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  • 欧拉函数定义+性质+证明+模板)

    千次阅读 2018-09-02 11:44:58
    欧拉函数定义:  在数论中,对于正整数N,少于或等于N ([1,N]),且与N互质的正整数(包括1)的个数,记作φ(n)。  φ函数的值:  φ(x)=x(1-1/p(1))(1-1/p(2))(1-1/p(3))(1-1/p(4))…..(1-1/p(n)) ...

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    欧拉函数的定义:

        在数论中,对于正整数N,少于或等于N ([1,N]),且与N互质的正整数(包括1)的个数,记作φ(n)。

         φ函数的值:

        φ(x)=x(1-1/p(1))(1-1/p(2))(1-1/p(3))(1-1/p(4))…..(1-1/p(n)) 其中p(1),p(2)…p(n)为x

    的所有质因数;x是正整数; φ(1)=1(唯一和1互质的数,且小于等于1)。注意:每种质因数只有一个。

         例如:

             φ(10)=10×(1-1/2)×(1-1/5)=4;

             1 3 7 9

             φ(30)=30×(1-1/2)×(1-1/3)×(1-1/5)=8;

             φ(49)=49×(1-1/7)=42;

     

    欧拉函数的性质:

    (1)   p^k型欧拉函数:

    若N是质数p(即N=p), φ(n)= φ(p)=p-p^(k-1)=p-1。

    若N是质数p的k次幂(即N=p^k),φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)。

    (2)mn型欧拉函数

    设n为正整数,以φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数,称为n的欧拉函数值。若m,n互质,φ(mn)=(m-1)(n-1)=φ(m)φ(n)。

    (3)特殊性质:

    若n为奇数时,φ(2n)=φ(n)。

    对于任何两个互质 的正整数a,n(n>2)有:a^φ(n)=1 mod n (恒等于)此公式即 欧拉定理

    当n=p 且 a与素数p互质(即:gcd(a,p)=1)则上式有: a^(p-1)=1 mod n (恒等于)此公式即 费马小定理

     

    欧拉函数相关的证明:

    (1)   p^k型的欧拉函数的证明:

    对于给定的一个素数p: φ(p)=p-1 那么容易证明φ(n)=p^k-p^(k-1)

    已知少于或等于p^k的正整数的个数为p^k-1,其中和p^k不互质的正整数有{ p×1,p×2,...,p×(p^(k-1)-1)},共计p^(k-1)-1个

    故: φ(n) = p^k-1-(p^(k-1)-1)=p^k-p^(k-1)。

    (2)   mn型的欧拉函数的证明:

    因为:x=mn m与n互质(即:gcd(m,n)=1);根据中国剩余定理Z(x)和Z(m)×Z(n)之间存在一一映射,所以x的完全余数集(见下面参考)中的元素的个数Z(x)等于Z(m)×Z(n)元素的个数;而Z(m)×Z(n)= φ(m)φ(n)

    故有: φ(mn) =φ(m)φ(n) 成立。

    (3)任意正整数的欧拉函数的相关证明:

    任意一个整数n都可以表示为其质因子的乘积:

     n=(p(1)*k(1)) *(p(2)*k(2)) *(p(3)*k(3))…(p(i)*k(i))*…*(p(I)*k(I)) 其中I为n 的质因子的个数。

    根据(1)(2)的结论,很容易得出它的欧拉函数为:

    φ(n)=n(1-1/p(1))(1-1/p(2))(1-1/p(3))(1-1/p(4))…..(1-1/p(i)) 其中I为n 的质因子的个数。

    对于任意n>2,2|φ(n) 必定存在 p(i)-1是偶数

     

    欧拉定理的相关证明:

    (1)  令Z(n)={ X(1),X(2),…,X(φ(n)) }  S={ a*X(1) mod n, a*X(2) mod n ,…,a*X(φ(n)) mod n },则 Z(n)=S。

    1)因为a与n互质(即:gcd(a,n)=1), X(i)(1≤i≤φ(n))与n互质(即:gcd(X(i),n)=1);所以

    a*X(i)与n互质(即:gcd(a*X(i),n)=1),故 a*X(i) mod n ∈ Z(n)。

         2)若i≠j,那么 X(i)≠X(j) ,又有a与n互质(即:gcd(a,n)==1),则可得出: a*(X(i)) mod n ≠a*X(j) mod n (消去定律)。

    (2)   a^(φ(n))*X(1)*X(2)*X(3)*…*X(φ(n)) mod n

    =(a*X(1))*(a*X(2))*(a*X(3))*…*(a*X(φ(n))) mod n

    =(a*X(1) mod n)*(a*X(2) mod n)*(a*X(3) mod n)*…*(a*X(φ(n)) mod n) mod n

    =X(1)*X(2)*X(3)*…*X(φ(n)) mod n。

    对比等式左右两端,因为X(i)(1≤i≤φ(n))与n互质(即:gcd(X(i),n)==1) ,

    故: a^φ(n)=1 mod n (恒等于)成立。

     

