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  • k2x+b2a1≤x≤a2①的函数解析式,则称该函数解析式为X的分段函数。K3x+b3a2≤x≤a3、话费中的分段函数例1(四川广元)某移动公司采用分段计费的方法来计算话费,月通话时间x(分钟)与相应话费y(元)之间的函数图象如图...

    k

    2

    x+b

    2

    a

    1

    x

    a

    2

    的函数解析式,则称该函数解析式为

    X

    的分段函

    数。

    K

    3

    x+b

    3

    a

    2

    x

    a

    3

    一、话费中的分段函数

    1

    (四川广元)某移动公司采用分段计费的方法来计算话费,月通话时间

    x

    (分钟)与

    相应话费

    y

    (元)之间的函数图象如图

    1

    所示:

    (1)月通话为

    100

    分钟时,应交话费

    元;

    (2)当

    x

    100

    时,求

    y

    x

    之间的函数关系式;

    (

    3

    )月通话为

    280

    分钟时,应交话费多少元?

    二、水费中的分段函数

    2

    (广东)

    某自来水公司为了鼓励居民节约用水,

    采取了按月用水量分段收费办法,

    某户

    居民应交水费

    y

    (

    )

    与用水量

    x

    (

    )

    的函数关系如图

    2.

    (1)

    分别写出当

    0

    x

    15

    x

    15

    ,

    y

    x

    的函数关系式

    ;

    (2)

    若某户该月用水

    21

    ,

    则应交水费多少元

    ?

    三、电费中分段函数

    3 (

    广东

    )

    今年以来,广东大部分地区的电力紧缺,电力公司为鼓励

    市民节约用电,

    采取按月用电量分段收费办法,

    若某户居民每月应交

    电费

    y

    (元)

    与用电量

    x

    (度)

    的函数图象是一条折线

    (如图

    3

    所示)

    根据图象解下列问题:

    (

    1

    )分别写出当

    0

    x

    100

    x

    100

    时,

    y

    x

    的函数关系式;

    (

    2

    )利用函数关系式,说明电力公司采取的收费标准;

    (

    3

    )若该用户某月用电

    62

    度,则应缴费多少元?若该用户某月缴费

    105

    元时,则该用

    户该月用了多少度电?

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  • 对于两个一次函数,要求直线交点,应该怎么求?事实上,我们一般采用的方法是联立方程组. 把这两个函数的解析式联立成为二元一次方程组,就可以求得一组 值,那么 就是交点坐标.但是反比例函数要列函数表达式却有一...

    178e7aaae2ec8e9746bdbf294689676c.png

    上次我们谈到了反比例函数中

    的几何意义,并提到今天我们要讲一次函数和反比例函数. 首先想想这个问题. 对于两个一次函数,要求直线交点,应该怎么求?事实上,我们一般采用的方法是联立方程组. 把这两个函数的解析式联立成为二元一次方程组,就可以求得一组
    值,那么
    就是交点坐标.

    但是反比例函数要列函数表达式却有一个问题:由于反比例函数看作分式,在解方程组时势必要把

    从分母移到另一侧去,譬如:我们联立两个函数表达式:
    ,会变形为
    ,这怎么解呢?

    其实并不需要移动分母. 由于左边的项都是

    ,所以直接可以列出
    . 把这个分式方程整理成整式方程,那就是
    ,解方程即可.

    来看一道题. 设反比例函数

    . 如果坐标系内有一直线
    ,求当常数
    为何值时,直线和之前提到的反比例函数的图像有且只有一个交点?

    这道题,我们不妨联立解析式,最后列出方程

    . 事实上,这道题就相当于让这个一元二次方程只有一个实数根. 用到的公式就是一元二次方程的根的判别式(以后可能会专门写一期)
    . 根据根的判别式的规则,
    . 解这个方程,得到
    . 在坐标系里画出:

    567727f263aac59aaa69fa9bd52b37e1.png
    示意图

    对于一次函数和反比例函数,还有一种很经典的题型:等号变不等号. 也就是说,给你两个函数,要求两者不等时的自变量取值范围;或是只给反比例函数,并给出一个(两个)数值,要求函数或自变量与其处在某种不等关系时,另一个量的取值范围. 比如:

    设函数

    ,求不等式
    的解集.

    遇到这类题目,一般我们都会选择求解析式;但是这里存在的问题是,

    的移动需要考虑其正负,并且移动后会变为二次不等式. 因此我们选择画图.

