k
2
x+b
2
a
1
≤
x
≤
a
2
①
的函数解析式，则称该函数解析式为
X
的分段函
数。
K
3
x+b
3
a
2
≤
x
≤
a
3
一、话费中的分段函数
例
1
(四川广元)某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间
x
(分钟)与
相应话费
y
(元)之间的函数图象如图
1
所示：
(１)月通话为
100
分钟时，应交话费
元；
(２)当
x
≥
100
时，求
y
与
x
之间的函数关系式；
(
3
)月通话为
280
分钟时，应交话费多少元？
二、水费中的分段函数
例
2
(广东)
某自来水公司为了鼓励居民节约用水，
采取了按月用水量分段收费办法，
某户
居民应交水费
y
(
元
)
与用水量
x
(
吨
)
的函数关系如图
2.
(1)
分别写出当
0
≤
x
≤
15
和
x
≥
15
时
,
y
与
x
的函数关系式
;
(2)
若某户该月用水
21
吨
,
则应交水费多少元
?
三、电费中分段函数
例
3 (
广东
)
今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励
市民节约用电，
采取按月用电量分段收费办法，
若某户居民每月应交
电费
y
(元)
与用电量
x
(度)
的函数图象是一条折线
(如图
3
所示)
，
根据图象解下列问题：
(
1
)分别写出当
0
≤
x
≤
100
和
x
≥
100
时，
y
与
x
的函数关系式；
(
2
)利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；
(
3
)若该用户某月用电
62
度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费
105
元时，则该用
户该月用了多少度电？

上次我们谈到了反比例函数中 
 的几何意义，并提到今天我们要讲一次函数和反比例函数. 首先想想这个问题. 对于两个一次函数，要求直线交点，应该怎么求？事实上，我们一般采用的方法是联立方程组. 把这两个函数的解析式联立成为二元一次方程组，就可以求得一组 
 值，那么 
 就是交点坐标.
但是反比例函数要列函数表达式却有一个问题：由于反比例函数看作分式，在解方程组时势必要把 
 从分母移到另一侧去，譬如：我们联立两个函数表达式： 
 ，会变形为 
 ，这怎么解呢？
其实并不需要移动分母. 由于左边的项都是 
，所以直接可以列出 
 . 把这个分式方程整理成整式方程，那就是 
 ，解方程即可.
来看一道题. 设反比例函数 
 . 如果坐标系内有一直线 
 ，求当常数 
 为何值时，直线和之前提到的反比例函数的图像有且只有一个交点？
这道题，我们不妨联立解析式，最后列出方程 
 . 事实上，这道题就相当于让这个一元二次方程只有一个实数根. 用到的公式就是一元二次方程的根的判别式（以后可能会专门写一期） 
 . 根据根的判别式的规则， 
 . 解这个方程，得到 
 . 在坐标系里画出：
对于一次函数和反比例函数，还有一种很经典的题型：等号变不等号. 也就是说，给你两个函数，要求两者不等时的自变量取值范围；或是只给反比例函数，并给出一个（两个）数值，要求函数或自变量与其处在某种不等关系时，另一个量的取值范围. 比如：
设函数 
 过 
 ，求不等式 
 的解集.
遇到这类题目，一般我们都会选择求解析式；但是这里存在的问题是， 
 的移动需要考虑其正负，并且移动后会变为二次不等式. 因此我们选择画图.
观察图像，由于 
 ，不等式的解集就是图中的灰色部分. 技巧在于，过给定的两个点作垂线，这两条直线和 
 轴构成了四个区间. 永远记住，类似题目的区间是
不相邻的.
封面图：如图，过线段 
 的三个顶点作一圆， 
 是 
 的中点，过 
 向 
 作垂线，垂足是 
 . 连接 
 ，作 
 的角平分线 
 与圆交于点 
 . 已知 
 , 
 的长是 
 ，被 
 分割成 
 两部分， 
 ，求 
 的长.
一道原创题，还是有点意思的. 建议作答时间： 
 分钟. 当然，知道阿基米德折弦定理的可能只要 
 分钟.

