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  • 一次指数平滑预测

    千次阅读 2019-03-20 10:53:47
    1、一次指数平滑预测 例子: 已知某种产品最近15个月的销售量如下表所示: 用一次指数平滑值预测下个月的销售量y16。 为了分析加权系数a的不同取值的特点,分别取a=0.1,a=0.3,a=0.5计算一次指数平滑值,并设...

    本文链接:https://blog.csdn.net/NIeson2012/article/details/51980943

    1、一次指数平滑预测

    例子:

    已知某种产品最近15个月的销售量如下表所示:

    用一次指数平滑值预测下个月的销售量y16。

    为了分析加权系数a的不同取值的特点,分别取a=0.1,a=0.3,a=0.5计算一次指数平滑值,并设初始值为最早的三个数据的平均值,:以= 0.5的一次指数平滑值计算为例,有

    计算得到下表:

    按上表可得  时间15月对应的19.9  26.2  28.1可以分别根据预测公式来预测第16个月的销售量。

    = 0.5为例:        y16=0.5*29+(1-0.5)*28.1=28.55(万台)

    由上述例题可得结论

    1)指数平滑法对实际序列具有平滑作用,权系数(平滑系数)a  越小,平滑作用越强,但对实际数据的变动反应较迟缓。

    2)在实际序列的线性变动部分,指数平滑值序列出现一定的滞后偏差的程度随着权系数(平滑系数)a  的增大而减少,但当时间序列的变动出现直线趋势时,用一次指数平滑法来进行预测仍将存在着明显的滞后偏差。因此,也需要进行修正。修正的方法也是在一次指数平滑的基础上再进行二次指数平滑,利用滞后偏差的规律找出曲线的发展方向和发展趋势,然后建立直线趋势预测模型,故称为二次指数平滑法。
    2、二次指数平滑预测

     

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  • 一般常用到的指数平滑法为一次指数平滑、二次指数平滑和三次指数平滑,高次指数平滑一般比较难见到,因此本文着重介绍了一次、二次和三次指数...三次指数平滑可以应用于抛物线型的数据,因为数据在二次平滑过后还...


    一般常用到的指数平滑法为一次指数平滑、二次指数平滑和三次指数平滑,高次指数平滑一般比较难见到,因此本文着重介绍了一次、二次和三次指数平滑的特点与不同。

    一次指数平滑一般应用于直线型数据,且一次指数平滑具有滞后性,可以说明有明显的时间性、季节性。

    二次指数平滑一般也应用于直线型,但是效果会比一次指数平滑好很多,也就相当于加强版的一次指数平滑。

    三次指数平滑可以应用于抛物线型的数据,因为数据在二次平滑过后还是具有斜率,那么可以继续使用三次指数平滑。

    初值:不管什么指数平滑都会有个初值,假如数据大于20项,那么初值就可以认定为第一个数据,或者利用下列公式计算也行;假如数据小于20项,则初始值为:

    低于20项一般取3,大于20的看着取就行了。

    一次指数平滑:

    一次指数平滑需要滞后一期,给定平滑系数,那么一次指数平滑的计算公式为:

    预测第期的数值则是上一期的实际值与预测值的加权平均,预测公式为:

     

    二次指数平滑:

    给定平滑系数,那么二次指数平滑的计算公式为:

    预测未来期的值的计算公式为:

    其中:

    三次指数平滑:

     给定平滑系数,那么三次指数平滑的计算公式为:

     

    预测未来期的值的计算公式为:

     

    其中:

    下面举例说明,数据如下:

    253993

    275396.2

    315229.5

    356949.6

    400158.2

    442431.7

    495102.9

    570164.8

    640993.1

    704250.4

    767455.4

    781807.8

    776332.3

    794161.7

    834177.7

    931651.5

    1028390

    1114914

    133

    88

    150

    123

    404

    107

    674

    403

    243

    257

    900

    1043

    1156

    895

    1200

    1038

    1024

    1283

    引入均方误差概念来判断平滑系数是否准确:

    要使最小则构成了一个关于的函数,由此可以得到最优的平滑系数,这里可以引入线性规划的思想来求得最优解

    但是:

    python没有线性规划的包,所以就没有细致的代码写出来了,不过经过手动计算尝试这样子是可行的

     

    在python3下编程,一次指数平滑代码为:

    复制代码
     1         S1_1 = [] 2         for m in range(0, len(info_data_id)): 3             S1_1_empty = [] 4             x = 0 5             for n in range(0, 3): 6                 x = x + int(info_data_sales[m][n]) 7             x = x / 3 8             S1_1_empty.append(x) 9             S1_1.append(S1_1_empty)10         # print(S1_1)11 12         a = []  ##这是用来存放阿尔法的数组13         info_MSE = []  ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)14         for i in range(0, len(info_data_sales)):15             v = input('请输入第' + str(i + 1) + '组数据的a:')16             a.append(v)17 18         for i in range(0, len(info_data_sales)):19             MSE = 020             for j in range(0, len(info_data_sales[i])):21                 S1_1[i].append(22                     float(a[i]) * int(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * int(S1_1[i][j]))  ##计算预估值23                 MSE = (int(S1_1[i][j]) - int(info_data_sales[i][j])) ** 2 + MSE24                 # print(info_data_sales[i][j], S1_1[i][j])25             MSE = (MSE ** (1 / 2)) / int(len(info_data_sales[i]))  ##得到均方误差26             info_MSE.append(MSE)27         # print(info_MSE)28         # print(S1_1)29         for i in range(0, len(S1_1)):30             print('' + str(i + 1) + '组的一次平滑预估值为:' + str(S1_1[i][len(S1_1[i]) - 1]) + ';均方误差为:' + str(info_MSE[i]))    
    复制代码

    二次指数平滑代码为:

    复制代码
     1         S2_1 = [] 2         S2_2 = [] 3         for m in range(0, len(info_data_id)): 4             S2_1_empty = [] 5             x = 0 6             for n in range(0, 3): 7                 x = x + float(info_data_sales[m][n]) 8             x = x / 3 9             S2_1_empty.append(x)10             S2_1.append(S2_1_empty)11             S2_2.append(S2_1_empty)12         # print(S2_2)13         a = []  ##这是用来存放阿尔法的数组14         info_MSE = []  ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)15         for i in range(0, len(info_data_sales)):16             v = float(input('请输入第' + str(i + 1) + '组数据的a:'))17             a.append(v)18 19         ##下面是计算一次指数平滑的值20         S2_1_new1 = []21         for i in range(0, len(info_data_sales)):22             S2_1_new = [[]] * len(info_data_id)23             for j in range(0, len(info_data_sales[i])):24                 if j == 0:25                     S2_1_new[i].append(26                         float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S2_1[i][j]))27                 else:28                     S2_1_new[i].append(float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(29                         S2_1_new[i][j - 1]))  ##计算一次指数的值30             S2_1_new1.append(S2_1_new[i])31         # print(S2_1_new1)32         # print(len(S2_1_new1[i]))33 34         ##下面是计算二次指数平滑的值35         S2_2_new1 = []36         info_MSE = []  ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)37         for i in range(0, len(info_data_sales)):38             S2_2_new = [[]] * len(info_data_id)39             MSE = 040             for j in range(0, len(info_data_sales[i])):41                 if j == 0:42                     S2_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S2_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S2_2[i][j]))43                 else:44                     S2_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S2_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(45                         S2_2_new[i][j - 1]))  ##计算二次指数的值46                 MSE = (int(S2_2_new[i][j]) - int(info_data_sales[i][j])) ** 2 + MSE47             MSE = (MSE ** (1 / 2)) / int(len(info_data_sales[i]))48             info_MSE.append(MSE)49             S2_2_new1.append(S2_2_new[i])50         # print(S2_2_new1)51         # print(len(S2_2_new1[i]))52 53         ##下面是计算At、Bt以及每个预估值Xt的值,直接计算预估值,不一一列举Xt的值了54         u = input('你要预估多少期?')55         Xt = []56         for i in range(0, len(info_data_sales)):57             At = (float(S2_1_new1[i][len(S2_1_new1[i]) - 1]) * 2 - float(S2_2_new1[i][len(S2_2_new1[i]) - 1]))58             Bt = (float(a[i]) / (1 - float(a[i])) * (59             float(S2_1_new1[i][len(S2_1_new1[i]) - 1]) - float(S2_2_new1[i][len(S2_2_new1[i]) - 1])))60             Xt.append(At + Bt * int(u))61             print('' + str(i + 1) + '组的二次平滑预估值为:' + str(Xt[i]) + ';均方误差为:' + str(info_MSE[i]))
    复制代码

    三次指数平滑代码为:

     

    复制代码
     1         S3_1 = [] 2         S3_2 = [] 3         S3_3 = [] 4         for m in range(0, len(info_data_id)): 5             S3_1_empty = [] 6             x = 0 7             for n in range(0, 3): 8                 x = x + float(info_data_sales[m][n]) 9             x = x / 310             S3_1_empty.append(x)11             S3_1.append(S3_1_empty)12             S3_2.append(S3_1_empty)13             S3_3.append(S3_1_empty)14         # print(S3_1)15         a = []  ##这是用来存放阿尔法的数组16         info_MSE = []  ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)17         for i in range(0, len(info_data_sales)):18             v = float(input('请输入第' + str(i + 1) + '组数据的a:'))19             a.append(v)20 21         ##下面是计算一次指数平滑的值22         S3_1_new1 = []23         for i in range(0, len(info_data_sales)):24             S3_1_new = [[]] * len(info_data_id)25             for j in range(0, len(info_data_sales[i])):26                 if j == 0:27                     S3_1_new[i].append(28                         float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_1[i][j]))29                 else:30                     S3_1_new[i].append(float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(31                         S3_1_new[i][j - 1]))  ##计算一次指数的值32             S3_1_new1.append(S3_1_new[i])33 34         ##下面是计算二次指数平滑的值35         S3_2_new1 = []36         info_MSE = []  ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)37         for i in range(0, len(info_data_sales)):38             S3_2_new = [[]] * len(info_data_id)39             for j in range(0, len(info_data_sales[i])):40                 if j == 0:41                     S3_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_2[i][j]))42                 else:43                     S3_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(44                         S3_2_new[i][j - 1]))  ##计算二次指数的值45             S3_2_new1.append(S3_2_new[i])46 47         ##下面是计算二次指数平滑的值48         S3_3_new1 = []49         info_MSE = []  ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)50         for i in range(0, len(info_data_sales)):51             S3_3_new = [[]] * len(info_data_id)52             MSE = 053             for j in range(0, len(info_data_sales[i])):54                 if j == 0:55                     S3_3_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_2_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_3[i][j]))56                 else:57                     S3_3_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_2_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(58                         S3_3_new[i][j - 1]))  ##计算三次指数的值59                 MSE = (int(S3_3_new[i][j]) - int(info_data_sales[i][j])) ** 2 + MSE60             MSE = (MSE ** (1 / 2)) / int(len(info_data_sales[i]))61             info_MSE.append(MSE)62             S3_3_new1.append(S3_3_new[i])63             # print(S3_3_new1)64 65         ##下面是计算At、Bt、Ct以及每个预估值Xt的值,直接计算预估值,不一一列举Xt的值了66         u = input('你要预估多少期?')67         Xt = []68         for i in range(0, len(info_data_sales)):69             At = (70             float(S3_1_new1[i][len(S3_1_new1[i]) - 1]) * 3 - float(S3_2_new1[i][len(S3_2_new1[i]) - 1]) * 3 + float(71                 S3_3_new1[i][len(S3_3_new1[i]) - 1]))72             Bt = ((float(a[i]) / (2 * ((1 - float(a[i])) ** 2))) * ((6 - 5 * float(a[i])) * (73             float(S3_1_new1[i][len(S3_1_new1[i]) - 1]) - 2 * (5 - 4 * float(a[i])) * float(74                 S3_2_new1[i][len(S3_2_new1[i]) - 1]) + (4 - 3 * float(a[i])) * float(75                 S3_3_new1[i][len(S3_3_new1[i]) - 1]))))76             Ct = (((float(a[i])) ** 2) / (2 * ((1 - float(a[i])) ** 2))) * (77             float(S3_1_new1[i][len(S3_1_new1[i]) - 1]) - float(S3_2_new1[i][len(S3_2_new1[i]) - 1])*2 + float(78                 S3_3_new1[i][len(S3_3_new1[i]) - 1]))79             Xt.append(At + Bt * int(u) + Ct * (int(u) ** 2))80             print('' + str(i + 1) + '组的三次平滑预估值为:' + str(Xt[i]) + ';均方误差为:' + str(info_MSE[i]))
    复制代码