    2e19d5fbd41a62954510e3597d8e632a.png
    灰色部分是函数的解集. 注意:图中我没有区分表示包含和不包含的白点和黑点,实际上是不取等的.

    观察图像,由于

    ,不等式的解集就是图中的灰色部分. 技巧在于,过给定的两个点作垂线,这两条直线和
    轴构成了四个区间. 永远记住,类似题目的区间是
    不相邻的.

    封面图:如图,过线段

    的三个顶点作一圆,
    的中点,过
    作垂线,垂足是
    . 连接
    ,作
    的角平分线
    与圆交于点
    . 已知
    ,
    的长是
    ,被
    分割成
    两部分,
    ,求
    的长.

    737ac2b71b8bb7e14d7d2f7fe120283d.png
    注意运用阿基米德折弦定理

    一道原创题,还是有点意思的. 建议作答时间:

    分钟. 当然,知道阿基米德折弦定理的可能只要
    分钟.
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  • 满足条件的一次函数解析式是初二数学的重要题型,本文就例题详细解析这类题型的解题思路,希望能给初二学生的期末考试复习带来帮助。例题如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(-3,0),B为y轴正半轴上一点,将...

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    求满足条件的一次函数解析式是初二数学的重要题型,本文就例题详细解析这类题型的解题思路,希望能给初二学生的期末考试复习带来帮助。

    例题

    如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(-3,0),B为y轴正半轴上一点,将线段AB绕点B旋转90°至BC处,过点C作CD⊥x轴于点D,若四边形ABCD的面积为36,求直线AC的函数表达式。

    7aab7830e9601f3cacd0f04dd8b09fb8.png

    解题过程:

    1、线段AB逆时针旋转90°至BC处

    过点C作CE⊥y轴于点E

    af20c0a224e239481f7164665f7b45ce.png

    根据题目中的条件:CE⊥y轴,x轴⊥y轴,CD⊥x轴,则∠AOB=∠BOD=∠BEC=∠CEO=∠CDO=90°;

    根据结论:∠AOB=90°,∠ABC=90°,∠BAO+∠ABO=90°,∠CBO+∠ABO=90°,则∠BAO=∠CBO;

    根据全等三角形的判定和结论:∠BAO=∠CBO,∠AOB=∠BEC,AB=BC,则△AOB≌△BEC;

    根据全等三角形的性质和结论:△AOB≌△BEC,则AO=BE,BO=CE;

    设BO=x

    根据结论:A(-3,0),则AO=3;

    根据结论:AO=3,AO=BE,则BE=3;

    根据结论:BE=3,BO=x,则EO=x-3;

    根据结论:BO=CE,CE=DO,BO=x,EO=CD,EO=x-3,则CE=DO=x,CD=x-3;

    根据三角形和矩形面积公式和结论:S△AOB=AO*BO/2,S△BCE=BE*CE/2,S矩形CEOD=CE*EO,AO=3,BO=x,BE=3,CE=x,EO=x-3,则S△AOB=3/2x,S△BCE=3/2x,S矩形CEOD=x^2-3x;

    根据结论:S四边形ABCD=S△AOB+S△BCE+S矩形CEOD=36,S△AOB=3/2x,S△BCE=3/2x,S矩形CEOD=x^2-3x,则x=6或-6;

    根据结论:BO=x,BO>0,则x=-6舍去;

    根据结论:x=6,CD=x-3,DO=x,则CD=3,DO=6,即点C的坐标为(6,3);

    设直线AC的函数解析式为y=kx+b

    根据结论:直线AC:y=kx+b经过点A、C,C(6,3),A(-3,0),则k=1/3,b=1;

    所以,直线AC的函数解析式为y=1/3x+1。

    2、线段AB顺时针旋转90°至BC处

    过点C作CF⊥y轴于点F

    6ca6180cdd59cdf0c478bf22837af17c.png

    根据题目中的条件:∠ABC=∠AOB=90°,则∠CBF+∠ABO=90°,∠BAO+∠ABO=90°,即∠CBF=∠BAO;

    根据题目中的条件:CF⊥y轴,则∠CFB=90°;

    根据全等三角形的判定和结论:∠BAO=∠CBF,∠AOB=∠CFB,AB=BC,则△AOB≌△BCF;

    根据全等三角形的性质和结论:△AOB≌△BCF,则BO=CF,AO=BF;