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求满足条件的一次函数解析式是初二数学的重要题型，本文就例题详细解析这类题型的解题思路，希望能给初二学生的期末考试复习带来帮助。
例题
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(-3,0)，B为y轴正半轴上一点，将线段AB绕点B旋转90°至BC处，过点C作CD⊥x轴于点D，若四边形ABCD的面积为36，求直线AC的函数表达式。
解题过程：
1、线段AB逆时针旋转90°至BC处
过点C作CE⊥y轴于点E
根据题目中的条件：CE⊥y轴，x轴⊥y轴，CD⊥x轴，则∠AOB=∠BOD=∠BEC=∠CEO=∠CDO=90°；
根据结论：∠AOB=90°，∠ABC=90°，∠BAO+∠ABO=90°，∠CBO+∠ABO=90°，则∠BAO=∠CBO；
根据全等三角形的判定和结论：∠BAO=∠CBO，∠AOB=∠BEC，AB=BC，则△AOB≌△BEC；
根据全等三角形的性质和结论：△AOB≌△BEC，则AO=BE，BO=CE；
设BO=x
根据结论：A(-3,0)，则AO=3；
根据结论：AO=3，AO=BE，则BE=3；
根据结论：BE=3，BO=x，则EO=x-3；
根据结论：BO=CE，CE=DO，BO=x，EO=CD，EO=x-3，则CE=DO=x，CD=x-3；
根据三角形和矩形面积公式和结论：S△AOB=AO*BO/2，S△BCE=BE*CE/2，S矩形CEOD=CE*EO，AO=3，BO=x，BE=3，CE=x，EO=x-3，则S△AOB=3/2x，S△BCE=3/2x，S矩形CEOD=x^2-3x；
根据结论：S四边形ABCD=S△AOB+S△BCE+S矩形CEOD=36，S△AOB=3/2x，S△BCE=3/2x，S矩形CEOD=x^2-3x，则x=6或-6；
根据结论：BO=x，BO>0，则x=-6舍去；
根据结论：x=6，CD=x-3，DO=x，则CD=3，DO=6，即点C的坐标为(6,3)；
设直线AC的函数解析式为y=kx+b
根据结论：直线AC：y=kx+b经过点A、C，C(6,3)，A(-3,0)，则k=1/3，b=1；
所以，直线AC的函数解析式为y=1/3x+1。
2、线段AB顺时针旋转90°至BC处
过点C作CF⊥y轴于点F
根据题目中的条件：∠ABC=∠AOB=90°，则∠CBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，即∠CBF=∠BAO；
根据题目中的条件：CF⊥y轴，则∠CFB=90°；
根据全等三角形的判定和结论：∠BAO=∠CBF，∠AOB=∠CFB，AB=BC，则△AOB≌△BCF；
根据全等三角形的性质和结论：△AOB≌△BCF，则BO=CF，AO=BF；
设BO=x
根据结论：AO=3，BO=x，BO=CF，AO=BF，则BF=3，CF=x；
根据结论：BF=3，BO=x，则FO=BO+BF=3+x；
根据三角形、矩形面积公式和结论：S矩形CDOF=FO*CF，S△BCF=CF*BF/2，FO=3+x，CF=x，BF=3，则S矩形CDOF=3x+x^2，S△BCF=3/2x；
根据结论：S四边形ABCD=S矩形CDOF-S△BCF-S△AOB=36，S矩形CDOF=3x+x^2，S△BCF=3/2x，S△AOB=3/2x，则x=6或-6；
根据结论：BO=x，BO>0，则x=-6舍去；
根据结论：x=6，CD=FO=3+x，DO=CF=x，则CD=9，DO=6，即点C的坐标为(-6,9)；
设直线AC的函数解析式为y=kx+b
根据结论：直线AC：y=kx+b经过点A、C，C(-6,9)，A(-3,0)，则k=-3，b=-9；
所以，直线AC的函数解析式为y=-3x-9。
结语
解决本题的关键是根据直线的旋转方向分两种情况进行讨论求解，根据题目条件给出的角度、线段间的关系，合理添加辅助线构造出一组全等三角形，得到线段间的等量关系，再利用三角形、矩形的面积公式列出等式就可以求得线段长度，进而得到一次函数图像上的点坐标，就可以求得一次函数解析式。

初中数学中，应用二次函数解决实际问题，在中考中是非常热门的考点，因为不仅牵扯到建模的问题，还会应用到数形结合的思想，最值问题等等，深受出题人的青睐。应用二次函数解决实际问题中，常见的类型之一就是求解图形的面积的最值问题，而在求解过程中，首先要建立数学模型，把实际问题转化为二次函数的问题，利用题中的等量关系，求出函数的解析式，然后利用函数的图像和性质去解决问题。
在日常生活中，经常遇到求某种图形的面积最大等问题，这类问题可以利用二次函数的图像和性质进行解决，也就是把面积最大问题转化为二次函数的最大值问题。常见图形面积的最值问题有：①规则图形的面积由面积公式直接计算(如圆、三角形、平行四边形等)；②不规则图形的面积多采用分割法求得，即把图形分割为几个规则图形的面积，再求它们的和或差。解这类问题时一定要注意自变量的取值范围，保证自变量和函数具有实际意义。同时要注意在遇到图形面积的最值问题时，往往要联系二次函数的顶点坐标。
在求图形的面积时常会涉及线段及线段的关系，通常是根据图形中线段的关系，找到相应线段与面积之间的解析式，转化为函数问题。其一般方法：(1)设图形的一边长为自变量，所求面积为因变量，(2)利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式建立二次函数模型，并指明自变量的取值范围；(3)利用函数的性质求最值。
例题1：某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一达靠旧墙(墙足够长),另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，怎么设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：(1)设AB=x米(x>0),试用含x的代数式表示BC的长；(2)请你判断谁的说法正确，为什么？
解析：本题考查面积的最值问题，通过列出S与x的关系式，转化成二次函数，进行求解。AB=x米，可得BC=69+3-2x=72-2x。矩形面积S=x(72-2x)=-2(x-18)^2+648.因为72-2x>0,所以x<36,所以0
同学们在求这类问题时，常用的解题策略是，充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如勾股定理、全等三角形、图形的面积公式等等来寻求等量关系，构造出二次函数，利用二次函数的图像和性质求解。