D(n)=(n-1)*(D(n-1)+D(n-2))【特殊的,D(1)=0,D(2)=1】。

    容斥定理

    正整数1,2, 3, ……, n的全排列有 n! 种,其中第k位是k的排列有 (n-1)! 种;当k分别取1, 2, 3, ……, n时,共有n*(n-1)!种排列是至少放对了一个的,由于所求的是错排的种数,所以应当减去这些排列;但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次,应补上;在补上时,把同时有三个数不错排的排列多补上了一次,应排除;……;继续这一过程,得到错排的排列种数为D(n) = n! - n!/1! + n!/2! - n!/3! + … + (-1)^n*n!/n!= ∑(k=2~n) (-1)^k * n! / k!   或者  

    为方便起见,设D(k) = k! N(k), k = 1, 2, …, n,

    则N(1) = 0, N(2) = 1/2.

    n ≥ 3时,n! N(n) = (n-1) (n-1)! N(n-1) + (n-1)! N(n-2)

    即 nN(n) = (n-1) N(n-1) + N(n-2)

    于是有N(n) - N(n-1) = - [N(n-1) - N(n-2)] / n = (-1/n) [-1/(n-1)] [-1/(n-2)]…(-1/3) [N(2) - N(1)] = (-1)^n / n!.

    因此

    N(n-1) - N(n-2) = (-1)^(n-1) / (n-1)!,

    N(2) - N(1) = (-1)^2 / 2!.

    相加,可得

    N(n) = (-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1) / (n-1)! + (-1)^n/n!

    因此

    D(n) = n! [(-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1)/(n-1)! + (-1)^n/n!].

    此即错排公式

    递推代码

    long long rc[maxn];
    inline void get_cp()
    {
        rc[0]=1ll;
        for(int i=2;i<=n;i++)
            rc[i]=(i-1)*(rc[i-2]+rc[i-1])%mod;
    }

     

     

     

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  • 错位排序公式及理解

    千次阅读 2016-05-26 16:42:17
    错位排序递推公式: 设f[i]为i个数错位排序 (任意1 f[0]=1,f[1]=0; f[i]=(f[i-1]*f[i-2])*(i-1) (i>=2) 公式理解: 情况1:插入第i个元素时,前i-1个已经错位排好,则选择其中任意一个与第i个互换一定满足要求,选择...

    今天集训问错排是什么被hszx教练嘲讽了,痛下决心学一下竟然还挺简单的


    错位排序递推公式:

    设f[i]为i个数错位排序 (任意1<=i<=n a[i]!=i)

    f[0]=1,f[1]=0;

    f[i]=(f[i-1]*f[i-2])*(i-1)  (i>=2)

    公式理解:

    情况1:插入第i个元素时,前i-1个已经错位排好,则选择其中任意一个与第i个互换一定满足要求,选择方法共i-1种,前i-1位错排f[i-1]种,记f[i-1]*(i-1)

    情况2:插入第i个元素时,前i-1个中恰有一个元素a[j]使得a[j]=j,其他i-2个错位排好,则将i与j交换,j在i-2位中的插入共i-1种,前i-2位错排f[i-2]种,记f[i-2]*(i-1)

    以上两种情况求和可得

    f[i]=(f[i-1]*f[i-2])*(i-1)  (i>=2)

    递推代码

    long long cp[maxn];
    inline void get_cp()
    {
    	cp[0]=1ll;
    	for(int i=2;i<=n;i++)
    		cp[i]=(i-1)*(cp[i-2]+cp[i-1])%mod;
    }
    模板题:bzoj4517

    附代码(写慢了,不预处理阶乘逆元能降一个log QAQ)

    #include<cstdio>
    #include<iostream>
    #include<algorithm>
    #include<cstring>
    using namespace std;
    #define maxn 1000005
    #define mod 1000000007
    int n=maxn,m,T;
    long long stair[maxn];
    long long invs[maxn];
    long long cp[maxn];
    long long ans[maxn];
    inline long long qpow(long long b,long long t)
    {
    	long long ans=1ll;
    	while(t)
    	{
    		if(t&1) ans=(ans*b)%mod;
    		t>>=1;
    		b=(b*b)%mod;
    	}
    	return ans;
    }
    inline long long inv(long long x)
    {
    	return qpow(x,mod-2);
    }
    inline void init()
    {
    	stair[0]=1ll;
    	invs[0]=1ll;
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    	{
    		stair[i]=stair[i-1]*i%mod;
    		invs[i]=inv(stair[i]);
    	}
    	cp[0]=1ll;
    	for(int i=2;i<=n;i++)
    		cp[i]=(i-1)*(cp[i-2]+cp[i-1])%mod;
    }
    inline long long comb(int a,int b)
    {
    	return stair[a]*invs[b]%mod*invs[a-b]%mod;
    }
    int main()
    {
     	scanf("%d",&T);
     	init();
     	while(T--)
     	{
     		scanf("%d%d",&n,&m);
     		printf("%lld\n",comb(n,m)*cp[n-m]%mod);
     	}
    }
    



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  • 全错位排序公式推导

    千次阅读 2020-10-03 16:28:32
    全错位排序 全错位排列被著名数学家欧拉(Leonhard Euler,1707-1783)称为“组合数论的一个妙题”的“装错信封问题”的两个特例。 “装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667-...

    全错位排序

    全错位排列被著名数学家欧拉(Leonhard Euler,1707-1783)称为“组合数论的一个妙题”的“装错信封问题”的两个特例。

    “装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667-1748)的儿子丹尼尔·伯努利(DanidBernoulli,1700-1782)提出来的,大意如下:
    一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封,他把这n封信都装错了信封,问都装错信封的装法有多少种?
    f[n]表示有n个信封全错位情况数
    可以把问题分成两种情况:①前面n-1封信全部装错 ②前面n-1封信只有一个正确,其余全部装错

    ①前面n-1封信全装错,第n封信与前面n-1封信任意一封交换。可得(n-1)*f[n-1]种情况

    ②前面n-1封信只有一个正确,其余全部装错,第n封信可以与那封正确的交换,这样有f[n-2]*(n-1)种情况

    可以推出f[n] = (n-1)(f[n-1]+f[n-2])

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  • 利用归并排序求逆序对

    千次阅读 2015-09-04 21:13:07
    但是对于逆序对问题,却有一个看似不想关的算法来解决–归并排序。时间复杂度和空间复杂度完全与归并排序一样,只是在归并过程中,添加了一个变量,对于逆序对的数目进行了记录。这样就将时间复杂度降低到了O(nlogn)...
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    所谓错排就是全错位排序公式,即被著名数学家欧拉(Leonhard Euler,1707-1783)称为组合数论的一个妙题的“装错信封问题”,他求解这样的问题: 一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封,他把这n封信都装错了...
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  • 机器学习公式推导【Day3】排序损失loss

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    利用rank函数实现自动排序
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    千次阅读 2016-09-06 12:59:41
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空空如也

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如何利用公式排序