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  • 2022-02-05 18:37:51
    1. 使用情况

      回归分析是数据分析中最基础也是最重要的分析工具,绝大多数的 数据分析问题,都可以使用回归的思想来解决。回归分析的任务就是, 通过研究自变量X和因变量Y的相关关系,尝试去解释Y的形成机制,进 而达到通过X去预测Y的目的。

    2. 回归分析关键

      • 相关性 相关性不等于因果(eg:冰淇淋卖的越多,游泳死亡人数越多)

      • Y :  又称因变量 (在实际应用中,Y常常是我们需要研究的那个核心变量。)

      • X :  又称因变量  (X为解释变量,Y为被解释变量。)
    3. 回归分析的使命

      1. 识别重要变量

      2. 判断相关性的方向

      3. 要估计权重(回归系数)

    4. 回归分类

      类型模型Y的特点例子
      线性回归OLS、GLS(最小二乘)连续数值型变量GDP、产量、收入
      0‐1回归logistic回归二值变量(0‐1)是否违约、是否得病
      定序回归probit定序回归定序变量等级评定(优良差)
      计数回归泊松回归(泊松分布)计数变量每分钟车流量
      生存回归Cox等比例风险回归生存变量(截断数据)企业、产品的寿命
    5. 数据的分类

      上面的数据多半都是宏观数据,微观数据市面上很少 大家可以在人大经济论坛搜索

      1. 横截面数据:在某一时点收集的不同对象的数据。

        建模方法:多元线性回归

        • 我们自己发放问卷得到的数据

        • 全国各省份2018年GDP的数据

        • 大一新生今年体测的得到的数据

      2. 时间序列数据:对同一对象在不同时间连续观察所取得的数据。

        建模方法:移动平均、指数平滑、ARIMA、GARCH、VAR、协积

        • 从出生到现在,你的体重的数据(每年生日称一次)。

        • 中国历年来GDP的数据。

        • 在某地方每隔一小时测得的温度数据。

      3. 面板数据:横截面数据与时间序列数据综合起来的一种数据资源。

        建模方法:固定效应和随机效应、静态面板和动态面板

        • 2008‐2018年,我国各省份GDP的数据。

    6. 线性回归

      • 注: 线性要求为自变量和因变量通过变量替换后转化成线性模型

      1. 引入了新的自变量后,对回归系数的影响非常大,原因:遗漏变量导致的内生性

        1. 设我们的模型为:
          y = \beta_0 + \beta_1x_1+\beta_2x_2+...+\beta_kx_k + \mu \qquad \mu为无法观测且满足一定条件的扰动项 ,如果满足误差项\mu和所有的自变量x均不相关,则称该模型具有外生性

        2. 内生性的蒙特卡罗模拟

          当分析中缺少了一个自变量时,该自变量与因变量的相关系数越大,内生性越大

        3. 由于彻底无内生性要求太高,故一般只需要弱化"控制变量"即可;在实际应用中,我们只要保证核心解释变量与𝝁不相关即可。

          1. 核心解释变量:我们最感兴趣的变量,因此我们特别希望得到对其系数的 一致估计(当样本容量无限增大时,收敛于待估计参数的真值 )。

          2. 控制变量:我们可能对于这些变量本身并无太大兴趣;而之所以把它们也 放入回归方程,主要是为了 “控制住” 那些对被解释变量有影响的遗漏因素。

    7. 关于线性方程中取对数的情况

      1. 经验

        • 与市场价值相关的,例如,价格、销售额、工资等

        • 以年度量的变量,如受教育年限、工作经历等通常不取对数;

        • 比例变量,如失业率、参与率等,两者均可;

        • 变量取值必须是非负数,如果包含0,则可以对y取对数ln(1+y);

      2. 优点:

        1. 减弱数据的异方差性

        2. 如果变量本身不符合正态分布,取 了对数后可能渐近服从正态分布

        3. 模型形式的需要,让模型具有经济学意义。

      3. 四类模型回归系数

        1. 一元线性回归:𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝜇,x每增加1个单位,y平均变化b个单位;

        2. 双对数模型:𝑙𝑛𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑙𝑛𝑥 + 𝜇,x每增加1%,y平均变化b%;

        3. 半对数模型:𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑙𝑛𝑥 + 𝜇,x每增加1%,y平均变化b/100个单位;

        4. 半对数模型:𝑙𝑛𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝜇,x每增加1个单位,y平均变化(100b)%。

    8. 自变量中有定性变量,例如性别、地域等,在回归中的处理

      1. 设置一 一对应的值对应该变量<虚拟变量>,进行计算相关系数,在其他自变量一致的情况下,代入不同的最开始设定的值,求得结果相减即可

      2. 多分类

        • 为了避免完全多重共线性的影响,引入虚拟变量的个数一般是分类数减1。

        • 此时分析数据可用Stata

    9. 标准化回归系数

      1. 为了更为精准的研究影响评价量的重要因素(去除量纲的影响), 我们可考虑使用标准化回归系数。

      2. 对数据进行标准化,就是将原始数据减去它的均数后,再除以该变 量的标准差,计算得到新的变量值,新变量构成的回归方程称为标准化 回归方程,回归后相应可得到标准化回归系数。

      3. 标准化系数的绝对值越大,说明对因变量的影响就越大(只关注显 著的回归系数哦)。

      4. Stata标准化回归命令

         regress y x1 x2 … xk,beta  /*regress 评价量*/
    10. 逐步回归分析

      1. 向前逐步回归Forward selection:将自变量逐个引入模型,每引入一个自变量 后都要进行检验,显著时才加入回归模型。 (缺点:随着以后其他自变量的引入,原来显著的自变量也可能又变为不显著了, 但是,并没有将其及时从回归方程中剔除掉。)

