提要
二元一次方程组是一元一次方程知识的延续，与函数有着密切的联系，学习时应注意加强二元一次方程和二元一次方程组及它们解法的理解：消元是解方程组的基本思想，是将复杂问题简化的一种化归思想，其目的是将多元的方程组逐步转化为一元方程。选择解法时要根据二元一次方程组的系数特点，确定是使用“代入法”还是使用“加减法”来消元。
知识全解
一、二元一次方程的概念
含有两个未知数(x和y)，并且未知项的指数都是1，这样的方程被叫做二元一次方程。二元一次方程的一般形式为ax+by=c(a≠0，b≠0)．
提示
判断一个方程是不是二元一次方程，通常先把它化为ax+by=c的形式，再根据概念判断。构成二元一次方程的条件：是方程，方程两边都是整式，含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1。
二．二元一次方程的解
使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，称为二元一次方程的一个解。
提示
(1)所有二元一次方程都有无数多组解
(2)求二元一次方程的一个解时，只要任给其中一个未知数的一个数值，并把它代入方程，解关于另一个未知数的一元一次方程即可确定原二元一次方程的一组解。
三．二元一次方程组的概念
(1)把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了二元一次方程组。
(2)二元一次方程组必须满足的三个条件：含有两个未知数；含未知数的项的次数都是1；整式方程组(含两个或两个以上的整式方程)。
(3)一般形式：
提示
(1)二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程组成的，方程的个数可超过2个，其中有的方程可以是一元一次方程。
(2)在方程组的各方程中，相同的字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程组合在一起。
四、二元一次方程组的解
一般的，使二元一次方程组中的两个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值，称为二元一次方程组的解。二元一次方程组的解要用大括号“{”表示。
提示
检验一对数是不是某个二元一次方程组的解时，可将这对数值分别代入方程组中的每一个方程，只有当这对数值满足其中的所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解。
五、代入消元法
(1)把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法称为代入消元法，简称代入法。
(2)用代入法解二元一次方程组的一般步骤如下：
①从方程组中选择一个系数较为简单的方程，然后将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来。
②用含有另一个未知数的式子代替另一个方程中的相应的未知数，从而把二元一次方程变为一元一次方程，达到消元的目的。
③解得到的一元一次方程，求出一个未知数的值。
④把求出的未知数的值代入到变形后的关系式中或原方程组的任一个方程中，求出另一个未知数。
⑤把求出的两个未知数的值用大括号的形式写出来。
提示
(1)代入消元法解方程组的关键：能够灵活“变形”和“代入”，以达到消元的目的。
(2)注意事项：
①解方程组时，不要将变形后的方程代入变形前的那个方程；
②利用已求出的未知数去求另一个未知数的值时，应代入到变形后的方程中，
计算较为简便；
③学会用检验的方法验证解方程的正确性。
六、加减消元法
(1)两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
(2)二元一次方程组加减消元法的步骤如下：
①变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，则要用适当的数乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等。
②加减：当同一个未知数的系数互为相反数时，用加法消去这个未知数，得出关于另一个未知数的一元一次方程；当同一个未知数的系数相等时，用减法消去这个未知数，得到关于另一个未知数的一元一次方程。
