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  • 一次函数 两点法
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    2021-04-18 17:13:37

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  • 第九章 罚函数法

    千次阅读 2021-06-22 01:05:50
    文章主要介绍外罚函数法、内点法、乘子法这三种罚函数法,其基本思想为根据约束条件的特点,将其转化为某种惩罚函数加到目标函数中去,从而将约束优化问题转化为系列的无约束优化问题来求解。

    内容来自马昌凤编著的《最优化方法及其Matlab程序设计》,文章仅为个人的学习笔记,感兴趣的朋友详见原书。

    罚函数法的基本思想:根据约束条件的特点,将其转化为某种惩罚函数加到目标函数中去,从而将约束优化问题转化为一系列的无约束优化问题来求解。

    1.外罚函数法

    算法

    在这里插入图片描述

    示例

    在这里插入图片描述

    2.内点法

    内点法仅适用于不等式约束的优化问题
    m i n f ( x ) , x ∈ R n min f(x), x∈R^n minf(x),xRn
    s . t . g i ( x ) ≥ 0 , i = 1 , . . . , m s.t. g_i(x)≥0, i=1,...,m s.t.gi(x)0,i=1,...,m

    基本思想:保持每一个迭代点 x k x_k xk都是可行域 D D D的内点,可行域的边界被筑起一道很高的“围墙”作为障碍,当迭代点靠近边界时,增广目标函数值骤然增大,以示“惩罚”,并阻止迭代点穿越边界。

    算法

    在这里插入图片描述

    示例

    在这里插入图片描述
    故对一般约束问题的内点法,等式约束利用“外罚函数”的思想,而不等式约束则利用“障碍函数”的思想构造出混合增广目标函数。
    在这里插入图片描述

    3.乘子法

    基本思想:从原问题的拉格朗日函数出发,再加上适当的罚函数,从而将原问题转化为求解一系列的无约束优化子问题

    等式约束问题的乘子法

    在这里插入图片描述

    不等式约束问题的乘子法

    为等式约束的推广,即先引进辅助变量把不等式约束化为等式约束,再利用最优性条件消去辅助变量。
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    程序

    增广拉格朗日函数

    function psi=mpsi(x,fun,hf,gf,dfun,dhf,dgf,mu,lambda,sigma)
    f=feval(fun,x);  he=feval(hf,x);  gi=feval(gf,x);
    l=length(he); m=length(gi);
    psi=f;  s1=0.0;
    for(i=1:l)
        psi=psi-he(i)*mu(i);
        s1=s1+he(i)^2;
    end
    psi=psi+0.5*sigma*s1;
    s2=0.0;
    for(i=1:m)
        s3=max(0.0, lambda(i) - sigma*gi(i));
        s2=s2+s3^2-lambda(i)^2;
    end
    psi=psi+s2/(2.0*sigma);
    

    增广拉格朗日函数的梯度

    function dpsi=dmpsi(x,fun,hf,gf,dfun,dhf,dgf,mu,lambda,sigma)
    dpsi=feval(dfun,x);
    he=feval(hf,x);  gi=feval(gf,x);
    dhe=feval(dhf,x);  dgi=feval(dgf,x);
    l=length(he); m=length(gi);
    for(i=1:l)
        dpsi=dpsi+(sigma*he(i)-mu(i))*dhe(:,i);
    end
    for(i=1:m)
        dpsi=dpsi+(sigma*gi(i)-lambda(i))*dgi(:,i);
    end
    