    费马小定理的相关证明:

    若正整数 a与素数p互质,则有a^(p-1)=1 mod n(恒等于)

    由于φ(p)=p-1 且 a^φ(n)=1 mod n ,又有此处的p==n;

    故:a^(p-1)=1 mod n成立。

    此定理可以用来简化幂的模运算:

    例如: 计算 7^222的个位数,实际上是求7^222被10除的余数。

         且7与10互质,φ(10)=1,由欧拉定理知7^4= 1mod 10

         故7^222=(7^4)^55*(7^2)=>(1^55)*(7^2)=>49=>9 mod 10

     

    欧拉函数的延伸:

    于或等于n的数中,与n互质的数的总和为:φ(x) * x / 2  (n>1)。

     

    相关知识参考:

     

    完全余数集合:

    定义小于 n 且和 n 互质的数构成的集合为 Z(n) ,称呼这个集合为 n 的完全余数集合。 显然 |Z(n)| =φ(n) 。

     

    同余定理:

         如果 a mod b = c 则有(a+kb) mod b =c(k为非0整数)

         如果 a mod b = c 则有(ka) mod b =kc (k为正整数)

         (a+b) mod c =((a mod c)+(b mod c )) mod c;

         (a*b) mod c=((a mod c)*(b mod c)) mod c

     

    欧拉函数模板

       (1)直接求小于或等于n,且与n互质的个数: 

    int Euler(int n)
    {
        int ret=n;
        for(int i=2; i<=sqrt(n); i++)
            if(n%i==0)
            {
                ret=ret/i*(i-1);//先进行除法防止溢出(ret=ret*(1-1/p(i)))
                while(n%i==0)
                    n/=i;
            }
            if(n>1)  ret=ret/n*(n-1);
            return ret;
    }

    筛选模板:求[1,n]之间每个数的质因数的个数:

    #define size 1000001
    int euler[size];
    void Init()
    {
        memset(euler,0,sizeof(euler));
        euler[1]=1;
        for(int i=2; i<size; i++)
            if(!euler[i])
            for(int j=i; j<size; j+=i)
            {
                if(!euler[j])  euler[j]=j;
                euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出        
            }
    }
    

    代码:

    #include<stdio.h>
    #include<string.h>
    const int MAXN=1000010;
    int dp[MAXN];
    int main(){
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[1]=1;
        for(int i=2;i<MAXN;i++){
            if(dp[i])continue;
            for(int j=i;j<MAXN;j+=i){
                    if(!dp[j])dp[j]=j;
                dp[j]=dp[j]/i*(i-1);
            }
        }
        int N;
        while(~scanf("%d",&N))printf("%d\n",dp[N]);
        return 0;
    }

     

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  • 次函数性质

    千次阅读 2017-01-22 13:25:08
    一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),则称y为x的二次函数。 顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数)。 交点式(与x轴):y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,a、且x1、x2为常数)x1、x2为二次函数与x轴的两交点。 ...
    补充:
    首先要纠正你一个错误,没有完全平方差公式.应为:
    (1)完全平方公式:(a+b)²=a²+2ab+b²
     (a-b)²=a²-2ab+b²
    (2)平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b²
    一般地, 变量x和因变量y之间存在如下关系:
    一般式:y=ax 2+bx+c(a≠0,a、b、c为 常数),则称y为x的二次函数。
    顶点式:y=a(x-h) 2+k(a≠0,a、h、k为常数)。
    交点式(与x轴):y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,a、且x1、x2为常数)x1、x2为二次函数与x轴的两交点。

    等高式:y=a(x-x1)(x-x2)+m(a≠0,且过(x1、m)(x2、m)为常数)x1、x2为二次函数与x轴的两交点。

    定义

    编辑
    一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
    一般式:y=ax 2+bx+c(a≠0,a 、b、c为 常数),则称y为x的二次函数。
    顶点式:y=a(x-h) 2+k(a≠0,a、h、k为常数)
    交点式(与x轴):y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,x1、x2为常数)
    重要知识:(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。)
    二次函数表达式的右边通常为二次。
    x是 自变量,y是x的二次函数
    一元二次方程求根公式
    当b 2-4ac>0 时
    当b 2-4ac=0时
    x1=x2=-b/2a

    表达式

    编辑

    ①一般式

    y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) [1]  

    ②顶点式

    [抛物线的顶点 P(h,k) ]: y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0)

    ③交点式

    [仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]: y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2为常数,a≠0)

    转化

    编辑
    3种形式的转化∶
    ①一般式和顶点式
    对于二次函数 y=ax2+bx+c,其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b2)/4a),即
    h=-b/2a=(x1+x2)/2
    k=(4ac-b2)/4a
    ②一般式和交点式
    x1,x2=[-b±√(b2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

