看到了很多帖子中都贴出了曲率圆的圆心坐标公式，却没有给出如何求法；
 
现贴一下求曲率圆的方法：
 
假设曲线为 y=f(x)，曲率圆圆心(a, b)，半径为r；
 
曲率圆的本质就是要求曲线与圆在这点的切线与凹陷度一样。
 
首先得出曲率圆方程为：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2；
 
假设曲线在该点处凹，则b > y，得出 y = b - (r^2 - (x-a)^2)^(1/2) ；
 
y' = (-1/2)[(r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) ] * (-2)(x-a) = (x-a) (r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) ；——A式
 
y'' = (r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) + (x-a)*(-1/2)(r^2 - (x-a)^2)^(-3/2)*(-2)(x-a)
 
    = (r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) + (x-a)^2(r^2 - (x-a)^2)^(-3/2)                               ——B式
 
按理由A、B两式就可以消掉(x-a)，得出一个半径r 的表达式由 y'与y''表示；
 
但是直接代入消元比较麻烦，可以如下这般代换：
 
由A知道(r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) = y'/(x-a) 代入 B式有：
 
y'' = y’/(x-a) + (x-a)^2 (y'/(x-a))^3 = y'/(x-a)  +  y'^3 / (x-a) = (y' + y'^3) / (x-a)
 
=>    (x-a) = (y' + y'^3) / y''  此式再回过头代入A式中有：
 
y' = ((y' + y'^3) / y'')(r^2 - ((y' + y'^3) / y'')^2)^(-1/2)
 
=>  r^2 = ((1 + y'^2) / y'')^2 + ((y' + y'^3) / y'')^2
 
             = ((1 + y'^2)^3) / (y''^2)
 
=> r = (1 + y'^2)^(3/2) / y''
 
曲率就是1/r；
 
有了半径r、法线斜率(-1/y')，就很容易的求出曲率圆的圆心了，继而求出曲率圆的方程。
 

 

已知两个空间点的坐标StartPoint与EndPoint，并给出一个点的x值，下面代码可以确定出该点的y值与z值
 
DxPoint ExtentLine(DxPoint StartPoint,DxPoint EndPoint,double x )
{

      double y,z;
      double result = (x - StartPoint[0])/(EndPoint[0]-StartPoint[0]);
      y = result * (EndPoint[1]-StartPoint[1]) + StartPoint[1];
      z = result * (EndPoint[2]-StartPoint[2]) + StartPoint[2];
      DxPoint ResultPoint(x,y,z);
      return ResultPoint;
}
 
空间直线没有斜率的概念，以上代码基于空间直线确定公式（如下）实现： 
 通过点(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)的直线为 
 (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)

 
首先对单个电流环进行分析，在空间中一个电流环的半径为R，电流为I, 建立如上图所示的坐标系。其中的单位，电流为A，和距离相关的单位都为m（米）。磁感应强度为T（特斯拉）。
 
现在的目的是要算在任意一点B（如图所示（x,y,z）点）的磁感应强度和磁感应强度的梯度。取其中的一小段微元dL做处理，dL为向量（-R*sina，R*cosa*da，0），B点的位置为（x,y,z）。B点到该微元的矢量为r（x-Rcosa,y-Rsina,z）。
 
应用毕奥-萨伐尔定律：
 
 
 
 
 
现在将B分为了三个方向上的磁感应强度，分别为Bx，By，Bz。下面分别对每个方向上的磁感应强度进行积分就可以得出最后的结果了。
 
 
积分的形式已经出来了，但是这个积分并不是简单的初等函数，因此不能用简单的积分形式。
 
目前的解决方案是：
 
 
编写简单的c语言或者matlab语言来进行积分计算。
 
 

求: y = x^2+2x+3在点M(2, 11)点的切线和法线方程



根据导数的几何意义，函数y ＝ f(x)在点x0处的导数f'(x0)在几何上表示曲线y = f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线的斜率，即 

f'(x0) = tanα， 其中α是切线的倾角。 

由直线的点斜式方程，知曲线y = f(x)在点M(x0,y0)处的切线方程是 

y - y0 = f'(x0)(x-x0) 



过点M(x0,y0)且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点M处的法线。如果f'(x0)≠0 ,法线的斜率为 -1/f'(x0),从而法线方程为 

y - y0 = -1/f'(x0)(x - x0) 



对于本题， 

y = x^2+2x+3 的导数为 

y' = 2x +2 

则在点M0(2,11)处的导数为 f'(2) = 2*2 +2 = 6 

即过点M0(2,11)的切线斜率为k = 6 

则切线方程为 

y-11 = 6(x-2) 

即 y = 6x - 1 



易知法线斜率为 k' = -1/6 = -1/6 

所以在点M0(2.11)处的法线方程为 

y -11 = -1/6(x-2) 

即 x + 6y -68 = 0