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  • 二元一次方程组巩固提高练习题
  • 认识二元一次方程组的概念:...中文名二元一次方程的解法外文名Methods of Solving Simultaneous Equations别名解二元一次方程组解释求方程组的解的过程学科二元一次方程的解法概念编辑语音二元一次方程的解法定义方...

    认识二元一次方程组的概念:一些把简单实际的问题中的数量关系,用二元一次方程组的形式来计算,学会用含有其中一个未知数的代数式表示另一个的方法,成立于一元一次方程之上。

    中文名

    二元一次方程的解法

    外文名

    Methods of Solving Simultaneous Equations别    名

    解二元一次方程组

    解    释

    求方程组的解的过程

    学    科

    二元一次方程的解法概念

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    语音

    二元一次方程的解法定义

    方程两边都是整式,含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程,叫做二元一次方程.使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

    你能区分这些方程吗?89c382a36246f722b7226f3edf27bd97.svg(二元一次方程);03d63e1d27ab01d9ba3d62404fb2e816.svg(一元一次方程);f2c9205ae663dd6bb9bb69881fffd088.svg(一元二次方程);78c9a8080de2dcaa3dd35c3152f665c2.svg(二元二次方程)。

    对二元一次方程概念的理解应注意以下几点:

    ①等号两边的代数式是否是整式;

    ②在方程中“元”是指未知数,‘二元’是指方程中含有两个不同的未知数(x,y或x,z等);

    ③未知数的项的次数都是1,实际上是指方程中最高次项的次数为1,在此可与多项式的次数进行比较理解,切不可理解为两个未知数的次数都是1.

    二元一次方程的解法解

    使二元一次方程两边相等的一组未知数的值,叫做二元一次方程的一个解.

    对二元一次方程的解的理解应注意以下几点:

    ①一般地,一个二元一次方程的解有无数个,且每一个解都是指一对数值,而不是指单独的一个未知数的值;

    ②二元一次方程的一个解是指使方程左右两边相等的一对未知数的值;反过来,如果一组数值能使二元一次方程左右两边相等,那么这一组数值就是方程的解;

    ③在求二元一次方程的解时,通常的做法是用一个未知数把另一个未知数表示出来,然后给定这个未知数一个值,相应地得到另一个未知数的值,这样可求得二元一次方程的一个解.

    二元一次方程的解法注意点

    (1)二元一次方程组:含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组。[1]

    (2)二元一次方程组的解:二元一次方程组中两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.

    对二元一次方程组的理解应注意:

    ①方程组各方程中,相同的字母必须代表同一数量,否则不能将两个方程合在一起.

    ②怎样检验一组数值是不是某个二元一次方程组的解,常用的方法如下:将这组数值分别代入方程组中的每个方程,只有当这组数值满足其中的所有方程时,才能说这组数值是此方程组的解,否则,如果这组数值不满足其中任一个方程,那么它就不是此方程组的解.

    二元一次方程的解法常用解法

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    语音

    二元一次方程的解法代入消元法

    (1)概念:将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,代入另一个方程中,消去一个未知数,得到一个一元一次方程,最后求得方程组的解. 这种解方程组的方法叫做代入消元法,简称代入法.

    (2)代入法解二元一次方程组的步骤

    ①选取一个系数较简单的二元一次方程变形,用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数;

    ②将变形后的方程代入另一个方程中,消去一个未知数,得到一个一元一次方程(在代入时,要注意不能代入原方程,只能代入另一个没有变形的方程中,以达到消元的目的. );

    ③解这个一元一次方程,求出未知数的值;

    ④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中,

    求出另一个未知数的值;

    ⑤用“{”联立两个未知数的值,就是方程组的解;

    ⑥最后检验(代入原方程组中进行检验,方程是否满足左边=右边).

    b850ec51086bf16120085a2bc0030fd8.svg

    d2f6011448b56ef8b1bc34e4b0820f20.svg

    3900e8cbba7c2e60f191fd89600888f7.svg

    把第一个方程称为①,第二个方程称为②

    由①得aefd2ef84a99288722de7969a120dd53.svg

    ③代入②得

    a50aa778649696a36c7a8eb40bcdfd95.svg

    8bace804eb7ac695101b5429aaca9090.svg

    8bace804eb7ac695101b5429aaca9090.svg代入③

    ba25cc472f68e661e6db7d18de31414c.svg

    则:这个二元一次方程组的解

    4dd391d423aec467be9510dfbd1c9184.svg

    二元一次方程的解法加减消元法

    (1)概念:当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时,把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数,从而将二元一次方程化为一元一次方程,最后求得方程组的解,这种解方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.