    由于注释写得很清楚了,就不一段一段的解释了

    明显看出数列为线性的数列,所以用二次指数平滑会更好

    得到的二次平滑结果如下:

    误差判断:

    误差判断

    预估值

    实际值

    误差

    数列1

    1193179

    1192201

    0.08%

    数列2

    1250

    1371

    9.68%

     由此可见预测效果非常好

    文章出处:https://www.cnblogs.com/TTyb/p/5716125.html

    附上完整代码:

      1 from openpyxl import load_workbook  2 import xlsxwriter  3   4 if __name__ == '__main__':  5     judge = input('请选择使用几次指数平滑一次请按1;二次请按2;三次请按3:')  6     ##这里是打开excel将数据储存到数组里面  7     wb = load_workbook(filename=r'C:\Users\Administrator\Desktop\data.xlsx')  ##读取路径  8     ws = wb.get_sheet_by_name("Sheet1")  ##读取名字为Sheet1的sheet表  9     info_data_id = [] 10     info_data_sales = [] 11  12     for row_A in range(1, 3):  ## 遍历第1行到2行 13         id = ws.cell(row=row_A, column=1).value  ## 遍历第1行到2行,第1列 14         info_data_id.append(id) 15     for row_num_BtoU in range(1, len(info_data_id) + 1):  ## 遍历第1行到2行 16         row_empty = []  ##建立一个空数组作为临时储存地,每次换行就被清空 17         for i in range(2, 20):  ## 遍历第1行到2行,第1到19列 18             data = ws.cell(row=row_num_BtoU, column=i).value 19             if data == None: 20                 pass 21             else: 22                 row_empty.append(data)  ##将单元格信息储存进去 23         info_data_sales.append(row_empty)  ##row_empty每次储存完1到19列后压给info_data_sales,然后row_empty被清空 24     # print(info_data_id) 25     # print(info_data_sales) 26     if judge == '1': 27         ##############################下面是计算St(1)下面写为S1_t_###################################### 28         print('你选择了一次指数平滑预测') 29         ##一次指数平滑的初值为S1_1,用S1_1来储存每一组数据的一次平滑的数值 30         S1_1 = [] 31         for m in range(0, len(info_data_id)): 32             S1_1_empty = [] 33             x = 0 34             for n in range(0, 3): 35                 x = x + int(info_data_sales[m][n]) 36             x = x / 3 37             S1_1_empty.append(x) 38             S1_1.append(S1_1_empty) 39         # print(S1_1) 40  41         a = []  ##这是用来存放阿尔法的数组 42         info_MSE = []  ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法) 43         for i in range(0, len(info_data_sales)): 44             v = input('请输入第' + str(i + 1) + '组数据的a:') 45             a.append(v) 46  47         for i in range(0, len(info_data_sales)): 48             MSE = 0 49             for j in range(0, len(info_data_sales[i])): 50                 S1_1[i].append( 51                     float(a[i]) * int(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * int(S1_1[i][j]))  ##计算预估值 52                 MSE = (int(S1_1[i][j]) - int(info_data_sales[i][j])) ** 2 + MSE 53                 # print(info_data_sales[i][j], S1_1[i][j]) 54             MSE = (MSE ** (1 / 2)) / int(len(info_data_sales[i]))  ##得到均方误差 55             info_MSE.append(MSE) 56         # print(info_MSE) 57         # print(S1_1) 58         for i in range(0, len(S1_1)): 59             print('' + str(i + 1) + '组的一次平滑预估值为:' + str(S1_1[i][len(S1_1[i]) - 1]) + ';均方误差为:' + str(info_MSE[i])) 60  61     if judge == '2': 62         ##############################下面是计算St(2)下面写为S2_t_###################################### 63         print('你选择了二次指数平滑预测') 64  65         ##二次指数平滑的初值为S2_1,用S2_1_new来储存每一组数据的一次平滑的数值 66         S2_1 = [] 67         S2_2 = [] 68         for m in range(0, len(info_data_id)): 69             S2_1_empty = [] 70             x = 0 71             for n in range(0, 3): 72                 x = x + float(info_data_sales[m][n]) 73             x = x / 3 74             S2_1_empty.append(x) 75             S2_1.append(S2_1_empty) 76             S2_2.append(S2_1_empty) 77         # print(S2_2) 78         a = []  ##这是用来存放阿尔法的数组 79         info_MSE = []  ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法) 80         for i in range(0, len(info_data_sales)): 81             v = float(input('请输入第' + str(i + 1) + '组数据的a:')) 82             a.append(v) 83  84         ##下面是计算一次指数平滑的值 85         S2_1_new1 = [] 86         for i in range(0, len(info_data_sales)): 87             S2_1_new = [[]] * len(info_data_id) 88             for j in range(0, len(info_data_sales[i])): 89                 if j == 0: 90                     S2_1_new[i].append( 91                         float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S2_1[i][j])) 92                 else: 93                     S2_1_new[i].append(float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float( 94                         S2_1_new[i][j - 1]))  ##计算一次指数的值 95             S2_1_new1.append(S2_1_new[i]) 96         # print(S2_1_new1) 97         # print(len(S2_1_new1[i])) 98  99         ##下面是计算二次指数平滑的值100         S2_2_new1 = []101         info_MSE = []  ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)102         for i in range(0, len(info_data_sales)):103             S2_2_new = [[]] * len(info_data_id)104             MSE = 0105             for j in range(0, len(info_data_sales[i])):106                 if j == 0:107                     S2_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S2_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S2_2[i][j]))108                 else:109                     S2_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S2_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(110                         S2_2_new[i][j - 1]))  ##计算二次指数的值111                 MSE = (int(S2_2_new[i][j]) - int(info_data_sales[i][j])) ** 2 + MSE112             MSE = (MSE ** (1 / 2)) / int(len(info_data_sales[i]))113             info_MSE.append(MSE)114             S2_2_new1.append(S2_2_new[i])115         # print(S2_2_new1)116         # print(len(S2_2_new1[i]))117 118         ##下面是计算At、Bt以及每个预估值Xt的值,直接计算预估值,不一一列举Xt的值了119         u = input('你要预估多少期?')120         Xt = []121         for i in range(0, len(info_data_sales)):122             At = (float(S2_1_new1[i][len(S2_1_new1[i]) - 1]) * 2 - float(S2_2_new1[i][len(S2_2_new1[i]) - 1]))123             Bt = (float(a[i]) / (1 - float(a[i])) * (124             float(S2_1_new1[i][len(S2_1_new1[i]) - 1]) - float(S2_2_new1[i][len(S2_2_new1[i]) - 1])))125             Xt.append(At + Bt * int(u))126             print('' + str(i + 1) + '组的二次平滑预估值为:' + str(Xt[i]) + ';均方误差为:' + str(info_MSE[i]))127 128     if judge == '3':129         ##############################下面是计算St(3)下面写为S3_t_######################################130         print('你选择了三次指数平滑预测')131         S3_1 = []132         S3_2 = []133         S3_3 = []134         for m in range(0, len(info_data_id)):135             S3_1_empty = []136             x = 0137             for n in range(0, 3):138                 x = x + float(info_data_sales[m][n])139             x = x / 3140             S3_1_empty.append(x)141             S3_1.append(S3_1_empty)142             S3_2.append(S3_1_empty)143             S3_3.append(S3_1_empty)144         # print(S3_1)145         a = []  ##这是用来存放阿尔法的数组146         info_MSE = []  ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)147         for i in range(0, len(info_data_sales)):148             v = float(input('请输入第' + str(i + 1) + '组数据的a:'))149             a.append(v)150 151         ##下面是计算一次指数平滑的值152         S3_1_new1 = []153         for i in range(0, len(info_data_sales)):154             S3_1_new = [[]] * len(info_data_id)155             for j in range(0, len(info_data_sales[i])):156                 if j == 0:157                     S3_1_new[i].append(158                         float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_1[i][j]))159                 else:160                     S3_1_new[i].append(float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(161                         S3_1_new[i][j - 1]))  ##计算一次指数的值162             S3_1_new1.append(S3_1_new[i])163 164         ##下面是计算二次指数平滑的值165         S3_2_new1 = []166         info_MSE = []  ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)167         for i in range(0, len(info_data_sales)):168             S3_2_new = [[]] * len(info_data_id)169             for j in range(0, len(info_data_sales[i])):170                 if j == 0:171                     S3_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_2[i][j]))172                 else:173                     S3_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(174                         S3_2_new[i][j - 1]))  ##计算二次指数的值175             S3_2_new1.append(S3_2_new[i])176 177         ##下面是计算二次指数平滑的值178         S3_3_new1 = []179         info_MSE = []  ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)180         for i in range(0, len(info_data_sales)):181             S3_3_new = [[]] * len(info_data_id)182             MSE = 0183             for j in range(0, len(info_data_sales[i])):184                 if j == 0:185                     S3_3_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_2_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_3[i][j]))186                 else:187                     S3_3_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_2_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(188                         S3_3_new[i][j - 1]))  ##计算三次指数的值189                 MSE = (int(S3_3_new[i][j]) - int(info_data_sales[i][j])) ** 2 + MSE190             MSE = (MSE ** (1 / 2)) / int(len(info_data_sales[i]))191             info_MSE.append(MSE)192             S3_3_new1.append(S3_3_new[i])193             # print(S3_3_new1)194 195         ##下面是计算At、Bt、Ct以及每个预估值Xt的值,直接计算预估值,不一一列举Xt的值了196         u = input('你要预估多少期?')197         Xt = []198         for i in range(0, len(info_data_sales)):199             At = (200             float(S3_1_new1[i][len(S3_1_new1[i]) - 1]) * 3 - float(S3_2_new1[i][len(S3_2_new1[i]) - 1]) * 3 + float(201                 S3_3_new1[i][len(S3_3_new1[i]) - 1]))202             Bt = ((float(a[i]) / (2 * ((1 - float(a[i])) ** 2))) * ((6 - 5 * float(a[i])) * (203             float(S3_1_new1[i][len(S3_1_new1[i]) - 1]) - 2 * (5 - 4 * float(a[i])) * float(204                 S3_2_new1[i][len(S3_2_new1[i]) - 1]) + (4 - 3 * float(a[i])) * float(205                 S3_3_new1[i][len(S3_3_new1[i]) - 1]))))206             Ct = (((float(a[i])) ** 2) / (2 * ((1 - float(a[i])) ** 2))) * (207             float(S3_1_new1[i][len(S3_1_new1[i]) - 1]) - float(S3_2_new1[i][len(S3_2_new1[i]) - 1])*2 + float(208                 S3_3_new1[i][len(S3_3_new1[i]) - 1]))209             Xt.append(At + Bt * int(u) + Ct * (int(u) ** 2))210             print('' + str(i + 1) + '组的三次平滑预估值为:' + str(Xt[i]) + ';均方误差为:' + str(info_MSE[i]))
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  • 指数平滑法最早是由C.C ...这里的指数平滑法是指最简单的一次指数平滑。 指数平滑法是一种特殊的加权平均法,对本期观察值和本期预测值赋予不同的权重,求得下一期预测值的方法。 一次指数平滑法公式如下:  ———