      2. 向后逐步回归Backward elimination:与向前逐步回归相反,先将所有变量均 放入模型,之后尝试将其中一个自变量从模型中剔除,看整个模型解释因变量的 变异是否有显著变化,之后将最没有解释力的那个自变量剔除;此过程不断迭代, 直到没有自变量符合剔除的条件。(缺点:一开始把全部变量都引入回归方程, 这样计算量比较大。若对一些不重要的变量,一开始就不引入,这样就可以减少 一些计算。当然这个缺点随着现在计算机的能力的提升,已经变得不算问题了)

      3. Stata实现逐步回归法

        1. 向前逐步回归Forward selection:

          stepwise regress y x1 x2 … xk, pe(#1)

          pe(#1) specifies the significance level for addition to the model; terms with p<#1 are eligible for addition(显著才加入模型中)

        • 向后逐步回归Backward elimination:

          stepwise regress y x1 x2 … xk, pr(#2) pr(#2)

          specifies the significance level for removal from the model; terms with p>= #2 are eligible for removal(不显著就剔除出模型).

        1. 如果你觉得筛选后的变量仍很多,你可以减小#1或者#2

          如果你觉得筛选后的变量太少了,你可以增加#1或者#2

        2. 注:

          1. 可以在后面再加参数b和r,即标准化回归系数或稳健标准误

          2. x1 x2 … xk之间不能有完全多重共线性(和regress不同哦)

      4. 逐步回归的说明

        1. 向前逐步回归和向后逐步回归的结果可能不同。

        2. 不要轻易使用逐步回归分析,因为剔除了自变量后很有可能会产生新的问 题,例如内生性问题。

        3. 更好的是每种情况都尝试一次,最终一共有C_K^1+C_K^2+...+C_K^K = 2^K-1种可能。如果自变量很多,那么计算相当费时。
           

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  • 数学建模—多元回归分析

    千次阅读 2020-07-08 13:42:45
    title: 数学建模—多元回归分析 tags: 建模 EverydayOneCat 木星全貌???? 知识点 1.笔记 在了接受域中,接受X为0的假设,X对外没有比较显著的线性关系。 2.知识点补充 多元回归模型:含两个以上解释变量的回归...

    EverydayOneCat

    木星全貌🪐

    img

    知识点

    1.笔记

    image-20200707194734722

    在了接受域中,接受X为0的假设,X对外没有比较显著的线性关系。

    2.知识点补充

    多元回归模型:含两个以上解释变量的回归模型

    多元线性回归模型的假设:

    • 解释变量Xi 是确定性变量,不是随机变量
    • 解释变量之间互不相关,即无多重共线性
    • 随机误差项不存在序列相关关系
    • 随机误差项与解释变量之间不相关
    • 随机误差项服从0均值、同方差的正态分布

    例题

    1.多元线性回归

    某品种水稻糙米含镉量y(mg/kg)与地上部生物量x1(10g/盆)及土壤含镉量x2(100mg/kg)的8组观测值如表。试建立多元线性回归模型。

    image-20200707195415538

    1.1SAS代码

    data ex;
    input x1-x2 y@@;
    cards;
    1.7 9.08 4.93 12 1.89 1.86
    9.67 3.06 2.33 0.76 10.2 5.78
    17.67 0.05 0.06 15.91 0.73 0.43
    15.74 1.03 0.87 5.41 6.25 3.86
    ;
    proc reg;
    model y=x1 x2;
    run;
    

    1.2结果分析

    image-20200707195937609

    我们可以通过WORD将这些复制做成表格更加美观直接,每个表下面都需要有文字说明:

    由方差分析表可知,其F value=386.30,pr>F的值<0.0001,远小于0.05,说明F值落在了拒绝域里面,故拒绝原假设,接受备择假设,认为y1与x1,x2之间具有显著性的线性关系;

    image-20200707200529201

    由参数估计表可知,x2对应的t值为1.61,Pr>|t|的值=0.1691,大于0.05,说明1.61落在了接受域中,接受x2为0的假设,x2对外没有比较显著的线性贡献。

    为此,需要在程序中model y1=x1 x2中去掉x2,再次运行:

    image-20200707200943602

    对常数检验t值分别为t=37.53、,Pr>|t|的值<0.0001,远小于0.05,说明截距项通过检验,估计值为5.67953。
    同理可知x1的系数通过检验,估计值为-0.32103

    回归方程:y=-0.32103x1+5.67953

    许多实际问题中可能还会出现某几个变量的系数并没有通过检验,此时,可以在原程序中的modely1=x1-x2中去掉没用通过的变量,直到所有的系数均通过检验。或者使用逐步回归方法,让软件自动保留通过检验的变量。

    2.多元非线性回归

    将非线性回归方程转化为线性回归方程。转化时应首先选择适合的非线性回归形式,并将其线性化。再确定线性化回归方程的系
    数,最后确定非线性回归方程中未知的系数或参数。

    湖北省油菜投入与产出的统计分析

    1.投入指标
    (1)土地(S)。土地用播种面积来表示。农作物播种面积是指当年从事农业
    (2)劳动(L)。劳动用劳动用工数(成年劳动力一人劳动一天为一个工)来表示。劳动用工中包含着直接和间接生产用工。
    (3)资本(K)。资本用物质费用来表示。物质费用包含直接费用和间接费用。主要有种子秧苗费、农家肥费、化肥费、农药费、畜力、固定资产折旧费和管理及其他费用等。