    (2)加减法解二元一次方程组的步骤

    ①利用等式的基本性质,将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式;

    ②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减,消去一个未知数,得到一个一元一次方程(一定要将方程的两边都乘以同一个数,切忌只乘以一边,然后若未知数系数相等则用减法,若未知数系数互为相反数,则用加法);

    ③解这个一元一次方程,求出未知数的值;

    ④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中,

    求出另一个未知数的值;

    ⑤用“{”联立两个未知数的值,就是方程组的解

    ⑥最后检验求得的结果是否正确(代入原方程组中进行检验,方程是否满足左边=右边)。

    如:

    f459f9a0c43fc77a1238d543d337bfa8.svg

    c65c0ba281137b90456c7a71bb50fe6c.svg

    cfb00a9ab275b33b4629a3842787edcc.svg

    把第一个方程称为①,第二个方程称为②

    47588ff90a562852878965f5d2c7c8c0.svg得到③

    baee7723930d2a0e55694ea58d183cf0.svg

    ③-②得:

    5442dd94970a2e3e84e08c0dddcd995c.svg

    5f1172075f4076fca7165fc80916e5c4.svg

    再把5f1172075f4076fca7165fc80916e5c4.svg代入①.②或③中求出x的值

    解之得:

    8b17a5c73d3997be3047dbb54e56d75d.svg

    二元一次方程的解法重点难点

    本节重点内容是二元一次方程组的概念以及如何用代入法和加减法解二元一次方程组,难点是根据方程的具体形式选择合适的解法。

    二元一次方程的解法方程的解

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    语音

    使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组值,叫做二元一次方程的解。

    二元一次方程组的两个公共解,叫做一组二元一次方程组的解。

    二元一次方程有无数个解,除非题目中有特殊条件。

    但二元一次方程组只有唯一的一组解,即x,y的值只有一个。也有特殊的,例如无数个解:

    ccd92b46d6e4ae12b9142da7c1d34a68.svg

    2d3241a130a51ba38cf347ac441c41d3.svg

    无解:

    二元一次方程的解法扩展解法

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    语音

    二元一次方程的解法顺序消元法

    “消元”是解二元一次方程的基本思路。所谓“消元”就是减少未知数的个数,使多元方程最终转化为一元方程再解出未知数。这种将方程组中的未知数个数由多化少,逐一解决的想法,叫做消元思想。如:5x+6y=7 2x+3y=4,变为5x+6y=7 4x+6y=8

    具体方法

    代入消元法(常用,方法参见2.1)

    加减消元法(常用,方法参见2.2)

    顺序消元法(常用于计算机中,方法下述)

    顺序消元法

    设一 二元一次方程组d0ce37eff39dc42de4482a84df3108a2.svg086fb70dd67d9dbc03cced1cbb378d3e.svg

    620c3e7a16211855b1444fe0de53abf8.svg,则5dbc48a2461f4b764ddfccd7a7d2b7d2.svg得(3)式:

    d220beb8c3aa17df9f29ae031fc3ef92.svg

    若(3)式中的961f9b4070141cc2bd80967df4fcc6f7.svg

    则可求出求根公式:

    ebc16205170ce1a403460bb756ed44a2.png

    二元一次方程组求根公式

    以上过程称为“顺序消元法”,对于多元方程组,求解原理相同。

    因为在求解过程中只有数之间的运算,而没有整个式子的运算,因此这种方法被广泛地用于计算机中。

    二元一次方程的解法换元法

    解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。

    换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。

    它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

    比如

    2c50181dcac683ec5f120e2fa7c168fc.svg

    解:设8bf013c777dadb69fb72c0058a1f7362.svg为a,58a7fbfcadbb995c54e58ce426deca21.svg为b

    则,原方程式变为

    27baf0200cf90e909e81cdd991c19e6c.svg

    解得:

    c0c1cba6741b1664231937249c4d31b9.svg

    由此:

    3cf7140deaec22f99e018d89b1fde3d2.svg

    方程组的解为:

    98d6f1362af67a6e107261bc2f9d48df.svg

    二元一次方程的解法设参数法

    e6f2c23d84f5cc32154187e78576513a.svg

    70ed616e7afbe9c0d6611c85d9883076.svg

    解:令69f07215199088e201199e06eb9fbe59.svg,2a59e6077eae728b805d660797b9c38b.svg则方程②可写为:2f11822d7685bb331693612be1ebea00.svg1501742a1572f4b31dab610744cf4f22.svg3d32e970ea8535aca90ba351ab33989b.svg所以7dbc3ec9c06f338d13ead6a97be88d5c.svg,8b88063270ac0294f693669194331e06.svg

    二元一次方程组推导过程:

    在最后式中只有一个y未知数,求出y值(y=?),再代入a1x+b1y=k1;求出X。例题:

    y=(2-3/4×0)/(1-3/4*×)=2/(-1/2)=-43x-4=2或4x-8=0 x=2推导简易方程:

    方程=0;未知数0;1

    二元一次方程的解法图像法

    二元一次方程组还可以用做图像的方法,即将相应二元一次方程改写成一次函数的表达式在同坐标系内画出图像,两条直线的交点坐标即二元一次方程组的解。

    二元一次方程的解法解向量法

    今有一二元一次方程组d2e380078c7933145ffdae697faa1e44.svg

    设矩阵A=1385f639b8a6c8fdf6f5a486aeeb5f39.svg,向量014225bb6afb5687606809d5864f9450.svg5867b02681f4fa2ff4d023ad0398ddd2.svg,根据矩阵和向量的乘积定义,再对比方程组可知有以下关系:

    1a7f8c855b124b4fc165a43fe8a3870e.svg

    我们把②称作方程组①的矩阵形式

    而矩阵A可看做是一次线性变换p,即把向量014225bb6afb5687606809d5864f9450.svg按照线性变换p变换之后得到向量5867b02681f4fa2ff4d023ad0398ddd2.svg。因此解方程的过程可看做是寻找一个向量014225bb6afb5687606809d5864f9450.svg,使它经过线性变换p之后得到5867b02681f4fa2ff4d023ad0398ddd2.svg。因为这是寻找一个向量的过程,所以又可以称之为解向量。

    从直观上来理解上面那句话。例如把一个向量a逆时针旋转30°得到一个新的向量b,那么把b顺时针旋转30°之后,一定可以得到a。再比如把一个向量a的横纵坐标都扩大n倍之后得到向量b,那么把b的横纵坐标都缩小n倍之后,一定也可以得到a。因此,在已知b以及线性变换关系的情况下求出的a就是方程的解。

    矩阵A和它的逆矩阵c134a99bf6f0a2b6df1d3d01e0a4261e.svg对应的线性变换互逆,所以解向量的过程相当于是寻找矩阵f767198ee598a3b40f5095d9aca2d8e3.svg的逆矩阵。而根据矩阵的性质,一个矩阵981f176b064531c4e4368440a6a28c60.svg有逆矩阵的充要条件是二阶行列式19e09c4454033ce8dd8ef377e553023d.svg。所以,方程组有解的充要条件就是ad-bc≠0.

    根据逆矩阵的求法,35b0782bdaa7276bfbcfa203be18f5b6.svg的逆矩阵e12ac39605936f9d75dff62d90ea2a0f.svg

    c1da94a52c095f1154ea0dfc83ed18bf.svg

    即方程组的解为1027db386bfc0c96ed1cf085746e8f40.svg

    该方法亦可作为二元一次方程组的求根公式。(前提是33200a7a31723b0293c2ee62f985ee2a.svg)

    例题

    用解向量法解二元一次方程组7afb6692cf1e3206f22328a046ccdfbf.svg

    8b779d2e48acbe53b7ecea95d89c26ca.svg

    此题中,4049d3de4b3035453999ec4a27f353ac.svga2f1532f6d7ef3cde68150edb3d32685.svg446043c8710a133794d264a29f12cd27.svgd2b65626b9ee65f7b07ba36953b995a4.svgf6341803c96f8f20b285bae9e201b886.svga9ca0a6973036e155bcb03695706468a.svg565b28260b4a78445383cf3a283317c4.svg

    ∴方程组有解,解为

    d47a7eaa88b6cc14bee2e10cf025941e.svg

    e98b67651381cfdb4bbe991a26d78197.svg

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    参考资料

    1.

