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  • 高中数学中函数最值求解问题是学习中难点,在解决函数最值问题时候要经过全方位考虑,结合函数...本文总结了一些函数最值常用方法如下:一、利用一次函数的单调性【例题1】已知 x , y , z 是非负实数...

    高中数学中的函数最值求解问题是学习中的难点,在解决函数最值问题的时候要经过全方位的考虑,结合函数的定义域,将各种可能出现的结果进行分析,最终求得准确的计算结果。

    在数学学习的过程中活跃的数学思维非常重要,它不仅可以改善学习方法,而且可以帮助学生掌握更多的解题技巧,进而提高解题速度和学习效率。

    本文总结了一些求函数最值的常用方法如下:

    一、利用一次函数的单调性

    【例题1】已知 x , y , z 是非负实数,且 x + 3y + 2z = 3 , 3x + 3y + z = 4 ,

    求函数 w = 2x - 3y + z 的最值 .

    解:

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    得 y = 5/3(1 - x), z = 2x - 1

    ∴ w = 9x - 6

    又 x , y , z 非负,

    a9865d24cb63b1ede1cf958f392eeda8.png

    依一次函数 w = 9z - 6 的单调性可知

    当 x = 1/2 时,Wmin = -3/2 ,

    当 x= 1 时,Wmax = 3 .

    注:

    再求多元函数的条件最值时,通常是根据已知条件消元,转化为一元函数来解决问题.

    对于一次函数 y = kx + b ( k ≠ 0 ) 的最值,关键是指出自变量的取值范围,即函数的定义域,当一次函数的定义域是闭区间时,其最值在闭区间的端点处取得 .

    二、利用二次函数的性质

    【例题2】设 α , β 是方程 4x^2 - 4kx + k + 2 = 0 的两个实数根,

    当 k 为何值时 α^2 + β^2 有最小值?

    解:

    ∵ α , β 为方程的两个实数根,

    ∴ α + β = k , αβ = 1/4 ( k + 2 ) ,

    令 y = α^2 + β^2 , 则有

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    又由原方程由实数根可知,

    2c0d9e1d624cd43d9861220a31674a0f.png

    ∴ k ≤ -1 或 k ≥ 2 .

    而二次函数的顶点 (1/4,-17/16)不在此范围内,根据二次函数的性质知,

    y 是以 k = 1/4 为对称轴,开口向上的,定义域为 (-∞,-1]∪[2,+∞)的抛物线,

    比较 k = -1 及 k = 2 时 y 的值知,

    当 k = -1 时,有 ymin = 1/2 .

    注:

    利用二次函数的性质求最值时,不能机械地套用最值在顶点处取得 . 首先要求出函数的定义域,然后在看顶点是否在函数的定义域内,最后再根据函数的单调性来判定 .

    【例题3】如图所示,抛物线 y = 4 - x^2 与直线 y = 3x 交于 A , B 两点,

    点 P 在抛物线上由 A 运动到 B,求 △APB 的面积最大时点 P 的坐标 .

    5b3f8ed7fd6ce8e30589d4c5b77c7dca.png

    分析:

    由于 A , B 为定点,所以 AB 长为定值,欲使 △APB 的面积最大,须使 P 到 AB 的距离最大 .

    解:

    设 P 点坐标为 (x0 , y0),

    ∵ A , B 在直线 y = 3x 上,

    9d765950ddd135e9e33cc4cb031d84c3.png

    联立抛物线与直线方程,可得

    xA = -4 , xB = 1 ,

    ∴ -4 ≤ x0 ≤ 1 ,

    则有

    2420c35fab12d4642ef14d40f59f254e.png

    88a24f51e52870519a337f44a2ec04f9.png

    当 x = -3/2 时,d 取最大值,△APB 面积最大,此时 P 点坐标为 (-3/2 , 7/4).

    注:

    在解决实际问题时要注意确定自变量取值范围的方法,本题是由直线与抛物线的交点来确定的,这样才能确定定义域内的最值 .

    三、利用二次方程的判别式

    欲求函数 y = f(x) ( x ∈ R ) 的极值,如果可以把函数式整理成关于 x 的二次方程,

    注意到 x 在其定义域内取值,即方程有实根,

    所以可以通过二次方程的判别式 △ ≥ 0 来探求 y 的极大值与极小值 .

