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  • 2018-07-01 20:03:29

    首先,对于D(n),有1~n这样n个元素错排,所以对于第一个元素①,它现在可能的位置有(n-1)个,倘若它在第k个元素的位置上,对于第k个元素而言,它所在的位置就有两种可能—第一种,它处在非第一个元素①位置上,所以对于接下来的排列就相当于是n-1个元素的错排,即D(n-1);第二种,它处在第一个元素①的位置上,所以在排列D(n)中有两个元素找到了位置,那么接下来的队列就相当于是n-2个元素的错排。因此,对于D(n)都有D(n)=(n-1)*(D(n-1)+D(n-2))【特殊的,D(1)=0,D(2)=1】。

    容斥定理

    正整数1,2, 3, ……, n的全排列有 n! 种,其中第k位是k的排列有 (n-1)! 种;当k分别取1, 2, 3, ……, n时,共有n*(n-1)!种排列是至少放对了一个的,由于所求的是错排的种数,所以应当减去这些排列;但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次,应补上;在补上时,把同时有三个数不错排的排列多补上了一次,应排除;……;继续这一过程,得到错排的排列种数为D(n) = n! - n!/1! + n!/2! - n!/3! + … + (-1)^n*n!/n!= ∑(k=2~n) (-1)^k * n! / k!   或者  

    为方便起见,设D(k) = k! N(k), k = 1, 2, …, n,

    则N(1) = 0, N(2) = 1/2.

    n ≥ 3时,n! N(n) = (n-1) (n-1)! N(n-1) + (n-1)! N(n-2)

    即 nN(n) = (n-1) N(n-1) + N(n-2)

    于是有N(n) - N(n-1) = - [N(n-1) - N(n-2)] / n = (-1/n) [-1/(n-1)] [-1/(n-2)]…(-1/3) [N(2) - N(1)] = (-1)^n / n!.

    因此

    N(n-1) - N(n-2) = (-1)^(n-1) / (n-1)!,

    N(2) - N(1) = (-1)^2 / 2!.

    相加,可得

    N(n) = (-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1) / (n-1)! + (-1)^n/n!

    因此

    D(n) = n! [(-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1)/(n-1)! + (-1)^n/n!].

    此即错排公式

    递推代码

    long long rc[maxn];
    inline void get_cp()
    {
        rc[0]=1ll;
        for(int i=2;i<=n;i++)
            rc[i]=(i-1)*(rc[i-2]+rc[i-1])%mod;
    }

     

     

     

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    11a51f340bfafa57a475755f9da5f66c.png

    数据排序,涉及到的范围很广,也经常要用到,除了简单的命令排序之外,其实还有多种排序方式可供选择。

    一、Excel排序:Rank函数法(单列)。

    作用:返回指定的数值在指定范围中的大小排名。

    语法结构:=Rank(数值,数据范围,[排序方式])。其中“排序方式”分为“1”、“0”两种,其中“0”为降序,“1”为升序,省略时默认为“0”。

    目的:对“成绩”进行排序。

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    方法:

    在目标单元格中输入公式:=RANK(D3,D$3:D$9)或=RANK(D3,D$3:D$9,1)。

    解读:

    1、如果要对“成绩”进行升序排序,则公式为:=RANK(D3,D$3:D$9,1)。

    2、Rank函数的排名也称为“美式排名”,原因在于当排序的值相同时,名次会“跳跃式”的增加,如示例中没有名次“5”。

    二、Excel排序:Sumproduct函数法。

    作用:返回相应区域或数组乘积的和。

    语法结构:=Sumproduct(单元格区域或数组1,[单元格区域或数组2]……[单元格区域或数组N])。

    目的:对“成绩”进行排序。

    8787bfccb92666d9a8fcfc9586ccfe23.gif

    方法:

    在目标单元格中输入公式:=SUMPRODUCT((D$3:D$9>D3)/COUNTIF(D$3:D$9,D$3:D$9))+1。

    解读:

    1、公式中D$3:D$9>D3比较形成一个以1和0为值的数组,COUNTIF(D$3:D$9,D$3:D$9)统计出每个值出现的次数;然后对应的值进行除法运算,形成一个以1和0为值的一维数组,最后进行求和。

    2、公式末尾的1为辅助值,也很好理解,因为“自己不大于自己”。

    3、如果要“升序”排序,则只需将公式调整为:=SUMPRODUCT((D3>D$3:D$9)/COUNTIF(D$3:D$9,D$3:D$9))+1即可。

    三、Excel排序:IF函数法。

    目的:小组内排序。

    3236296e1faca6d73bbf01d1fd74c689.gif

    方法:

    在目标单元格中输入公式:=IF(B3<>"",1,E2+1)。

    解读:

    1、公式=IF(B3<>"",1,E2+1)首先判断第一个合并单元格的值是否为空值,如果不为空,则返回1,否则返回当前单元格的上一单元格的值再+1。

    2、结合具体的数值更好理解哦!

    四、Excel排序:Max函数法。

    目的:对不规则的合并单元格进行排序。

    1bb1322a23d660c252a9953045db02fe.gif

    方法:

    在目标单元格中输入公式:=MAX(A$2:A2)+1。

    解读:

    1、合并单元格的值存储于“左上角”的单元格,其它部分都未空值。

    2、公式的参数从当前单元格的上一单元格开始,而Max函数是对数值而言的,所以第一次运算返回的值为1,后续不断+1,从而得到填充序号和排序的目的。

    五、Excel排序:Large函数法。

    作用:返回数组中的第K个最大值。

    语法结构:=Large(数组或数据区域,索引值)。

    目的:按从大到小的顺序返回成绩。

    bbfcdeca87fff471ee4a349f8a477067.gif

    方法:

    在目标单元格中输入公式:=LARGE(D$3:D$9,A3)。

    解读:

    1、从Large函数的功能及示例中可以看出,=Large(数组或数据区域,1)返回的值为当前数组或区域中的最大值,依次类推。

    2、如果索引值小于等于0或大于数据个数,则返回错误#NUM!。

    六、Excel排序:Small函数法。

    功能:返回数据区域中的第K个最小值。

    语法结构:=Small(数组或数据区域,索引值)。

    目的:按从小到大的顺序返回成绩。

    d81cc2d3b0b26bc1fb2099211a395658.gif

    方法:

    在目标单元格中输入公式:=SMALL(D$3:D$9,A3)。

    解读:

    1、从Large函数的功能及示例中可以看出,=Large(数组或数据区域,1)返回的值为当前数组或区域中的最小值,依次类推。

    2、如果索引值小于等于0或大于数据个数,则返回错误#NUM!。

    结束语:

    通过本文的学习,相信大家对于Excel排序有了新的了解,不同的技巧对应于不同的应用场景,在学习的过程中大家要灵活对待哦。如果有困难或堵到的见解,欢迎在留言区留言讨论哦

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