    蓉城考试研究中心主编. 蓉城学霸 数学 八年级 上[M]. 2017 :86页.

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  • 8.1 二元一次方程组一、选择:1.下列方程中,是二元一次方程的是( )A.3x -2y=4z B .6xy+9=0C. 1 +4y=6 D .4x= y 2x 42 .下列方程组中,是二元一次方程组的是( ...

    8.1 二元一次方程组

    一、选择题:

    1.下列方程中,是二元一次方程的是( )

    A.3x -2y=4z B .6xy+9=0

    C. 1 +4y=6 D .4x= y 2

    x 4

    2 .下列方程组中,是二元一次方程组的是( )

    A .

    x y 4 2a 3b 11 x2 9 x y 8

    B. C . D.

    2

    2x 3y 7 5b 4c 6 y 2x x y 4

    3 .二元一次方程 5a -11b=21 ( )

    A .有且只有一解 B .有无数解 C .无解 D .有且

    只有两解

    4 .方程 y=1 -x 与 3x+2y=5 的公共解是( )

    x 3 x 3 x 3 x 3

    A . B. C. D.

    y 2 y 4 y 2 y 2

    5 .下列各式,属于二元一次方程的个数有( )

    ①xy+2x -y=7 ; ②4x+1=x -y ; ③ 1 +y=5; ④x=y ; ⑤

    x

    2 2

    x -y =2

    2 2

    ⑥ 6x -2y ⑦x+y+z=1 ⑧ y (y -1)=2y -y +x

    A .1 B .2 C .3 D .4

    6 .某年级学生共有 246 人,其中男生人数 y 比女生人数 x 的 2 倍少 2

    人,则下面所列的方程组中符合题意的有( )

    x y 246 x y 246 x y 216 x y 246

    A. B. C. D.

    2y x 2 2x y 2 y 2x 2 2 y x 2

    二、填空题

    7 .已知方程 2x+3y -4=0,用含 x 的代数式表示 y 为: y=_______ ;用

    含 y 的代数式表示 x 为: x=________ .

    8 .在二元一次方程- 1 x+3y=2 中,当 x=4 时, y=_______ ;当 y= -1

    2

    时, x=______ .

    9 .若 x3m-3 -2yn-1=5 是二元一次方程,则 m=_____,n=______.

    10.已知 x 2, 是方程 x -ky=1 的解,那么 k=_______ .

    y 3

    11.二元一次方程 x+y=5 的正整数解有 ______________ .

    x 5

    12.以 为解的一个二元一次方程是

    展开全文
  • 随机生成二元一次方程练习题到指定word文档,可以定义x/y最大值,系数最大值,需要生成的算式个数,每个算式下留空给学生计算,答案自动生成在文档最后页。
  • 对于二元一次方程组(其中 X Y为未知数) a1x+b1y=c1 a2x+b2y=c2 (a1b2≠a2b1) (1,2均为区别a b 的下标 不是因数) 代入消元法解 把其中一个方程表示为 x=(c-by)/a 或 y=(c.有高斯消元法 代换法 入消元法 (1)概念:将...

    对于二元一次方程组(其中 X Y为未知数) a1x+b1y=c1 a2x+b2y=c2 (a1b2≠a2b1) (1,2均为区别a b 的下标 不是因数) 代入消元法解 把其中一个方程表示为 x=(c-by)/a 或 y=(c.

    有高斯消元法 代换法 入消元法 (1)概念:将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,代入另一个方程中,消去一个未知数,得到一个一.

    快啊,要简单一点啊 是40道

    1.2x+9y=81 3x+y=34 2.9x+4y=35 8x+3y=30 3.7x+2y=52 7x+4y=62 4.4x+6y=54 9x+2y=87 5.2x+y=7 2x+5y=19 6.x+2y=21 3x+5y=56 7.5x+7y=52 5x+2y=22 8.5x+5y=65 7x+7y=.

    带答案 thank you thank you thank you thank you thank you thank you thank you .

    1.二元一次方程4x-3y=12,当x=0,1,2,3时,y=______. 2.在x+3y=3中,若用x表示y,则y=______,用y表示x,则x=______. 4.把方程3(x+5)=5(y-1)+3化成二元一次方程的一.