    指数平滑法最早是由C.C Holt于1958年提出的,后来经统计学家深入研究使得指数平滑法非常丰富,应用也相当广泛,一般有简单指数平滑法Holt双参数线性指数平滑法Winter线性和季节性指数平滑法。这里的指数平滑法是指最简单的一次指数平滑。

    指数平滑法是一种特殊的加权平均法,对本期观察值和本期预测值赋予不同的权重,求得下一期预测值的方法。

    一次指数平滑法公式如下:

    指数平滑法 ————————-(1)

    指数平滑法 为t+1期的指数平滑趋势预测值;
    指数平滑法 为t期的指数平滑趋势预测值;
    指数平滑法 为t期实际观察值;
    指数平滑法 为权重系数,也称为指数平滑系数那为什么这个种方法会叫做指数平滑法呢?从这个公式并没有看到指数的出现,那指数从何说起平滑又是什么意思,下面就解析这个问题。

    在(1)中,最后一个指数平滑法又可以写成如下

    一次指数平滑法 ——————–(2)

    于是我们把(2)代入(1)式中,得

    一次指数平滑法 ————————-(3)

    而t-1期的预测值又可以写成:

    一次指数平滑法 ————————(4)

    把(4)代入(3)式中,得:

    一次指数平滑法 ————-(5)

    同样道理,再进行多一次同样的代入运算,得:

    一次指数平滑法 ————-(6)

