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  • 次函数性质

    千次阅读 2017-01-22 13:25:08
    一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),则称y为x的二次函数。 顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数)。 交点式(与x轴):y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,a、且x1、x2为常数)x1、x2为二次函数与x轴的两交点。 ...
    补充:
    首先要纠正你一个错误,没有完全平方差公式.应为:
    (1)完全平方公式:(a+b)²=a²+2ab+b²
     (a-b)²=a²-2ab+b²
    (2)平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b²
    一般地,变量x和因变量y之间存在如下关系:
    一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),则称y为x的二次函数。
    顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数)。
    交点式(与x轴):y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,a、且x1、x2为常数)x1、x2为二次函数与x轴的两交点。

    等高式:y=a(x-x1)(x-x2)+m(a≠0,且过(x1、m)(x2、m)为常数)x1、x2为二次函数与x轴的两交点。

    定义

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    一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
    一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a 、b、c为常数),则称y为x的二次函数。
    顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数)
    交点式(与x轴):y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,x1、x2为常数)
    重要知识:(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。)
    二次函数表达式的右边通常为二次。
    x是自变量,y是x的二次函数
    一元二次方程求根公式
    当b2-4ac>0 时
    当b2-4ac=0时
    x1=x2=-b/2a

    表达式

    编辑

    ①一般式

    y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)[1] 

    ②顶点式

    [抛物线的顶点 P(h,k) ]:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0)

    ③交点式

    [仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]:y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2为常数,a≠0)

    转化

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    3种形式的转化∶
    ①一般式和顶点式
    对于二次函数y=ax2+bx+c,其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b2)/4a),即
    h=-b/2a=(x1+x2)/2
    k=(4ac-b2)/4a
    ②一般式和交点式
    x1,x2=[-b±√(b2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

    有关性质

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    抛物线的性质

    1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
    对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
    特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
    2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b2)/4a )
    当-b/2a=0,〔即b=0〕时,P在y轴上;当Δ= b2-4ac=0时,P在x轴上。
    3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
    当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。
    |a|越大,则抛物线的开口越小。
    4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
    当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
    当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
    5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
    抛物线与y轴交于(0,c)
    6.抛物线与x轴交点个数
    Δ= b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
    Δ= b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
    Δ= b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数x= -b±√b2-4ac 乘上虚数i,整个式子除以2a)
    当a>0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=〔4ac-b2〕/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数,在{x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b2/4a}相反不变
    当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax2+c(a≠0)
    7.定义域:R
    值域:(对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b2)/4a,正无穷);②[k,正无穷)
    奇偶性:非奇非偶 (当且仅当b=0时,函数解析式为f(x)=ax2+c, 此时为偶函数
    周期性:无
    解析式:
    ①y=ax2+bx+c[一般式]
    ⑴a≠0,a、b、c为常数
    ⑵a>0,则抛物线开口朝上;a<0,则抛物线开口朝下;
    极值点:(-b/2a,(4ac-b2)/4a);
    ⑷Δ=b2-4ac,
    Δ>0,图象与x轴交于两点:
    ([-b+√Δ]/2a,0)和([-b-√Δ]/2a,0);
    Δ=0,图象与x轴交于一点:
    (-b/2a,0);
    Δ<0,图象与x轴无交点;
    ②y=a(x-h)2+k[配方式]
    此时,对应极值点为(h,k),其中h=-b/2a,k=(4ac-b2)/4a;

    二次函数的性质

    特别地,二次函数(以下称函数)y=ax2+bx+c(a≠0),
    y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),
    ax2+bx+c=0(a≠0)
    此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根
    函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
    1.二次函数y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表: [1] 
    解析式
    y=ax2+k
    y=ax2
    y=a(x-h)2
    y=a(x-h)2+k
    y=ax2+bx+c
    顶点坐标
    (0,k)
    (0,0)
    ( h,0)
    (h,k)
    (-b/2a,4ac-b2/4a)
    对 称轴
    x=0(y轴)
    x=0(y轴)
    x=h
    x=h
    x=-b/2a
    h>0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,
    h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.
    h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2+k的图象;
    h>0,k<0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
    h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
    h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
    因此,研究抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
    2.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b2]/4a).
    3.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),a>0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而减小.
    4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与坐标轴的交点:
    (1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
    (2)当△=b2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0
    (a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x2-x1| 另外,抛物线上任何一对对称点的距离可以由2x|A+b/2a|(A为其中一点的横坐标)
    当△=0.图象与x轴只有一个交点;
    当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.
    5.抛物线y=ax2+bx+c的最值(也就是极值):如果a>0(a<0),则当x= -b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b2)/4a.
    顶点的横坐标,是取得极值时的自变量值,顶点的纵坐标,是极值的取值.
    6.用待定系数法求二次函数的解析式
    (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:
    y=ax2+bx+c(a≠0).
    (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0).
    (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
    7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中高考的热点考题,往往以大题形式出现.

