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  • C 开发金典

    2013-06-20 16:20:03
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  • 数学算法原书光盘

    2004-09-02 09:58:57
    分布拟合的K-S检验 第12章解常微分方程组 1.定步长四阶龙格库塔法 2.自适应变步长的龙格库塔法 3.改进的中点 4.外推 第13章偏微分方程的解法 1.解边值问题的松驰 2.交替方向隐式方法
  • Min_25筛

    2021-02-18 16:59:05
    但他对积性函数有一定要求,要求 f(x),x∈Primef(x),x\in Primef(x),x∈Prime 是个简单多项式,且 f(xk),x∈Primef(x^k),x\in Primef(xk),x∈Prime 可以快速计算 Min_25筛的算法过程分为两步,先质数的 f(x)f(x)...

    以前多次学习 Min_25筛,却一直一直不能透彻理解他

    这挺让我沮丧的,本来不想写这篇博文,现在看来不写不行


    Min_25筛

    Min_25筛 是用来求解积性函数前缀和的快速筛法

    但他对积性函数有一定要求,要求 f(x),xPrimef(x),x\in Prime 是一个简单多项式,且 f(xk),xPrimef(x^k),x\in Prime 可以快速计算

    Min_25筛的算法过程分为两步,先求质数的 f(x)f(x) 的和,再求 f(x)f(x) 的和也就是答案。


    求质数的 ff 的和

    g(x)g(x) 表示把 xx 当作质数时计算 f(x)f(x) 得到的结果。

    G(i,j),i=n/dG(i,j),i=\lfloor n/d\rfloor 表示在前 ii 个数中,没有被前 jj 个质数筛掉数的 gg 的和。

    那么一开始 G(i,0)=k=2ig(k)G(i,0)=\sum_{k=2}^ig(k) 。我们要保留的 gg 都是质数的 gg ,就要把合数的 gg 筛走。

    从小到大枚举质数 PjP_j ,把最小质因子恰好为 PjP_j 的那些合数的 ggGG 中去掉,枚举 Pj2\ge P_j^2iiG(i,j)G(i,j) 要减去 G(i/Pj,j1)kj1g(Pk×Pj)G'(\lfloor i/P_j\rfloor,j-1)-\sum_{k\le j-1}g(P_k\times P_j)GG' 就是 g(iPj)\sum g(i\cdot P_j)

    最后的 G(n,P)G(n,|P|) 就是质数的 ff 的和。


    ff 的和

    F(i,j),i=n/dF(i,j),i=\lfloor n/d\rfloor 表示表示在前 ii 个数中,最小质因子 Pj\ge P_jff 的和。F(n,P+1)=0F(n,|P|+1)=0

    因为已经求了 GG 的答案,现在只需要把合数的 ff 加上去即可。从大到小枚举 PjP_j ,把最小质因子恰好为 PjP_j 的那些合数的 ff 加到 FF 中去,枚举 Pj2\ge P_j^2ii ,再枚举 Pje+1iP_j^{e+1}\le iee ,也就是那些合数中 PjP_j 的指数。F(i,k),kjF(i,k),k\le j, 要加上 f(Pje)F(i/Pje,j+1)+f(Pje+1)f(P_j^e)\cdot F(\lfloor i/P_j^e\rfloor,j+1)+f(P_j^{e+1})

    ff 的和就是 F(n,1)+1F(n,1)+1


    总结

    G(i,j)={G(i,j1)Pj2>iG(i,j1)G(i/Pj,j1)+kj1g(Pk×Pj)Pj2i G(i,j)= \begin{cases} G(i,j-1) &P_j^2> i \\ G(i,j-1)-G'(\lfloor i/P_j\rfloor,j-1)+\sum_{k\le j-1}g(P_k\times P_j) &P_j^2\le i \\ \end{cases}

    F(n,j)=ijf(Pi)+kjef(Pke)F(n/Pke,k+1)+f(Pke+1) F(n,j)=\sum_{i\ge j}f(P_i)+\sum_{k\ge j}\sum_{e}f(P_k^e)F(n/{P_k^e},k+1)+f(P_k^{e+1}) \\


    【LibreOJ #6053】
    【JZOJ 5683】【GDSOI2018模拟4.22】
    【51NOD 1847】
    【51NOD 1965】

    我是在 这里 学的

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一次函数快速求k法