    通用公式可以写成如下形式:

    一次指数平滑法 ———-(7)

    由(7)式我们可以看出,t+1期的预测值跟t期及之前的所有期的实际观察值的n递增,所以这里就是指数平滑法中的“指数”的意义所在

    由于的n(整数)按步长1一直递增,而在0到1之间,所以的值会越来越小,从(7)式中看就是说离t+1期越久远的实际观察值,对t+1期的预测值的影响越少。

    从(7)式中,还有最后一项,F1就是第一期的预测值,但数据中并没有第一期的预测值,所以一般取前3期的实际观察值来代替,实际上这个F1并不重要,因为是个介于0-1之间的小数,当t很大时,的t次方(乘方)后,已经非常接近0的了,所以F1在(7)式中的作用并不大。

    (7)式用文字描述就是,对离预测期较近的观察值赋予较大的权数,对离预测值较远的观察值赋予较小的权数,权数由近到远按指数规律递减,所以叫做指数平滑法

    上面说到第一期的F1的值一般取前三期的实际观察值的平均数,这只是一般情况,接下来讨论一下这个F1的取值。

    一般分为两种情况,当样本为大样本时(n>42),F1一般以第一期的观察值代替;当样本为小样本时(n<42),F1一般取前几期的平均值代替。

    下面举个例子来说明指数平滑法的计算方法,让大家更容易清晰的明白指数平滑法是如何进行的。

    某产品过去20个月的销售数据如下(点击下载EXCEL文件exponential_smoothing.zip ):

    C列为指数平滑法计算得到的预测值,F1的值为前三期的平均值,即在C2处输入=AVERAGE(B2:B4),C3处输入=$E$1*B2+(1-$E$1)*C2,E1的值是指数平滑系数,C3中引用到E1的值需要有绝对引用,这样把C3处的公式下拉复制到C21时,公式永远都是引用E1的指数平滑系数。

    得出来的结果如下图:

    可以看到,指数平滑法进行预测,是有滞后作用的,这是指数平滑法的一个缺点。要对21期进行预测,只需在A22处输入21,把公式下拉复制到C22即可。

    由此图可见,预测趋势与实际变动趋势一致,但预测值比实际值滞后,如果再算一下均方误差,也会出现比较大的情况,一般通过改变指数平滑系数,找出一个均方误差最小的。

    一次指数平滑法优点在于它在计算中将所有的观察值在考虑在内,对各期按时期的远近赋予不同的权重,使预测值更接近实际观察值。

    但一次指数平滑法只适合于具有水平发展趋势的时间序列分析,只能对近期进行预测。如果碰到时间序列具有上升或下降趋势时,在这个上升或下降的过程中,预测偏差会比较大,这时最好用二次指数平滑法进行预测,二次指数平滑法将会在以后的文章中介绍。

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  • 文章目录0、特别说明0.1 参考来源0.2 包版本号1、简介2、一次指数平滑2.1 理论介绍2.2 代码展示2.3 参数介绍3、 二次指数平滑3.1 理论介绍3.1.1 Holt’s linear trend method3.1.2 Damped trend methods3.2 代码展示...

    @创建于:20210324
    @修改于:20210324

    特别说明

    参考来源

    本文理论内容转自下面三个博客,它们为同一位作者。代码部分我做了改动。

    包版本号

    本文测试所用的版本号:

    • python 3.8.5
    • statsmodels 0.12.2
    • pandas 1.2.2

    1、简介

    指数平滑(Exponential smoothing)是除了 ARIMA 之外的另一种被广泛使用的时间序列预测方法。 指数平滑即指数移动平均(exponential moving average),是以指数式递减加权的移动平均。各数值的权重随时间指数式递减,越近期的数据权重越高。常用的指数平滑方法有一次指数平滑、二次指数平滑和三次指数平滑。

    2、一次指数平滑

    2.1 理论介绍

    一次指数平滑又叫简单指数平滑(simple exponential smoothing, SES),适合用来预测没有明显趋势和季节性的时间序列。其预测结果是一条水平的直线。模型形如:
    在这里插入图片描述

    2.2 代码展示

    使用 python 的 statsmodels 可以方便地应用该模型:

    import numpy as np
    import pandas as pd
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    
    def ses():
        from statsmodels.tsa.holtwinters import SimpleExpSmoothing
        number = 30
        x1 = np.round(np.linspace(0, 1, number), 4)
        y1 = pd.Series(np.multiply(x1, (x1 - 0.5)) + np.random.randn(number))
        # fitted部分是直线或者是曲线,受到原始数据影响。
        # 多次测试显示,直线的概率高。
        # ets1 = SimpleExpSmoothing(endog=y1, initialization_method='estimated')
        ets1 = SimpleExpSmoothing(endog=y1, initialization_method='heuristic')
        r1 = ets1.fit()
        pred1 = r1.predict(start=len(y1), end=len(y1) + len(y1)//2)
    
        pd.DataFrame({
            'origin': y1,
            'fitted': r1.fittedvalues,
            'pred': pred1
        }).plot()
        plt.savefig('ses.png')
    
    ses()
    

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    2.3 参数介绍

    Simple Exponential Smoothing
    Parameters
        ----------
        endog : array_like
            The time series to model.
        initialization_method : str, optional
            Method for initialize the recursions. One of:
    
            * None
            * 'estimated'
            * 'heuristic'
            * 'legacy-heuristic'
            * 'known'
    
            None defaults to the pre-0.12 behavior where initial values
            are passed as part of ``fit``. If any of the other values are
            passed, then the initial values must also be set when constructing
            the model. If 'known' initialization is used, then `initial_level`
            must be passed, as well as `initial_trend` and `initial_seasonal` if
            applicable. Default is 'estimated'. "legacy-heuristic" uses the same
            values that were used in statsmodels 0.11 and earlier.
        initial_level : float, optional
            The initial level component. Required if estimation method is "known".
            If set using either "estimated" or "heuristic" this value is used.
            This allows one or more of the initial values to be set while
            deferring to the heuristic for others or estimating the unset
            parameters.
    