    乘子法程序

    function [x,mu,lambda,output]=multphr(fun,hf,gf,dfun,dhf,dgf,x0)
    % 功能: 用乘子法解一般约束问题:  min f(x), s.t. h(x)=0, g(x)>=0
    %输入:  x0是初始点, fun, dfun分别是目标函数及其梯度;
    %   hf, dhf分别是等式约束(向量)函数及其Jacobi矩阵的转置;
    %   gf, dgf分别是不等式约束(向量)函数及其Jacobi矩阵的转置;
    %输出:  x是近似最优点,mu, lambda分别是相应于等式约束和不
    %   等式约束的乘子向量;output是结构变量,输出近似极小值f,%   代次数
    maxk=500;   %最大迭代次数
    sigma=2.0;  %罚因子
    eta=2.0;  theta=0.8;  %PHR算法中的实参数
    k=0; ink=0;  %k, ink分别是外迭代和内迭代次数
    epsilon=1e-5;  %终止误差值
    x=x0;  he=feval(hf,x); gi=feval(gf,x);
    n=length(x); l=length(he); m=length(gi);
    %选取乘子向量的初始值
    mu=0.1*ones(l,1);  lambda=0.1*ones(m,1);
    btak=10;  btaold=10;  %用来检验终止条件的两个值
    while(btak>epsilon & k<maxk)
        %调用BFGS算法程序求解无约束子问题
        [x,ival,ik]=bfgs('mpsi','dmpsi',x0,fun,hf,gf,dfun,dhf,dgf,mu,lambda,sigma);
        ink=ink+ik; 
        he=feval(hf,x); gi=feval(gf,x);
        btak=0.0;
        for (i=1:l), btak=btak+he(i)^2;   end
        for i=1:m
            temp=min(gi(i),lambda(i)/sigma);
            btak=btak+temp^2;
        end
        btak=sqrt(btak);   
        if btak>epsilon
            if(k>=2 & btak > theta*btaold)
                sigma=eta*sigma;
            end
            %更新乘子向量
            for (i=1:l),  mu(i)=mu(i)-sigma*he(i);  end
            for (i=1:m)
                lambda(i)=max(0.0,lambda(i)-sigma*gi(i));
            end
        end
        k=k+1;
        btaold=btak;
        x0=x;
    end
    f=feval(fun,x);
    output.fval=f;
    output.iter=k;
    output.inner_iter=ink;
    output.bta=btak;
    %xstar=[0.5*(sqrt(7)-1);0.25*(sqrt(7)+1)];
    %err1=norm(x-xstar)
    
    
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  • 1. 引言我们在中学的时候学过一元二次函数,求解时引入个求根公式,代入公式就可以得到不同的根,假如想计算个高次方程的解,我们还能推导出求根公式吗?伽罗瓦在群论中证实,五次及以上多项式方程没有显示表达...

    1. 引言

    我们在中学的时候学过一元二次函数,求解时引入一个求根公式,代入公式就可以得到不同的根,假如想计算一个高次方程的解,我们还能推导出求根公式吗?

    伽罗瓦在群论中证实,五次及以上多项式方程没有显示表达的求根公式,但是科学研究(例如行星轨道计算)中还是有很多求解高次方程的真实需求。既然得不到明确的求根公式,我们可以用迭代的办法来不断逼近真实的解。

    多项式方程求解的问题实际上可以看成是函数求极值,假如我们对

    的求解得到驻点,将驻点代入

    就可以计算出函数的极值。显然低次方程的求解可以用求根公式精确计算

    的值,但是高次方程的求解就要用逼近的思路比如梯度下降法、最速下降法、牛顿法等。本文主要讨论牛顿法和使用python对一元函数和多元函数求极值。

    2. 牛顿法基本原理

    2.1. 一元函数牛顿法

    假如函数

    是一个一元函数,使用泰勒公式二阶近似可以得到

    一元函数取极值的条件是

    ,两端分别求导(下式约等号写作等号)得到

    整理出

    的迭代公式

    进一步写出迭代关系表达式,得到

    因为牛顿法的迭代关系是根据要求解极值函数的导数图像在该点的斜率进行迭代,因此没有没有步长的概念,在哪一点得到极值仅仅依靠迭代的步数。相应的,迭代的次数越多越接近极值点。