③解元：解所得到的一元一次方程。
④求值：将求出的一个未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。
⑤联立：把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解。
提示
(1)加减消无法的关键：把方程组中两个方程中同一个未知数的系数化为相等或互为相反的数。
(2)应注意的问题：
①使某个方程乘以一个数时，应将方程两边的每一项都和这个数相乘；
②两个方程相加减时，一定要对两个方程两边分别相加减。
方法点拨
类型1 识别二元一次方程及二元一次方程组
【解答】选A
【方法总结】识别二元一次方程组时，要注意方程中有没有二次项，有没有不是整式的项，有没有超过两个未知数的项，若存在上面现象的某一个或几个，则不是二元一次方程组。
类型2 代入消元法解二元一次方程组
例3 解方程组
【分析】二元一次方程组中，若其中一个方程的某个未知数的系数是1或-1，则可经过变形，将它代入到另一个方程中，用代入法求解．由x+y=4变形得y=4-x ③，把③代入②即可求得x的值。
【解答】由①得：y=4-x ③
把③代入②得：2x-(4-x)=5
解得：x=3
把x=3代入③得：y=1
∴这个方程组的解为
例4 解方程组
【分析】本题如果直接使用代入法解题，计算过程较繁琐，仔细观察题目可以发现两个方程中y的系数正好呈倍数关系，因此可以把6y看作一个整体代入②式
【解答】由方程①，得6y=13-5x ③
把③代入方程②，得7x+3(13-5x)=-1，整理，得8x=40
【方法总结】用代入法解二元一次方程组时，需先观察方程组的系数特点，判断消去哪个未知数较为简单，代入消元时，要注意所代入的代数式的整体性，必要时添加括号，以避免符号错误。
类型3 加减消元法解二元一次方程组
例5 方程组
【分析】当二元一次方程组中某个未知数的系数相等或互为相反数时，可以将两个方程相加或相减达到消元的目的。观察方程组，可以发现y的系数分别是3和-3，它们是一对相反数，将方程①和方程②相加就可以消去y，得到一个关于x的一元一次方程
【解答】①+②得：
3x=3,
X=1
把x=1代入方程①：
1+3y=4,
y=1
解得：
例6 解方程组：
【分析】观察方程组中两个未知数的系数特点，可以发现方程②中未知数y的系数为方程①中未知数y的系数的2倍，若将方程①两边都乘2，再和方程②相加即可消去y，即利用加减消元法来解答，
【解答】①×2．得6x-10y=8 ③
②+③，得8x=24，解得x=3
把x=3代入①，得3×3-5y=4，解得y=1．
所以，这个方程组的解是
【方法总结】此题方程组中的两个方程，两个未知数的系数分别既不相等也不互为相反数，即绝对值不相等，因此先将两个方程分别变形，使某一个未知数的系数的绝对值相等。另外，用加减法解二元一次方程组时，需注意两方程相减过程中符号的正确处理。
类型4 灵活选择适当的方法解二元一次方程组
【分析】当方程中含有分数或小数时，可将方程化为一般形式：因方程以比例的形式出现，可引入参数k，使解题过程得到简化
【解答】方法1：(代入法)由②得x=2/3y ③
【方法总结】所有的二元一次方程都可以用“代入法”解，也都可以用“加减法”解。但是，通过比较，我们发现对于同一个方程组，用两种方法解有“繁”、“筒”之别，所以，应该根据方程组的结构特点，选择最优方法．同时，注意一题多解，比较各种方法之间的异同点。二元一次方程组的解法不是唯一的，要根据题目的特征灵活选择适当的方法。
类型6 二元一次方程组及其解法的应用
例8 若方程mx+ny=6的两个解是
①+②得3m=12，即m=4。
将m=4代入①得n=2。
故选A。
【方法总结】此题综合考查了二元一次方程组解的意义及二元一次方程组的解
法，解题的关键是根据二元一次方程组解的意义，将方程组的解代入方程组，得到以所求字母为未知数的新方程组。

	

资料内容预览
 一．解答题(共16小题)
1．求适合的x，y的值．
考点：
解二元一次方程组．809625
分析：
先把两方程变形(去分母)，得到一组新的方程，然后在用加减消元法消去未知数x，求出y的值，继而求出x的值．
解答：
解：由题意得：，
由(1)×2得：3x﹣2y=2(3)，
由(2)×3得：6x+y=3(4)，
(3)×2得：6x﹣4y=4(5)，