    其它

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    关于二次函数的答题
    函数y=2x+1的图象与抛物线y=2x2+2x+1的图像交于一点,求此点坐标.
    解:由题知2x+1=2x2+2x+1
    所以:2x2=0
    x1=x2=0
    y=2x0+1
    所以:该点坐标为(0,1)

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  • 函数参数的3个点表示什么

    千次阅读 2018-10-12 16:42:42
    转载于网友的一片文章,写的很好!  标准库提供的一些参数的...我们写程序有时也可能需要定义这种函数。要定义这类函数,就必须使用标准头文件&lt;stdarg.h&gt;,使用该文件提供的一套机制,并需要按...

    转载于网友的一片文章,写的很好!

             标准库提供的一些参数的数目可以有变化的函数。例如我们很熟悉的printf,它需要有一个格式串,还应根据需要为它提供任意多个“其他参数”。这种函数被称作“具有变长度参数表的函数”,或简称为“变参数函数”。我们写程序中有时也可能需要定义这种函数。要定义这类函数,就必须使用标准头文件<stdarg.h>,使用该文件提供的一套机制,并需要按照规定的定义方式工作。本节介绍这个头文件提供的有关功能,它们的意义和使用,并用例子说明这类函数的定义方法。
             一个变参数函数至少需要有一个普通参数,其普通参数可以具有任何类型。在函数定义中,这种函数的最后一个普通参数除了一般的用途之外,还有其他特殊用途。下面从一个例子开始说明有关的问题。
            假设我们想定义一个函数sum,它可以用任意多个整数类型的表达式作为参数进行调用,希望sum能求出这些参数的和。这时我们应该将sum定义为一个只有一个普通参数,并具有变长度参数表的函数,这个函数的头部应该是(函数原型与此类似):
    int sum(int n, ...)
            我们实际上要求在函数调用时,从第一个参数n得到被求和的表达式个数,从其余参数得到被求和的表达式。在参数表最后连续写三个圆点符号,说明这个函数具有可变数目的参数。凡参数表具有这种形式(最后写三个圆点),就表示定义的是一个变参数函数。注意,这样的三个圆点只能放在参数表最后,在所有普通参数之后。
            为了能在变参数函数里取得并处理不定个数的“其他参数”,头文件<stdarg.h>提供了一套机制。这里提供了一个特殊类型va_list。在每个变参数函数的函数体里必须定义一个va_list类型的局部变量,它将成为访问由三个圆点所代表的实际参数的媒介。下面假设函数sum里所用的va_list类型的变量的名字是vap。在能够用vap访问实际参数之前,必须首先用“函数”va_start做这个变量初始化。函数va_start的类型特征可以大致描述为:
    va_start(va_list vap, 最后一个普通参数)
    实际上va_start通常并不是函数,而是用宏定义实现的一种功能。在函数sum里对vap初始化的语句应当写为:
    va_start(vap, n);
    在完成这个初始化之后,我们就可以通过另一个宏va_arg访问函数调用的各个实际参数了。宏va_arg的类型特征可以大致地描述为:
    类型 va_arg(va_list vap, 类型名)
            在调用宏va_arg时必须提供有关实参的实际类型,这一类型也将成为这个宏调用的返回值类型。对va_arg的调用不仅返回了一个实际参数的值(“当前”实际参数的值),同时还完成了某种更新操作,使对这个宏va_arg的下次调用能得到下一个实际参数。对于我们的例子,其中对宏va_arg的一次调用应当写为:
    v = va_arg(vap, int);
    这里假定v是一个有定义的int类型变量。
            在变参数函数的定义里,函数退出之前必须做一次结束动作。这个动作通过对局部的va_list变量调用宏va_end完成。这个宏的类型特征大致是:
    void va_end(va_list vap);
    下面是函数sum的完整定义,从中可以看到各有关部分的写法:
    int sum(int n, ...) {
          va_list vap;
           int i, s = 0;
           va_start(vap, n);
           for (i = 0; i < n; i++) s += va_arg(vap, int);
           va_end(vap);
           return s;
    }
    这里首先定义了va_list变量vap,而后对它初始化。循环中通过va_arg取得顺序的各个实参的值,并将它们加入总和。最后调用va_end结束。
    下面是调用这个函数的几个例子:
    k = sum(3, 5+8, 7, 26*4);
    m = sum(4, k, k*(k-15), 27, (k*k)/30);
             在编写和使用具有可变数目参数的函数时,有几个问题值得注意。首先,虽然在上面描述了头文件所提供的几个宏的“类型特征”,实际上这仅仅是为了说明问题。因为实际上我们没办法写出来有关的类型,系统在预处理时进行宏展开,编译时即使发现错误,也无法提供关于这些宏调用的错误信息。所以,在使用这些宏的时候必须特别注意类型的正确性,系统通常无法自动识别和处理其中的类型转换问题。
            第二:调用va_arg将更新被操作的va_list变量(如在上例的vap),使下次调用可以得到下一个参数。在执行这个操作时,va_arg并不知道实际有几个参数,也不知道参数的实际类型,它只是按给定的类型完成工作。因此,写程序的人应在变参数函数的定义里注意控制对实际参数的处理过程。上例通过参数n提供了参数个数的信息,就是为了控制循环。标准库函数printf根据格式串中的转换描述的数目确定实际参数的个数。如果这方面信息有误,函数执行中就可能出现严重问题。编译程序无法检查这里的数据一致性问题,需要写程序的人自己负责。在前面章节里,我们一直强调对printf等函数调用时,要注意格式串与其他参数个数之间一致性,其原因就在这里。
            第三:编译系统无法对变参数函数中由三个圆点代表的那些实际参数做类型检查,因为函数的头部没有给出这些参数的类型信息。因此编译处理中既不会生成必要的类型转换,也不会提供类型错误信息。考虑标准库函数printf,在调用这个函数时,不但实际参数个数可能变化,各参数的类型也可能不同,因此不可能有统一方式来描述它们的类型。对于这种参数,C语言的处理方式就是不做类型检查,要求写程序的人保证函数调用的正确性。
    假设我们写出下面的函数调用:
    k = sum(6, 2.4, 4, 5.72, 6, 2);
            编译程序不会发现这里参数类型不对,需要做类型转换,所有实参都将直接传给函数。函数里也会按照内部定义的方式把参数都当作整数使用。编译程序也不会发现参数个数与6不符。这一调用的结果完全由编译程序和执行环境决定,得到的结果肯定不会是正确的。