    上述在介绍了抽象的公式之后,我们来看这样一个小例子,已知一个函数

    ,在没有其他约束条件求

    的极值。

    在用牛顿法计算极值之前,使用软件绘制

    的图像,用肉眼粗略的观测一下极值在哪里,可以帮助我们在后续计算中检验正确与否。

    image.png

    首先,需要给一个初始值

    ,这是要开始进行迭代的位置;

    然后,计算初始位置的一阶导数和二阶导数值,

    其次,代入迭代公式

    ;

    最后,将得到的第一次迭代的值

    重复上述两个步骤,得到

    、···

    ,停止条件为所设定的迭代步数。

    2.2. 一元函数牛顿法的python程序

    from sympy import *

    # step为迭代步数,x0为初始位置,obj为要求极值的函数

    def newtons(step, x0, obj):

    i = 1 # 记录迭代次数的变量

    x0 = float(x0) # 浮点数计算更快

    obj_deri = diff(obj, x) # 定义一阶导数,对应上述公式

    obj_sec_deri = diff(obj, x, 2) # 定义二阶导数,对应上述公式

    while i <= step:

    if i == 1:

    # 第一次迭代的更新公式

    xnew = x0 - (obj_deri.subs(x, x0)/obj_sec_deri.subs(x, x0))

    print('迭代第%d次:%.5f' %(i, xnew))

    i = i + 1

    else:

    #后续迭代的更新公式

    xnew = xnew - (obj_deri.subs(x, xnew)/obj_sec_deri.subs(x, xnew))

    print('迭代第%d次:%.5f' % (i, xnew))

    i = i + 1

    return xnew

    x = symbols("x") # x为字符变量

    result = newtons(50, 10, x**6+x)

    print('最佳迭代的位置:%.5f' %result)

    运行程序结果如下:

    迭代第1次:8.00000

    迭代第2次:6.39999

    迭代第3次:5.11997

    迭代第4次:4.09593

    迭代第5次:3.27662

    迭代第6次:2.62101

    迭代第7次:2.09610

    迭代第8次:1.67515

    迭代第9次:1.33589

    迭代第10次:1.05825

    迭代第11次:0.82002

    迭代第12次:0.58229

    迭代第13次:0.17590

    迭代第14次:-34.68063

    迭代第15次:-27.74450

    迭代第16次:-22.19560

    迭代第17次:-17.75648

    迭代第18次:-14.20519

    迭代第19次:-11.36415

    迭代第20次:-9.09132

    迭代第21次:-7.27306

    迭代第22次:-5.81846

    迭代第23次:-4.65480

    迭代第24次:-3.72391

    迭代第25次:-2.97930

    迭代第26次:-2.38386

    迭代第27次:-1.90812

    迭代第28次:-1.52901

    迭代第29次:-1.22931

    迭代第30次:-0.99804

    迭代第31次:-0.83203

    迭代第32次:-0.73518

    迭代第33次:-0.70225

    迭代第34次:-0.69886

    迭代第35次:-0.69883

    迭代第36次:-0.69883

    迭代第37次:-0.69883

    迭代第38次:-0.69883

    迭代第39次:-0.69883

    迭代第40次:-0.69883

    迭代第41次:-0.69883

    迭代第42次:-0.69883

    迭代第43次:-0.69883

    迭代第44次:-0.69883

    迭代第45次:-0.69883

    迭代第46次:-0.69883

    迭代第47次:-0.69883

    迭代第48次:-0.69883

    迭代第49次:-0.69883

    迭代第50次:-0.69883

    最佳迭代的位置:-0.69883

    Process finished with exit code 0

    函数的极值点为-0.69883,与我们之前绘制的图像观测值一致。

    2.3. 多元函数牛顿法

    多元函数用牛顿法求极值的思路依然采用泰勒公式近似展开,只不过这里的

    为向量形式,假设

    为二元函数:

    对上述公式两侧求梯度,令其等于零,之后再进行整理,可得迭代公式(由于涉及矩阵求导数等一系列复杂操作,此处可以粗浅的理解一下):