    Fit the model
    
            Parameters
            ----------
            smoothing_level : float, optional
                The smoothing_level value of the simple exponential smoothing, if
                the value is set then this value will be used as the value.
            optimized : bool, optional
                Estimate model parameters by maximizing the log-likelihood.
            start_params : ndarray, optional
                Starting values to used when optimizing the fit.  If not provided,
                starting values are determined using a combination of grid search
                and reasonable values based on the initial values of the data.
            initial_level : float, optional
                Value to use when initializing the fitted level.
            use_brute : bool, optional
                Search for good starting values using a brute force (grid)
                optimizer. If False, a naive set of starting values is used.
            use_boxcox : {True, False, 'log', float}, optional
                Should the Box-Cox transform be applied to the data first? If 'log'
                then apply the log. If float then use the value as lambda.
            remove_bias : bool, optional
                Remove bias from forecast values and fitted values by enforcing
                that the average residual is equal to zero.
            method : str, default "L-BFGS-B"
                The minimizer used. Valid options are "L-BFGS-B" (default), "TNC",
                "SLSQP", "Powell", "trust-constr", "basinhopping" (also "bh") and
                "least_squares" (also "ls"). basinhopping tries multiple starting
                values in an attempt to find a global minimizer in non-convex
                problems, and so is slower than the others.
            minimize_kwargs : dict[str, Any]
                A dictionary of keyword arguments passed to SciPy's minimize
                function if method is one of "L-BFGS-B" (default), "TNC",
                "SLSQP", "Powell", or "trust-constr", or SciPy's basinhopping
                or least_squares. The valid keywords are optimizer specific.
                Consult SciPy's documentation for the full set of options.
    
            Returns
            -------
            HoltWintersResults
                See statsmodels.tsa.holtwinters.HoltWintersResults.
    

    3、 二次指数平滑

    3.1 理论介绍

    3.1.1 Holt’s linear trend method

    Holt 扩展了简单指数平滑,使其可以用来预测带有趋势的时间序列。直观地看,就是对平滑值的一阶差分(可以理解为斜率)也作一次平滑。模型的预测结果是一条斜率不为0的直线。模型形如:

    在这里插入图片描述

    3.1.2 Damped trend methods

    Holt’s linear trend method 得到的预测结果是一条直线,即认为未来的趋势是固定的。对于短期有趋势、长期趋于稳定的序列,可以引入一个阻尼系数 0<ϕ<1,将模型改写为:
    在这里插入图片描述

    3.2 代码展示

    import numpy as np
    import pandas as pd
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    from statsmodels.tsa.holtwinters import Holt
        number = 50
        x2 = np.round(np.linspace(0, 99, number))
        y2 = pd.Series(0.1 * x2 + 2 * np.random.randn(number))
        # fitted部分是直线或者是曲线,受到原始数据影响。
        # 多次测试显示,直线的概率高。
        ets2 = Holt(endog=y2, initialization_method='estimated')
        # ets2 = Holt(endog=y2, initialization_method='heuristic')
        # ets2 = Holt(endog=y2, initialization_method='estimated', damped_trend=True)
        r2 = ets2.fit()
        pred2 = r2.predict(start=len(y2), end=len(y2) + len(y2) // 2)
    
        pd.DataFrame({
            'origin': y2,
            'fitted': r2.fittedvalues,
            'pred': pred2
        }).plot(legend=True)
        plt.savefig('holt2.png')
    
    
    holt()
    

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    3.3 参数介绍

    Holt's Exponential Smoothing
    
        Parameters
        ----------
        endog : array_like
            The time series to model.
        exponential : bool, optional
            Type of trend component.
        damped_trend : bool, optional
            Should the trend component be damped.
        initialization_method : str, optional
            Method for initialize the recursions. One of:
    
            * None
            * 'estimated'
            * 'heuristic'
            * 'legacy-heuristic'
            * 'known'
    
            None defaults to the pre-0.12 behavior where initial values
            are passed as part of ``fit``. If any of the other values are
            passed, then the initial values must also be set when constructing
            the model. If 'known' initialization is used, then `initial_level`
            must be passed, as well as `initial_trend` and `initial_seasonal` if
            applicable. Default is 'estimated'. "legacy-heuristic" uses the same
            values that were used in statsmodels 0.11 and earlier.
        initial_level : float, optional
            The initial level component. Required if estimation method is "known".
            If set using either "estimated" or "heuristic" this value is used.
            This allows one or more of the initial values to be set while
            deferring to the heuristic for others or estimating the unset
            parameters.
        initial_trend : float, optional
            The initial trend component. Required if estimation method is "known".
            If set using either "estimated" or "heuristic" this value is used.
            This allows one or more of the initial values to be set while
            deferring to the heuristic for others or estimating the unset
            parameters.
    
    Fit the model
    
            Parameters
            ----------
            smoothing_level : float, optional
                The alpha value of the simple exponential smoothing, if the value
                is set then this value will be used as the value.
            smoothing_trend :  float, optional
                The beta value of the Holt's trend method, if the value is
                set then this value will be used as the value.
            damping_trend : float, optional
                The phi value of the damped method, if the value is
                set then this value will be used as the value.
            optimized : bool, optional
                Estimate model parameters by maximizing the log-likelihood.
            start_params : ndarray, optional
                Starting values to used when optimizing the fit.  If not provided,
                starting values are determined using a combination of grid search
                and reasonable values based on the initial values of the data.
            initial_level : float, optional
                Value to use when initializing the fitted level.
    
                .. deprecated:: 0.12
    
                   Set initial_level when constructing the model
    
            initial_trend : float, optional
                Value to use when initializing the fitted trend.
    
                .. deprecated:: 0.12
    
                   Set initial_trend when constructing the model
    
            use_brute : bool, optional
                Search for good starting values using a brute force (grid)
                optimizer. If False, a naive set of starting values is used.
            use_boxcox : {True, False, 'log', float}, optional
                Should the Box-Cox transform be applied to the data first? If 'log'
                then apply the log. If float then use the value as lambda.
            remove_bias : bool, optional
                Remove bias from forecast values and fitted values by enforcing
                that the average residual is equal to zero.
            method : str, default "L-BFGS-B"
                The minimizer used. Valid options are "L-BFGS-B" (default), "TNC",
                "SLSQP", "Powell", "trust-constr", "basinhopping" (also "bh") and
                "least_squares" (also "ls"). basinhopping tries multiple starting
                values in an attempt to find a global minimizer in non-convex
                problems, and so is slower than the others.
            minimize_kwargs : dict[str, Any]
                A dictionary of keyword arguments passed to SciPy's minimize
                function if method is one of "L-BFGS-B" (default), "TNC",
                "SLSQP", "Powell", or "trust-constr", or SciPy's basinhopping
                or least_squares. The valid keywords are optimizer specific.
                Consult SciPy's documentation for the full set of options.
    
