定义：

不定积分定义：

定积分定义：

注意区别：不定积分是一族函数，他又很多个函数，但是定积分呢？它就只有一个函数，并且它所代表的集合意义就是一个曲边梯形的面积。

另外千万搞清楚，不定积分是函数，而定积分是一个确定的数，因为梯形的面积一定是确定的嘛 

定积分和不定积分的联系：牛顿莱布尼兹公式：

积分的计算：

四大基本积分法：

1.凑微分法

基本积分公式：

积分的计算技巧：

当遇见复杂的式子计算积分，那么我们可以这样，先对复杂部分的式子求导，然后再凑微分。

2.换元法：

当凑微分法不成功时，考虑换元法。所以我们一般先考虑凑微分，然后是换元法。

记住一点：换元千万别忘了回带。

第一种：三角换元

第二种：倒代换 

第三种：复杂部分代换

3.分部积分法：

分部积分法一般是两个不同类型的函数相乘而来的式子，这个时候我们一般用分部积分法。

我们在选取那个当v和那个当u，总结了下面这个式子。

相对而言，更易求导的做u，更易积分的做v。

推广式子：

当我们碰见有些题目的时候，往往一次分部积分法是搞不定的，这个时候要多次分部积分，还是比较麻烦和繁琐的，所以就使用下面这种通式的形式，一步到位。

如何使用表格发来记忆呢？ 我们可以像下面这样。

他一共有下面四个步骤：

实际上我们在解题的时候会有这样的疑问：使用表格法，我们应该求导或者积分到哪一项为止呢？我们对于上面的三种情况有三种结论。

有理函数积分法：

定积分的计算：

这里有个注意点，当我们在使用换元法求定积分的时候，我们要换三个地方，一个是上下限要换，二是被积函数要换，积分元素要换。

另外，换元之后，其自变量的范围始终不能超过原来自变量的范围！这一点很重要，一定要切记。

点火公式：

对于这种式子类型的定积分计算，我们可以使用点火公式：

就是上面这种式子的时候，我们可以直接使用下面这个结论。 当然，上面的这个式子中的sin也可以是cos，他们都可以用点火公式。

需要我们记住的一个定理:

下面这个是华里士公式的另外一个式子：

一元函数积分学的应用：

数一的范围：知道怎么求空间曲面体的体积、面积、以及能够写出这个曲面体的函数

第一种：求曲边梯形的面积。

这种一般是套用公式，杂糅进来了前面微分和极限的知识一起考查。

第二种：用积分表达式计算旋转体的体积。

绕着x轴旋转的：

绕着y轴旋转的：

第三种：用积分表达和计算函数的平均值：

       最近看到了这样的问题，有参函数和无参函数的区别是不是一个有返回值，一个没有返回值 

         其实并不是这样的，我们来具体分析一下

首先就是返回值return函数

C/C++ 中，reutrn语句是这样定义的：

通过在函数中使用返回语句，返回一个值给函数，同时终止函数的调用，返回主函数。（注意：同时终止函数的调用，也就是说函数在运行到return时就会终止了。）

 格式：    return (表达式); 或return 表达式；

 功能：

       (1)计算表达式的值，将表达式的值返回给函数。

       (2)从被调用的函数返回主调函数。

 说明：

(1)返回值类型应和函数类型一致，不一致将返回值自动转换成函数类型。

(2)函数中可以有多条返回语句，这时一般与if语句联用，执行到哪一条返回语句，哪条返回语句起作用。

(3)函数中无return语句，执行至函数体结尾时返回，此时将返回一个不确定的值给函数。

(4)如果只需要从函数中返回，而不需带回值，使用不带表达式的return语句。

此外，有时调用一个函数，需要返回多个参数，这种情况应当如何处理呢？

    可以有两种办法：一是申请一个全局变量，在函数调用时对其进行处理，返回主程序时仍然可用；另一种办法是，返回一个指针，指针指向一个结构体，或者一个数组，这样就能返回多个参数了。而指向结构体的指针，在很多情况下是很常见的。

我们再来看下有参函数和无参函数

从形式上看，函数可分为两类：无参函数和有参函数。

所谓无参函数，是指在主调函数调用被调函数时，主调函数不向被调函数传递数据。无参函数一般用来执行特定的功能，可以有返回值，也可以没有返回值，但一般以没有返回值居多。

有参函数，是指在主调函数调用被调函数时，主调函数通过参数向被调函数传递数据。在一般情况下，有参函数在执行被调函数时会得到一个值并返回给主调函数使用。

定义有参函数的一般形式为：

函数类型 函数名(参数类型1 参数名1, 参数类型2 参数名2, …, 参数类型n 参数名n)
{
   声明部分
   语句部分
}

无参多个返回值的函数

func myfunc01( ) (int,int,int) {
return 1,2,3
}

 那是不是有参函数就有返回值，无参函数就没有返回值呢，其实不是的，这个要看函数的声明

一、一般的情况，C语言默认的返回值的类型是int整形，其他的函数看其函数前的类型就可以知道这个函数的返回值是什么类型，返回值是函数在被调用之后根据其传入的参数来进行运算从而获得一个最终的值，这值称函数的返回值。

二、一个函数的函数名既是该函数的代表，也是一个变量。由于函数名变量通常用来把函数的处理结果数据带回给调用函数，即递归调用，所以一般把函数名变量称为返回值。

所以说如果是void声明的函数一般就没有返回值，其他有返回类型的函数就有返回值，而不是取决于有参与无参

那一个函数可以有多个返回值吗？

这是可以的，虽然RETURN只能返回一个值，但是没有对这个值有类型要求，返回个数组是可以的。数组里的元素有两个就相当于返回两个值，还可以返回结构体，实现不同类型的返回值，这样就实现了一个函数返两个值。

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