    上述第一个公式中

    表示在

    点处的梯度值,

    表示该点的二阶梯度也可以写成Hessian矩阵,迭代公式使用了Hessian矩阵的逆和梯度值来确定。

    2.3. 多元函数牛顿法的python程序

    from sympy import *

    import numpy as np

    # 假设多元函数是二维形式

    # x_init为二维向量(x1, x2)

    def newton_dou(step, x_init, obj):

    i = 1 # 记录迭代次数的变量

    while i <= step:

    if i == 1:

    grandient_obj = np.array([diff(obj, x1).subs(x1, x_init[0]).subs(x2, x_init[1]), diff(obj, x2).subs(x1, x_init[0]).subs(x2, x_init[1])], dtype=float) # 初始点的梯度值

    hessian_obj = np.array([[diff(obj, x1, 2), diff(diff(obj, x1), x2)], [diff(diff(obj, x2), x1), diff(obj, x2, 2)]], dtype=float) # 初始点的hessian矩阵

    inverse = np.linalg.inv(hessian_obj) # hessian矩阵求逆

    x_new = x_init - np.matmul(inverse, grandient_obj) # 第一次迭代公式

    print(x_new)

    # print('迭代第%d次:%.5f' %(i, x_new))

    i = i + 1

    else:

    grandient_obj = np.array([diff(obj, x1).subs(x1, x_new[0]).subs(x2, x_new[1]), diff(obj, x2).subs(x1, x_new[0]).subs(x2, x_new[1])], dtype=float) # 当前点的梯度值

    hessian_obj = np.array([[diff(obj, x1, 2), diff(diff(obj, x1), x2)], [diff(diff(obj, x2), x1), diff(obj, x2, 2)]], dtype=float) # 当前点的hessian矩阵

    inverse = np.linalg.inv(hessian_obj) # hessian矩阵求逆

    x_new = x_new - np.matmul(inverse, grandient_obj) # 迭代公式

    print(x_new)

    # print('迭代第%d次:%.5f' % (i, x_new))

    i = i + 1

    return x_new

    x0 = np.array([0, 0], dtype=float)

    x1 = symbols("x1")

    x2 = symbols("x2")

    newton_dou(5, x0, x1**2+2*x2**2-2*x1*x2-2*x2)

    程序执行的结果如下:

    [1. 1.]

    [1. 1.]

    [1. 1.]

    [1. 1.]

    [1. 1.]

    Process finished with exit code 0

    经过实际计算函数

    的极值点为

    ,只需一次迭代就能收敛到极值点。

    3. 结束语

    本文只是粗浅的将牛顿法的原理进行语言和程序描述,没有过多的探讨具体实施的细节,实际中机器学习等相关算法进行牛顿法迭代时并非如此编程。牛顿法由牛顿本人发现并命名,但是拉弗森早于牛顿发现的46年就已经提出该算法,现在牛顿法又称为牛顿-拉弗森方法。牛顿法有很多的缺点在此并没有讨论,例如在一元函数情况时,会产生导数为零不能迭代的情况或者迭代点有震荡往复等情况出现;多元函数的hessian矩阵计算困难,收敛过慢等情况,因此又产生了拟牛顿法和阻尼牛顿法等改进的方法,想进一步学习的读者可以参考非线性优化领域的相关书籍。

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  • 拉格朗日乘子1 无约束问题2 等式约束问题3 不等式约束问题KTT条件4 拉格朗日乘子问题罚函数法1 定义2 外罚函数法3 内罚函数法广义乘子1 等式约束广义乘子2 不等式约束广义乘子3 一般约束广义乘子本文...