    展开全文
  • 一般的,在个变化过程,假设有两个变量x、y,如果对于任意个x都有唯一确定的个y和它对应,那么就称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量,x的取值范围叫做这个函数的定义域,相应y的取值范围叫做函数的值域...

    在这里插入图片描述作者:vxbomath
    高中数学的函数是非常重要的知识点,高中数学大部分的知识点都是与函数有关系的,所以函数在高中数学的知识是很重要的!今天就来了解一下高中数学的函数知识!
    一般的,在一个变化过程中,假设有两个变量x、y,如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应,那么就称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量,x的取值范围叫做这个函数的定义域,相应y的取值范围叫做函数的值域。下面是高三网小编整理的高中数学函数知识点归纳总结,供参考。
    一、一次函数定义与定义式:
    自变量x和因变量y有如下关系:
    y=kx+b
    则此时称y是x的一次函数。
    特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。
    即:y=kx(k为常数,k≠0)
    二、一次函数的性质:
    1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k
    即:y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)
    2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距。
    三、一次函数的图像及性质:
    1.作法与图形:通过如下3个步骤
    (1)列表;
    (2)描点;
    (3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)
    2.性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。
    3.k,b与函数图像所在象限:
    当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;
    当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
    当b>0时,直线必通过一、二象限;
    当b=0时,直线通过原点
    当b<0时,直线必通过三、四象限。
    特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。
    这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限。
    四、确定一次函数的表达式:
    已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。
    (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
    (2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②
    (3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。
    (4)最后得到一次函数的表达式。
    五、一次函数在生活中的应用:
    1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
    2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
    六、常用公式:
    1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
    2.求与x轴平行线段的中点:|x1-x2|/2
    3.求与y轴平行线段的中点:|y1-y2|/2
    4.求任意线段的长:√(x1-x2)’2+(y1-y2)’2(注:根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)
    二次函数
    I.定义与定义表达式
    一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
    y=ax’2+bx+c
    (a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)
    则称y为x的二次函数。
    二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
    II.二次函数的三种表达式
    一般式:y=ax’2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
    顶点式:y=a(x-h)’2+k[抛物线的顶点P(h,k)]
    交点式:y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?,0)和B(x?,0)的抛物线]
    注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
    h=-b/2ak=(4ac-b’2)/4ax?,x?=(-b±√b’2-4ac)/2a
    III.二次函数的图像
    在平面直角坐标系中作出二次函数y=x’2的图像,
    可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
    IV.抛物线的性质
    1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
    x=-b/2a。
    对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
    特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
    2.抛物线有一个顶点P,坐标为
    P(-b/2a,(4ac-b’2)/4a)
    当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b’2-4ac=0时,P在x轴上。
    3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
    当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
    |a|越大,则抛物线的开口越小。
    4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
    当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
    当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
    5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
    抛物线与y轴交于(0,c)
    6.抛物线与x轴交点个数
    Δ=b’2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
    Δ=b’2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
    Δ=b’2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b’2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
    V.二次函数与一元二次方程
    特别地,二次函数(以下称函数)y=ax’2+bx+c,
    当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),
    即ax’2+bx+c=0
    此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
    函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
    1.二次函数y=ax’2,y=a(x-h)’2,y=a(x-h)’2+k,y=ax’2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:
    在这里插入图片描述
    当h>0时,y=a(x-h)’2的图象可由抛物线y=ax’2向右平行移动h个单位得到,
    当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.
    当h>0,k>0时,将抛物线y=ax’2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)’2+k的图象;