            Returns
            -------
            HoltWintersResults
                See statsmodels.tsa.holtwinters.HoltWintersResults.
    

    4、 三次指数平滑

    4.1 理论介绍

    为了描述时间序列的季节性,Holt 和 Winters 进一步扩展了 Holt’s linear trend method,得到了三次指数平滑模型,也就是通常说的 Holt-Winters’ 模型。我们用 mmm 表示“季节”的周期。根据季节部分和非季节部分的组合方式不同,Holt-Winters’ 又可以分为加法模型和乘法模型。

    4.1.1 Holt-Winters’ additive method

    在这里插入图片描述

    4.1.2 Holt-Winters’ multiplicative method

    在这里插入图片描述

    4.1.3 Holt-Winters’ damped method

    Holt-Winters’ 模型的趋势部分同样可以引入阻尼系数 ϕ\phiϕ,这里不再赘述。

    4.2 代码展示

    import numpy as np
    import pandas as pd
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    def holtwinters():
        from statsmodels.tsa.holtwinters import ExponentialSmoothing
    
        number = 100
        x3 = np.round(np.linspace(0, 4 * np.pi, number))
        y3 = pd.Series(20 + 0.1 * np.multiply(x3, x3) + 8 * np.cos(2 * x3) + 2 * np.random.randn(number))
        # ets3 = ExponentialSmoothing(y3, trend='add', seasonal='add', seasonal_periods=25)
        # ets3 = ExponentialSmoothing(y3, trend='mul', seasonal='mul', seasonal_periods=25)
        ets3 = ExponentialSmoothing(y3, trend='mul', seasonal='mul', damped_trend=True, seasonal_periods=25)
        r3 = ets3.fit()
        pred3 = r3.predict(start=len(y3), end=len(y3) + len(y3) // 2)
    
        pd.DataFrame({
            'origin': y3,
            'fitted': r3.fittedvalues,
            'pred': pred3
        }).plot(legend=True)
        plt.savefig('holtwinters_mul_damped.png')
    
    
    holtwinters()
    

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    4.3 参数介绍

    Holt Winter's Exponential Smoothing
    
        Parameters
        ----------
        endog : array_like
            The time series to model.
        trend : {"add", "mul", "additive", "multiplicative", None}, optional
            Type of trend component.
        damped_trend : bool, optional
            Should the trend component be damped.
        seasonal : {"add", "mul", "additive", "multiplicative", None}, optional
            Type of seasonal component.
        seasonal_periods : int, optional
            The number of periods in a complete seasonal cycle, e.g., 4 for
            quarterly data or 7 for daily data with a weekly cycle.
        initialization_method : str, optional
            Method for initialize the recursions. One of:
    
            * None
            * 'estimated'
            * 'heuristic'
            * 'legacy-heuristic'
            * 'known'
    
            None defaults to the pre-0.12 behavior where initial values
            are passed as part of ``fit``. If any of the other values are
            passed, then the initial values must also be set when constructing
            the model. If 'known' initialization is used, then `initial_level`
            must be passed, as well as `initial_trend` and `initial_seasonal` if
            applicable. Default is 'estimated'. "legacy-heuristic" uses the same
            values that were used in statsmodels 0.11 and earlier.
        initial_level : float, optional
            The initial level component. Required if estimation method is "known".
            If set using either "estimated" or "heuristic" this value is used.
            This allows one or more of the initial values to be set while
            deferring to the heuristic for others or estimating the unset
            parameters.
        initial_trend : float, optional
            The initial trend component. Required if estimation method is "known".
            If set using either "estimated" or "heuristic" this value is used.
            This allows one or more of the initial values to be set while
            deferring to the heuristic for others or estimating the unset
            parameters.
        initial_seasonal : array_like, optional
            The initial seasonal component. An array of length `seasonal`
            or length `seasonal - 1` (in which case the last initial value
            is computed to make the average effect zero). Only used if
            initialization is 'known'. Required if estimation method is "known".
            If set using either "estimated" or "heuristic" this value is used.
            This allows one or more of the initial values to be set while
            deferring to the heuristic for others or estimating the unset
            parameters.
        use_boxcox : {True, False, 'log', float}, optional
            Should the Box-Cox transform be applied to the data first? If 'log'
            then apply the log. If float then use the value as lambda.
        bounds : dict[str, tuple[float, float]], optional
            An dictionary containing bounds for the parameters in the model,
            excluding the initial values if estimated. The keys of the dictionary
            are the variable names, e.g., smoothing_level or initial_slope.
            The initial seasonal variables are labeled initial_seasonal.<j>
            for j=0,...,m-1 where m is the number of period in a full season.
            Use None to indicate a non-binding constraint, e.g., (0, None)
            constrains a parameter to be non-negative.
        dates : array_like of datetime, optional
            An array-like object of datetime objects. If a Pandas object is given
            for endog, it is assumed to have a DateIndex.
        freq : str, optional
            The frequency of the time-series. A Pandas offset or 'B', 'D', 'W',
            'M', 'A', or 'Q'. This is optional if dates are given.
        missing : str
            Available options are 'none', 'drop', and 'raise'. If 'none', no nan
            checking is done. If 'drop', any observations with nans are dropped.
            If 'raise', an error is raised. Default is 'none'.
    
