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  • 满二叉树: 单是每个结点都存在左右子树不能算是满二叉树,还必须要所有的叶子都在同一上,这就做到了整棵树的平衡,...对一棵具有n结点的二叉树按层序编号,如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深...

    满二叉树:

    单是每个结点都存在左右子树不能算是满二叉树,还必须要所有的叶子都在同一层上,这就做到了整棵树的平衡,因此满二叉树的特点有:
    1.叶子只能出现在最下一层,出现在其他层就不可能达成平衡
    2.非叶子结点的度一定是2
    3.在同样深度的二叉树中,满二叉树的结点个数最多,叶子数最多

    完全二叉树:

    对一棵具有n结点的二叉树按层序编号,如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在
    二叉树中位置完全相同,则这棵二叉树称为完全二叉树,满二叉树一定是一个棵完全二叉树,但完全二叉树不一定是满的
    对树按层序编号,编号连续的才能称为完全二叉树,如下图中编号都不是连续的所以不能称之为完全二叉树


    完全二叉树特点:

    1.叶子结点只能出现在最下俩层
    2.最下层的叶子一定集中在左部连续位置
    3.倒数二层,若有叶子结点,一定都在右部连续位置
    4.如果结点度为1,则该结点只有左孩子,即不存在只有右子树的情况(度为分支的数目)
    5.同样结点数的二叉树,完全二叉树的深度最小

    二叉树的性质:

    1.在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i>=1)
    2.深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点(k>=1)
    3.对任何一棵二叉树T,如果其终端结点数(叶子结点数)为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1
    4.具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2^n]+1

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  • 二叉树

    2018-01-15 21:41:17
    一棵具有n个结点的二叉树按层序排号,如果编号为i的结点与同样深度的满二叉树编号为i结点在二叉树中位置完全相同,就是完全二叉树。满二叉树必须是完全二叉树,反过来不一定成立。 4、二叉搜索树

    二叉树定义:

    1、斜树
    所有的结点都只有左子树(左斜树),或者只有右子树(右斜树)。

    2、满二叉树
    所有的分支结点都存在左子树和右子树,并且所有的叶子结点都在同一层上。

    这里写图片描述

    3、完全二叉树
    对一棵具有n个结点的二叉树按层序排号,如果编号为i的结点与同样深度的满二叉树编号为i结点在二叉树中位置完全相同,就是完全二叉树。满二叉树必须是完全二叉树,反过来不一定成立。

    这里写图片描述

    4、二叉搜索树(BST)
    它或者是一棵空树,或者是具有下列性质的二叉树: 若它的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值; 若它的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值; 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

    这里写图片描述

    5、平衡二叉树(AVL)
    它或者是一棵空树,或者是具有下列性质的二叉树:它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1,并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树,同时,平衡二叉树必定是二叉搜索树,反之则不一定。
    这里写图片描述

    二叉树遍历:

    这里写图片描述

    1、前序遍历

    基本思想:先访问根结点,再先序遍历左子树,最后再先序遍历右子树。即 根—左—右

    如上图遍历结果为:ABDHECFG

    2、中序遍历

    基本思想:先中序遍历左子树,然后再访问根结点,最后再中序遍历右子树。即 左—根—右

    如上图遍历结果为:HDBEAFCG

    3、后序遍历

    基本思想:先后序遍历左子树,然后再后序遍历右子树,最后再访问根结点。即 左—右—根

    如上图遍历结果为:HDEBFGCA

    ~~~ 可能有些新手,对于树的节点一多,就很难分清遍历到底应该怎么走。其实很简单,把树分解成各个子树就好办了。只要是非叶子节点,那就可以把它看做是根节点,然后也就是只有根左右 3 个节点,
    例如上图,先分为左右子树
    这里写图片描述这里写图片描述

    ps:前序遍历,根—左—右,即从根节点A往左子树查找,只要左子树的左边有节点,就不要管左子树的右边,可得出 ABDH ,左边没有节点的时候,再在左子树右边从下向上查找,如果右边节点又有子节点,那么继续重复上面的步骤即可。如上图,H节点是叶子节点,左边已无节点,从下向上找右边,也就是E,得到 ABDHE,当然了,如果E下面有E1和E2左右两个节点,那么应该得到A B D H E E1 E2,相当于E是根节点,按照 根—左—右 就行了,左边查完,走右边就行了,右边得到ACFG,合并之后即ABDHECFG

