精华内容
下载资源
问答
  • 曲线上点的曲率半径计算

    千次阅读 2020-05-19 20:34:33
    在微分几何中,曲率的倒数就是曲率半径,即R=1/K。平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,通过微分来定义,表明曲线偏离直线的程度。对于曲线,它等于最接近该点处曲线的圆弧的半径。 对于...

    在微分几何中,曲率倒数就是曲率半径,即R=1/K。平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,通过微分来定义,表明曲线偏离直线的程度。对于曲线,它等于最接近该点处曲线的圆弧的半径。 对于表面,曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。

    曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度,特殊的如:圆上各个地方的弯曲程度都是一样的故曲率半径就是该圆的半径;直线不弯曲 ,和直线在该点相切的圆的半径可以任意大,所以曲率是0,故直线没有曲率半径。

    圆形半径越大,弯曲程度就越小,也就越近似于一条直线。所以说,曲率半径越大曲率越小,反之亦然。

    如果对于某条曲线上的某个点可以找到一个与其曲率相等的圆形,那么曲线上这个点的曲率半径就是该圆形的半径(注意,是这个点的曲率半径,其他点有其他的曲率半径)。也可以这样理解:就是把那一段曲线尽可能地微分,直到最后近似为一个圆弧,此圆弧所对应的半径即为曲线上该点的曲率半径。

    曲率半zhidao径的公式为κ=lim|Δα/Δs|。

    ρ=|[(1+y'^2)^(3/2)]/y"|

     

    如果给定一段曲线上三个点的坐标,就可以计算出该点的曲率半径

    代码

    package com.example.maventest.scort.curvartureRadius;
    
    import javafx.geometry.Point2D;
    
    public class CurvartureRadius {
    
        public static void main(String[] args) {
            Point2D point2D1 = new Point2D(0, 1);
            Point2D point2D2 = new Point2D(1, 1);
            Point2D point2D3 = new Point2D(1, 2);
            double curvartureRadius = CurvartureRadius.getCurvartureRadius(point2D1, point2D2, point2D3);
            System.out.println(curvartureRadius);
        }
    
        /**
         * 曲率半径计算
         *
         * @param p1 点1
         * @param p2 点2
         * @param p3 点3
         * @return
         */
        public static double getCurvartureRadius(Point2D p1, Point2D p2, Point2D p3) {
            Point2D v12 = p2.subtract(p1);
            Point2D v23 = p2.subtract(p2);
            //three point on the same line,the curvature radius is infinite, return 99999.0
            if (v12.normalize().equals(v23.normalize())) {
                return 99999.0;
            }
            double x1, x2, x3, y1, y2, y3, x12, y12, x23, y23;
            double x0, y0;
            x1 = p1.getX();
            x2 = p2.getX();
            x3 = p3.getX();
            y1 = p1.getY();
            y2 = p2.getY();
            y3 = p3.getY();
            x12 = (x1 + x2) / 2;
            y12 = (y1 + y2) / 2;
            x23 = (x2 + x3) / 2;
            y23 = (y2 + y3) / 2;
            if (v12.getY() == 0) {
                x0 = x12;
                y0 = ((y3 + y2) - (Math.pow(x2 - x0, 2) - Math.pow(x3 - x0, 2)) / (y3 - y2)) / 2;
            } else if (v23.getY() == 0) {
                x0 = x23;
                y0 = ((y1 + y2) - (Math.pow(x2 - x0, 2) - Math.pow(x1 - x0, 2)) / (y1 - y2)) / 2;
            } else {
                double k12 = -v12.getX() / v12.getY();
                double k23 = -v23.getX() / v23.getY();
                x0 = (y23 - y12 - k23 * x23 + k12 * x12) / (k12 - k23);
                y0 = (x0 - x12) * k12 + y12;
            }
            double R = Math.sqrt(Math.pow((x1 - x0), 2) + Math.pow((y1 - y0), 2));
            return R;
        }
    }
    

     

     

    展开全文
  • 光滑贝塞尔曲线的计算与绘制贝塞尔曲线曲率的公式推导计算实例n=3(三阶贝塞尔曲线)曲率公式的推导分母的Bernstein基系数分子的Bernstein基系数n=4(四阶贝塞尔曲线)曲率公式的推导分母的Bernstein基系数分子的...