    有关性质

    编辑

    抛物线的性质

    1.抛物线是轴对称图形。 对称轴为直线 x = -b/2a。
    对称轴与 抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
    特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
    2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b 2)/4a )
    当-b/2a=0,〔即b=0〕时,P在y轴上;当Δ= b 2-4ac=0时,P在x轴上。
    3. 二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
    当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。
    |a|越大,则 抛物线的开口越小。
    4. 一次项系数b和二次项系数a共同决定 对称轴的位置。
    当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
    当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
    5. 常数项c决定抛物线与y轴交点。
    抛物线与y轴交于(0,c)
    6.抛物线与x轴交点个数
    Δ= b 2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
    Δ= b 2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
    Δ= b 2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是 虚数x= -b±√b2-4ac 乘上虚数i,整个式子除以2a)
    当a>0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=〔4ac-b 2〕/4a;在{x|x<-b/2a}上是 减函数,在{x|x>-b/2a}上是增函数; 抛物线的开口向上;函数的 值域是{y|y≥4ac-b 2/4a}相反不变
    当b=0时,抛物线的 对称轴是y轴,这时,函数是 偶函数,解析式变形为y=ax 2+c(a≠0)
    7. 定义域:R
    值域:(对应 解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b 2)/4a, 正无穷);②[k,正无穷)
    奇偶性:非奇非偶 (当且仅当b=0时, 函数解析式为f(x)=ax 2+c, 此时为 偶函数
    周期性:无
    解析式:
    ①y=ax 2+bx+c[ 一般式]
    ⑴a≠0,a、b、c为 常数
    ⑵a>0,则抛物线开口朝上;a<0,则抛物线开口朝下;
    极值点:(-b/2a,(4ac-b 2)/4a);
    ⑷Δ=b 2-4ac,
    Δ>0,图象与x轴交于两点:
    ([-b+√Δ]/2a,0)和([-b-√Δ]/2a,0);
    Δ=0,图象与x轴交于一点:
    (-b/2a,0);
    Δ<0,图象与x轴无交点;
    ②y=a(x-h) 2+k[配方式]
    此时,对应极值点为(h,k),其中h=-b/2a,k=(4ac-b 2)/4a;

    二次函数的性质

    特别地,二次函数(以下称函数) y=ax2+bx+c(a≠0),
    y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),
    ax2+bx+c=0(a≠0)
    此时, 函数图像与x轴有无交点即 方程有无 实数根
    函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
    1.二次函数 y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的 顶点坐标及对称轴如下表:  [1]  
    解析式
    y=ax2+k
    y=ax2
    y=a(x-h)2
    y=a(x-h)2+k
    y=ax2+bx+c
    顶点坐标
    (0,k)
    (0,0)
    ( h,0)
    (h,k)
    (-b/2a,4ac-b2/4a)
    对 称轴
    x=0(y轴)
    x=0(y轴)
    x=h
    x=h
    x=-b/2a
    h>0时, y=a(x-h)2的图象可由抛物线 y=ax^2向右平行移动 h个单位得到,
    h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.
    h>0,k>0时,将 抛物线 y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h) 2+k的图象;
    h>0,k<0时,将抛物线 y=ax2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到 y=a(x-h)2+k的图象;
    h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动 |h|个单位,再向上移动k个单位可得到 y=a(x-h)2+k的图象;
    h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动 |h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到 y=a(x-h)2+k的图象;
    因此,研究抛物线  y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将 一般式化为y=a(x-h) 2+k的形式,可确定其 顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
    2.抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线 x=-b/2a,顶点坐标是 (-b/2a,[4ac-b2]/4a).
    3. 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0),a>0,当 x ≤ -b/2a时,y随x的增大而减小;当 x ≥ -b/2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而减小.
    4.抛物线y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象与坐标轴的交点:
    (1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
    (2)当△=b 2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0
    (a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x2-x1| 另外,抛物线上任何一对对称点的距离可以由2x|A+b/2a|(A为其中一点的横坐标)
    当△=0.图象与x轴只有一个交点;
    当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何 实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.
    5.抛物线y=ax 2+bx+c的最值(也就是极值):如果a>0(a<0),则当x= -b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b 2)/4a.
    顶点的横坐标,是取得极值时的自变量值,顶点的纵坐标,是极值的取值.
    6.用 待定系数法求二次函数的 解析式
    (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:
    y=ax 2+bx+c(a≠0).
    (2)当题给条件为已知图象的 顶点坐标对称轴时,可设解析式为 顶点式:y=a(x-h) 2+k(a≠0).
    (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
    7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中高考的热点考题,往往以大题形式出现.

    其它

    编辑
    关于二次函数的答题
    函数y=2x+1的图象与抛物线y=2x 2+2x+1的图像交于一点,求此点坐标.
    解:由题知2x+1=2x 2+2x+1
    所以:2x 2=0
    x1=x2=0
    y=2x0+1
    所以:该点坐标为(0,1)

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  • 概率(Probability)的定义和性质

    千次阅读 2018-09-09 10:40:14
    在相同的条件下,独立重复地做NNN试验,当试验次数NNN很大时,如果事件AAA发生的频率fN(A)fN(A)f_N(A)稳定地在[0,1][0,1][0,1]内的某个数值ppp,而且一般来说随着试验次数的增多,这种摆动的幅度会越来越小,则...