    2.产出指标
    产出指标用湖北省历年油菜生产的总产量(Y)来表示。

    image-20200708100150053

    2.1SAS代码

    data ex;input y k s l t @@;
    x1=log(k);x2=log(s);x3=log(l);y1=log(y);
    cards;
    70.8972 40076.5884 825.1305 15347.4273 1
    83.7506 48008.7690 915.1500 15832.0950 2
    70.8627 44593.8425 804.150 13306.8090 3
    78.3451 43460.3229 783.2100 13314.5700 4
    98.0749 72657.2633 923.8050 14596.1190 5
    134.8767 146108.3421 1282.8900 20911.1070 7
    147.5315 162433.3500 1244.7000 18670.5000 8
    154.7607 166979.6325 1330.5150 18627.2100 9
    159.9743 190395.5262 1505.4600 20775.3480 10
    198.4942 205914.6645 1738.4100 22599.3300 11
    194.7943 189762.7335 1677.0900 20963.6250 12
    187.1013 193463.610 1761.9450 21936.2153 14
    235.1184 183768.4035 1779.1500 19606.2330 15
    ;
    proc reg;model y1=x1 x2 x3 t ; /*selection=stepwise*/
    run;
    

    2.2结果分析

    image-20200708100655780

    F值为145.06,对应的Pr>F的概率小于0.001,说明F值落在了拒绝域中。故拒绝原假设H0:x1,x2,x3x,t都为0,x1,x2,x3x,t对y1有显著的线性关系。

    image-20200708101429697

    这里我们遵循一个原则,先看变量,再看常数。变量如果要去,需要一个一个去,因为他们之间可能有线性关系,一个变量会影响另一个变量。

    我们可以通过增加一段SAS代码查看变量之间的线性关系。

    proc corr;var x1 x2 x3 t;
    

    image-20200708102032701

    可以看到,x1 x2 x3 t之间都有线性关系,这种其实是极不稳定的。

    回到上面的表,我们看到常数显著性概率大于0.05,但是我们得先看变量,先不去管他。接着看x3,t都大于0.05很多,我们取最大的t显著性概率为0.9466,远大于0.05。因此将model y1=x1 x2 x3 t;去掉他,即改为model y1=x1 x2 x3 ;

    image-20200708102331149

    截距项Intercept(常数)的显著性概率为0.6117,大于0.05,因此将model y1=x1 x2 x3 ; 改为model y1=x1 x2 x3/noint;(去掉常数项)

    image-20200708102702512

    这时候F检验也过了,T检验也过了。我们可以得出式子:image-20200708102750386

    F=34565.8 R2=0.9999 K,S,L的t值分别为(3.01) (6.59) (-9.98)

    image-20200708102856861

    但是我们通过经济学解释就会发现这个式子很不合理:K(资本)增长1%Y增长0.22851%,S(土地)增长1%Y增长1.21%,L(劳动)增长1%Y增长-0.65225%,而且不会随着时间t增长。弹性大于1,这个式子说明湖北省油菜产量主要靠土地来增长,显然不符合现实。本模型虽然满足数学规则,但不能通过经济检验。

    上述说明我们刚刚对变量的逐一减法并不适用这一问题,我们可以依据经济学来修改模型:随着现代发展,劳动力其实对产量并无太大影响,反而年数增长带来的技术进步影响更为显著。

    model y1=x1 x2 t/noint;

    image-20200708104029414

    虽然x2依然大于0.05,但是相差并不大,勉强可以算,这样才更符合现实。

    3.逐步回归

    逐步回归和上面对变量逐一减法想法,他是一个一个把变量加进去,不符合就删掉某个变量。

    逐步回归选择变量快捷,但对于存在多重共线的自变量选择,有时并不准确,使用时注意分辨。

    SAS使用逐步回归的方法是,模型从y1=x1开始,符合就加成y1=x1 x2,不符合就变成y1=x2…还有一种更为简单的方式,将model y1=x1 x2 x3 t ;
    改为model y1=x1 x2 x3 t /selection=stepwise;机器自动判断。

    注意,为了筛选变量宽容,程序中默认显著度为0.15,而不是0.05,以避免条件过于严格只用筛选无法进行。

    image-20200708110207405

    从程序结果中不难看出,x2、x1、t进入模型。因此modely1=x1 x2 x3 t /selection=stepwise;改为model y1=x1 x2 t /noint;再运行一遍即可。

    image-20200708110406964

    4.标准化回归

    由于单位量纲不一样,偏回归系数的大小不能完全反映自变量对因变量影响的大小。要想真实反映自变量的贡献,标准化回归是个好的选择。

    标准化回归系数(Beta值)在多元回归中被用来比较变量间的重要性。

    还是用上面的例子,将model y1=x1 x2 t /noint;改为model y1=x1 x2 t /noint stb;运行即可。

    image-20200708111348504

    从最后一列(标准化回归系数)可看出,x1重要性超过x2和t。与原先的参数大小比有变化。

    同时这个也符合现实,在现实生活中,湖北省油菜很大的产量来自于资本的投资。

    作业

    image-20200708115457361

    image-20200708115545799

    1.问题一的分析与求解

    为探究各种化肥(主要为N 、P 、K 肥)的投入量对于土豆产量的影响程度大小,我们决定使用多元回归模型,通过比较回归方程系数的大小来比较各种化肥的投入量对土豆产量影响程度的大小。

    1594180902840

    编写SAS代码:

    data ex;input n p k y@@;
    x1=log(n);x2=log(p);x3=log(k);y1=log(y);
    cards;
    0 196 372 15.18
    34 196 372 21.36
    67 196 372 25.72
    101 196 372 32.29
    435 196 372 34.03
    202 196 372 39.45
    259 196 372 43.15
    336 196 372 43.46
    404 196 372 40.83
    471 196 372 30.75
    259 0 372 33.46
    259 24 372 32.47
    259 49 372 36.06
    259 73 372 37.96
    259 98 372 41.04
    259 147 372 40.09
    259 196 372 41.26
    259 245 372 42.17
    259 294 372 40.36
    259 342 372 42.73
    259 196 0 18.98
    259 196 47 27.35
    259 196 93 34.86
    259 196 140 38.52
    259 196 186 38.44
    259 196 279 37.73
    259 196 372 38.43
    259 196 465 43.87
    259 196 558 42.77
    259 196 651 46.22
    ;
    proc reg;model y1=x1 x2 x3;
    proc corr;var x1 x2 x3;
    run;
    