    代入消元 加减消元

    二元一次方程组。消元法1)代入e68a84e8a2ad7a6431333361316666消元法 用代入消元法的一般步骤是:1.选一个系数比较简单的方程进行变形,变成 y = ax +b 或 x = .

    x和y的 我5年级 x+y=45 x-y=12

    如果一个方程含有两个未知数,并且所含未知项的次数都为1次,那么这个整式方程就叫做二元一次方程,有无数个解,若加条件限定有有限个解。二元一次方程的一般形.

    5x+6y=27 ① 4x+6y=24 ② ①-② x=3 带入① 15+6y=27 y=2 ∴x=3 y=2是方程组的解

    代入消元法(1)概念:将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,代入另一个方程中,消去一个未知数,得到一个一元一次方程,最后求.

    二元一次方程组的解法有“代入消元法”和“加减消元法。代入法 例题: {x-y=3 ① {3x-8y=4② 由①得x=y+3③ (通过移项得) ③代入②得 3(y+3)-8y=4(因为x=y+3。所.

    代入法 1.将其中一个方程组式写成用一个未知元表达另一个未知元的形式,形如X=f(y) 2.将所得的表达式代入另一个方程式,消除一个未知元得到一元一次方程 3.解一元一.

    给我2元一次方程的认识方法

    二元一次方程组的意义含有两个未知数的方程并且未知项的次数是1,这样的方程叫做二元一次方程。两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组。解法二.

    如何解2元一次方程组?和2元一次方程?(写清步骤) 2.4x+y=25写清所有步。

    指数:未知数前的数字如:5X,5就是系数 指数:未知数右上角的数字如:X的3次方,3就是X的指数2.4x+y=25这个2元一次方程解不出来.解解2元一次方程组的时候,把方.

    二元一次方程的解有无数个,X随意取一个值 ,Y都有唯一确定的值与之对应,这样的一组X、Y值就是二元一次方程的一个解。两个二元一次方程组成的二元一次方程组可.

    (1)5x+4y=-1.5① 2x-3y=4② 解法:①+② 7x+y=2.5 y=2.5-7x③ 将③代入①中,5x+10-. 19y-12=7 ,19y=19 ,y=1 把y=1带入x-8y=-6得:x=2 方程组的解:x=2 y=1 (5)x/2-y/5=-2 --.

    二元一次方程是指含有两个未知数(例如x和y),并且所含未知数的项的次数都是1的方程。两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组。每个方程.

    用消元法解,也就是把二元一次方程转换成一元一次方程来解 有两种方法:代入消元法和加减消元法 代入消元法 (1)概念:将方程组中一个方程的某个未知数用含有另.

    解二元一次方程组有两种方法:(1)代入消元法;(2)加减消元法 (1)代入消元法 例:解方程组:x+y=5① 6x+13y=89② 解:由①得 x=5-y③ 把③代入②,得 .

    你写得很好,不过我用一元一次方来解下去二元一次方是不是能肯定的呢?。

    正常情况下二元一次方程要有两个不恒等的式子才可以解,这个方程有无限个解。 注:下面我列举了几个x的值,如果没耐心可以略过。 解: 2y = 15 - 3x y = (15 - 3x) \ 2 .

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  • 2013-09-12一元二次方程所有解法是不是一样的答案一元二次方程的解法有如下几种: 第种:运用因式分解的方法,而因式分解的方法有:(1)十字相乘法(又包括二项系数为1的和二项系数不为1,但又不是0的),(2)公式法:...

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    2013-09-12

    一元二次方程所有解法是不是一样的答案

    一元二次方程的解法有如下几种: 第一种:运用因式分解的方法,而因式分解的方法有:(1)十字相乘法(又包括二次项系数为1的和二次项系数不为1,但又不是0的),(2)公式法:(包括完全平方公式,平方差公式,)。 (3)提取公因式 例1:X^2-4X+3=0 本题运用因式分解法中的十字相乘法,原方程分解为(X-3)(X-1)=0 ,可得出X=3或1。 例2:X^2-8X+16=0 本题运用因式分解法中的完全平方公式,原方程分解为(X-4)^2=0 可以得出X1=4 X2=4(注意:碰到此类问题,一定要写X1=X2=某个数,不能只写X=某个数,因为一元二次方程一定有两个根,两个根可以相同,也可以...全部

    一元二次方程的解法有如下几种: 第一种:运用因式分解的方法,而因式分解的方法有:(1)十字相乘法(又包括二次项系数为1的和二次项系数不为1,但又不是0的),(2)公式法:(包括完全平方公式,平方差公式,)。