    【例题4】已知 0 ≤ x ≤ 1 , 求

    cfd143c62c17ec003a4440dbf63481c0.png

    的最值 .

    解:原式可化为

    d189ff6b1089d25f9166bd1da92ffe1c.png

    ∵ x ∈ R ,

    2636392bafe69e262dd36dcb812dfb54.png

    解得 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ,

    即函数 y 的值域为 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ,

    ∴ y极大 = 1/4,y极小 = 9/16 .

    当 y = 1/4 时,代入原函数解析式得 x = 1 ∈ [ 0 , 1 ] ;

    当 y = 9/16 时,代入原函数解析式得 x = -1 ∉ [ 0 , 1 ] .

    又 x = 0 时 , y = 2/3 ,

    ∴ 当 x = 0 时,y 取极大值 2/3 .

    注:

    由判别式确定的是函数的值域,由值域得到的是函数的极值而不是最值;

    对有些函数来说,极值与最值相同,而有的函数就不一定,

    如本题中的极大值比极小值还小,这是因为极值是就某局部而言;

    若要求函数在给定的定义域内的最值,一定要注意极值是否在此定义域内取得,

    即要注意验根 .

    四、利用重要不等式

    【例题5】设 x , y , z ∈ R+ , 且 2x + 4y + 9z = 16 .

    求 6√x + 4√y + 3√z 的最大值 .

    解:

    令 u = 6√x + 4√y + 3√z ,

    7fa82a922ad81aa8e6f42357fbe2e7a4.png

    ∴ u ≤ 4√23 ,

    ( 其中当 9/x = 1/y = 1/9z 时,即当 x = 144/23 , y = 16/23 , z = 16/207 时取等号)

    b238a2f0b22abe935461cce65646f16d.png

    注:

    这里是应用柯西不等式,在应用公式时,

    如何构造出已知条件等式 2x + 4y + 9z = 16,颇具技巧性和解题意义 .

    五、利用三角函数的有界性

    对于三角函数的极值,通常是利用三角函数的有界性来求解问题的,

    如正、余弦函数的最大(小)值很明显:y = asinx + bcosx (a , b ≠ 0)

    引入辅助角 θ,则

    b7ec8e06bac226a596ac7e2e95db7e5a.png

    其最值也一目了然 . 而对于其它的类型或用同角关系式、或用万能公式、或用正余弦定理作转化,变为二次函数问题来求解 .

    【例题6】

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    的最值 .

    解法一:(利用降幂公式)

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    解法二:(用判别式法)

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    注:本例还可以用万能公式等方法来求解 .

    六、利用参数换元

    对于有些函数而言,直接求极值比较复杂或不方便,这时可根据题目的特点作变量代换,然后运用前面的几种方法来解决问题.在换元时,一定要注意新的变量的取值范围 .

    【例题7】求函数 y = x + √( 1 - x ) 的极值 .

    解:

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    原函数变为

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    ∵ t = 1/2 ∈ [ 0 , +∞ ) ,

    ∴ 当 t = 1/2 ,即 x = 3/4 时,ymax = 5/4 .

    注:这种换元虽然十分简单,但具有代表性 .

    七、利用复数的性质

    【例题8】已知复数 z 满足 | z | = 2 , 求 | 1 + √3 i + z | 的极值 .

    解法一:

    设 z = 2(cosθ + isinθ) (∵ | z | = 2)

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    故 | 1 + √3 i + z |max = 4 , | 1 + √3 i + z |min = 0 .

    解法二:

    依据 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | ,

    有 | 1 + √3 i | - | z | ≤ | 1 + √3 i + z | ≤ | 1 + √3 i | + | z | ,

    即 2 - 2 ≤ | 1 + √3 i + z | ≤ 2 + 2 ,

    ∴ | 1 + √3 i + z |max = 4 , | 1 + √3 i + z |min = 0 .

    注:

    求复数模的最值通常可用代数法,三角法(解法一),

    复数模的性质及其公式 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | ,

    此外还有数形结合方法等,但以上两种方法最为简捷.

    八、利用数形结合

    有些代数和三角问题,若能借助其几何背景,予以几何直观,这时求其最值常能收到直观、明快,化难为易得功效.

    【例题9】

    f9e085a1451dbb9d608f4b954a3c6283.png

    的最值 .

