题目描述

在二维平面上，有两个正方形，请找出一条直线，能够将这两个正方形对半分。假定正方形的上下两条边与x轴平行。

给定两个vecotrA和B，分别为两个正方形的四个顶点。请返回一个vector，代表所求的平分直线的斜率和截距，保证斜率存在。

测试样例：

[(0,0),(0,1),(1,1),(1,0)],[(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)]

返回：[0.0，0.5]

知道矩形的中心点就没问题了。

/*
struct Point {
    int x;
    int y;
    Point() :
            x(0), y(0) {
    }
    Point(int xx, int yy) {
        x = xx;
        y = yy;
    }
};*/
class Bipartition {
public:
    vector<double> getBipartition(vector<Point> A, vector<Point> B) {
        // write code here
        double x1 = (A[0].x + A[2].x)/2; //第一个中心点横坐标
        double x2 = (B[0].x + B[2].x)/2;
        double y1 = (A[0].y + A[2].y)/2; //第一个中心点纵坐标
        double y2 = (B[0].y + B[2].y)/2;
         
        double s = (y1-y2)/(x1-x2); //斜率
        double y = y1 - s*x1; //截距，也可以代入第二个中心点计算
         
        vector<double> ans;
        ans.push_back(s);
        ans.push_back(y);
        return ans;//返回结果
    }
};

 

初中数学二次函数这部分内容，是中考的热门考点，同学们一定要好好学习这部分的内容，而二次函数抛物线与直线的交点问题，也是中考比较热衷的题型和考法，今天我和同学们一起通过实例来分析讲解这部分的内容，明确此类问题的解题方法。
《必备知识》
在平面直角坐标系中一共存在三种直线，分别是：平行于x轴的y=m；平行于y轴的x=n；一次函数y=kx+p(k≠0).
1、要求出直线与二次函数 y=ax*+bx+c(a≠0)的交点坐标，只需要将解析式联立即可，如：
2、探究图像交点个数。如：
注意：抛物线与直线y=m只有一个交点时，交点一定是抛物线的顶点。
二次函数与一次函数只有一个交点时，交点一定不是二次函数的顶点。
【点评】题中涉及两个函数的交点个数的情况，解题思路如下：
①联立两个函数解析式，整理的一个一元二次方程；
②根据交点的个数确定一元二次方程根的判别式与0的大小关系；
③写出关系式，从而求出答案。
【分析】分别令x＝0、y＝0，得到方程，解方程即可求得A、B．C点的坐标，然后分两种情况分别讨论即可得出b的取值范围．
【点评】本题考查了二次函数的图像与结合变换，抛物线与坐标轴的交点，主要考查学生数形结合的数学思想方法．
解答本题直线平移(即k不变)的交点个数问题，步骤如下：
①画出符合题意的函数图像；
②将直线在坐标系中上下平移，找到符合题意的临界位置；
③带人点坐标，求得b值；
或联立函数解析式得到一元二次方程，令△=0求得b值；
④临界位置之间的部分即为满足题意的部分；
⑤利用求出的b值确定满足题意的b的范围。
【点评】本题考查了二次函数图像与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
【分析】(1)由顶点坐标确定m、k的值，再令y＝0求的图像与x轴的交点坐标；
(2)设存在这样的P点，由于底边相同，求出△PAB的高|y|，将y求出代入二次函数表达式求得P点坐标；
(3)画出翻转后新的函数图像，由直线y＝x+b，b＜1确定出直线移动的范围，求出b的取值范围．
【点评】本题考查了由函数图像确定坐标，以及给出面积关系求点的坐标和直线与图像的交点问题，综合体现了数形结合的思想．
【分析】(1)求出根的判别式，即可得出答案；
(2)先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．
(3)求出翻折后所得图像的解析式，然后分别求出原图像和直线，翻折后所得图像与直线有一个交点时的m的值，即可求得新图像为G与直线y＝x+2有三个交点时的m的取值．
【点评】本题考查了二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图像与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度．