    
    霍尔特-温特指数平滑
    
    
    参数
    
    ----------
    
    endog:数组类型
    要建模的时间序列。
    
    trend:{“add”,“mul”,“additive”,“乘法”,None},可选
    趋势组件的类型。
    
    阻尼趋势:bool,可选
    趋势成分应该被抑制。
    
    季节:{“add”,“mul”,“additive”,“multiplicative”,None},可选
    季节性成分的类型。
    
    季节性周期:int,可选
    一个完整的季节性周期中的周期数,例如,季度数据为4,周周期的日数据为7。
    
    初始化方法:str,可选
    方法初始化递归。什么之中的一个:
    
    
    *没有
    *'估计'
    *“启发式”
    *'传统启发式'
    *'已知'
    
    
    None默认为0.12之前的行为,其中初始值作为“fit”的一部分传递。如果传递了任何其他值,那么在构建模型时也必须设置初始值。如果使用“known”初始化,则必须传递“initial_level”,以及“initial_trend”和“initial_seasional”(如果适用)。默认值为“估计”“遗留启发式”使用与statsmodels 0.11和更早版本中使用的值相同的值。
    
    
    initial_level : float, optional 可选
    初始级别组件。如果估算方法为“已知”,则需要。如果使用“估计”或“启发式”设置,则使用此值。这允许设置一个或多个初始值,同时遵从其他启发式或估计未设置的参数。
    
    initial_trend : float, optional
    初始趋势成分。如果估算方法为“已知”,则需要。如果使用“估计”或“启发式”设置,则使用此值。这允许设置一个或多个初始值,同时遵从其他启发式或估计未设置的参数。
    
    initial_seasonal : array_like, optional
    最初的季节性成分。长度为“seasional”或长度为“seasional-1”的数组(在这种情况下,计算最后一个初始值以使平均效果为零)。仅在初始化为“已知”时使用。如果估算方法为“已知”,则需要。如果使用“估计”或“启发式”设置,则使用此值。这允许设置一个或多个初始值,同时遵从其他启发式或估计未设置的参数。
    
    
    use_boxcox : {True, False, 'log', float}, optional
    是否应该首先对数据应用Box-Cox变换?如果是'log',则应用日志。如果是float,则使用lambda值。
    
    
    bounds : dict[str, tuple[float, float]], optional
    一个字典,包含模型中参数的界限,如果估计,则不包括初始值。字典的键是变量名,例如,smoothing_level 或 initial_slope。初始季节变量被标记为initial_seasonal。<j> for j=0,...,m-1,其中m是整个季节的周期数。使用None表示非绑定约束,例如,(0None)将参数约束为非负。
    
    dates : array_like of datetime, optional
    datetime对象的类似数组的对象。如果为endog指定了Pandas对象,则假定该对象具有DateIndex。
    
    freq : str, optional
    时间序列的频率。A或“B”、“D”、“W”、“M”、“A”或“Q”。如果给出了日期,这是可选的。
    
    missing : str
    可用选项有 'none', 'drop', and 'raise' 。如果'none',则不进行nan检查。如果是“drop”,则任何与nan有关的观测都将被丢弃。如果“raise”,则会引发错误。默认值为'none'
    Fit the model
    
            Parameters
            ----------
            smoothing_level : float, optional
                The alpha value of the simple exponential smoothing, if the value
                is set then this value will be used as the value.
            smoothing_trend :  float, optional
                The beta value of the Holt's trend method, if the value is
                set then this value will be used as the value.
            smoothing_seasonal : float, optional
                The gamma value of the holt winters seasonal method, if the value
                is set then this value will be used as the value.
            damping_trend : float, optional
                The phi value of the damped method, if the value is
                set then this value will be used as the value.
            optimized : bool, optional
                Estimate model parameters by maximizing the log-likelihood.
            remove_bias : bool, optional
                Remove bias from forecast values and fitted values by enforcing
                that the average residual is equal to zero.
            start_params : array_like, optional
                Starting values to used when optimizing the fit.  If not provided,
                starting values are determined using a combination of grid search
                and reasonable values based on the initial values of the data. See
                the notes for the structure of the model parameters.
            method : str, default "L-BFGS-B"
                The minimizer used. Valid options are "L-BFGS-B" , "TNC",
                "SLSQP" (default), "Powell", "trust-constr", "basinhopping" (also
                "bh") and "least_squares" (also "ls"). basinhopping tries multiple
                starting values in an attempt to find a global minimizer in
                non-convex problems, and so is slower than the others.
            minimize_kwargs : dict[str, Any]
                A dictionary of keyword arguments passed to SciPy's minimize
                function if method is one of "L-BFGS-B", "TNC",
                "SLSQP", "Powell", or "trust-constr", or SciPy's basinhopping
                or least_squares functions. The valid keywords are optimizer
                specific. Consult SciPy's documentation for the full set of
                options.
            use_brute : bool, optional
                Search for good starting values using a brute force (grid)
                optimizer. If False, a naive set of starting values is used.
            use_boxcox : {True, False, 'log', float}, optional
                Should the Box-Cox transform be applied to the data first? If 'log'
                then apply the log. If float then use the value as lambda.
    
                .. deprecated:: 0.12
    
                   Set use_boxcox when constructing the model
    
            use_basinhopping : bool, optional
                Deprecated. Using Basin Hopping optimizer to find optimal values.
                Use ``method`` instead.
    
                .. deprecated:: 0.12
    
                   Use ``method`` instead.
    
            initial_level : float, optional
                Value to use when initializing the fitted level.
    
                .. deprecated:: 0.12
    
                   Set initial_level when constructing the model
    
            initial_trend : float, optional
                Value to use when initializing the fitted trend.
    
                .. deprecated:: 0.12
    
                   Set initial_trend when constructing the model
                   or set initialization_method.
    
            Returns
            -------
            HoltWintersResults
                See statsmodels.tsa.holtwinters.HoltWintersResults.
    

    5、参数优化和模型选择理论——AIC BIC

    参数优化的方法是最小化误差平方和或最大化似然函数。模型选择可以根据信息量准则,常用的有 AIC 和 BIC等。

    (1)AIC 即 Akaike information criterion, 定义为
    AIC=2k2lnL(θ)AIC = 2k-2lnL(\theta)
    其中 L(θ) 是似然函数, k是参数数量。用 AIC 选择模型时要求似然函数大,同时对参数数量作了惩罚,在似然函数相近的情况下选择复杂度低的模型。

    (2)BIC 即 Bayesian information criterion,定义为
    BIC=klnk2lnL(θ)BIC = klnk-2lnL(\theta)
    其中 nn 是样本数量。当 n>e27.4n>e^2≈7.4 时,klnn>2kkln⁡n>2k,因此当样本量较大时 BIC 对模型复杂度的惩罚比 AIC 更严厉。

    6、 与 ARIMA 的关系

    线性的指数平滑方法可以看作是 ARIMA 的特例。例如简单指数平滑等价于 ARIMA(0, 1, 1),Holt’s linear trend method 等价于 ARIMA(0, 2, 2),而 Damped trend methods 等价于 ARIMA(1, 1, 2) 等。

    数学推理过程如下:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    非线性的指数平滑方法则没有对应的 ARIMA 表示。【这句话的含义还未理解。】

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