    本文简单总结一些相关概念,具体证明以后再补充; 
    1. 拉格朗日乘子法 
    2. 罚函数法:外罚函数与内罚函数法 
    3. 广义乘子法

    1. 拉格朗日乘子法

    1.1 无约束问题

    无约束问题,定义为 minf(x)minf(x), 对于凸函数而言,直接利用费马定理,f(x)=0f′(x)=0,获得最优解;

    1.2 等式约束问题

    等式约束定义如下: 

    minf(x)s.t.g(x)=0minf(x)s.t.g(x)=0

    现在利用拉格朗日乘子法,合并式子: 
    L(x,a)=f(x)+ag(x)L(x,a)=f(x)+ag(x)

    x,ax,a 分别求偏导: 
    xL(x,a)=f(x)+ag(x)=0aL(x,a)=g(x)=0∇xL(x,a)=f′(x)+ag′(x)=0∇aL(x,a)=g(x)=0

    发现第二个式子刚好是其约束条件;

    为什么? 
    现在,我们在平面内投影函数,画出f(x)f(x)的等高线,以及g(x)=0g(x)=0的边界线;如图示: 
    蓝色虚线代表了f(x,y)f(x,y)的等高线;红色代表g(x,y)=c=0g(x,y)=c=0
    这里写图片描述 
    回顾: 
    1. 方向导数是各个方向上的导数 
    2. 偏导数连续才有梯度存在 
    3. 梯度的方向是方向导数中取到最大值的方向,梯度的值是方向导数的最大值(垂直方向) 
    假设f(x)f(x)的最小值在圆心处,即梯度方向向外;g(x,y)g(x,y)的梯度方向向下; 
    那么满足条件的值一定是两个函数相切处;如果相交,那么一定还存在一个等高线与红线相切,而且更小;在切点处,两个函数的梯度共线,即f(x)=ag(x),a<0f′(x)=−ag′(x),a<0;做简单的变换后:f(x)+ag(x)=0f′(x)+ag′(x)=0,这就是第一个等式啦,同时还需要满足第二个式子;

    1.3 不等式约束问题(KTT条件)

    不等式约束问题: 

    minf(x)s.t.g(x)=0h(x)<=0minf(x)s.t.g(x)=0h(x)<=0

    引入拉格朗日函数:(KTT 条件) 
    L(x,a,b)=f(x)+ag(x)+bh(x)s.t.g(x)=0bh(x)=0L(x,a,b)=f(x)+ag(x)+bh(x)s.t.g(x)=0bh(x)=0

    这样就将不等式约束变成了等式约束,偏导等于零即可求得最优参数; 
    minf(x)minxmaxa,bL(x,a,b)minf(x)等价于minxmaxa,bL(x,a,b)

    对偶变换后有:
    maxa,bminL(x,a,b)maxa,bminL(x,a,b)

    因为 h(x)<0h(x)<0 ,所以只有当 bh(x)=0bh(x)=0 时, L(x,a,b)L(x,a,b) 才能取得最大值;否则不满足条件;所以KTT条件是 minf(x)minf(x) 的必要条件;

    补充:SVM 满足KTT条件:在边界上的点,有h(x)=0h(x)=0;非边界处,令b=0;

    1.4 拉格朗日乘子法问题

    当 目标函数的Hess矩阵不正定时(特征值不全为正,或者行列式不为正,那么此时的偏导为0处,并不能确定是否是极值点),所以无法求解;

    例子: 
    求解

    {minf=2x2+y22xys.t.x+y=1{minf=2x2+y2−2xys.t.x+y=1

    我们定义 L(x,y,λ)=fλg(x)=2x2+y22xyλ(x+y1)L(x,y,λ)=f−λg(x)=2x2+y2−2xy−λ(x+y−1) 
    求偏导可得:
    Lx=4x2yλ=0Ly=2y2xλ=0Lλ=xy1=0{∂L∂x=4x−2y−λ=0∂L∂y=2y−2x−λ=0∂L∂λ=x−y−1=0

    我们可以计算原目标函数的Hess矩阵: A=2Lx22Lyx2Lxy2Ly2=[4222]A=[∂2L∂x2∂2L∂x∂y∂2L∂y∂x∂2L∂y2]=[4−2−22]正定矩阵; 
    再看一个目标函数,方程稍作修改: 
    {minf=2x2+y2+3xys.t.x+y=1{minf=2x2+y2+3xys.t.x+y=1