    首先我们对自变量x1、x2、x3 之间的相关性进行判断,计算得相关系数如下表:

    image-20200708120337854

    通过相关系数表我们可以看出各自变量之间得相关系数的绝对值均小于0.09,因此可以认为自变量之间无相关性,使用多元回归分析效果较好。

    接着使用最小二乘法对自变量和因变量进行多元回归分析,对得到的回归方程进行F检验,得到方差分析表:
    image-20200708120529409

    由方差分析表可知,其 F value=11.95,对应的Pr>F的概率小于0.001,故11.95落在了拒绝域中,拒绝原假设H0:x1,x2,x3都为0。认为y1 与x1、x2、x3 之间有显著性的线性关系。

    接着对各参数进行显著性检验,通过t 检验得到如下参数估计表:

    image-20200708120750281

    由参数估计表可知:

    (1)对自变量x1检验的t值为5.26,Pr>|t|的值小于0.001,因此拒绝原假设认为x1系数为0,说明x1的系数通过检验,x1与y1有显著的线性关系。

    (2)对自变量x2 检验的t 值为t=1.56,Pr>|t|的值=0.1334,大于0.05,因此接受原假设认为x2 系数为0,说明x2 的系数没有通过检验,x2 与y 没有显著的线性关系,且其回归系数最小,即x2 对y 的影响不明显,因此在回归方程中去除自变量x2。

    (3)对自变量x3 检验的t 值为t=3.01,Pr>|t|的值=0.0062,小于0.05,因此拒绝原假设认为x3 系数为0,说明x3 的系数通过检验,x1 与y 有显著的线性关系。

    去除变量x2 后,继续对y 与x1、x3 进行回归分析,步骤同上。在方程通过F 检验后得到如下参数估计表:

    image-20200708132212881

    但是我们考虑到现实生活,磷肥不可能毫无影响,这里我们注意,下面的题目是让我们预测,当我们做预测这种题型时,其实T检验没有那么严格,我们只需要保证F检验拒绝原假设就可以了。我们可以保留x2,增加一句话:x2对结果没有线性影响。

    x1>x3>x2,综上所述,化肥种类对土豆产量影响程度由大到小的排列顺序为氮肥、钾肥和磷肥。

    2.问题二的分析与求解

    经验之谈:一般这种求因变量极值的问题建模都用二次函数

    编写SAS代码:

    data ex;input n p k y@@;
    x1=n*n;x2=p*p;x3=k*k;x4=n*p;x5=n*k;x6=p*k;
    cards;
    /*同上数据区*/
    ;
    proc reg;model y=n p k x1-x6;
    run;
    

    运行结果:

    image-20200708143807234

    我们发现运行后SAS警告我们x4,x5,x6和我们的n,p,k有线性关系,高度共线,也就是说,我们通过n,p,k完全可以表示x4,x5,x6:
    x 4 = − 50764 ∗ I n t e r c e p t + 196 ∗ n + 259 ∗ p x4 = - 50764 * Intercept + 196 * n + 259 * p x4=50764Intercept+196n+259p

    x 5 = − 96348 ∗ I n t e r c e p t + 372 ∗ n + 259 ∗ k x5 = - 96348 * Intercept + 372 * n + 259 * k x5=96348Intercept+372n+259k

    x 6 = − 72912 ∗ I n t e r c e p t + 372 ∗ p + 196 ∗ k x6 = - 72912 * Intercept + 372 * p + 196 * k x6=72912Intercept+372p+196k

    因此,需要去掉x4,x5,x6:model y=n p k x1-x3;再次运行,结果如下:

    image-20200708144154648

    我们发现无论是F检验还是T检验都很完美,符合度也高达91.76%,我们可以根据此写出我们的式子:
    y = − 12.91 + 0.1926 ∗ n + 0.0847 ∗ p + 0.074 ∗ k − 0.00033469 ∗ x 1 − 0.00017258 ∗ x 2 − 0.00006819 ∗ x 3 y=-12.91+0.1926*n+0.0847*p+0.074*k-0.00033469*x1-0.00017258*x2-0.00006819*x3 y=12.91+0.1926n+0.0847p+0.074k0.00033469x10.00017258x20.00006819x3
    统计学检验通过了,我们需要来检验模型拟合精度,看误差率是多少。

    SAS代码:

    data ex;input n p k y@@;
    x1=n*n;x2=p*p;x3=k*k;x4=n*p;x5=n*k;x6=p*k;
    y1=-12.91+0.1926*n+0.0847*p+0.074*k-0.00033469*x1-0.00017258*x2-0.00006819*x3;
    red=y-y1;wucha=abs(y-y1)/y*100;wc+wucha;
    cards;
    /*同上数据区*/
    ;
    proc print;var y y1 red wucha wc;
    run;
    

    image-20200708150039077

    我们发现平均误差率是147.322/30=4.9%左右,说明我们求得这个式子还算可以。接下来我们要Y最大,只需要对这三个变量求偏导即可求出,这里我们可以用LinGO软件。

    max=y;
    y=-12.91+0.1926*n+0.0847*p+0.074*k-0.00033469*n*n-0.00017258*p*p-0.00006819*k*k;
    n*p=- 50764 * Intercept + 196 * n + 259 * p;
    n*k=- 96348 * Intercept + 372 * n + 259 * k;
    p*k=- 72912 * Intercept + 372 * p + 196 * k;
    

