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  • 定理设F:L(X)→L(X)是线性、双射且在弱算子拓扑下连续的映射,F 和F~(-1)均保持一秩投影,则或者(1)存在一个有界的双射线性算子U:X→X,使F(A)=UAU~(-1),或者(2)存在一个有界的双射线性算子U:X′→X,使F(A)=UA′U~(-1),...
  • 记d(RA,B)为RA,B作用在H上所有的单位一秩算子的范数的上确界。利用成立的充要条件及正规代数数值域的定义,研究了d(RA,B)的一些性质,给出了n=2时d(RA,B)=‖A1‖‖B1‖+‖A2‖‖B2‖成立的新的充要条件...
  • 主要刻画了一秩元集上完全保反对合性的可加映射,证明了这样的映射是同构的常数倍或(复情形下)共轭同构的常数倍。对于映射中R→K,对于每个n∈N,定义映射φn为φn((sij)n×n)=(φ(sij))n×n.则如果φn保反对合性,...
  • 2019-03-13 11:52:20
    矩阵是表示系统信息的表格,也就是数排成个矩形的数表的形式,什么是矩阵的呢?在中文中的引申义是次序有序的意思。 首先要明确,个数,并且是个自然数,只能取 0,1,2,3,4,当我们说个矩阵的...

    矩阵是表示系统信息的表格,也就是数排成一个矩形的数表的形式,什么是矩阵的秩呢?秩在中文中的引申义是次序有序的意思。
    首先要明确,秩是一个数,并且是一个自然数,只能取 0,1,2,3,4,当我们说一个矩阵的秩是几的时候,我们到底在说什么?

    • 第一个角度,也就是书本上的定义,矩阵中的任意一个r阶子式不为0,且任意的r+1阶子式为0,则阶数r就叫作该矩阵的秩。什么意思呢?就是对一个矩阵,存在某个r阶行列式,值不为0,这个r阶行列式就是对一个矩阵你画r条横线,r条竖线,这个横竖线交叉的元素构成了一个新的数表,这个数表的行列式就叫作这个矩阵的r阶子式。这个角度是纯从代数上(由子式是否为0的关系)来给出矩阵的秩的定义,我们能通过这个定义来判断一个矩阵的秩,但我们还是不了解矩阵的秩到底代表什么。
    • 第二个角度,如果我们把矩阵进行初等行变换,将矩阵变换为一个行阶梯形矩阵后,那么行阶梯形矩阵的非0行就是这个矩阵的秩。这是通过运算的角度来给出的矩阵的秩的定义,对矩阵进行初等行变换后得到的行阶梯形矩阵的非0行的个数,虽然一目了然但我们依旧不理解矩阵的秩说的是什么。
    • 第三个角度,是从线性方程组的角度来给出的,我们可以把秩理解为一种约束,因为方程我们就可以理解为约束,当我们把矩阵看成齐次线性方程组的系数的时候,矩阵的秩就是这个方程组里真正存在的方程的个数,这里的真正的意思是有时候我们虽然写出了很多个方程,但有一些是没有用的,可以由其他方程来表示的,这些没用的消去之后剩下的真正的约束的个数就是这个矩阵的秩。
    • 第四个角度,等我们学完向量组后可能理解的更为深入,之前反复强调的将矩阵看成由一个个向量放在一起拼成的,这个矩阵的秩跟向量组有什么关系呢?这个秩就是向量组中独立的向量的个数,其实和上述方程组的角度是差不多的。
    • 第五个角度, 秩是线性空间经过线性变换后的空间维度,这是将矩阵理解成线性变换,秩是变换后线性空间留存的信息。

    性质
    转自:https://mp.weixin.qq.com/s/fjEm0F61g4SZuyfNbc7ifQ

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  • 秩一矩阵

    千次阅读 2018-12-01 11:17:05
    我们可以把个矩阵看做个向量 比如所有3×3的矩阵组成个向量空间 那这个向量空间的维度dimM=9

    我们可以把一个矩阵看做一个向量
    比如所有3×3的矩阵组成一个向量空间
    那这个向量空间的维度dimM=9
    秩为一的矩阵
    所有秩为1的矩阵都可以表示为一列乘以一行的形式。
    一个秩为4的矩阵的可以写成4个秩一矩阵,任意矩阵都可以用秩一矩阵构建。