    解:将函数式变形为

    aea4e2dd9ee02c1dd6ca38e35c6aaa47.png

    其几何意义是在直角坐标系中,动点 P(cosx , sinx)和定点 A(-2 , -1)连线的斜率,

    动点 P 的轨迹为单位圆,如下图所示:

    e27ab4fec0b30dbd2b07e5c32492171c.png

    知 kAB 最小,kAC 最大,显然 kAB = 0 ,

    又 tgθ = |OB|/|AB| = 1/2 ,

    tg∠A = tg2θ = 2tgθ/(1 - tg^2 θ)= 4/3 ,

    即 kAC = 4/3 ,

    故 ymin = 0 , ymax = 4/3 .

    注:

    形如 [f(x) - a] / [g(x) - b] 的函数式,

    通常都可视作点 (g(x) ,f(x) ) 与点 (b , a)的连线的斜率 .

    运用数形结合的思想解题,关键是要进行合理的联想和类比,

    将代数式通过转化、变形、给予几何解释,

    通常这种转化与变形的过程常是一种挖掘和发现的过程,如本例需要挖掘 .

    高中数学100个知识点总结!

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  • 如果想要获取往期每日题电子版,可以加我微信:daigemath166,备注:知乎 每日题呆哥解析:这是三角函数最大值的原创题首先看到函数形式,我们可以发现,它有个特点:两个根号下有个相反的带变量的东西...

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    如果想要获取往期每日一题电子版,可以加我微信:daigemath166,备注:知乎 每日一题

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    呆哥解析:

    这是一个求三角函数最大值的原创题

    首先看到函数形式,我们可以发现,它有个特点:

    两个根号下有个相反的带变量的东西

    这种根号形式如果求两者和的最值的话,我们最好的方法,就是考虑Holder不等式的二次形式,也就是柯西不等式:

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    从柯西不等式的形式里面来看,有带根号的,就刚好可以通过二元形式的平方消掉根号,从而使得根号下的变量相消

    如果这里我们根据系数,令:

    5fc7bcb49157ee0d29fbf9f57d44ccf5.png

    那么就有:

    7ddfccb5d8a06ea777903a377abdae49.png

    可见,这里我们成功地通过平方消掉了根号下的正反余弦,得出了常数上界,我们的题目到这里就做完了

    可以推广一下,如果利用Holder不等式的三次形式,那么:

    c4eeb0971cdaa7fb5323720a824245f6.png

    由于Holder不等式属于高中竞赛内容,所以这里就只是提个例题,不详细介绍,同学们只需要记住柯西不等式即可

    所以由柯西不等式即可得到本题答案了:

    e654e3e96b5ae933162b4aa8149839cb.png

    明日预告:

    acdfa0f35fdc2b69b335270b35017313.png
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  • 三角形的面积是几何题中常见问题之,可用的方法也比较多,比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式,下面我们看看在二次函数问题中常用的面积的方法——铅垂法.问题 在平面直角坐标系中,...
    e97d64a0bad97b8b7318ef048ce9501e.gif

       求三角形的面积是几何题中常见问题之一,可用的方法也比较多,比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式,下面我们看看在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法.

    问题 

         在平面直角坐标系中,已知A(1,1)、B(7,3)、C(4,7),求△ABC的面积.

    c6d240c7156b8d3c2231698de30bc7cc.png【分析】显然对于这样一个位置的三角形,面积公式并不太好用,割补倒是可以一试,比如这样:93f29b449f83e271631c27f8c6149ac4.png构造矩形ADEF,用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC面积.这是在“补”,同样可以采用“割”:439f90bf5ee14786fb7ce9fe7b7eb6ee.png746829fbf7136a991c60f70a46798e3f.png此处AE+AF即为A、B两点之间的水平距离.由题意得:AE+BF=6.下求CD:根据A、B两点坐标求得直线AB解析式为:ab3fe9cf44f675e1802c41935dcb885a.png由点C坐标(4,7)可得D点横坐标为4,将4代入直线AB解析式得D点纵坐标为2,故D点坐标为(4,2),CD=5,方法总结作以下定义:(1)水平宽:A、B两点之间的水平距离;(2)铅垂高:过点C作x轴的垂线与AB交点为D,线段CD即为AB边的“铅垂高”.dfbe137a7e1a5fbdd7547f38386617c2.png如图可得:a9139ceb65cbabc9f7caa8eda774c120.png【解题步骤】(1)求A、B两点水平距离,即水平宽;(2)过点C作x轴垂线与AB交于点D,可得点D横坐标同点C;(3)求直线AB解析式并代入点D横坐标,得点D纵坐标;(4)根据C、D坐标求得铅垂高;(5)利用公式求得三角形面积.