    (3)提取公因式 例1:X^2-4X+3=0 本题运用因式分解法中的十字相乘法,原方程分解为(X-3)(X-1)=0 ,可得出X=3或1。 例2:X^2-8X+16=0 本题运用因式分解法中的完全平方公式,原方程分解为(X-4)^2=0 可以得出X1=4 X2=4(注意:碰到此类问题,一定要写X1=X2=某个数,不能只写X=某个数,因为一元二次方程一定有两个根,两个根可以相同,也可以不同) 例3:X^2-9=0 本题运用因式分解法中的平方差公式,原方程分解为(X-3)(X+3)=0 ,可以得出X1=3,X2=-3。

    例4:X^2-5X=0 本题运用因式分解法中的提取公因式法来解,原方程分解为X(X-5)=0 ,可以得出X1=0 ,X2=5 第二种方法是配方法,比较复杂,下面举一个例来说明怎样用配方法来解一元二次方程: X^2+2X-3=0 第一步:先在X^2+2X后加一项常数项,使之能成为一项完全平方式,那么根据题目,我们可以得知应该加一个1这样就变成了(X+1)^2。

    第二步:原式是X^2+2X-3,而(X+1)^2=X^2+2X+1,两个葵花子对比之后发现要在常数项后面减去4,才会等于原式,所以最后用配方法后得到的式子为(X+1)^2-4=0,最后可解方程。

    还有一种方法就是开平方法,例如:X^2=121,那么X1=11,X2=-11。 最后如果用了上面所有的方法都无法解方程,那就只能像楼上所说的用求根公式了。 定理就是韦达定理,还有根的判别式,韦达定理就是一元二方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)二根之和就是-b/a,两根之积就是c/a 举例:X^2-4X+3=0 两根之和就是-(-4/1)=4,两根之积就是3/1=3,(你可以自己解一下,看看是否正确)。

    因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让 两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个 根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

    例4.用因式分解法解下列方程: (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 (选学) (4)x2-2( + )x+4=0 (选学) (1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

    (2)解:2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0,x2=-是原方程的解。 注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。

    (3)解:6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解。 (4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解为2 •2 ,∴此题可用因式分解法) (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。

    小结: 一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般 形式,同时应使二次项系数化为正数。 直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。

    公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式 法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程 是否有解。 配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法 解一元二次方程。

    但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方 法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。 例5.用适当的方法解下列方程。(选学) (1)4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0 (3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 分析:(1)首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算。

    观察后发现,方程左边可用平方差 公式分解因式,化成两个一次因式的乘积。 (2)可用十字相乘法将方程左边因式分解。 (3)化成一般形式后利用公式法解。 (4)把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解。

    (1)解:4(x+2)2-9(x-3)2=0 [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0 (5x-5)(-x+13)=0 5x-5=0或-x+13=0 ∴x1=1,x2=13 (2)解: x2+(2- )x+ -3=0 [x-(-3)](x-1)=0 x-(-3)=0或x-1=0 ∴x1=-3,x2=1 (3)解:x2-2 x=- x2-2 x+ =0 (先化成一般形式) △=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0 ∴x= ∴x1=,x2= (4)解:4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0 2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 ∴x1= ,x2= 例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。

    (选学) 分析:此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我 们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式(实际上是运用换元的方 法) 解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0 即 (5x-5)(2x-3)=0 ∴5(x-1)(2x-3)=0 (x-1)(2x-3)=0 ∴x-1=0或2x-3=0 ∴x1=1,x2=是原方程的解。

    例7.用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0 解:x2+px+q=0可变形为 x2+px=-q (常数项移到方程右边) x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方) (x+)2= (配方) 当p2-4q≥0时,≥0(必须对p2-4q进行分类讨论) ∴x=- ±= ∴x1= ,x2= 当p2-4q<0时,<0此时原方程无实根。

    说明:本题是含有字母系数的方程,题目中对p, q没有附加条件,因此在解题过程中应随时注意对字母 取值的要求,必要时进行分类讨论。 练习: (一)用适当的方法解下列方程: 1。 6x2-x-2=0 2。

