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  • 常见的有两大类问题:第类,二次函数与线段长度、图形面积的最值问题;第二类,二次函数中动点与某个几何图形是否存在的问题,常见的有二次函数中动点与等腰三角形的存在性问题、与直角三角形的存在性问题、与相似...
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    作者:乌鲁木齐市第74中学:付雪娇

    摘要:分析了中考二次函数压轴题的后几小问。将常见题型的考察归类总结,并根据不同题型,提炼概括了一些自己的解题心得。常见的有两大类问题:第一类,二次函数与线段长度、图形面积的最值问题;第二类,二次函数中动点与某个几何图形是否存在的问题,常见的有二次函数中动点与等腰三角形的存在性问题、与直角三角形的存在性问题、与相似三角形的存在性问题、与平行四边形的存在性问题。同时结合具体的中考真题,阐释如何形成该题的正确合理解题思路。

    关键词:二次函数  综合题型  归类  解题

    引言

    在中学代数中,有一块儿很重要的内容,它就是二次函数。它既简单又具有丰富的内涵和外延。二次函数的研究是将“数”与“形”联系在一起,而联系它们的正是坐标。坐标将抽象的数与数的关系生动形象的刻画成了具体的平面直角坐标系里的图象。反过来,通过生成的图像去研究函数的性质,这是一个数→形→数的研究过程。如此以来,实际上对于一些我们学过的图形,尤其是非常规则的图形(非常规则的图形容易通过坐标展现在平面直角坐标系里)我们也可以通过坐标展现出数,这是形→数的过程。例如将等腰三角形、直角三角形、平行四边形等通过坐标展现在平面直角坐标系里。这些规则的图形有着各自特殊的性质与判定,再加上二次函数本身的各种性质,那么当同时出现在平面直角坐标系里时就会碰撞出各种复杂的题型。而数形结合思想至始至终贯穿着整道题的解决过程。本文将二次函数的常见综合题型归结为两大类:第一类,二次函数与线段长度、图形面积的最值问题;第二类,二次函数中动点与某个几何图形是否存在的问题,常见的有二次函数中动点与等腰三角形的存在性问题、与直角三角形的存在性问题、与相似三角形的存在性问题、与平行四边形的存在性问题。下面,本文将以两道中考题为代表对中考中二次函数综合题型进行归类分析,同时写了一些自己的解题心得。

    第一种类型

           二次函数中动点与线段长度最值、动点与三角形相似的存在性问题(2018·乌鲁木齐中考)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣2,0),B(8,0)。(1)求抛物线的解析式;(2)点C是抛物线与y轴的交点,连接BC,设点P是抛物线上在第一象限内的点,PD⊥BC,垂足为点D.①是否存在点P,使线段PD的长度最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;②当△PDC与△COA相似时,求点P的坐标.

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    【分析】                                              

    (1)直接把点A(﹣2,0),B(8,0)代入抛物线的解析式中列二元一次方程组,解出可得结论;

    (2)

    方法一:

    首先,看到PD,因为PD⊥BC,所以第一想法是三角形的高。在这个图中,若连接PB,那么以BC为底,随着点P的运动,当△PBC面积最大时,这条底上的高就最大。可是,△PBC的面积何时最大,或者怎样以其他方式衡量它的面积最大,需要解决这个问题。于是,观察到△BOC与△PBC构成了四边形COBP,而△BOC的面积是个定值。所以只需求出四边形COBP的最大面积,即可得到△PBC的最大面积。因为四边形不规则,所以需要将它分割,分割成一个直角梯形和一个直角三角形,再求最大面积。

    方法二:

     想象点P运动情景,在“动中找静”。这么做的原因是因点P的运动引发的变量太多,而没有定值。我们需要通过研究影响PD的其他量间接地研究PD.而在几个与PD长度有关系的量中,必须只有一个量在变,剩余的量都是定值。当然这里的“几个”越少越好。再联系到垂直,于是想到了将PD构造成直角三角形的一条边,再去用锐角三角函数研究,即研究某个角和另外的某条边。当然要确保这两个量中的其中一个必须是定值,再去研究另一个量的变化趋势,还得容易研究才行。经过尝试,RT△PDC或者连接PB之后的RT△PDB都不可以,因为这样一来边角都是变量。因此需要添加辅助线。如何添加?得考虑到构造出的直角三角形中,是否有前面提到的相关的定值,及相关的变量是否容易研究它的变化。于是想到过点P作垂直于X轴的线段。而这条线段本身也具有一定的优势,即它上的所有点横坐标相同,借助纵坐标可解决自身长度问题。做了辅助线后,发现PD所对的角的大小是等于∠BCO的,是个定值。而斜边这个变量也容易研究,借助同一个横坐标所对应的抛物线上的点的纵坐标与一次函数的部分图像线段BC上的点的纵坐标之差即可研究。