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  • 特殊二叉树 :斜树 所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。...3)在同样深度的二叉树中,满二叉树的结点个数最多,叶子数最多。 满二叉树: 三: 完全二叉树 完全二叉树:对具有n个结点的二叉树

    特殊二叉树

    一:斜树

    所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。
    左斜树:
    在这里插入图片描述

    右斜树:
    在这里插入图片描述

    二:满二叉树

    在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树,并且所有叶子都在同一层上,这样的二叉树称为满二叉树。

    满二叉树的特点有:
    1)叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。
    2)非叶子结点的度一定是2。
    3)在同样深度的二叉树中,满二叉树的结点个数最多,叶子数最多。
    满二叉树:
    在这里插入图片描述

    三: 完全二叉树

    完全二叉树:对一颗具有n个结点的二叉树按层编号,如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同,则这棵二叉树称为完全二叉树。

    在这里插入图片描述

    注意:满二叉树一定是一棵完全二叉树,但完全二叉树不一定是满二叉树。

    其次,完全二叉树的所有结点与同样深度的满二叉树,它们按层序编号相同的结点,是一 一对应的。下图中浅色部分表示结点不存在,可以看出,树1的第10个结点编号空档了。同理,树2的6、7,树3的10、11编号空档了,它们编号不连续,都不是完全二叉树。
    在这里插入图片描述

    特点:
    1)叶子结点只能出现在最下层和次下层。
    2)最下层的叶子结点集中在树的左部。
    3)倒数第二层若存在叶子结点,一定在右部连续位置。
    4)如果结点度为1,则该结点只有左孩子,即没有右子树。
    5)同样结点数目的二叉树,完全二叉树深度最小。

    二叉树的性质

    性质1:在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i>=1)。

    性质2:深度为k的二叉树至多有2k-1个结点(k>=1)。
    注意这里是2k后再减去1。

    性质3:对任何一颗二叉树T,如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1。
    推导过程:对任何一颗二叉树而言,它的分支边数是结点数-1,因为除了根节点没有分支进来,其他结点都有,一个分支连接了一个结点。所以对于二叉树来说,假设度为0的结点数为n0,度为1的结点数为n1,度为2的结点数为n2
    有n0+n1+n2-1=0 * n0+1 * n1+2 * n2,得出n0=n2+1。

    性质4:具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1 ([X]表示不大于x的最大整数)。
    推导过程:对于k层二叉树,如果是满二叉树的话,则有2k-1个结点,而完全二叉树一定少于等于同样深度的满二叉树。则有
    2k-1-1<n<2k-1,由于n是整数,则有2k-1<=n<2k,两边取对数,得到k-1<=log2n<k,因此k=[log2n]+1。

    性质5:如果对一棵有 n 个结点的完全二叉树(其深度为 ⌊log2n⌋+1)的结点按层序编号(从第 1 层到第 ⌊log2n⌋+1 层,每层从左到右),对任一结点 i(1≤i≤n) 有:

    1. 如果 i=1,则结点 i 是二叉树的根,无双亲;如果 i>1,则其双亲是结点 ⌊i/2⌋。
    2. 如果 2i>n,则结点 i 无左孩子(结点 i 为叶子结点);否则其左孩子是结点 2i。
    3. 如果 2i+1>n,则结点 i 无右孩子;否则其右孩子是结点 2i+1。
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  • 一棵具有n个结点的二叉树按层序编号,如果编号为i的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置相同,则这棵二叉树称为完全二叉树。注意,满二叉树一定是完全二叉树,而完全二叉树并不一定是...

    对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号,如果编号为i的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置相同,则这棵二叉树称为完全二叉树。注意,满二叉树一定是完全二叉树,而完全二叉树并不一定是满二叉树。

    完全二叉树的特点:

    1、叶子结点只能出现在最下面两层;

    2、最下层的叶子一定集中在左部连续的位置;

    3、倒数二层,若有叶子结点,一定都在右部连续位置;

    4、如果结点度为1,则该结点只有左孩子,即不存在只有右子树的情况。

    5、同样结点数的二叉树,完全二叉树的深度zui最小。

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