    执行结果:

    image-20200708151841859

    可以看出,当氮肥316.0799kg,磷肥239.1956kg,钾肥453.9835kg时产量最高。

    3.问题三的分析与求解

    max=1.4*1000*y-2.8*n-2.2*p-2.2*k;
    y=-12.91+0.1926*n+0.0847*p+0.074*k-0.00033469*n*n-0.00017258*p*p-0.00006819*k*k;
    n*p=- 50764 * Intercept + 196 * n + 259 * p;
    n*k=- 96348 * Intercept + 372 * n + 259 * k;
    p*k=- 72912 * Intercept + 372 * p + 196 * k;
    

    image-20200708152200124

    结语

    image-20200708133615822

    高考的xdm加油!分享一首我高中高考冲刺的歌(●ˇ∀ˇ●)

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  • 多元相关分析与多元回归分析

    万次阅读 多人点赞 2018-10-27 17:13:02
    多元回归分析模型建立 线性回归模型基本假设 多元回归分析用途 多元线性相关分析 矩阵相关分析 复相关分析 曲线回归模型 多项式曲线 二函数 对数函数 指数函数 幂函数 双曲线函数 变量间的...

    目录

    变量间的关系分析

    什么是相关分析

    什么是回归分析

    分析步骤

    回归分析与相关分析的主要区别

    一元线性相关分析

    一元线性回归分析

    建模

    方差分析检验

     t检验

    多元回归分析模型建立

    线性回归模型基本假设

    多元回归分析用途

    多元线性相关分析

    矩阵相关分析

    复相关分析

    曲线回归模型

    多项式曲线

    二次函数

    对数函数

    指数函数

    幂函数

    双曲线函数


    变量间的关系分析

    变量间的关系有两类,一类是变量间存在着完全确定的关系,称为函数关系,另一类是变量间的关系不存在完全的确定性,不能用精缺的数学公式表示,但变量间存在十分密切的关系,这种称为相关关系,存在相关关系的变量称为相关变量

    相关变量间的关系有两种:一种是平行关系,即两个或两个以上变量相互影响。另一种是依存关系,即是一个变量的变化受到另一个或多个变量的影响。相关分析是研究呈平行关系的相关变量之间的关系。而回归分析是研究呈依存关系的相关变量间的关系。表示原因的变量称为自变量-independent variable,表示结果的变量称为因变量-dependent variable

    什么是相关分析

    通过计算变量间的相关系数来判断两个变量的相关程度及正负相关。

    什么是回归分析

    通过研究变量的依存关系,将变量分为因变量和自变量,并确定自变量和因变量的具体关系方程式

    分析步骤

    建立模型、求解参数、对模型进行检验

    回归分析与相关分析的主要区别

    1.在回归分析中,解释变量称为自变量,被解释变量称为因变量,相关分析中,并不区分自变量和因变量,各变量处于平的地位。--(自变量就是自己会变得变量,因变量是因为别人改变的)

    2.在相关分析中所涉及的变量全部是随机变量,在回归分析中只有只有因变量是随机变量。

    3.相关分析研究主要是为刻画两类变量间的线性相关的密切程度,而回归分析不仅可以揭示自变量对因变量的影响大小,还可以由回归方程进行预测和控制。

    一元线性相关分析

    线性相关分析是用相关系数来表示两个变量间相互的线性关系,总体相关系数的计算公式为:

     δ^2x代表x的总体方差, δ^2y代表y的总体方差,δxy代表x变量与y变量的协方差,相关系数ρ没有单位,在-1到1之间波动,绝对值越接近1越相关,符号代表正相关或复相关。

    一元线性回归分析

    使用自变量与因变量绘制散点图,如果大致呈直线型,则可以拟合一条直线方程

    建模

    直线模型为:

     y是因变量y的估计值,x为自变量的实际值,a、b为待估值

    几何意义:a是直线方程的截距,b是回归系数

    经济意义:a是x=0时y的估计值,b是回归系数

    对于上图来说,x与y有直线的趋势,但并不是一一对应的,y与回归方程上的点的差距成为估计误差或残差,残差越小,方程愈加理想。

    当误差的平方和最小时,即Q,a和b最合适

    对Q求关于a和b的偏导数,并令其分别等于零,可得:

     式中,lxx表示x的离差平方和,lxy表示x与y的离差积和。

    方差分析检验

    将因变量y实测值的离均差平方和分成两部分即使:

    分为:

    实测值yi扣除了x对y的线性影响后剩下的变异

    和x对y的线性影响,简称为回归评方或回归贡献

    然后证明:

     t检验

    当β成立时,样本回归系数b服从正态分布,这是可以使用T检验判断是否有数学意义,检验所用统计量为

    例如t=10,那么可以判断α=0.05水平处拒绝H0,接受H1,那么x与y存在回归关系

    多元回归分析模型建立

    一个因变量与多个自变量间的线性数量关系可以用多元线性回归方程来表示

    b0是方程中的常数项,bi,i=1,2,3称为偏回归系数。

    当我们得到N组观测数据时,模型可表示为:

    其矩阵为:

    X为设计阵,β为回归系数向量。

    线性回归模型基本假设

    在建立线性回归模型前,需要对模型做一些假定,经典线性回归模型的基本假设前提为:

    1.解释变量一般来说是非随机变量

    2.误差等方差及不相关假定(G-M条件)

    3.误差正太分布的假定条件为:

    4. n>p,即是要求样本容量个数多于解释变量的个数

    多元回归分析用途

    1.描述解释现象,希望回归方程中的自变量尽可能少一些

    2.用于预测,希望预测的均方误差较小

    3.用于控制,希望各个回归系数具有较小的方差和均方误差

    变量太多,容易引起以下四个问题:
    1.增加了模型的复杂度

    2.计算量增大

    3.估计和预测的精度下降

    4.模型应用费用增加

    多元线性相关分析

    两个变量间的关系称为简单相关,多个变量称为偏相关或复相关

    矩阵相关分析

    设n个样本的资料矩阵为:

    此时任意两个变量间的相关系数构成的矩阵为:

    其中rij为任意两个变量之间的简单相关系数,即是:

    复相关分析

    系数计算:

    设y与x1,x2,....,回归模型为

    y与x1,x2,....做相关分析就是对y于y^做相关分析,相关系数计算公式为

    曲线回归模型

    多项式曲线

    二次函数

    y=a+bx+cx^2

    对数函数

    y=a+blogx

    指数函数

    y = ae^bx或y = ae^(b/x)

    幂函数

    y=ax^b (a>0)

    双曲线函数

    y = a+b/x

     实战操作见下一篇文章

    展开全文
  • 一元回归分析多元线性回归 前言 在统计学中,回归分析(Regression Analysis)指的是确定两种或两种以上变量间的相互依赖的定量关系的种分析方法。该方法常使用数据统计的基本原理,对大量统计数据进行数学处理...

    一元回归分析和多元线性回归

    • 前言
      • 在统计学中,回归分析(Regression Analysis)指的是确定两种或两种以上变量间的相互依赖的定量关系的一种分析方法。该方法常使用数据统计的基本原理,对大量统计数据进行数学处理,并确定因变量与某些自变量的相关关系,建立一个相关性较好的回归方程(函数表达式),并加以外推,用于预测以后的因变量的变化的分析方法。
      • 回归分析是一种预测性的建模技术,它研究的是因变量(目标)和自变量(预测器)之间的关系。实际上预测分析是回归分析的一种。
      • 之前有说过分类问题,模式分类是通过构造一个分类函数或者分类模型将数据集映射到一个个给定的类别中(这些类别是离散的),它是模式识别的核心研究内容,关系到其识别的整体效率,广泛应用于各个研究领域。而回归问题则是确定两种或者两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计方法。(这些结果是连续的)。
      • 就结果形式上来看,分类试图得到一个向离散集合的映射,回归试图得到一个向连续集合的映射。
      • 一个简单的回归方程:
        • 用户满意度= 0.008*形象 + 0.645*质量 + 0.221*价格
        • 这个方程说明质量对用户满意度贡献比最大,质量提高1分,满意度提升0.645分,以此类推,形象贡献最小。
        • 使用回归分析得到这个式子,在今后产品上市前,可以根据产品的质量、价格以及形象预测用户对即将上市产品满意度。(这三个特征任意可以计算一个确切的值,即映射到一个连续不断的空间。)
      • 回归分析方法较多,常见如下。
        • 按照涉及变量多少,分为一元回归分析和多元回归分析。
        • 按照因变量的多少,分为简单回归分析和多重回归分析。
        • 按照自变量和因变量之间的关系类型,分为线性回归分析和非线性回归分析。
    • 简介
      • 一元回归分析
        • 对于一组自变量x和对应的一组因变量y的值,x和y呈线性相关关系,现在需要求出满足这个线性关系的直线方程。在数学上一般使用最小二乘法,其主要思想就是找到这样一条直线,使所有已知点到这条直线的距离的和最短,那么理论上这条直线就应该和实际数据拟合度最高。
      • 多元线性回归
        • 上面的一元回归自变量只有一个,在回归分析中如果出现两个以上的自变量,称为多元回归。事实上,一种现象常常与多种因素关联,由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量,比只用一个自变量进行预测或估计更有效,更符合实际。因此,多元线性回归意义大于一元回归。例如,一个消费水平的关系式中,工资水平、受教育水平、职业、地区、家庭负担等因素都会影响消费水平。
    • 原理
      • 一元回归分析
        • 假设方程为 y = a + b x y=a+bx y=a+bx已知很多数据点(x,y),经过最小二乘法,计算出截距项a和斜率b。
        • 回归的目的就是建立一个回归方程来预测目标值,回归的求解就是求这个回归方程的回归系数,如a和b。在回归系数计算出来之后,预测的方法就非常简单了,只需要把输入值代入回归方程即可得到预测值。
      • 多元线性回归
        • 若特征X不止一个,可以构造多元线性回归模型。 y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . y=a_0 + a_1x_1 + a_2x_2 + ... y=a0+a1x1+a2x2+...多元线性回归与一元线性回归类似,可以用最小二乘法估计模型参数,也需要对模型及模型参数进行统计检验,计算出a0,a1,a2等参数。这时就可以得到多元回归方程,此时,给出多个自变量,使用回归方程,就可以预测因变量。
      • 回归计算法
        • 步骤
          • 通过对Loss函数求每个参数的偏导。
          • 对所有偏导数,令其为0,解出参数值。
        • 这种方法就是最小二乘法。
        • 对于多元回归,可以使用矩阵进行相关推导,大致思想与一元回归类似,使用最小二乘法。
    • 实战
      • 身高与体重的一元回归
        • 运行结果
      • 身高、年龄与体重的二元回归
        • 运行结果
      • 身高与体重高次回归
        • 运行结果
      • 房价预测
        • 代码
          •   # -*-coding:utf-8-*-
              import matplotlib.pyplot as plt
              import pandas as pd
              from sklearn.linear_model import LinearRegression
              import numpy as np
              