      这道题,目标是要让△PDC与△BOC相似,那么我们应该牢牢把握三角形相似的充分条件。因为已经有一组直角相等,显然最便捷的办法是再找一组角相等,即可解决问题。但是由于,点P的运动影响着角的变化。情况不明确,所以要把可能存在的两种情况都考虑到。

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    【对本题的认识】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、勾股定理的逆定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会根据方程解决问题,属于中考压轴题.

    第二种类型

    二次函数中动点与图形面积最值、动点与等腰三角形的存在性问题

    (2018·泰安)如图,抛物线y=x2bx+c与y轴交于点C(0,-4),与x轴交于点A,B,且B点的坐标为(2,0)(1)求该抛物线的解析式.(2)若点P是AB上的一个动点,过点P作PE∥AC,交BC于E,连接CP,求△PCE面积的最大值.(3)若点D为OA的中点,点M是线段AC上一点,且△OMD为等腰三角形,求M点的坐标.

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    【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;(2)方法一:     首先,最基本的,要求△PCE面积的最大值,先要看面积的表示。影响面积的底和高这两个量只能有一个变量,另外一个量一定得是定值。但是这道题里,我们发现△PCE的每一条边都随着点P的运动而变化着,高随之变化。因此,面积表达式中有两个变量,解决不了问题,换思路。显然,直接从该三角形本身入手,解决不了问题。那么,我们的目光转向“它的周围”,即用其他的量去表示要解决的目标量,这样做目的是尽可能地减少研究过程中的变量。于是,我们看到了S△PCE=S△PCB-S△PBE  S△PCB  S△PBE 都未知且都是变量,但是通过观察我们发现:这两个三角形有着同一条底PB,底虽在变化,但变化的实质是点P的横坐标的改变。再来说高,△PCB的高是定值,很容易求出。那也就是说 S△PCB只受点P的横坐标的影响;△PEB的高,容易看出受点E的纵坐标的影响,但是我们看点P、点E所在直线可用一个一次函数表达式去表示。一旦一次函数表达式出来了,可立刻求PE、BC的交点E的坐标。而在不知道PE线上任何两点坐标的情况下,如何去求PE所在直线的一次函数表达式。这里学的扎实的学生就会发现另外一个条件:PE∥AC。因此PE可以看作是由AC向右平移若干单位长度得到的。借助线段AC所在直线的一次函数表达式即可写出所需要的一次函数式。在写的时候,需要点P的坐标,点P纵坐标为0,那么需要它的横坐标。分析到这里,也就是说:S△PBE 归根结底也是受点P的横坐标影响的。于是,可以设点P的横坐标为X,那么其余问题便迎刃而解了。    方法二:     我们当然还是要从△PCE的“周围”入手,还是S△PCE=S△PCB-S△PBE,但解决S△PCB  S△PBE有所不同。PE∥AC,因此△PBE∽△ABC。△ABC的面积为定值,面积之比=相似比的平方 ,相似比可用表示。于是,可以表示出S△PBE 。而S△PCB,底PB跟点P的横坐标有关系,高CO是个定值,发现这种方法的落脚点又在点P的横坐标这里。于是,可以设点P的横坐标为未知数X,往下便可迎刃而解。(3)要让△OMD为等腰三角形,那么需要紧抓等腰三角形成立的充分条件,即有两边相等。这里两个顶点点D、点O已经确定,即三角形中一边已经确定。因此,边OD有可能是腰:OD=OM或OD=DM。边OD还可能是底。总共分三种情况,需要进行分类讨论。

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    【对本题的认识】本题是二次函数综合题,考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等知识点,以及分类讨论的数学思想.第(2)问将面积的最值转化为二次函数的极值问题,注意其中求面积表达式的方法;第(3)问重在考查分类讨论的数学思想,注意三种可能的情形需要一一分析,不能遗漏。