    中考真题

    1   如图,已知抛物线y=ax²+bx+5经过A(-5,0)、B(-4,-3)两点,与x轴的另一个交点为C(1)求该抛物线的表达式;(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合),设点P的横坐标为t.当点P在直线BC的下方运动时,求△PBC的面积的最大值.4bca9424fa0362d55fab2de87a8137c6.png【分析】(1)y=x²+6x+5;(2)取BC两点之间的水平距离为水平宽,过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q,则PQ即为铅垂高.3b2decf6033db16f54a14ba38c238717.png根据A、C两点坐标得AC=4,根据B、C两点坐标得直线BC解析式:y=x+1,设P点坐标为(m,m²+6m+5),则点Q(m,m+1),得PQ=-m²-5m-4,考虑到水平宽是定值,故铅垂高最大面积就最大.【小结】选两个定点作水平宽,设另外一个动点坐标来表示铅垂高.    问题      拆解四边形

    如何求一个普通的四边形的面积?

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    解法也很普通,连对角线分割为两个三角形即可求得面积.至于三角形面积则可用铅垂法.

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    中考真题

    1   已知抛物线y=ax²+bx-4经过点A(2,0)、B(-4,0),与y轴交于点C

    (1)求这条抛物线的解析式;

    (2)如图,点P是第三象限内抛物线上的一个动点,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标;

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    【分析】

    (1)y=0.5x²+x-4

    (2)此处四边形ABPC并非特殊四边形,所以可以考虑连接对角线将四边形拆为两个三角形求面积.

    若连接AP,则△ABP和△APC均为动三角形,非最佳选择;

    若连接BC,可得定△ABC和动△BPC,只要△BPC面积最大,四边形ABPC的面积便最大.

    521d65ece4149e898eb9f96c3d771383.png

    考虑A(2,0)、B(-4,0)、C(0,-4),

    45043d1ad8afa34da1d1c30b5b52d9b0.png

    接下来求△BPC的面积,设P点坐标为(m,0.5m²+m-4)

    连接BC,则直线BC的解析式为:y=-x-4

    过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q,则Q点坐标为(m,-m-4),

    d997834725d7b55f858d1d6a6c7542e3.png

    当m=-2时,PQ取到最大值2,此时△BPC面积最大,四边形ABPC面积最大.

    此时P点坐标为(-2,-4).

    已知抛物线y=ax²+1.5x+4的对称轴是直线x=3,与x轴相交于A,B两点(点B在点A右侧),与y轴交于点C

    (1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标;

    (2)如图,若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合),是否存在点P,使四边形PBOC的面积最大?若存在,求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值;若不存在,请说明理由;

    ad0ff9cd2c36d774cae54531f66aeff2.png

    【分析】

    (1)抛物线解析式为

    9baf7abd4a77ae03169bff50fb7d1ccf.png

    点A坐标为(-2,0),点B坐标为(8,0).

    (2)显然将四边形PBOC拆为△BOC和△PBC,点C坐标为(0,4),

    e77ecf8cdf23c8a83f7fe15217aeae6f.png

    设P点坐标为

    a5c36f9188e8171aa9e2ccd5a6a251db.png

    根据B、C坐标可得BC的解析式为y=-0.5x+4

    过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q,则Q点坐标为(m,-0.5m+4),

    b2dfda3298207f5119c1e31936d634c0.png7ceb02c4b646381e4a634f1bcc334137.png

    当m=4时,PQ取到最大值4,

    41e63429dbf2b4f533432fc773582398.png

    故四边形PBOC的最大面积为32,此时P点坐标为(4,6).

    此题四边形已拆好,只要负责计算就可以了,而计算的内容,与三角形无异.