    (x+5)(x-5)=3 3。 x2-x=0 4。 x2-4x+4=0 5。 3x2+1=2x 6。 (2x+3)2+5(2x+3)-6=0 (二)解下列关于x的方程 1。x2-ax+-b2=0 2。

    x2-( + )ax+ a2=0 练习参考答案: (一)1。x1=- ,x2= 2。x1=2,x2=-2 3。x1=0,x2= 4。x1=x2=2 5。x1=x2= 6。解:(把2x+3看作一个整体,将方程左边分解因式) [(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0 即 (2x+9)(2x+2)=0 ∴2x+9=0或2x+2=0 ∴x1=-,x2=-1是原方程的解。

    (二)1.解:x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解:x2-(+ )ax+ a• a=0 [x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0 ∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0 ∴x1= +b,x2= -b是 ∴x1= a,x2=a是 原方程的解。

    原方程的解。 测试 选择题 1.方程x(x-5)=5(x-5)的根是( ) A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5 2.多项式a2+4a-10的值等于11,则a的值为( )。

    A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7 3.若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数,一次项系数和常数项之和等于零,那么方程必有一个 根是( )。 A、0 B、1 C、-1 D、±1 4. 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为( )。

    A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0 C、b=0且c=0 D、c=0 5. 方程x2-3x=10的两个根是( )。 A、-2,5 B、2,-5 C、2,5 D、-2,-5 6. 方程x2-3x+3=0的解是( )。

    A、 B、 C、 D、无实根 7. 方程2x2-0。15=0的解是( )。 A、x= B、x=- C、x1=0。27, x2=-0。27 D、x1=, x2=- 8. 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( )。

    A、(x-)2= B、(x- )2=- C、(x- )2= D、以上答案都不对 9. 已知一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解该方程配方后的方程是( )。 A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1 答案与解析 答案:1。

    C 2。C 3。B 4。D 5。A 6。D 7。D 8。C 9。D 解析: 1.分析:移项得:(x-5)2=0,则x1=x2=5, 注意:方程两边不要轻易除以一个整式,另外一元二次方程有实数根,一定是两个。

    2.分析:依题意得:a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7。 3.分析:依题意:有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时, ax2+bx+c=a+b+c,意味着当x=1 时,方程成立,则必有根为x=1。

    4.分析:一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零, 则ax2+bx+c必存在因式x,则有且仅有c=0时,存在公因式x,所以 c=0。 另外,还可以将x=0代入,得c=0,更简单! 5.分析:原方程变为 x2-3x-10=0, 则(x-5)(x+2)=0 x-5=0 或x+2=0 x1=5, x2=-2。

    6.分析:Δ=9-4×3=-3<0,则原方程无实根。 7.分析:2x2=0。15 x2= x=± 注意根式的化简,并注意直接开平方时,不要丢根。 8.分析:两边乘以3得:x2-3x-12=0,然后按照一次项系数配方,x2-3x+(-)2=12+(- )2, 整理为:(x-)2= 方程可以利用等式性质变形,并且 x2-bx配方时,配方项为一次项系数-b的一半的平方。

    9.分析:x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1 则(x-1)2=m+1。 中考解析 考题评析 1.(甘肃省)方程的根是( ) (A) (B) (C) 或 (D) 或 评析:因一元二次方程有两个根,所以用排除法,排除A、B选项,再用验证法在C、D选项中选出正确 选项。

    也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元 二次方程是两个根,所以是错误的,而选项D中x=-1,不能使方程左右相等,所以也是错误的。正确选项为 C。

    另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式,使得方程丢根,这种错误要避免。 2.(吉林省)一元二次方程的根是__________。 评析:思路,根据方程的特点运用因式分解法,或公式法求解即可。

    3.(辽宁省)方程的根为( ) (A)0 (B)–1 (C)0,–1 (D)0,1 评析:思路:因方程为一元二次方程,所以有两个实根,用排除法和验证法可选出正确选项为C,而A、 B两选项只有一个根。

    D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。 4.(河南省)已知x的二次方程的一个根是–2,那么k=__________。 评析:k=4。将x=-2代入到原方程中去,构造成关于k的一元二次方程,然后求解。

    5.(西安市)用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为( ) (A)x=3+2 (B)x=3-2 (C)x1=3+2 ,x2=3-2 (D)x1=3+2,x2=3-2 评析:用解方程的方法直接求解即可,也可不计算,利用一元二次方程有解,则必有两解及8的平方 根,即可选出答案。

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