    概率的定义:

    描述性定义:
    在相同的条件下,独立重复地做 N N N次试验,当试验次数 N N N很大时,如果事件 A A A发生的频率 f N ( A ) f_N(A) fN(A)稳定地在 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]内的某一个数值 p p p,而且一般来说随着试验次数的增多,这种摆动的幅度会越来越小,则称数值 p p p为事件 A A A发生的概率,记为 P ( A ) = p P(A)=p P(A)=p

    公理化定义:
    E E E为随机试验, Ω \Omega Ω是它的样本空间,对于 E E E的每一个事件 A A A赋予一个实数,记为 P ( A ) P(A) P(A),如果集合函数 P ( ⋅ ) P(·) P()满足下列条件:
    (1)非负性:对于每一个事件 A A A P ( A ) ⩾ 0 P(A)\geqslant 0 P(A)0
    (2)规范性: P ( Ω ) = 1 P(\Omega) = 1 P(Ω)=1
    (3)可列可加性:对于两两互斥的事件 A 1 , A 2 , . . . , A i , . . . , A j , . . . , A n A_1,A_2,...,A_i,...,A_j,...,A_n A1,A2,...,Ai,...,Aj,...,An,即 A i A j = ϕ ( i ≠ j ) A_iA_j = \phi(i \neq j) AiAj=ϕ(i̸=j)有: P ( ⋃ n = 1 ∞ A n ) = ∑ n = 1 ∞ P ( A n ) P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n) = \sum_{n=1}^{\infty}P(A_n) P(n=1An)=n=1P(An)则称实数 P ( A ) P(A) P(A)为事件 A A A的概率。

    概率的性质:

    性质1:
    不可能事件 ϕ \phi ϕ的概率为0,即 P ( ϕ ) = 0 P(\phi)=0 P(ϕ)=0

    性质2:
    有限可加性,若 A 1 , A 2 , . . . , A i , . . . , A j , . . . , A n A_1,A_2,...,A_i,...,A_j,...,A_n A1,A2,...,Ai,...,Aj,...,An为两两互斥事件,即 A i A j = ϕ ( i ≠ j ) A_iA_j=\phi(i \neq j) AiAj=ϕ(i̸=j),则有 P ( ⋃ i = 1 n A i ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) P(\bigcup_{i=1}^{n}A_i) = \sum_{i=1}^{n}P(A_i) P(i=1nAi)=i=1nP(Ai)

    性质3:
    A A A B B B是两个事件, P ( B − A ) = P ( B ) − P ( B A ) P(B-A) = P(B) - P(BA) P(BA)=P(B)P(BA);特别的,若 A ⊂ B A \subset B AB,则:
    (1) P ( B − A ) = P ( B ) − P ( A ) P(B-A)=P(B) - P(A) P(BA)=P(B)P(A),
    (2) P ( B ) ⩾ P ( A ) P(B) \geqslant P(A) P(B)P(A)

    性质4:
    对于任一事件 A A A,有 P ( A ) ⩽ 1 P(A) \leqslant 1 P(A)1

    性质5:
    对于任一事件 A A A,有 P ( A ‾ ) = 1 − P ( A ) P(\overline A) = 1-P(A) P(A)=1P(A)

    性质6:
    对于任意两个事件 A A A B B B P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) P(AB)=P(A)+P(B)P(AB);特别地,若 A A A B B B互斥,则有 P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) P(A\cup B) = P(A) + P(B) P(AB)=P(A)+P(B)
    上述公式通常称为概率加法公式: P ( ⋃ i = 1 n A i ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) − ∑ 1 ⩽ i &lt; j ⩽ n P ( A i A j ) + ∑ 1 ⩽ i &lt; j &lt; k ⩽ n P ( A i A j A k ) + . . . + ( − 1 ) n − 1 P ( A i A j . . . A n ) P(\bigcup_{i=1}^{n}A_i) = \sum_{i=1}^{n}P(A_i)-\sum_{1\leqslant i &lt; j \leqslant n}P(A_iA_j)+\sum_{1\leqslant i &lt; j &lt;k \leqslant n}P(A_iA_jA_k)+...+(-1)^{n-1}P(A_iA_j...A_n) P(i=1nAi)=i=1nP(Ai)1i<jnP(AiAj)+1i<j<knP(AiAjAk)+...+(1)n1P(AiAj...An)

    重要的概率关系公式:

    事件独立性:
    事件相互独立,即多个事件的发生相互之间没有影响,或不提供任何信息引起其他事件的发生。若 A A A B B B两事件相互独立,则有 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B)
    德摩根定律:
    两个集合的交集的补集等于它们各自补集的并集:
    A B ‾ = A ‾ ∪ B ‾ \overline{AB}=\overline A \cup \overline B AB=AB两个集合的并集的补集等于它们各自补集的交集 A ∪ B ‾ = A ‾ ∩ B ‾ \overline {A \cup B}=\overline A \cap \overline B AB=AB
    概率的性质三:
    P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) P(A-B) = P(A) - P(AB) P(AB)=P(A)P(AB) B ⊂ A B \subset A BA,则:
    P ( A − B ) = P ( A ) − P ( B ) P(A-B)=P(A) - P(B) P(AB)=P(A)P(B)
    概率的性质五:
    对于任一事件 A A A,有 P ( A ‾ ) = 1 − P ( A ) P(\overline A) = 1-P(A) P(A)=1P(A)
    概率加法公式(概率的性质六):
    P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) P(AB)=P(A)+P(B)P(AB) A A A B B B互斥,则: P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) P(A\cup B) = P(A) + P(B) P(AB)=P(A)+P(B)
    条件概率:
    求事件 B B B已发生的条件下事件 A A A发生条件概率,即: P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} P(AB)=P(B)P(AB)
    乘法公式:
    求几个事件同时发生的概率,即: P ( A 1 A 2 . . . A n ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 1 A 2 ) . . . P ( A n ∣ A 1 . . . A n − 1 ) P(A_1A_2...A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)...P(A_n|A_1...A_{n-1}) P(A1A2...An)=P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)...P(AnA1...An1)例如,若有 A A A B B B两随机事件,则 A A A B B B同时发生的概率为: P ( A B ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) P(AB)=P(A)P(B|A) P(AB)=P(A)P(BA)
    全概率公式:
    某一事件 B B B发生是由各种原因 A i , ( i = 1 , 2 , . . . , n ) A_i,(i=1,2,...,n) Ai,(i=1,2,...,n)引起的,则 B B B发生的概率与 P ( B A i ) , ( i = 1 , 2 , . . . , n ) P(BA_i),(i=1,2,...,n) P(BAi),(i=1,2,...,n)有关,且等于他们的总和,即 P ( B ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i) P(B)=i=1nP(Ai)P(BAi)
    贝叶斯公式(逆全概率公式):
    当结果 B B B发生时,它是由原因 A i A_i Ai引起的可能性的大小,即要计算事件 A i A_i Ai在事件 B B B已发生的条件下的条件概率为: P ( A i ∣ B ) = P ( A i ) P ( B ∣ A i ) ∑ j = 1 n P ( A j ) P ( B ∣ A j ) P(A_i|B)=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(A_j)P(B|A_j)} P(AiB)=j=1nP(Aj)P(BAj)P(Ai)P(BAi)

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  • B-spline Basis Functions:Definition 贝塞尔基函数用作权重。B-样条基函数也一样;...实际上,每个B样条基函数在附近个子区间非零,因此,B-样条基函数相当“局部”。  设U是m+ 1个非递减数的集...

                  B-spline Basis Functions:Definition

    贝塞尔基函数用作权重。B-样条基函数也一样;但更复杂。但是它有两条贝塞尔基函数所没有的特性,即(1)定义域被节点细分(subdivided); (2) 基函数不是在整个区间非零。实际上,每个B样条基函数在附近一个子区间非零,因此,B-样条基函数相当“局部”。

      设U 是m + 1个非递减数的集合,u0 <= u2 <= u3 <= ... <= umui称为节点(knots, 集合U 称为节点向量knot vector), 半开区间[uiui+1) 是第i个节点区间(knot span)。注意某些ui可能相等,某些节点区间会不存在。如果一个节点 ui 出现 k 次 (即,ui = ui+1 = ... = ui+k-1), 其中 k > 1, ui 是一个重复度(multiplicity)为的多重节点,写为 ui(k)。 否则,如果ui只出现一次,它是一个简单节点。如果节点等间距(即, ui+1 - ui 是一个常数,对 0 <= i <= m - 1),节点向量或节点序列称为均匀的;否则它是非均匀的。

       节点可认为是分隔点,将区间[u0, um]细分为节点区间。所有B-样条基函数被假设定义域在[u0, um]上。在本文中,我们经常使用u0 = 0和um = 1,所以定义域是闭区间[0,1]。

    为了定义B-样条基函数,我们还需要一个参数,基函数的次数(degree)pip次B-样条基函数,写为Ni,p(u),递归定义如下:

        

    上述公式通常称为Cox-de Boor递归公式。 这个定义看起来很复杂;但是不难理解。如果次数(degree)为零(即, p = 0),这些基函数都是阶梯函数,这也是第一个表达式所表明的。即,如果u是在第i个节点区间[uiui+1)上基函数Ni,0(u)是1。 例如,如果我们有四个节点u0= 0, u1 = 1, u2 = 2和 u3 = 3, 节点区间 0, 1 和2是[0,1), [1,2), [2,3),0次基函数是N0,0(u) = 1 在 [0,1) ,在其它区间是0;N1,0(u) = 1 在 [1,2)上,在其它区间是0;N2,0(u) = 1在[2,3)上,其它区间是0。如下图所示:

      

           为了理解p大于0时计算Ni,p(u)的方法,我们使用三角计算格式。所有节点区间列在左边(第一)列,所有零次基函数在第二列。见下图。

      

        为了计算Ni,1(u),需要Ni,0(u)和Ni+1,0(u)。因此,我们可以计算N0,1(u), N1,1(u),N2,1(u), N3,1(u) 等等。所有这些Ni,1(u)写在第三列。一旦所有Ni,1(u)计算完毕,我们可以计算Ni,2(u)并将其放在第四列。继续这个过程直到所有需要的Ni,p(u)的计算完毕。

       上面我们获得了针对节点向量 U = { 0, 1, 2, 3 }的N0,0(u), N1,0(u)和N2,0(u) 。现在计算N0,1(u)和N1,1(u)。要计算N0,1(u),因为i = 0和p = 1,从定义出发有

      

      因为u0 = 0, u1 = 1和u2 = 2,上式变为

      

      因为N0,0(u)在[0,1)上非零且N1,0(u)在[1,2)上非零,如果u在[0,1)上 (resp., [1,2) ), 只有N0,0(u) (resp.N1,0(u) )对N0,1(u)有贡献。因此,如果u 在[0,1)上, N0,1(u) 是uN0,0(u) = u而如果u 在[1,2)上, N0,1(u)是 (2 - u)N1,0(u) = (2 - u)。相似的计算得到N1,1(u) = u - 1如果u 在[1,2)上, 而N1,1(u) = 3 - u 如果 u 在[2,3)上。下图中,黑色和红色线分别是N0,1(u)和  N1,1(u)。注意N0,1(u) (resp.N1,1(u))在[0,1) 和[1,2) 上(resp., [1,2) 和 [2,3))是非零的。

      

      一旦获得N0,1(u)和N1,1(u),可以计算N0,2(u)。由定义得到下式:

      

      代入节点值得到

      

      注意 N0,1(u) 在 [0,1)和[1,2)上非零而N1,1(u) 在[1,2) 和 [2,3)上非零。因此,我们有三种情况要考虑:

    (1) u 在 [0,1)上:
        这种情况,只有N0,1(u)对N0,2(u)的值有贡献。因此,N0,1(u)是u, 得到

      

    (2)u 在[1,2)上: 
        这种情况, N0,1(u)和N1,1(u)都对 N0,2(u)有贡献。因此N0,1(u) = 2 - u 且N1,1(u) = u - 1 在[1,2)上,得到 

      

      【译注:上式中间的式子的第二项应为:0.5(3-u)(u-1)】

    (3)u 在 [2,3)上: 
        这种情况,只有N1,1(u)对 N0,2(u)有贡献。因此N1,1(u) = 3 - u 在[2,3)上,得到,

      

       如果我们画出上述三种情况的曲线段,我们会看到两个相邻曲线段连接起来形成了在节点上的曲线。更确切地,第一种和第二种情况的曲线段在u = 1处连接起来,而第二种和第三种情况的曲线段在u = 2处连接起来。注意合成曲线是光滑的,但是如果节点向量包含多重节点通常就不是这样的。              

                             

     

    2. 两个重要的观察

      因为 Ni,1(u) 是从 Ni,0(u) 和 Ni+1,0(u)计算的而 因为Ni,0(u)和Ni+1,0(u) 在区间[ui,ui+1)和[ui+1, ui+2)分别是非零的,Ni,1(u) 在这两个区间都是非零的。换句话说,Ni,1(u)在[uiui+2)上是非零的。相似地,因为 Ni,2(u) 依赖于Ni,1(u) 和Ni+1,1(u)且因为这两个基函数在[uiui+2)和[ui+1, ui+3)分别是非零的,Ni,2(u)在[uiui+3)上非零。总之,为确定基函数Ni,p(u), 的非零定义域,可以追溯到三角计算格式直到回到第一列。例如,假设我们想找到 N1,3(u)的非零定义域。基于上述讨论,我们可从西北和西南方向追溯直到第一列为止,如下图中蓝色虚线所示。因此 N1,3(u)在 [u1, u2), [u2,u3), [u3, u4) 和[u4, u5)上是非零的。或,相等地,它在[u1, u5)上非零。

      

      总之,我们有下列观察:

       基函数 Ni,p(u在[uiui+p+1)上非零。或,相等地,Ni,p(u在 p+1个节点区间[uiui+1), [ui+1, ui+2), ..., [ui+pui+p+1)上非零。