    当h>0,k<0时,将抛物线y=ax’2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)’2+k的图象;
    当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)’2+k的图象;
    当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)’2+k的图象;
    因此,研究抛物线y=ax’2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)’2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
    2.抛物线y=ax’2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b’2]/4a).
    3.抛物线y=ax’2+bx+c(a≠0),若a>0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时,y随x的增大而减小.
    4.抛物线y=ax’2+bx+c的图象与坐标轴的交点:
    (1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
    (2)当△=b’2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x?,0)和B(x?,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax’2+bx+c=0
    (a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|
    当△=0.图象与x轴只有一个交点;
    当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.
    5.抛物线y=ax’2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x=-b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b’2)/4a.
    顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.
    6.用待定系数法求二次函数的解析式
    (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:
    y=ax’2+bx+c(a≠0).
    (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)’2+k(a≠0).
    (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).
    7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.
    反比例函数
    形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数,叫做反比例函数。
    自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
    反比例函数图像性质:
    反比例函数的图像为双曲线。
    由于反比例函数属于奇函数,有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。
    另外,从反比例函数的解析式可以得出,在反比例函数的图像上任取一点,向两个坐标轴作垂线,这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值,为∣k∣。
    如图,上面给出了k分别为正和负(2和-2)时的函数图像。
    当K>0时,反比例函数图像经过一,三象限,是减函数
    当K<0时,反比例函数图像经过二,四象限,是增函数
    反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴,无法和坐标轴相交。
    知识点:
    1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段,这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。
    2.对于双曲线y=k/x,若在分母上加减任意一个实数(即y=k/(x±m)m为常数),就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移,减一个数时向右平移)
    对数函数
    对数函数的一般形式为,它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。
    右图给出对于不同大小a所表示的函数图形:
    可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。
    (1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。
    (2)对数函数的值域为全部实数集合。
    (3)函数总是通过(1,0)这点。
    (4)a大于1时,为单调递增函数,并且上凸;a小于1大于0时,函数为单调递减函数,并且下凹。
    (5)显然对数函数无界。
    指数函数
    指数函数的一般形式为,从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得
    如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
    可以看到:
    (1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。
    (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。
    (3)函数图形都是下凹的。
    (4)a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。
    (5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
    (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
    (7)函数总是通过(0,1)这点。
    (8)显然指数函数无界。
    奇偶性
    注图:(1)为奇函数(2)为偶函数
    1.定义
    一般地,对于函数f(x)
    (1)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。
    (2)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。
    (3)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。
    (4)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。
    说明:①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言
    ②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不是奇(或偶)函数。
    (分析:判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)
    ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义
    2.奇偶函数图像的特征:
    定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。
    f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称
    点(x,y)→(-x,-y)
    奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。
    偶函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减。
    3.奇偶函数运算
    (1).两个偶函数相加所得的和为偶函数.
    (2).两个奇函数相加所得的和为奇函数.
    (3).一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.
    (4).两个偶函数相乘所得的积为偶函数.
    (5).两个奇函数相乘所得的积为偶函数.
    (6).一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