(5)﹣(4)得：y=﹣，
把y的值代入(3)得：x=，
∴．
点评：
本题考查了二元一次方程组的解法，主要运用了加减消元法和代入法．
2．解下列方程组
(1)
(2)
(3)
(4)．
考点：
解二元一次方程组．809625
分析：
(1)(2)用代入消元法或加减消元法均可；
(3)(4)应先去分母、去括号化简方程组，再进一步采用适宜的方法求解．
解答：
解：(1)①﹣②得，﹣x=﹣2，
解得x=2，
把x=2代入①得，2+y=1，
解得y=﹣1．
故原方程组的解?ken=886947065
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二元一次方程组定义
由几个方程组成的一组方程叫做方程组，如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
接下来，一起做道热身题，检测一下自己是否完全理解了二元一次方程组的定义。下面哪个选项是二元一次方程组呢？向左滑动就能看到答案，做完之后自我验证一下吧！动脑筋前不要偷看哦！  
左滑查看答案
怎么样，做对了吗？
二元一次方程组与一元一次方程、三元一次方程组等知识板块关系密切，起着承上启下的作用。
二元一次方程组的重要解题思路是消元，将许多关系式中的若干个元素通过有限次地变换，消去其中的某些元素，从而使问题获得解决。最为常见的消元方法有代入消元法和加减消元法，除了这两种，二元一次方程组的消元思想还可以延伸出许多解题方法，如消常数法、叠加法、整体代入消元法等等。
这是一道非常简单的例题，学生在拿到题目后，常会想到如下两种消元方法，来解开这个方程组。
在例题中可以看到，通过两种常规的消元方法，问题得到了有效的解决。接下来，看一下除了这两种常规方法以外，其他三种方法是如何解开这道题目的。
这五种方法你们都学会了吗？一起来做一下这道题，检测一下吧！
总结     
透过这五种解题方法，我们体验到了数学的化归思想，而且知道解二元一次方程组中化归的基本方法——消元，即把二元化为一元，通过解一元一次方程达到解二元一次方程组的目的。

	

二元一次方程组解法练习题精选(含答案)一．解答题(共16小题)1．求适合的x，y的值．2．解下列方程组(1)(2)(3)(4)．　3．解方程组：　4．解方程组：　5．解方程组：　6．已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有和．(1)求k，b的值．(2)当x=2时，y的值．(3)当x为何值时，y=3？　7．解方程组：(1)；(2)．　8．解方程组：　9．解方程组：　10．解下列方程组：(1)(2)　11．解方程组：(1)(2)　12．解二元一次方程组：(1)；(2)．　13．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为．(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？(2)求出原方程组的正确解．　14．　15．解下列方程组：(1)；(2)．　16．解下列方程组：(1)(2)　17.方程组的解是否满足2x－y=8？满足2x－y=8的一对x，y的值是否是方程组的解？
  二元一次方程组解法练习题精选(含答案)参考答案与试题解析　一．解答题(共16小题)1．求适合的x，y的值．
考点：
解二元一次方程组．809625 
分析：
先把两方程变形(去分母)，得到一组新的方程，然后在用加减消元法消去未知数x，求出y的值，继而求出x的值．
解答：
解：由题意得：，由(1)×2得：3x﹣2y=2(3)，由(2)×3得：6x+y=3(4)，(3)×2得：6x﹣4y=4(5)，(5)﹣(4)得：y=﹣，把y的值代入(3)得：x=，∴．
点评：
本题考查了二元一次方程组的解法，主要运用了加减消元法和代入法．
　2．解下列方程组(1)(2)(3)(4)．
考点：
解二元一次方程组．809625 
分析：
(1)(2)用代入消元法或加减消元法均可；(3)(4)应先去分母、去括号化简方程组，再进一步采用适宜的方法求解．
解答：