        接着,我们看相反的方向。给定一个节点区间[uiui+1),我们想知道哪个基函数会在计算中使用这个区间。我们可以以这个节点区间开始并画一个西北界限箭头和一个西南界限的箭头。所有封闭在楔形里的基函数使用 Ni,0(u)(为什么?)因此在该区间是非零的。因此,所有在[uiui+1)上非零的p 次基函数是这个楔形和包含所有Ni,p(u) 的列的交集。实际上,这一列和两个箭头形成一个等边三角形,而这一列是垂直边。 从 Ni,0(u) 数到 Ni,p(u) 有p+1列。因此,等边三角形的垂直边至多有p+1 项,即 Ni,p(u), Ni-1,p(u), Ni-2,p(u), ..., Ni-p+2,p(u), Ni-p+1,p(u) 和Ni-p,p(u)。

      

       让我们看上图。为了找到所有3次在 [u4, u5) 上非零的基函数,画出两个箭头和所有在垂直边的函数是我们想要的。这个例子,是N1,3(u), N2,3(u), N3,3(u), 和N4,3(u).用黄色三角表示。蓝色 (resp., 红色) 三角显示的是在[u3, u4) (resp., [u2, u3) )上非零的3次基函数。注意在[u2, u3)上只有3个3次基多项式。.

        总之,我们观察到下列特性:

       在任何一个节点区间 [uiui+1), 最多有 p+1p 次基函数非零,即:Ni-p,p(u),Ni-p+1,p(u), Ni-p+2,p(u), ..., Ni-1,p(u和 Ni,p(u)。

     

    3. 系数的意义是什么?

      最后,让我们研究下Ni,p(u)定义中系数的意义。当计算 Ni,p(u) 时,它使用Ni,p-1(u)和Ni+1,p-1(u)。前者在 [uiui+p)上非零。如果u 是在这个半开区间,那么u - ui 是u和这个区间左端之间的距离,区间长度是ui+p - ui, ,而(u - ui) / (ui+p - ui) 是上述距离的比且在0和1之间。见下图。第二项,Ni,p-1(u),在[ui+1, ui+p+1)上非零。如果u 在该区间,那么ui+p+1 - u 是 u 到该区间右端的距离,ui+p+1 - ui+1 是区间长度,而(ui+p+1 - u) / (ui+p+1 - ui+1) 是这两个距离的比且值在0和1之间。因此, Ni,p(u) 是Ni,p-1(u) 和Ni+1,p-1(u)的线性组合,有两个系数,都在 u上是线性的,在0和1之间。

      

     

                       B-spline Basis Functions:Important Properites

    1. 这些基函数有如下性质,许多与贝塞尔基函数的相似

    (1)Ni,p(u) 是一个在第i段的u 上的p 次多项式,u为变量

    (2)非负性

      对所有的 ip 和 uNi,p(u) 是非负的

    (3)局部支撑(Local Support)

        Ni,p(u) 是在[ui,ui+p+1)上的非零多项式 

    (4)在任一区间 [uiui+1),最多有 p+1 个 p 次的基函数非零

       即: Ni-p,p(u), Ni-p+1,p(u), Ni-p+2,p(u), ..., 和 Ni,p(u)

    (5)单位分解(Partition of Unity)

       所有非零的 p 次基函数在区间[ui, ui+1)上的和(sum)是 1, 上一条性质表明Ni-p,p(u), Ni-p+1,p(u), Ni-p+2,p(u), ..., 和 Ni,p(u) 在[uiui+1)上非零这条性质说明这些 p+1 个基函数的累加和1.

    (6)如果节点数是 m+1, 基函数的次数是 p, 而p 次基函数的数目是n+1,,那么m =n + p + 1   (n为分段数)

      这不难理解。 设 Nn,p(u) 是最后一个p 次基函数。它在 [unun+p+1)上非零因为它是最后一个基函数, un+p+1 肯定是最后一个节点um。因此,我们有 un+p+1 = um及 n + p + 1 = m. 总之,给定 m 和 p, 设 n = m - p - 1 则 p 次基函数是N0,p(u), N1,p(u), N2,p(u), ..., 和 Nn,p(u).

    (7)基函数 Ni,p(u) 是p 次多项式的复合曲线,连接点在[uiui+p+1 ) 上的节点处

      例如  N0,2(u), 其在 [0,3)上非零,是由定义在[0,1), [1,2) 和 [2,3)上的三个抛物线构建而成。它们在节点2 和3处连接在一起。.