    2   如图1,在平面直角坐标系中,直线y=-5x+5与x轴,y轴分别交于A,C两点,抛物线y=x²+bx+c经过A,C两点,与x轴的另一交点为B

    (1)求抛物线解析式及B点坐标;

    (2)若点M为x轴下方抛物线上一动点,连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时,四边形AMBC面积最大,求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积;

    (3)如图2,若P点是半径为2的圆B上一动点,连接PA、PC,当点P运动到某一位置时,PC+1/2PA的值最小,请求出这个最小值,并说明理由.

    d3ddb0b8d599c67e70f56a76d02e7332.png1f5e3c9e2a71efae9129c24b9158e592.png

    【分析】

    (1)由题意得:A(1,0)、C(0,5),代入可解抛物线解析式为:y=x²-6x+5,点B坐标为(5,0).

    (2)显然四边形AMBC可拆为△ABC和△AMB,

    465b33aa9882503a47e0912baf87185f.png

    显然,当M点在抛物线顶点时,△AMB面积最大,

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    此时M点坐标为(3,-4),

    30e4a5dd8ce1d43a7413e14361abccb3.png

    故四边形AMBC面积最大值为10+8=18,此时M点坐标为(3,-4).

    (3)之所以留下这个小问是因为前两个小问也太不够看了,而这个也差不多.

    显然是个“阿氏圆”问题,构造1/2PA即可,参考阿氏圆解决方法,

    取点D(4,0),连接PD,任意时刻,均有PD=1/2PA,问题易解.

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  • (b)方法在(a)基础上,选择保留部分父代个体,防止优秀基因丢失,我在这里使用是经典遗传算法,在下面这种简单次函数方面效果不错 clc; clear; %设置起始计时器 tic; %定义群体个数num(设为偶数),定义...

    遗传算法的简单实现


    今天学习了遗传算法,其最大的特点就是能求取全局最优值,但是算法随机性高,对连续定义域很难求得精确解,本文仅参考遗传算法的思想,在整数范围内,来求取函数全局最大值

    首先回顾一下算法流程
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    (b)方法在(a)的基础上,选择保留一部分父代个体,防止优秀基因的丢失,我在这里使用的是经典遗传算法,在下面这种简单的二次函数方面效果不错

    clc;
    clear;
    %设置起始计时器
    tic;
    %定义群体个数num(设为偶数),定义自变量数n,定义自变量取值范围[1,top],
    num=160;n=4;top=12;
    %定义用来储存目标结果的向量
    F_result=zeros(1,num);
    %定义种群最大值,平均值
    F_max=[];F_mean=[];F_min=[];
    %随机生成num个个体,即生成初始种群
    for i=1:num
        for j=1:n
            X{i}(j)=unidrnd(top);
        end
        F_result(i)=f(X{i});     %请先自定义f函数
    end
    i=1;
    %选择使函数f较大的前一半个体随机组合,随机交换基因,产生下一代,直到群体数复原
    while(1)
        %取群体最大值,平均值,最小值作为观察对象
        F_max(i)=max(F_result);F_mean(i)=mean(F_result);F_min(i)=min(F_result);
        if (F_max(i)==F_mean(i))
            break;
        end
        %选择前一半表现优秀的个体杂交产生下一代
        F_tem=F_result;   %临时存储F的结果用于排序
        [result,coo]=sort(F_tem);
        t=unidrnd(num/2); %基因交换循环过程中发生变异的某时刻
        for j=1:num/2    %基因交换循环过程,子代将完全取代老一代
            a=unidrnd(num/2)+num/2;    %随机选择两个表现优秀的不同个体
            b=unidrnd(num/2)+num/2;
            if(a==b)
                j=j-1;
                continue;
            end
            %选择与重组
            X{coo(j)}=[X{coo(a)}(1) X{coo(a)}(2) X{coo(b)}(3) X{coo(b)}(4)];
            F_result(coo(j))=f(X{coo(j)});
            X{coo(j+num/2)}=[X{coo(b)}(1) X{coo(b)}(2) X{coo(a)}(3) X{coo(a)}(4)];
            F_result(coo(j+num/2))=f(X{coo(j+num/2)});
            %变异
            if(j==t)
                c=unidrnd(n);    %任选一位变异
                d=unidrnd(top);  %任变异成定义域内某值
                X{coo(j)}(c)=d;
                F_result(coo(j))=f(X{coo(j)});
                X{coo(j+num/2)}(c)=d;
                F_result(coo(j+num/2))=f(X{coo(j+num/2)});
            end
        end
        i=i+1;
    end
    plot(F_max,'r');
    hold on;
    plot(F_mean,'g');
    hold on;
    plot(F_min,'b');
    toc;
    
    

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