    3c9ded5c6fe901d1ba5dfe0fd2710940.gifd5e1d88993057c364fdbb61ba3898e82.gif3b9eb6d96ead195c3207dfb60b83baae.gif对于部分二次函数中动点与求最值的问题,要在“动中找静”,将目标量的研究专向研究其它影响它的量,并争取在这些量中找到定值,使得只存在一个变量。通过研究这唯一的一个变量去研究目标量,例如第一道题中构造直角三角形,用锐角三角函数表示线段PD时,我们确保只有斜边一个变量;有时候也可能出现这种情况,我们找到了几个影响目标量的量,但是他们都是变量,不能确保唯一变量。那么此时我们就要看这几个变量是否同时都受同一个根本的量影响,看到这一点之后就会迎刃而解了。比如第二道题中点P的横坐标一旦设了未知数,其它问题便迎刃而解。而对于相似三角形、等腰三角形、平行四边形等特殊图形是否存在的问题,我们应当牢牢把握住这些特殊图形成立的充分条件。从充分条件入手,去看题目能否达成这个充分条件。但要注意的是,因为有动点会造成图形的变化,所以在研究题目是否能达成我们所需的充分条件时,要尽可能地考虑到所有情况,这里往往需要分类讨论。一般,遇到动点与三角形相似的存在性时,我们要考虑到可能有不同的角的对应相等情况;会有两种情况。在动点与等腰三角形的存在性问题上,一般都会有确定的两个点。那么我们要考虑到这确定的两点连成的边可能是腰(这里又会往下细分两小类情况),还可能是底。共三种情况。而在动点与平行四边形的存在性问题上,通常也会给定两个点。那么我们要考虑到这给定两点所连成的边有可能是后期形成的平行四边形的一条边,也有可能是后期形成的平行四边形的一条对角线,共两种情况。

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    作者:乌鲁木齐市第74中学:付雪娇

    2014年开始担任班主任工作至今。主要获得的奖项有:

    2015年论文国家级一等奖并发表在《素质教育》2016年教学设计 《不等式及其解集》获得区级一等奖2017年  微课 《扇形的弧长与面积》获自治区级三等奖微课 《圆锥的侧面积与全面积》获自治区级三等奖片段课 《消元——解二元一次方程组》获市级一等奖2018年录像课《消元——解二元一次方程组》获市级二等奖2019年论文《二次函数常见综合题型的归类与解题思考》获市级二等奖2019年参与市级小课题立项结题获得市级三等奖745168bc4aace8d14c750ed6a6ee0c85.png

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  • 初中数学:最值问题常见的8种解题方法合集!期末复习必备初中数学最值问题一直是考试当中的重点,而且最值问题一般难度比较大,因为通常这部分题型会涉及到中考数学当中其他的知识点,所以从考察面来讲是非常广阔的...

    初中数学:最值问题常见的8种解题方法合集!期末复习必备

    初中数学最值问题一直是考试当中的重点,而且最值问题一般难度比较大,因为通常这部分题型会涉及到中考数学当中其他的知识点,所以从考察面来讲是非常广阔的。因此,这就对同学们基础知识的掌握拥有一定的要求,如果连一些基础的概念性知识都没有啃透的话,那么又怎么可能解答出来呢?

    其实,同学们大可不必担心,虽然初中数学最值问题是考试当中的重难点,但是从往年的中考数学题型来看,还是拥有一定基础题的。因此如果同学们将这部分基础题啃透掌握的话,那么中考数学成绩还是会非常理想的。从题型上来看,最值问题大多数是跟函数一起合并来考察,像求一次函数的最大值与最小值、三角函数的最大值与最小值等都是可以运用一些解题技巧来解答的,很多同学认为最值问题学起来困难,也基本上就是没有掌握好解题方法这个原因了。

    期末考试即将到来,为了帮助同学们提高数学考试成绩。老师今天就将初中数学,最值问题常见的8种解题方法进行了汇总整理,同学们一定要收藏打印,特别是数学成绩不好的同学,将其啃透掌握成绩是会有非常大的提升!

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  • 分段函数与生产生活联系较为紧密,是继初中正比函数、一次函数、二次函数、反比例函数之后的又一个重点函数,也是高考中容易出现的题型。平常考试中单选题、填空题、解答题的综合应用题中都可能会出现。下面是分段...

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    分段函数与生产生活联系较为紧密,是继初中正比函数、一次函数、二次函数、反比例函数之后的又一个重点函数,也是高考中容易出现的题型。平常考试中单选题、填空题、解答题的综合应用题中都可能会出现。下面是分段函数的相关知识点。

    分段函数概念:如果一个函数,在其定义域内,对应自变量x在不同的取值范围内,函数有不同的对应关系(表达式),则称这样的函数为分段函数

    高中常见的分段函数如下图所示:

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    【注】除次之外,分段函数的一些易错、易混知识点及解题技巧总结如下:

    (1)分段函数一个函数,而不是多个函数

    (2)分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集,并且分段函数各段间的定义域的交集为空集

    (3)分段函数的值域是各段函数值域的并集

    (4)分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成。

    (5)分段函数重要口诀:“分段函数分段画分段函数分段求”。

    高一数学必修一第二章一元二次函数、方程和不等式知识点总结

    新高一数学函数的概念与表示知识点分享

    高中数学10种常见函数的定义域和值域整理

    高一数学考试高频考点——相等函数,知识点和解题方法技巧总结

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  • 3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.【知识梳理】1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上...