    关于无人车点到点的路径规划,比如避障场景,常采用PH曲线,而贝塞尔曲线作为一种曲率连续的光滑曲线,也很常用,特别是在角点过渡,而特定场景下需要特定曲线形状,因此以关注的曲线的特征值为基,建立目标优化函数,求解得到符合特定要求的曲线。
    本文是复现一篇文献的计算过程,但是结果中尚有不一致的情况,仅做参考,详情参考文献。

    贝塞尔曲线曲率的公式推导

    贝塞尔曲线公式:
    在这里插入图片描述
    对上式求导,得一阶导数为:
    在这里插入图片描述
    定义:
    在这里插入图片描述
    那么一阶导数的形式变为:
    在这里插入图片描述
    依次类推,二阶导数的形式为:
    在这里插入图片描述
    对于一般参数曲线P(t),其曲率的计算公式为:
    在这里插入图片描述
    在文中将曲率公式的形式写成如下:
    在这里插入图片描述

    1 曲率公式计算实例

    下文将分别推导三阶、四阶、五阶贝塞尔曲线的曲率公式,其中从曲率公式的形式来看,主要是计算分母、分子的Bernstein基系数。

    1.1 n=3(三阶贝塞尔曲线)曲率公式的推导

    1.1.1 分母的Bernstein基系数

    在这里插入图片描述
    其中Q为:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    f(t)为C’(t)的平方:
    在这里插入图片描述
    分别计算以上矩阵,并将相应的式子带入有:
    在这里插入图片描述
    对于Bernstein基多项式(4次)表达式为:
    在这里插入图片描述
    整理成以上多项式形式为:
    在这里插入图片描述
    联立以上两式有,基系数为
    在这里插入图片描述

    1.1.2 分子的Bernstein基系数

    推导g(t)即C’(t)×C’’(t)
    在这里插入图片描述
    计算有:
    在这里插入图片描述
    整理化简得:
    在这里插入图片描述
    因此,三阶贝塞尔曲线的曲率公式已推导出。

    1.1.3 三阶贝塞尔曲线图和曲率图

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    1.2 n=4(四阶贝塞尔曲线)曲率公式的推导

    1.2.1 分母的Bernstein基系数

    在这里插入图片描述
    其中Q的表达式为:
    在这里插入图片描述
    式中的系数为:
    在这里插入图片描述
    代入上式中计算有:
    在这里插入图片描述
    对于Bernstein基多项式(6次)表达式为:
    在这里插入图片描述
    整理成以上多项式形式为:
    在这里插入图片描述
    其中,
    在这里插入图片描述

    1.2.2 分子的Bernstein基系数

    再推导g(t)即C’(t)×C’’(t)
    在这里插入图片描述
    原式整理有:
    在这里插入图片描述
    化简为Bernstein基多项式(4次)表达式为:
    在这里插入图片描述
    则根据以上的推导,得到四阶贝塞尔曲线的曲率公式。

    1.2.3 四阶贝塞尔曲线图和曲率图

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    1.3 n=5(五阶贝塞尔曲线)曲率公式的推导

    1.3.1 分母的Bernstein基系数

    在这里插入图片描述
    已知条件:
    在这里插入图片描述
    于是Q有:
    在这里插入图片描述
    相应的系数为:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    将相应的矩阵计算式代入上式中,
    对于Bernstein基多项式(8次)表达式为:
    在这里插入图片描述
    整理成以上多项式形式为:
    在这里插入图片描述
    其中,
    在这里插入图片描述

    1.3.2 分子的Bernstein基系数

    再推导g(t)即C’(t)×C’’(t)
    在这里插入图片描述
    原式整理有:
    在这里插入图片描述
    化简为Bernstein基多项式(6次)表达式为
    在这里插入图片描述
    其中,
    在这里插入图片描述

    1.3.3 五阶贝塞尔曲线图和曲率图

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    2 曲线优化目标函数

    本文中关注曲线的3个特征值:
    (1)中点处的曲率值;

    在这里插入图片描述
    (2)中点处的角偏差;
    在这里插入图片描述
    (3)曲线的速度。
    在这里插入图片描述
    给三个特征值分配不同的权重,建立目标函数为:
    在这里插入图片描述
    其中,有
    在这里插入图片描述

    2.1 计算实例

    2.1.1 三次贝塞尔曲线

    在这里插入图片描述
    (1)取a=0,b=0时,
    在这里插入图片描述
    先计算得到最优λ为0.4751,f=1.0174e(-5),再带入公式中求得其他值。
    (2)取a=0.1,b=0时,
    在这里插入图片描述
    先计算得到最优λ为0.3295,f=0.1109,再带入公式求其他值。
    (3)取a=0.4,b=0时,
    在这里插入图片描述
    先计算得到最优λ为0.0001,f=0.2651,再带入公式求其他值。
    (4)取a=0,b=0.1时,
    在这里插入图片描述
    先计算得到最优λ为0.6336,f=0.0652,再带入公式求其他值。
    (5)取a = 0.8 , b = 0.2时,
    在这里插入图片描述
    先计算得到最优λ为0.2611,f=1.0834,再带入公式求其他值。
    以上算例的曲线图和曲率图绘制如下。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    2.1.2 四次贝塞尔曲线