坐标系为ZOX坐标系，X轴为横轴，Y轴为竖轴。直线为平行于X轴的一条直线。梯形为以Z轴为对称轴的梯形。附上代码。

# -*- coding: utf-8 -*-

"""

Created on Mon Jul 13 09:58:09 2020

@author: zxl

"""

from OCC.Core.BRepBuilderAPI import BRepBuilderAPI_MakePolygon, BRepBuilderAPI_MakeFace

from OCC.Core.gp import gp_Pnt, gp_Dir, gp_Pln

from OCC.Core.TopExp import TopExp_Explorer

from OCC.Core.TopAbs import TopAbs_EDGE

from OCC.Core.TopoDS import topods

from OCC.Core.Geom import Geom_Line

from OCC.Core.gp import gp

from OCC.Core.BRep import BRep_Tool

from OCC.Core.GeomAPI  import GeomAPI_ExtremaCurveCurve

p0 = gp_Pnt()

vnorm = gp_Dir(0, 1, 0) # 法向量，平行于Y轴的单位向量

aPlane = gp_Pln(p0, vnorm) #ZOX平面

bcd = 150 #梯形的下底边长

tcd = 50 #梯形的上底边长

ht = 50 #梯形的高

offset = 0

z_of_trapezoid = 0 #梯形的底边的Z的坐标

x0 = -0.5 * bcd + offset #梯形的左下角顶点的X坐标

x1 = 0.5 * bcd + offset #梯形的右下角顶点的X坐标

x2 = 0.5 * tcd + offset #梯形的右上角顶点的X坐标

x3 = -0.5 * tcd + offset #梯形的左上角顶点的X坐标

z0 = z_of_trapezoid # 梯形的下底的Z坐标

z1 = z_of_trapezoid + ht # 梯形的上底的Z坐标

aP1 = gp_Pnt(x0, 0.0, z0)

aP2 = gp_Pnt(x1, 0.0, z0)

aP3 = gp_Pnt(x2, 0.0, z1)

aP4 = gp_Pnt(x3, 0.0, z1)

aPolygon = BRepBuilderAPI_MakePolygon(aP1, aP2, aP3, aP4, True)

aTrapezoid = BRepBuilderAPI_MakeFace(aPlane, aPolygon.Wire()).Shape()

#梯形面，类型为TopoDS_Face

aLine = Geom_Line(gp_Pnt(0.0, 0.0, 25), gp.DX())  # 梯形的中位线

print("type of aLine: ", type(aLine))

anEdgeExplorer = TopExp_Explorer(aTrapezoid, TopAbs_EDGE)

start_pnts = []  #交点的X坐标的列表

while anEdgeExplorer.More(): # 有更多子形状去挖掘

    anEdge = topods.Edge(anEdgeExplorer.Current()) # 当前被探索到的子形状是哪一个

    #print("current edge: ", anEdge)

            

    aCurve = BRep_Tool.Curve(anEdge)[0]

    aFirst = BRep_Tool.Curve(anEdge)[1] # 这条边的起始点

    aLast = BRep_Tool.Curve(anEdge)[2]  # 这条边的终止点

    #print("type of aCurve: ", type(aCurve))

    #print("type of sec: ", type(sec), "sec: ", sec)

    aExtrema = GeomAPI_ExtremaCurveCurve(aLine, aCurve, -1e308, 1e308, aFirst, aLast) 

    #GeomAPI_ExtremaCurveCurve(C1, C2, U1min, U1max, U2min, U2max)

    #C1 为曲线1，C2为曲线2，U1min, U1max是曲线1的起始点和终止点，U2min, U2max是曲线2的起始点和终止点，

    # 这里因为C1是一条无限长的直线，所以是-1e308, 1e308。而C2的起始点和终止点是由BRep_Tool.Curve(anEdge)[1]和#BRep_Tool.Curve(anEdge)[2]得到

    #print(type(aExtrema))

    print("number of aExtrema: ", aExtrema.NbExtrema())

    print("aExtrema.LowerDistance(): ", aExtrema.LowerDistance())

    if aExtrema.NbExtrema() > 0 and aExtrema.LowerDistance() < 1e-10 :  #两曲线有交点，且两曲线的最小距离为0，即有交点

        print("if is in ")

        for iPnt in range(aExtrema.NbExtrema()):

            print("for is in ")

            aPnt1 = gp_Pnt()

            aPnt2 = gp_Pnt()