    待续

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  • 个简单的适用任意矩阵的恒等式出发,推广改进了Y.Tian和Styan得到的对合矩阵的一些等式.作为应用不仅得到了个新的幂等矩阵的换位子的等式,而且还简化了已有的幂等矩阵的一些等式的证明.
  • 基于Barbalat’s引理,通过主动控制的方法实现了两种同结构的秩一混沌系统的同步,数值模拟证实了提出的混沌同步化格式的有效性。
  • 个数组的 Java实现

    千次阅读 2016-08-04 18:59:44
    个数组中每个元素之前小于该元素的个数(

    问题:现在我们要读入一串数,同时要求在读入每个数的时候算出它的秩,即在当前数组中小于等于它的数的个数(不包括它自身),请设计一个高效的数据结构和算法来实现这个功能。 给定一个int数组A,同时给定它的大小n

    分析:顺序读入一串数据,读入当前数求秩,秩存在于该数据之前的数据流中,这类似于构建一个二叉排序树过程,并在该过程中计算当前结点所在的位置。在构造二叉排序树的过程中,每个树节点保存其左子树的个数。

    class TreeNode {
    	TreeNode left;
    	TreeNode right;
    	int leftSize = 0;
    	int val;
    
    	TreeNode(int val) {
    		this.val = val;
    	}
    
    	TreeNode() {
    	}
    
    	public void insert(int val) {
    		if (this.val > val) {
    			if (left != null) {
    				left.insert(val);
    			} else {
    				left = new TreeNode(val);
    			}
    			leftSize++;
    		} else {
    			if (right != null) {
    				right.insert(val);
    			} else {
    				right = new TreeNode(val);
    			}
    		}
    	}
    
    	public int getRank(int val) {
    		if (this.val > val) {
    			if (left != null) {
    				return left.getRank(val);
    			} else {
    				return 0;
    			}
    
    		}else if(this.val<val){
    			if(right!=null){
    				return right.getRank(val)+leftSize+1;
    			}else{
    				return leftSize+1;
    			}
    		}else{
    			return leftSize;
    		}
    	}
    
    }
    
    public class Rank {
    	public static int[] getRankOfNumber(int[] A, int n) {
    		int []b=new int[n];
    		TreeNode tree=new TreeNode(A[0]);
    		for(int i=1;i<n;i++){
    			tree.insert(A[i]);
    			b[i]=tree.getRank(A[i]);
    		}
    		return b;
    	}


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  • 有关矩阵低近似的个不等式

    千次阅读 2016-06-30 13:50:38
    做矩阵低近似的时候,需要默认知道个基本的不等式,这有助于对低矩阵近似有个更深的理解。今天突然想到了,就尝试证明了一下。这个基本的不等式就是两个矩阵乘积的不大于这两个矩阵中任何个的,即 ...

    做矩阵低秩近似的时候,需要默认知道一个基本的不等式,这有助于对低秩矩阵近似有一个更深的理解。今天突然想到了,就尝试证明了一下。这个基本的不等式就是两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵中任何一个的秩,即

    rank(AB)<=min(rank(A),rank(B))

    下面我给出一个证明,基本思路是利用齐次线性方程组的解的理论来证明,为了方便理解写的啰嗦一些,写的这么啰嗦博友还有还有不明白的地方可以参照陈志杰编的《高等代数与解析几何》中“线性方程组解的情况”这一部分内容,大概位置在上册的第三章:

    设A,B分别为s*n与n*m阶的矩阵,构建B的一个齐次线性方程组为BX=0,这是一个m元的齐次线性方程组,即X包含m个未知数,则该方程组的解一定是A(BX)=(AB)X=0的解,换句话说,BX=0的解空间包含在ABX=0的解空间中,也就是说BX=0的自由未知量的个数要少于等于ABX=0中的自由未知量的个数(自由未知量可以理解为表示无穷解情况下的“基”),即

    m-rank(B)<=m-rank(AB)

    这时候可以得到rank(AB)<=rank(B)类似地,我再重新构建一个s元齐次线性方程组为A'X=0,则该方程组的解一定也是B'A'X=B'(A'X)=0的解,即A'X=0的解空间包含在B'A'X=0的解空间中,从而有

    s-rank(A')<=s-rank(B'A')

    这时候得到rank(B'A')<=rank(A'),而B'A'=(AB)‘,转置不改变矩阵的秩,进而得到rank(AB)<=rank(A)

    综上可得rank(AB)<=min(rank(A),rank(B))