              
              # 输入文件,将房间大小和价格的数据转成scikitlearn中LinearRegression模型识别的数据
              def get_data(file_name):
                  data = pd.read_csv(file_name)
                  X_parameter = []
                  Y_parameter = []
                  for single_square_meter, single_price_value in zip(data['square_meter'], data['price']):
                      X_parameter.append([float(single_square_meter)])
                      Y_parameter.append([float(single_price_value)])
                  return X_parameter, Y_parameter
              
              
              # 线性分析
              def line_model_main(X_parameter, Y_parameter, predict_square_meter):
                  # 模型对象
                  regr = LinearRegression()
                  # 训练模型
                  regr.fit(X_parameter, Y_parameter)
                  # 预测数据
                  predict_outcome = regr.predict(predict_square_meter)
                  predictions = {}
                  # 截距值
                  predictions['intercept'] = regr.intercept_
                  # 斜率值
                  predictions['coefficient'] = regr.coef_
                  # 预测值
                  predictions['predict_value'] = predict_outcome
                  return predictions
              
              
              # 显示图像
              def show_linear_line(X_parameter, Y_parameter):
                  # 构造模型对象
                  regr = LinearRegression()
                  # 训练模型
                  regr.fit(X_parameter, Y_parameter)
                  # 绘制已知数据的散点图
                  plt.scatter(X_parameter, Y_parameter, color='blue')
                  # 绘制预测直线
                  plt.plot(X_parameter, regr.predict(X_parameter), color='red', linewidth=4)
                  plt.title('Predict the house price')
                  plt.xlabel('square meter')
                  plt.ylabel('price')
                  plt.show()
              
              
              # 主函数
              def main():
                  # 读取数据
                  X, Y = get_data('data/house_price.csv')
                  # 获取预测值,这里我们预测700平英尺的房子的房价
                  predict_square_meter = np.array([300, 400]).reshape(-1, 1)
                  result = line_model_main(X, Y, predict_square_meter)
                  for key, value in result.items():
                      print('{0}:{1}'.format(key, value))
                  # 绘图
                  show_linear_line(X, Y)
              
              
              if __name__ == '__main__':
                  main()
              
            
        • 运行结果
      • 产品销量与广告多元回归
        • 代码
          •   # -*-coding:utf-8-*-
              # 导入模块
              import pandas as pd
              import numpy as np
              import matplotlib.pyplot as plt
              from sklearn.linear_model import LinearRegression
              from sklearn.model_selection import train_test_split
              
              # 使用pandas读入数据
              data = pd.read_csv('data/Advertising.csv')
              
              # 转换数据
              feature_cols = ['TV', 'radio', 'newspaper']
              X = data[feature_cols]
              y = data['sales']
              
              # 划分训练集和测试集
              X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=.4, random_state=0)
              
              # 循环多元回归模型
              linreg = LinearRegression()
              model = linreg.fit(X_train, y_train)
              print(model)
              print(linreg.intercept_)
              print(linreg.coef_)
              
              # 预测
              y_pred = linreg.predict(X_test)
              print(y_pred)
              
              # 使用图形来对比预测数据与实际数据之间的关系
              plt.figure()
              plt.plot(range(len(y_pred)), y_pred, 'b', label='predict')
              plt.plot(range(len(y_pred)), y_test, 'r', label='test')
              plt.legend(loc='upper right')
              plt.xlabel('the number of sales')
              plt.ylabel('value of sales')
              plt.show()
              
              # 模型验证
              sum_mean = 0
              for i in range(len(y_pred)):
                  sum_mean += (y_pred[i] - y_test.values[i]) ** 2
              sum_erro = np.sqrt(sum_mean / 50)
              print('RMSE by hand:', sum_erro)
              
            
        • 运行结果
    • 补充说明
      • 参考书为《Python3数据分析与机器学习实战》,对部分错误修改
      • 具体数据集和代码见我的Github,欢迎Star或者Fork
    展开全文
  • 多元回归分析(线性回归)

    千次阅读 多人点赞 2020-08-13 18:14:30
    多元线性回归分析一、回归的基本理解(1)回归的基本任务(2)回归里的关键词(3)回归里的数据类型(4)回归方程中的系数解释(5)核心解释变量和控制变量(6)特殊的自变量:虚拟变量X二、例题:电商平台的奶粉...
  • 数学建模学习1.22——多元回归分析

    千次阅读 2022-02-03 21:40:06
    回归分析简介 二、数据分类与数据处理方法 1.数据分类 (1)横截面数据(Cross Sectional Data) 在某时点收集的不同对象的数据。 (2)时间序列数据(Time Series Data) 对...
  • 多元回归具有多个变量 x,简单回归只有个自变量 2.多元回归模型 其中:β0,β1,β2…βp是参数,e为误差 3.多元回归方程 4.估计多元回归方程 个样本被用来计算β0,β1,β2...βpβ_0,β_1,β_2...β_pβ0​...
  • 多元线性回归分析

    千次阅读 2021-08-07 20:34:33
    多元线性回归分析 回归分析是数据分析中最基础也是最重要的分析工具,绝大多数的数据分析问题,都可以使用回归的思想来解决。回归分析的任务就是,通过研究自变量X和因变量Y的相关关系,尝试去解释Y的形成机制,进而...
  • 一元回归及多元回归模型

    千次阅读 2021-11-18 11:23:27
    首先,先看第个例子,众所周知,车辆都是具有使用寿命和使用年限的,一般来说,随着使用时间的增长,车辆的新度(几成新)也在不断地降低,车辆此时的市场价格也在发生着变化。请研究使用时长(x)与车辆市场价格(y...
  • 主要介绍了基于PHP实现的多元线性回归模拟曲线算法,结合具体实例形式分析多元线性回归模拟曲线算法的原理与相关php实现技巧,需要的朋友可以参考下
  • 基于matlab的多元线性回归分析