    直接求偏导,发现方程无解; 
    再看其Hess矩阵: B=[4332]B=[4332]非正定矩阵; 
    也就是说,在梯度为零处,我们无法判断是否是极值;


    2. 罚函数法

    2.1 定义

    罚函数法:根据约束条件的特点,构造出惩罚函数,然后加入到目标函数中,将其转化为无约束问题;新目标函数的解与原始目标函数解一致;

    2.1.1 等式约束的罚函数法:

    {minf(x)s.t.gi(x)=0{minf(x)s.t.gi(x)=0

    我们引入一个增广目标函数: 
    minF(x,σ)=f(x)+σP(x)P(x)=gTgminF(x,σ)=f(x)+σP(x)P(x)=gTg

    这里: σσ 是惩罚因子,取很大的正数, F(x,σ)F(x,σ) 是罚函数, σP(x)σP(x) 是惩罚项; 
    惩罚项的性质: 
    1. 当xx为可行解时,P(x)=0P(x)=0,惩罚项为0;  
    2.当xx不在可行域内,此时σP(x)σP(x)会很大,那么求得minF(x,σ)minF(x,σ)必然有minf(x)minf(x)minx,σ[σP(x)]minx,σ[σP(x)]同时成立;所以,当σσ充分大时,增广目标函数的最优值接近于原始问题的最优值;(σσ→∞,若原问题有解(F<F<∞),则会有g=0g=0

    例如: 

    minf(x)=(x1+x2)2s.t.g(x)=x1+x2=cminf(x)=(x1+x2)2s.t.g(x)=x1+x2=c

    构造罚函数为:
    minL(x,σ)=minf(x)+σ||g(x)||22minL(x,σ)=minf(x)+σ||g(x)||22

    σσ设置的值较大;第一部分优化解,第二部分使得解在可行域内; 
    如果x不在可行域内,需要我们大步迭代;

    2.1.2 不等式约束的罚函数法:

    {minf(x)s.t.hi(x)>=0{minf(x)s.t.hi(x)>=0

    此时我们构造惩罚项; 
    (1) P(x)=[min(0,hi(x))]2P(x)=∑[min(0,hi(x))]2 ,可以简单分析出:当 hi(x)>=0hi(x)>=0 P(x)=0P(x)=0 ,满足条件;当不在可行域内时,我们需要加大惩罚; 
    (2) P(x)=αih2iP(x)=∑αihi2 ,其中 αi={0,hi>=01,hi<0αi={0,hi>=01,hi<0

    2.1.3 一般形式的罚函数法: 

    minf(x)s.t.gi(x)=0hi(x)>=0{minf(x)s.t.gi(x)=0hi(x)>=0

    那么罚函数为:
    P(x)=[gi(x)]2+[min(0,hi(x))]2P(x)=∑[gi(x)]2+∑[min(0,hi(x))]2

    特别注意:惩罚因子是充分大的数,拉格朗日乘子是一个确定的参数,意义不一样;(当惩罚因子过大时,在求解极小值的过程中,Hess矩阵变成病态矩阵?)

    2.2 外罚函数法

    对不在可行域内,加大惩罚;上文介绍的就是外罚函数法; 
    这里写图片描述

    2.3 内罚函数法

    又称障碍函数法,内点法);在可行域内筑起高墙,迫使值在可行域内,目标函数无法穿越;(只适用于不等式约束) 
    障碍函数一般取:(1)倒数 (2)对数 
    障碍因子为很小的正数 
    xx趋于边界时,那么障碍函数趋于无穷;初始点在可行域内部; 
    在可行域内时,障碍函数值很小,增广目标函数与原始目标函数等价了;

    这里写图片描述


    3. 广义乘子法

    3.1 等式约束广义乘子法:

    {minf(x)s.t.gi(x)=0{minf(x)s.t.gi(x)=0

    广义乘子法是 拉格朗日乘子法与罚函数法 的结合; 
    ϕ(x,λ,σ)=f(x)+λTg(x)+12σgT(x)g(x)ϕ(x,λ,σ)=f(x)+λTg(x)+12σgT(x)g(x)

    在罚函数的基础上增加了乘子项,首先在 σσ 足够大的基础上,获得 ϕϕ 的极小值,然后在调整 λλ 获得原问题的最优解; 
    迭代公式如下 : 
    梯度等于零: xϕ(xk,λk,σk)=0∇xϕ(xk,λk,σk)=0 ,即
    xf(xk)+λkxgT(xk)+σkxgT(xk)g(xk)=xf(xk)+xgT(xk)(σkg(xk)+λk)=0∇xf(xk)+λk∇xgT(xk)+σk∇xgT(xk)g(xk)=∇xf(xk)+∇xgT(xk)(σkg(xk)+λk)=0

    λk+1=σkg(xk)+λkλk+1=σkg(xk)+λk ,则导出拉格朗日乘子法的一阶必要条件; 
    xf(xk)+λk+1g=0∇xf(xk)+λk+1∇g=0

    计算方法: 
    (1)初始值设置: x,λ,σx,λ,σ  
    (2)计算梯度为0,获得当前最优值 xkxk ,然后判断是否终止; 
    (3)是否调整惩罚因子,获得 σk+1σk+1  
    (4)计算 λk+1=σkg(xk)+λkλk+1=σkg(xk)+λk

    3.2 不等式约束广义乘子法:

    思想是:引入松弛变量,化不等式问题为等式约束; 

    {minf(x)s.t.hi(x)>=0{minf(x)s.t.hi(x)=βi{minf(x)s.t.hi(x)>=0→{minf(x)s.t.hi(x)=βi

    那么原始问题转化成: 
    minx,λϕ(x,λ,σ)=f(x)+λT(h(x)β)+12σ(h(x)β)T(h(x)β)minx,λ,σ,βϕ(x,λ,σ,β)=f(x)+σ2((h+λσβ)2(λσ)2)β=1σmax{0,σh+λ}minx,λϕ(x,λ,σ)=f(x)+λT(h(x)−β)+12σ(h(x)−β)T(h(x)−β)minx,λ,σ,βϕ(x,λ,σ,β)=f(x)+σ2((h+λσ−β)2−(λσ)2)β=1σmax{0,σh+λ}

    首先计算关于 ββ 的极小值;因为 β>=0β>=0 ,上式是关于 ββ 的二次函数,开口向上,对称轴是 h+λσh+λσ
    β={0h+λσh+λσ<0h+λσ>=01σmax{0,σh+λ}β={0h+λσ<0h+λσh+λσ>=0→1σmax{0,σh+λ}

    这样做的目的是:保证增广目标函数最优解近似于原始问题最优解; 
    分析:当 σh+λ>=0σh+λ>=0 时, β=h+λσβ=h+λσ ,则
    ϕ(x,λ,σ)=f(x)σ2(λσ)2=f(x)λ22σxϕ(x,λ,σ)=xf(x)ϕ(x,λ,σ)=f(x)−σ2(λσ)2=f(x)−λ22σ∇xϕ(x,λ,σ)=∇xf(x)

    σh+λ<0σh+λ<0 时, β=0β=0 ,则
    ϕ(x,λ,σ)=f(x)σ2(λσ)2+(σh+λ)22σ=f(x)λ22σ+(σh+λ)22σxϕ(x,λ,σ)=xf(x)+(σh+λ)h(x)ϕ(x,λ,σ)=f(x)−σ2(λσ)2+(σh+λ)22σ=f(x)−λ22σ+(σh+λ)22σ∇xϕ(x,λ,σ)=∇xf(x)+(σh+λ)∇h(x)

    梯度为零计算最优解,发现刚好满足朗格朗日乘子法的必要条件;

    3.3 一般约束广义乘子法:

    混合等式不等式约束法,计算即可。


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