    【考试要求】

    1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素;

    2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式;

    3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.

    【知识梳理】

    1.直线的倾斜角

    (1)定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角;

    (2)规定:当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0;

    (3)范围:直线的倾斜角α的取值范围是[0,π).

    2.直线的斜率

    (1)定义:当直线l的倾斜角α≠时,其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率,斜率通常用小写字母k表示,即k=tanα;

    (2)斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=.

    3.直线方程的五种形式

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    【微点提醒】

    1.直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系:

    2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率.

    3.截距为一个实数,既可以为正数,也可以为负数,还可以为0,这是解题时容易忽略的一点.

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    【考点聚焦】

    考点一 直线的倾斜角与斜率

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    【规律方法】 1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时,常借助正切函数y=tan x在[0,π)上的单调性求解,这里特别要注意,正切函数在[0,π)上并不是单调的.

    2.过一定点作直线与已知线段相交,求直线斜率范围时,应注意倾斜角为时,直线斜率不存在.

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    考点二 直线方程的求法

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    【规律方法】

    1.在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.

    2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应判断截距是否为零).

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    考点三 直线方程的综合应用

    角度1 与不等式相结合的最值问题

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    角度2 由直线方程求参数范围

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    【规律方法】 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略

    (1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.

    (2)求参数值或范围.注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.

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  • 数学看上去枯燥无味,其实不然,掌握正确的学习方法,我们就能做到快乐学数学。学好数学大致能分为三个步骤:第一,梳理好知识点;第二,学好各种题型;第三:针对所学知识训练巩固。...一次函数、二次函数模型反...
  • 3、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型:直接法,目标函数法(线性规划, 曲函数的最值 )【各类最值题型通解方法】【函数求最值常用10法例题解析】方法1:利用一次函数的单调性方法2:利用二次函数的性...
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  • 其关系的建立还是比较基础,特别是在全国卷中对导数题型考察极值点偏移问题更是常见。基本是每三年就有一次会考到相关问题,所以说对于极值点偏移问题的理解也是需要引起重视!其一,何为极值点偏移?众所周知,极值...
  • 向量代数与空间解析几何知识点:(1)向量代数知识点(2)两平面夹角与两直线夹角公式两平面夹角和两直线夹角公式(3)点到直线的距离公式点到直线的距离(4)常见曲线常见曲线题型一:求曲线上一点到某固定平面的...
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  • 最近参加了几前端实习生招聘的笔试,发现很多笔试题都会考到字符串的处理,比方说去哪儿网笔试题、淘宝的笔试题等,如果你经常参加笔试或者也是个过来人,相信你也跟我一样,发现字符串的处理是前端招聘过程中最...
  • ​定义、定理、公式是学好数学的基础,一些常见题型的解答方法和技巧也需要牢记于心。今天给大家介绍19种数学记忆方法,会让你学习数学变得轻松!口诀记忆法高中数学中,有些方法如果能编成...即两个一次因式之积(...
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  • 本文实例总结了JavaScript中常见的字符串操作函数及用法。分享给大家供大家参考。...如果你经常参加笔试或者也是个过来人,相信你也跟我一样,发现字符串的处理是前端招聘过程中最常见题型
  • 单招数学知识点归纳 1.不等式考查(整体考查相对简单,题目类型范围...3.函数基础(以下内容选到三种类型进行考核,难度不高,基础性强,简单掌握定义并加以运用即可得分) 定义域、值域 单调性、奇偶性 反函数、导函
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  •  作为刚毕业的学生和正在找工作的程序员,当你应聘一份程序设计、软件开发方面的工作时,招聘方总会安排一次笔试以考查你的程序设计能力。我们写作这本书的目的就是希望能帮助大家顺利地通过这类面试。 程序设计...
  • 1186. 删除一次得到子数组最大和 1218. 最长定差子序列 1227. 飞机座位分配概率 1261. 在受污染的二叉树中查找元素 1262. 可被三整除的最大和 1297. 子串的最大出现次数 1310. 子数组异或查询 1334. ...

空空如也

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一次函数常见题型