    万次阅读 多人点赞 2020-04-23 14:41:29
    在社会生活及生产实践中会经常遇到种...知道了这些,我们就可以对该量变化所反映的相关问题做出分析和评价,并对其未来发展趋势进行预测和控制,这里就要用到数理统计中一个非常重要而普遍的分析方法,即回归分析法。
  • 多元统计分析——多元线性回归

    千次阅读 2022-04-21 19:06:04
    1. 经典的线性回归分析与交叉验证 examDict={' 学习时 ':[0.50, 0.75, 1.00, 1.25,1.50,1.75, 1.75,2.00, 2.25,2.50, 2.75,3.00,3.25,3.50,4.00,4.25,4.50,4.75,5.00,5.50], '分':[10,22,13 ,43,20,22,33,50,62 ,...
  • 多元线性回归,主要是研究个因变量与多个自变量之间的相关关系,跟一元回归原理差不多,区别在于影响因素(自变量)更多些而已,例如:一元线性回归方程 为:毫无疑问,多元线性回归方程应该为:上图中的 x1, x2, xp...
  • 多元相关分析与回归分析(转)

    千次阅读 2018-11-29 09:44:14
    原文:... 目录 变量间的关系分析 什么是相关分析 什么是回归分析 ...多元回归分析模型建立 线性回归模型基本假设 多元回归分析用途 多元线性相关分析...
  • 用 Python 进行多元线性回归分析(附代码)

    万次阅读 多人点赞 2020-08-25 08:30:00
    很多人在做数据分析时会经常用到一元线性回归,这是描述两个变量间统计关系的最简单的回归模型。但现实问题中,我们往往会碰到多个变量间的线性关系的问题,这时就要用到多元线性回归多元线性回归是...
  • 建模之多元线性回归分析

    千次阅读 2020-02-23 10:39:49
    1.回归分析用来研究变量X和Y之间的相关性 2.Y俗称因变量,即核心变量:连续数值型变量,0-1型变量,定序变量(数字代表了程度),计数变量(到访的次数),生存变量(年龄)。 X为解释变量,Y为被解释变量。 3.回归...
  • 使用Excel进行多元回归分析

    万次阅读 2016-06-10 16:37:42
    1、数据准备工作: 第步:点击数据,复制一下第个答案,然后用记事本打开个...2、开始多元线性回归分析: 打开 *.csv,然后按图所示: 假设要估计的回归是:y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4+b
  • 1、多元线性回归 形式: 回归系数的检验 (1)F检验 (2)r检验 matlab语言: [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha) b:回归系数点估计 bint:回归系数区间估计 r:残差 rint:置信区间 stats:用于检验的统计...
  • import numpyimport pandas as pdimport matplotlib.pyplot as plt%matplotlib inlinedata = pd.read_csv('Folds5x2_pp.csv')data.head()会看到数据如下所示: 这份数据代表了个循环发电厂,每个数据有5列,分别...
  • 利用eviews做多元线性回归分析 1、居民消费价格指数CPI,工业品出厂价格指数PPI, 固定资产投资价格指数之间的线性回归 Y :居民消费价格指数CPI(%) X1:工业品出厂价格指数PPI (%) X2:固定资产投资价格指数(%)...
  • 数学建模(NO.11多元线性回归分析

    千次阅读 2021-01-13 20:45:06
    多元线性回归分析一.应用二.三个关键词三.目的四.回归模型分类五.数据分类1.三种数据2.模型与数据对应六.数据收集网址七.一元线性回归1.概念2.对“线性”理解1.纠正线性2. 预处理3.什么时候取对数?3.回归系数的解释...
  • 《第11讲_matlab多元回归分析》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第11讲_matlab多元回归分析(53页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。1、,数学建模与数学实验,回归分析,.,实验目的,实验内容,1回归分析的基本理论.,3...
  • spss logistic回归分析结果如何分析

    千次阅读 2020-12-24 13:09:17
    如何用spss17.0进行二元和多元logistic回归分析一、二元logistic回归分析二元logistic回归分析的前提为因变量是可以转化为0、1的二分变量,如:死亡或者生存,男性或者女性,有或无,Yes或No,是或否的情况。...
  • 调查分析某鱼主播收到付费礼物收入和免费礼物收入 模型如下: 抓取数据 主播相关信息 主播名,主播编号,礼物总收入,付费礼物收入,免费礼物收入,礼物人数,弹幕人数,直播时长,人气峰值,订阅变化,活跃观众,订阅数,抓取...
  • 机器学习算法(8)之多元线性回归分析理论详解

    万次阅读 多人点赞 2018-08-29 16:28:27
    前言:当影响因变量的因素是多个时候,这种个变量同时与多个变量的回归问题就是多元回归,分为:多元线性回归和多元非线性回归。线性回归(Linear regressions)和逻辑回归(Logistic regressions)是人们学习算法的第...
  • 这一节我们会结束多元线性回归的内容,并且会努力结束下个部分——违背基本假设的情况的相关内容。提供之前的笔记:我们开始本节的内容。目录多元线性回归(下)偏回归平方和部分系数显著性检验违背基本假设的情况异...
  • 欢迎关注”生信修炼手册”!在进行多元回归分析时,两个自变量之间可能存在线性相关,所谓线性用数学公式表示如下即两个自变量之间的关系是条直线, 称之为共线性,当三个或以上自变量之间存在共线...
  • Python实现一元及多元线性回归

    千次阅读 2021-05-08 15:19:20
    Python实现线性回归实现... 进行回归分析,拟合出回归模型 d. 对回归模型进行检验—计算相关系数、异方差检验(散点图) e. 进行回归预测 2实现离差形式的一元线性回归 实验数据 结果分析 源代码(更新中) ...

空空如也

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一次多元回归分析的结果