解：(1)①﹣②得，﹣x=﹣2，解得x=2，把x=2代入①得，2+y=1，解得y=﹣1．故原方程组的解为．(2)①×3﹣②×2得，﹣13y=﹣39，解得，y=3，把y=3代入①得，2x﹣3×3=﹣5，解得x=2．故原方程组的解为．(3)原方程组可化为，①+②得，6x=36，x=6，①﹣②得，8y=﹣4，y=﹣．所以原方程组的解为．(4)原方程组可化为：，①×2+②得，x=，把x=代入②得，3×﹣4y=6，y=﹣．所以原方程组的解为．
点评：
利用消元法解方程组，要根据未知数的系数特点选择代入法还是加减法：①相同未知数的系数相同或互为相反数时，宜用加减法；②其中一个未知数的系数为1时，宜用代入法．
　3．解方程组：
考点：
解二元一次方程组．809625 
专题：
计算题．
分析：
先化简方程组，再进一步根据方程组的特点选用相应的方法：用加减法．
解答：
解：原方程组可化为，①×4﹣②×3，得7x=42，解得x=6．把x=6代入①，得y=4．所以方程组的解为．
点评：
注意：二元一次方程组无论多复杂，解二元一次方程组的基本思想都是消元．消元的方法有代入法和加减法．
　4．解方程组：
考点：
解二元一次方程组．809625 
专题：
计算题．
分析：
把原方程组化简后，观察形式，选用合适的解法，此题用加减法求解比较简单．
解答：
解：(1)原方程组化为，①+②得：6x=18，∴x=3．代入①得：y=．所以原方程组的解为．
点评：
要注意：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法．本题适合用此法．
　5．解方程组：
考点：
解二元一次方程组．809625 
专题：
计算题；换元法．
分析：
本题用加减消元法即可或运用换元法求解．
解答：
解：，①﹣②，得s+t=4，①+②，得s﹣t=6，即，解得．所以方程组的解为．
点评：
此题较简单，要熟练解方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法．
　6．已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有和．(1)求k，b的值．(2)当x=2时，y的值．(3)当x为何值时，y=3？
考点：
解二元一次方程组．809625 
专题：
计算题．
分析：
(1)将两组x，y的值代入方程得出关于k、b的二元一次方程组，再运用加减消元法求出k、b的值．(2)将(1)中的k、b代入，再把x=2代入化简即可得出y的值．(3)将(1)中的k、b和y=3代入方程化简即可得出x的值．
解答：
解：(1)依题意得：①﹣②得：2=4k，所以k=，所以b=．(2)由y=x+，把x=2代入，得y=．(3)由y=x+把y=3代入，得x=1．
点评：
本题考查的是二元一次方程的代入消元法和加减消元法，通过已知条件的代入，可得出要求的数．
　7．解方程组：(1)；(2)．
考点：
解二元一次方程组．809625 
分析：
根据各方程组的特点选用相应的方法：(1)先去分母再用加减法，(2)先去括号，再转化为整式方程解答．
解答：
解：(1)原方程组可化为，①×2﹣②得：y=﹣1，将y=﹣1代入①得：x=1．∴方程组的解为；(2)原方程可化为，即，①×2+②得：17x=51，x=3，将x=3代入x﹣4y=3中得：y=0．∴方程组的解为．
点评：
这类题目的解题关键是理解解方程组的基本思想是消元，掌握消元的方法有：加减消元法和代入消元法．根据未知数系数的特点，选择合适的方法．
　8．解方程组：
考点：
解二元一次方程组．809625 
专题：
计算题．
分析：
本题应把方程组化简后，观察方程的形式，选用合适的方法求解．
解答：
解：原方程组可化为，①+②，得10x=30，x=3，代入①，得15+3y=15，y=0．则原方程组的解为．
点评：
解答此题应根据各方程组的特点，有括号的去括号，有分母的去分母，然后再用代入法或加减消元法解方程组．
　9．解方程组：
考点：
解二元一次方程组．809625 
专题：
计算题．
分析：
本题为了计算方便，可先把(2)去分母，然后运用加减消元法解本题．
解答：
解：原方程变形为：，两个方程相加，得4x=12，x=3．把x=3代入第一个方程，得4y=11，y=．解之得．
点评：
本题考查的是二元一次方程组的解法，方程中含有分母的要先化去分母，再对方程进行化简、消元，即可解出此类题目．
　10．解下列方程组：(1)(2)
考点：
解二元一次方程组．809625 
专题：
计算题．
分析：