    接下来,看一下学霸的总结的解题技巧:

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  • oracle函数

    千次阅读 2012-08-07 18:56:48
    oracle函数 这些函数可以用在select where having order by这些关键词后, 起着对某个常量或者某列数据进行相应的转化后在进行使用 例如 select ename,sal,round(sal,-2) from emp where round(sal,-2)>=...

    oracle中的函数
    这些函数可以用在select where having  order by这些关键词后,
    起着对某个常量或者某列数据进行相应的转化后在进行使用
    例如
    select ename,sal,round(sal,-2) from emp  where round(sal,-2)>=3000;
    通过使用这些函数,可以帮助我们实现满足一些特殊要求的查询数学函数

     

    数学函数

    round:使用格式为  round(n[,m])其中[] 中的内容可以省略
    select round(123.456),round(123.456,1),round(123.456,2),round(123.456,-1) from dual;
    结果为
    ROUND(123.456) ROUND(123.456,1) ROUND(123.456,2) ROUND(123.456,-1)
    -------------- ---------------- ---------------- -----------------
               123            123.5           123.46               120

    后面的参数指定了返回值的精度,或者说是从小数点第几位开始四舍五入,
    如果不带后面的参数,则默认为四舍五入取整数,该例子中采用的是常量,
    from后用的是dual,在上一篇文章中介绍了dual这个表,这个表只有一行数据,
    上面的sql只有一行需要返回,返回的内容由select关键字决定,在实际应用中,参数可以是一个列名,例如
    select round(sal,-2) ,ename from emp;

    ceil:使用格式  ceil(n) 
    select ceil(10.9),ceil(10.123) from dual;
    结果为
    CEIL(10.9) CEIL(10.123)
    ---------- ------------
            11           11
    ceil函数的作用是将n的小数部分舍掉,整数部分加1

    floor:格式floor(n)
    select floor(10.9),floor(10.123) from dual;
    结果为
    FLOOR(10.9) FLOOR(10.123)
    ----------- -------------
             10            10
    ceil不同的是该函数是将n的小数部分舍掉,整数部分不变。
    在英文中ceil是天花板的意思,floor是地板的意思,
    oracle的函数中,ceil"向上"取整数,而floor"向下"取整数,这应该跟英文意思多少有点关系吧

    abs:格式abs(n)
    select abs(-1),abs(0),abs(1) from dual;
    结果为
       ABS(-1)     ABS(0)     ABS(1)
    ---------- ---------- ----------
             1          0          1
    abs函数的作用是取得n的绝对值

    sign:格式  sign(n)
    select sign(0),sign(100),sign(-100) from dual;
    结果是
       SIGN(0)  SIGN(100) SIGN(-100)
    ---------- ---------- ----------
             0          1         -1

    sign函数的规则是n≥0sign(n)=1; n<0 sign(n)=-1

    sqrt:格式sqrt(n)
    select sqrt(4),sqrt(9.9) from dual;
    结果是
       SQRT(4)  SQRT(9.9)
    ---------- ----------
             2 3.14642654

    sqrt的作用是取得n的平方根

    exp:格式exp(n)
    select exp(0) ,exp(1) from dual;
    结果是
        EXP(0)     EXP(1)
    ---------- ----------
             1 2.71828183
    exp函数的作用是求en次幂的值

    ln和log:格式ln(n)   log(m,n)
    select ln(1),log(10,100) from dual;
    结果是
         LN(1) LOG(10,100)
    ---------- -----------
             0           2
    这两个函数中ln为自然对数,log(m,n)是以m为底求n的对数

    power:格式  power(m,n)
    select power(3,2),power(3,3) from dual;
    结果是
    POWER(3,2) POWER(3,3)
    ---------- ----------
             9         27

    该函数的作用是求mn次幂

    mod:格式mod(m,n)
    select mod(10,6),mod(1,2) from dual;
    结果是
     MOD(10,6)   MOD(1,2)
    ---------- ----------
             4          1
    该函数的作用是m/n的余数

    出了上面的函数oracle还提供了sin(n)  cos(n)  tan(n)
      asin(n)  acos(n)  atan(n)
    sinh  cosh tanh这些三角函数,功能和数学中的一样,用法与上面所提到的方法基本一样