    设BO=x

    根据结论:AO=3,BO=x,BO=CF,AO=BF,则BF=3,CF=x;

    根据结论:BF=3,BO=x,则FO=BO+BF=3+x;

    根据三角形、矩形面积公式和结论:S矩形CDOF=FO*CF,S△BCF=CF*BF/2,FO=3+x,CF=x,BF=3,则S矩形CDOF=3x+x^2,S△BCF=3/2x;

    根据结论:S四边形ABCD=S矩形CDOF-S△BCF-S△AOB=36,S矩形CDOF=3x+x^2,S△BCF=3/2x,S△AOB=3/2x,则x=6或-6;

    根据结论:BO=x,BO>0,则x=-6舍去;

    根据结论:x=6,CD=FO=3+x,DO=CF=x,则CD=9,DO=6,即点C的坐标为(-6,9);

    设直线AC的函数解析式为y=kx+b

    根据结论:直线AC:y=kx+b经过点A、C,C(-6,9),A(-3,0),则k=-3,b=-9;

    所以,直线AC的函数解析式为y=-3x-9。

    结语

    解决本题的关键是根据直线的旋转方向分两种情况进行讨论求解,根据题目条件给出的角度、线段间的关系,合理添加辅助线构造出一组全等三角形,得到线段间的等量关系,再利用三角形、矩形的面积公式列出等式就可以求得线段长度,进而得到一次函数图像上的点坐标,就可以求得一次函数解析式。

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  • 应用二次函数解决实际问题中,常见的类型之就是求解图形的面积的最值问题,而在求解过程中,首先要建立数学模型,把实际问题转化为二次函数的问题,利用题中的等量关系,出函数的解析式,然后利用函数的图像和...

    初中数学中,应用二次函数解决实际问题,在中考中是非常热门的考点,因为不仅牵扯到建模的问题,还会应用到数形结合的思想,最值问题等等,深受出题人的青睐。应用二次函数解决实际问题中,常见的类型之一就是求解图形的面积的最值问题,而在求解过程中,首先要建立数学模型,把实际问题转化为二次函数的问题,利用题中的等量关系,求出函数的解析式,然后利用函数的图像和性质去解决问题。

    111a08303671b400711238286002e411.png

    在日常生活中,经常遇到求某种图形的面积最大等问题,这类问题可以利用二次函数的图像和性质进行解决,也就是把面积最大问题转化为二次函数的最大值问题。常见图形面积的最值问题有:①规则图形的面积由面积公式直接计算(如圆、三角形、平行四边形等);②不规则图形的面积多采用分割法求得,即把图形分割为几个规则图形的面积,再求它们的和或差。解这类问题时一定要注意自变量的取值范围,保证自变量和函数具有实际意义。同时要注意在遇到图形面积的最值问题时,往往要联系二次函数的顶点坐标。

    139ec60038835475137baea7c5556e91.png

    在求图形的面积时常会涉及线段及线段的关系,通常是根据图形中线段的关系,找到相应线段与面积之间的解析式,转化为函数问题。其一般方法:(1)设图形的一边长为自变量,所求面积为因变量,(2)利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式建立二次函数模型,并指明自变量的取值范围;(3)利用函数的性质求最值。

    acc3d6f2c178fb88a966fc873b4d0cbf.png

    例题1:某校在基地参加社会实践活动中,带队老师考问学生:基地计划新建一个矩形的生物园地,一达靠旧墙(墙足够长),另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成,与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口,如图所示,怎么设计才能使园地的面积最大?下面是两位学生争议的情境:请根据上面的信息,解决问题:(1)设AB=x米(x>0),试用含x的代数式表示BC的长;(2)请你判断谁的说法正确,为什么?

    d287bf459e5ca4d7793ca5e5e74d443a.png

    解析:本题考查面积的最值问题,通过列出S与x的关系式,转化成二次函数,进行求解。AB=x米,可得BC=69+3-2x=72-2x。矩形面积S=x(72-2x)=-2(x-18)^2+648.因为72-2x>0,所以x<36,所以0

    26458185f299e4b819431b50f67a27a5.png

    同学们在求这类问题时,常用的解题策略是,充分运用条件,根据图形的特点,综合运用所学知识,如勾股定理、全等三角形、图形的面积公式等等来寻求等量关系,构造出二次函数,利用二次函数的图像和性质求解。

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