此题根据观察可知：(1)运用代入法，把①代入②，可得出x，y的值；(2)先将方程组化为整系数方程组，再利用加减消元法求解．
解答：
解：(1)，由①，得x=4+y③，代入②，得4(4+y)+2y=﹣1，所以y=﹣，把y=﹣代入③，得x=4﹣=．所以原方程组的解为．(2)原方程组整理为，③×2﹣④×3，得y=﹣24，把y=﹣24代入④，得x=60，所以原方程组的解为．
点评：
此题考查的是对二元一次方程组的解法的运用和理解，学生可以通过题目的训练达到对知识的强化和运用．
　11．解方程组：(1)(2)
考点：
解二元一次方程组．809625 
专题：
计算题；换元法．
分析：
方程组(1)需要先化简，再根据方程组的特点选择解法；方程组(2)采用换元法较简单，设x+y=a，x﹣y=b，然后解新方程组即可求解．
解答：
解：(1)原方程组可化简为，解得．(2)设x+y=a，x﹣y=b，∴原方程组可化为，解得，∴∴原方程组的解为．
点评：
此题考查了学生的计算能力，解题时要细心．
　12．解二元一次方程组：(1)；(2)．
考点：
解二元一次方程组．809625 
专题：
计算题．
分析：
(1)运用加减消元的方法，可求出x、y的值；(2)先将方程组化简，然后运用加减消元的方法可求出x、y的值．
解答：
解：(1)将①×2﹣②，得15x=30，x=2，把x=2代入第一个方程，得y=1．则方程组的解是；(2)此方程组通过化简可得：，①﹣②得：y=7，把y=7代入第一个方程，得x=5．则方程组的解是．
点评：
此题考查的是对二元一次方程组的解法的运用和理解，学生可以通过题目的训练达到对知识的强化和运用．
　13．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为．(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？(2)求出原方程组的正确解．
考点：
解二元一次方程组．809625 
专题：
计算题．
分析：
(1)把甲乙求得方程组的解分别代入原方程组即可；(2)把甲乙所求的解分别代入方程②和①，求出正确的a、b，然后用适当的方法解方程组．
解答：
解：(1)把代入方程组，得，解得：．把代入方程组，得，解得：．∴甲把a看成﹣5；乙把b看成6；(2)∵正确的a是﹣2，b是8，∴方程组为，解得：x=15，y=8．则原方程组的解是．
点评：
此题难度较大，需同学们仔细阅读，弄清题意再解答．
　14．
考点：
解二元一次方程组．809625 
分析：
先将原方程组中的两个方程分别去掉分母，然后用加减消元法求解即可．
解答：
解：由原方程组，得，由(1)+(2)，并解得x=(3)，把(3)代入(1)，解得y=，∴原方程组的解为．
点评：
用加减法解二元一次方程组的一般步骤：1．方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；2．把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；3．解这个一元一次方程；4．将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解．
　15．解下列方程组：(1)；(2)．
考点：
解二元一次方程组．809625 
分析：
将两个方程先化简，再选择正确的方法进行消元．
解答：
解：(1)化简整理为，①×3，得3x+3y=1500③，②﹣③，得x=350．把x=350代入①，得350+y=500，∴y=150．故原方程组的解为．(2)化简整理为，①×5，得10x+15y=75③，②×2，得10x﹣14y=46④，③﹣④，得29y=29，∴y=1．把y=1代入①，得2x+3×1=15，∴x=6．故原方程组的解为．
点评：
方程组中的方程不是最简方程的，最好先化成最简方程，再选择合适的方法解方程．
　16．解下列方程组：(1)(2)
考点：
解二元一次方程组．809625 
分析：
观察方程组中各方程的特点，用相应的方法求解．
解答：
解：(1)①×2﹣②得：x=1，将x=1代入①得：2+y=4，y=2．∴原方程组的解为；(2)原方程组可化为，①×2﹣②得：﹣y=﹣3，y=3．将y=3代入①得：x=﹣2．∴原方程组的解为．
点评：
解此类题目要注意观察方程组中各方程的特点，采用加减法或代入法求解．