    文本函数

    oracle中的文本操作函数或者说是字符串操作函数如下
    length(s)
    ascii(s)
    chr(n)
    upper(s)
    lower(s)
    initcap(s)
    ltrim(s[,k]
    rtrim(s[,k])
    trim([[option][c from ]]s)
    lpad(s,n[,k])
    rpad(s,n[,k])
    substr(s,n[,m])
    instr(s,k)
    instr(s,k,n)
    instr(s,k,n,m)
    translate(s,v,m)
    replace(s,v)
    resplace(s,v,w)
    concat(s1,s2)


    length(s)
    select ename ,length(ename) from emp;
    该函数的作用是返回字符串参数s的长度

    ascii(s)
    select ename ,ascii(ename) from emp;
    该函数的作用是返回字符串参数s的第一个字符对应的ascii码值
    chr(n)
    select chr(65),chr(97) from dual;
    结果
    C C
    - -
    A a
    该函数的作用是返回在ascii码中参数n对应的字符

    upper(s)lower(s)
    select ename,upper(ename),lower(ename) from emp;
    这两个函数的作用分别是将参数s全部转换成大写和小写字母

    initcap(s)
    select ename,initcap(ename) from emp;
    该函数的作用是将参数s的第一个字符转换成大写

    ltrim(s[,k]rtrim(s[,k])
    select ename,ltrim(ename,'K'),rtrim(ename,'K') from emp;
    ltri(s,k)的作用:首先取得参数s的第一个字符,判断是否为字符k,如果是则
    k剪掉,再取第二个字符判断是否是k,如果是则剪掉继续判断,如果不是则结束判断
    返回结果,如果不带参数k那么默认是去掉参数s左边的空格
    rtrim(s[,k])是从参数s的右边开始判断

    trim([[option][c from ]]s)  option=leading ,trailing,both
    select
    '  aabb  '  ,
    trim('  aabb  '),
    trim(both from '  aabb  '),
    trim(leading from '  aabb  '),
    trim(trailing from '  aabb  '),
    trim(leading 'a' from 'aabbaa'),
    trim(trailing 'a' from 'aabbaa'),
    trim(both 'a' from 'aabbaa') from dual;
    结果是
    'AABB'   TRIM TRIM TRIM(L TRIM(T TRIM TRI TR
    -------- ---- ---- ------ ------ ---- --- --
      aabb   aabb aabb aabb     aabb bbaa aab bb

    trim(s)等价于trim(both from s)去掉两边的空格
    trim(leading from s)去掉参数s前面的空格
    trim(trailing from s)去掉参数s后面的空格
    trim(leading 'a' from s)去掉参数s前面的a
    trim(trailing 'a' from s)去掉参数s后面的a
    trim(both 'a' from s)去掉参数s两边的a

    lpad(s,n[,k])rpad(s,n[,k])
    select ename,lpad(ename,10,'*'),lpad(ename,2),rpad(ename,10,'*'),rpad(ename,3) from emp;
    lpad(s,n[,k])的作用是将字符串s的长度变成n,如果s长度小于n则在左边用参数k补充,如果s长度
    大于n,则从左边截取n个字符返回
    rpad(s,n[,k])的作用是与lpad类似,如果s长度小于n则在右边用参数k补充,如果s长度
    大于n,则从右边截取n个字符返回


    substr(s,n[,m])
    select ename,substr(ename,2,3) from emp;
    该函数的作用是从参数s的第n个字符开始截取,长度为m,如果不带参数m,默认截取到s的最后


    instr(s,k)  instr(s,k,n)  instr(s,k,n,m)
    select ename,instr(ename,'A'),instr(ename,'A',3),instr(ename,'A',4),instr(ename,'A',3,2) from emp;
    instr(s,k)的作用是字符串或者字符ks中第一次出现的位置,
    instr(s,k,n)的作用是从第n个位置开始,符串或者字符ks中第一次出现的位置
    instr(s,k,n,m)的作用是从第n个位置开始,符串或者字符ks中第m次出现的位置

    translate(s,v,m)
    select ename,translate(ename,'A','B') from emp;
    该函数的作用是用符串或者字符m替换符串或者字符n

    replace(s,v)
    select ename ,replace(ename,'AR'),replace(ename,'A')  from emp;
    该函数的作用是移除字符串s中的符串或者字符v

    replace(t,v,w)
    select ename,replace(ename,'AR','aaaaaaa') from emp;
    用字符串w替换字符串v

    concat(s1,s2)
    select ename,job,concat(ename,job),ename||job  from emp;
    该函数的作用是连接两个字符串,作用相当于||

     

     

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    千次阅读 2015-09-23 10:07:56
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    千次阅读 2009-06-13 21:43:00
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空空如也

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一次函数中k决定什么