            

            aExtrema.Points(iPnt + 1, aPnt1, aPnt2) #两个点的坐标

            print("aPnt1: ", aPnt1)

            if aPnt1.SquareDistance(aPnt2) < 1e-15 :#两个点是同一个点，即交点

                start_pnts.append(aPnt1.X())     

  

    anEdgeExplorer.Next() # 下一个子形状

    

print("start_pnts: ", start_pnts)

 

 

/**

 * 功能：在二维平面上，有两个正方形，请找出一条直线，能够将这两个正方形对半分。

 * 假定正方形的上下两条边与x轴平行。
 */

/**
 * 考虑：
 * 线的准确含义，可能性有：
 * 		1）由斜率和y轴截距确定；
 * 		2）由这条边上的任意两点确定；
 * 		3）线段，以正方形的边作为起点和终点。
 * 
 * 假设：这条线的端点应该落在正方形的边上。
 * 思路：要将两个正方形对半分，这条线必须连接两个正方形的中心点。
 */

public class Square {

	//正方形的四条边
	int left;
	int right;
	int top;
	int bottem;
	int size;
	
	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub

	}

	//得到正方形的中心点的位置
	public Point getMiddle(){
		return new Point((this.left+this.right)/2.0,(this.top+this.bottem)/2);
	}
	
	//返回线段mid1和mid2的线段与square2的边相交的点，即从mid1到mid2画一条线，一直延伸置碰到square2的靠外的那条边。
	public Point extend(Point mid1,Point mid2,int size){
		//确定线段mid1->mid2的方向
		int xdir=mid1.x<mid2.x?1:-1;
		int ydir=mid1.y<mid2.y?1:-1;
		
		//如果mid1和mid2的x坐标相同，计算斜率时，会抛出零异常，做特别处理
		if(mid1.x==mid2.y)
			return new Point(mid2.x,mid2.y+ydir*size/2.0);
		
		//计算线段的斜率
		double slope=(mid2.y-mid1.y)/(mid2.x-mid1.x);
		double x1=0;
		double y1=0;
		
		//计算相交点，注意斜率的取值
		if(Math.abs(slope)==1){
			x1=mid2.x+xdir*size/2.0;
			y1=mid2.y+ydir*size/2.0;
		}else if(Math.abs(slope)<1){
			x1=mid2.x+xdir*size/2.0;
			y1=mid2.y+slope*ydir*(size/2.0);//注意方向
		}else if(Math.abs(slope)>1){
			x1=mid2.x+slope*xdir*(size/2.0);
			y1=mid2.y+ydir*size/2.0;
		}
		return new Point(x1,y1);
	}
	
	public MyLine cut(Square other){
		//计算两个中心点之间的线段与正方形的边相交的位置
		Point point1=extend(this.getMiddle(),other.getMiddle(),other.size);
		Point point2=extend(this.getMiddle(),other.getMiddle(),-other.size);
		Point point3=extend(other.getMiddle(),this.getMiddle(),this.size);
		Point point4=extend(other.getMiddle(),this.getMiddle(),-this.size);
		
		//找出线段的起点和终点
		Point start=point1;
		Point end=point1;
		Point[] points={point1,point2,point3};
		for(int i=0;i<points.length;i++){
			if(points[i].x<start.x||points[i].x==start.x&&points[i].y<start.y)
				start=points[i];
			else if(points[i].x>end.x||points[i].x==end.x&&points[i].y>end.y)
				end=points[i];
		}
		
		return new MyLine(start,end);
	}
	
}

class MyLine{
	Point start;
	Point end;
	public MyLine(Point start,Point end){
		this.start=start;
		this.end=end;
	}
}

class Point{
	double x;
	double y;
	public Point(double x,double y){
		this.x=x;
		this.y=y;
	}
}