    这与低秩矩阵分解有什么关系呢?举一个例子,比如说一个矩阵可以分解成如下图形式:


    当k小于m,n的时候,其实上面这个式子就可以看成矩阵A的一个低秩近似,因为B、C两个矩阵的秩一定都是小于k的,而前面证明了两个矩阵乘积的秩小于任何一个因子矩阵的秩,也就是说BC乘积的秩要小于等于k,从而说明上面的式子就是矩阵A的一个低秩近似,当然如何求低秩近似仍是在广泛研究的问题,本文只是为利用一个不等式为理解低秩近似提供一个新的视角。

     

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  • 关于行列满矩阵的个小结论

    千次阅读 2019-08-11 17:57:52
    文章目录行列满矩阵的定义小结论①证明小结论①的个小应用小结论② 行列满矩阵的定义 若矩阵的行(列)向量组线性无关⇒\Rightarrow⇒该矩阵称为行(列)满的 小结论① 若一个s×ns×ns×n的矩阵AAA的为...
  • 秩一矩阵的优良性质

    千次阅读 2018-02-24 10:40:10
    很好的从另个角度诠释了矩阵乘法。还是很不错的。 ui→,vi→ui→,vi→\vec{u_i},\vec{v_i}都是列向量。 UVT=([u1→,u2→,...,un→])([v1→,v2→,...,vn→]T)=u1→v1→T+u2→v2→T+...,un→vn→TUVT=([u1→,u2→,...
  • 给出了个新的复杂网络宏观统计特征--度函数, 并推导出了度函数与度分布的数学关系。利用相关系数分别研究了无标度网络及指数网络中度函数与度分布的精确性。研究表明当无标度网络的标度指数A≤3.1时, 度...
  • 依据最小二乘原理,针对水准网的亏问题,提出种简便解算方法,将法方程系数矩阵由列亏改化为列满,经过次经典平差法即可得到结果。
  • 总结利用为1的矩阵相关矩阵的的计算问题@(线性代数)对于为1的矩阵,常常给定的是个列向量与自己的转置之积。...
  • 关于堆结论

    2020-11-27 20:08:11
    文章目录1、不变的情况2、关于的3个不等式3、分块矩阵与4、伴随矩阵与矩阵转置5、矩阵平方与6、相似矩阵与特征方程7、方程组 1、不变的情况 2、关于的3个不等式 3、分块矩阵与 4、伴随矩阵与矩阵...
  • 种基于准则的高效宽带频谱感知算法
  • 行业分类-设备装置-种基于低分解的精细主题挖掘方法.zip
  • 矩阵的:行等于列

    千次阅读 2020-03-10 13:46:38
    个重要的结论是:行等于列。 设AAA是个m×nm \times nm×n 的矩阵,其列为 rrr . 因此AAA的列空间的维度是rrr . 令 c1,c2,…,crc_{1},c_{2}, \ldots ,c_{r}c1​,c2​,…,cr​ 是 AAA 的列空间的组基,...
  • 种基于矩阵低近似的聚类集成算法.pdf
  • 具有秩一修改和种群减少的分布算法的有效估计
  • 给出了矩阵的Frobenius不等式取等号的个充分条件,在此基础上获得了类矩阵多项式的恒等式。利用这些的恒等式统一推广了近期一些文献中的相关结论,最后利用所得结论发现并修正了一些文献中的错误。
  • 种基于低表示的子空间聚类改进算法.pdf
  • 利用矩阵的Jordan标准形,证明了当k1,k2,…k1满足与矩阵A的特征根有关的条件时,关于类矩阵恒等式的猜想成立,并对相关的矩阵的恒等式进行了推广.
  • 行业分类-物理装置-种面向低图像特征分析的类别标签恢复方法.zip
  • 种结构化低表示的子空间聚类算法.pdf
  • 行业分类-设备装置-种基于低矩阵分解的抗噪运动目标检测算法.zip
  • 业分类-物理装置-种潜在低表示的子空间聚类方法及装置.zip
  • 矩阵求

    万次阅读 多人点赞 2019-05-13 17:20:08
    矩阵的怎么计算,这个问题下子我居然不知道怎么下手。。虽然本科的时候学过线性代数,但是好久不用,很多东西都忘了。。今天略微梳理一下吧。 最简单直观的方法: 化成行最简形(或行阶梯形),然后数一下非零...

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