    (8)在一个有重复度k的节点处,基函数 Ni,p(u) 是 Cp-k 连续的

      因此,增加重复度减小连续性的层次(level),增加次数增加连续性。上述2次基函数 N0,2(u)在节点2 和 3处是 C1(C1为C的一阶导数)连续的,因为它们是简单节点,重复读k=1。

     

    2.多重节点的影响

      多重节点对基函数的计算和一些“计算”性质有很重要的影响 。我们会看到其中两个:

    (1)每个重复度 k 的节点减小最多k-1 基函数的非零定义域

      考虑 Ni,p(u) 和 Ni+1,p(u). 前者在[uiui+p+1)上非零而后者在[ui+1, ui+p+2)上非零如果我们移动 ui+p+2 到 ui+p+1 以至于它们变为一个双重节点。那么, Ni,p(u) 仍然在p+1节点区间上非零;但是,Ni+1,p(u) 非零的节点区间数目减小了一个因为区间[ui+p+1,ui+p+2) 消失了。

      下图显示了5次基函数,其左端点节点和右端点节点有重复度6,而它们之间的所有节点数简单的(图(a))。图(b)是移动 u5 到 u6的结果。那些在u6 结束的基函数在更少的节点区间上非零。然后u4 再然后  u3 被移动到u6, 使得 u6 是重复度4的节点(图(c)和(d))。图(e)显示移动u2 到 u6 的结果,创建了一个重复度5的节点。

       
    (a) (b)
       
    (c) (d)
    (e)

    (2)在每个重复度k的内部节点,非零基函数的数目最多p - k + 1, 其中 p 是基函数的次数

      因为移动 ui-1 到 ui 会导致一个在ui-1 结束非零的基函数移到ui结束非零,这样使得在 ui 上非零基函数的数目减小了一个。更准确地,ui的重复度增加1会使得非零基函数的数目减小1.  因为在ui 上最多有p+1 个基函数非零,那么在一个重复度k 的节点上最多有 (p + 1) - k = p - k + 1个非零基函数。在上述图中,因为节点u6 的重复度是1 (简单), 2, 3, 4 和 5, 在 u6 上的非零基函数数目是5, 4, 3, 2 和1.

     

     

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    千次阅读 2012-10-31 17:36:31
    内联函数与宏定义的区别: 宏定义可能会得到非预想的结果因为他改变了...编译时,类似宏替换,使用函数体替换调用处的函数名,一般在代码中用inline修饰,但是是否能行成内联函数,需要看编译器对函数定义的具体处理
  • 图像处理中高斯函数的重要性质

    千次阅读 2014-04-28 21:35:15
    定义
  • 需要先想这样的证明要成立,需要满足极限的定义。 也就是: 1.|f(x)-A|&lt;k 成立吗,是否总存在任意小的k,使得在2满足的时候,这个式子成立。 2.0&lt;|x-x0|&lt;z 成立吗,是否x取在x0的个去心...
  • 信息安全概论:Hash函数概念与性质

    千次阅读 2020-04-02 18:20:39
    信息安全除了要保障信息的机密性外,还要保障信息在存储、使用、传输...Hash函数也成散列函数、哈希函数、杂凑函数等,是密码学的个重要分支,Hash函数可以看做是种单向密码体制,即它是从个明文到密文的不...
  • 函数性质、判定,凸规划

    千次阅读 2018-03-15 18:49:00
    判断函数是否为凸函数,最基本的方法是使用其定义。 对可微函数: 三、凸规划定义 最优化问题的目标函数为凸函数,不等式约束函数也为凸函数,等式约束函数是仿射的,则称该最优化问题为凸规划...
  • B-样条基函数:重要性质

    万次阅读 2010-03-05 20:13:00
    B-样条基函数:重要性质B-spline Basis Functions:Important Properites 上定义 
  • 过了一会,有人敲门,cos开门看,是个不认识的多项式函数。cos问:你是谁啊?他说:我是你的老公sin啊。cos说:你不是去听相声了吗?怎么成这幅摸样了?他说:是啊,太乐了!故事讲完了。不懂吗?好好学高数。...
  • MFC 制作的工程由很多文件构成, 它不能象一般C++程序那样随意在类外定义全局变量, 那样有时会在运行程序时出现问。 在软件开发过程中, 有时需要在不同的类之间利用全局变量传递数据, 利用全局函数处理相同问题,
  • 浅谈类积性函数的前缀

    万次阅读 多人点赞 2016-01-12 14:53:45
    笔者在刷题过程中遇到一些求积性函数前缀的问题,其中有类问题需要在低于线性时间复杂度的算法,今天就来浅析一下这类问题的求解方法,当作以后讲课使用的讲义。若之后有了新的研究,再来继续完善这篇文章。本文...
  • 积性函数性质及证明 + 线性筛

    千次阅读 2017-08-06 15:02:36
    如在莫比乌斯反演问题中,函数变换之后如何快速维护前缀往往是最重要也是最难的一步。如果维护的函数具有积性,那就可以尝试利用线性筛在O(n)O(n)的时限内完成预处理,从而达到优化复杂度的神奇作用。 本文的大...
  • javascript函数的三种定义方式及区别

    千次阅读 2017-03-14 22:46:47
    js有三种定义函数的方式: 1.function 语句形式 2.函数直接量形式 3.通过Function构造函数形式定义函数 ... //3种函数定义方式,前两种常用 /** * 1,function 语句式 * 形式:句子 * 名称:有名...

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一次函数的定义和性质