    在这里插入图片描述
    (1)取a=0,b=0时,
    在这里插入图片描述
    先计算得到最优λ为0.6237,f=0.0013847,再带入公式求其他值。
    (2)取a=0.2,b=0时,
    在这里插入图片描述
    先计算得到最优λ为0.4706,f=0.1611,再带入公式求其他值。

    (3)取a=0.4,b=0时,
    在这里插入图片描述
    先计算得到最优λ为0.0925,f=0.2588,再带入公式求其他值。
    (4)a = 0 , b = 0.2时,
    在这里插入图片描述
    (5)a = 0.9 , b = 0.1时,
    在这里插入图片描述
    先计算得到最优λ为0.3327,f=0.8695,再带入公式求其他值。
    以上算例的曲线图和曲率图绘制如下。
    在这里插入图片描述
    n=4算例曲率图

    2.1.3 五次贝塞尔曲线

    在这里插入图片描述
    上式的计算与原文中有出入,暂没找出问题所在,仅作参考。
    算例计算过程如上,相应的曲线图和曲率图如下绘制。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    参考文献 Optimization of Corner Blending Curves

    展开全文
  • 1-2 基于MATLAB的空间曲线曲率挠率的数值计算 1.工具 向量函数:设曲线r(s)=(x(s),y(s))r(s)=(x(s),y(s))r(s)=(x(s),y(s))是一条正则曲线,其中sss是弧长参数。r(s)r(s)r(s)是以向量形式表示的,所以称为向量函数。...

    1-2 基于MATLAB的空间曲线曲率挠率的数值计算

    1.工具

    1. 向量函数:设曲线 r ( s ) = ( x ( s ) , y ( s ) ) r(s)=(x(s),y(s)) r(s)=(x(s),y(s))是一条正则曲线,其中 s s s是弧长参数。 r ( s ) r(s) r(s)是以向量形式表示的,所以称为向量函数。
    2. 向前差商:导数通过 lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \quad limΔx0ΔxΔy定义的,所以在MATLAB中我们选定步长 Δ x \Delta x Δx(一般小于0.1)后令 f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} f(x)=limΔx0ΔxΔy.

    2.空间曲线曲率及挠率公式

    1. 由于空间曲线存在切向量和法向量,且设 α ( s ) \alpha (s) α(s) r ( s ) r(s) r(s)的单位切向量场,则 ∣ α ( s ) ∣ = 1 |\alpha (s)|=1 α(s)=1,由微分几何知识 β = α ′ ( s ) ∣ α ′ ( s ) ∣ \beta=\frac{\alpha' (s)}{|\alpha'(s)|} β=α(s)α(s) r ( s ) r(s) r(s)的单位主法向量,令 γ = α ( s ) × β \gamma=\alpha (s)\times\beta γ=α(s)×β r ( s ) r(s) r(s)的单位次法向量。对这些几何量做若干次微商和内积运算后得到空间曲线曲率计算公式: k ( s ) = ∣ r ′ ( t ) × r ′ ′ ( t ) ∣ ∣ r ′ ( t ) ∣ 3 (1) k(s)=\frac{|r'(t)\times r''(t)|}{|r'(t)|^3}\tag {1} k(s)=r(t)3r(t)×r(t)(1)
    2. 挠率表示曲线相对平面曲线的扭曲程度,由 ∣ d γ d s ∣ |\frac{d\gamma}{ds}| dsdγ刻画,而这个几何量由主法向量等几何量的若干次微商运算及内积运算后得到挠率计算公式: τ ( t ) = k ( s ) = ( r ( t ) , r ′ ( t ) , r ′ ′ ( t ) ) ∣ r ′ ( t ) × r ′ ′ ( t ) ∣ 2 (2) \tau(t)=k(s)=\frac{(r(t),r'(t),r''(t))}{|r'(t)\times r''(t)|^2}\tag {2} τ(t)=k(s)=r(t)×r(t)2(r(t),r(t),r(t))(2)

    3.MATLAB程序实现

    \quad 计算 r ( t ) = ( 5 s i n t , 5 c o s t , 3 t ) , t ∈ ( 0 , 2 π ) r(t)=(5sint,5cost,3t),t\in(0,2\pi) r(t)=(5sint,5cost,3t),t(0,2π)的数值曲率与数值挠率
    \quad 直接对公式(1)和公式(2)离散化计算结果即可

    clc,clear
    h=0.01;                          %定义步长
    t=0:h:2*pi;                      %定义域
    x=5*cos(t);
    y=5*sin(t);
    z=3*t;
    r=[x;y;z];                         %表示函数
    r1=gradient(r)./h;            %求一阶导
    r2=gradient(r1)./h;           %二阶导
    r3=gradient(r2)./h;           %三阶导
    r1=r1';r2=r2';r3=r3';
    %% 曲率、挠率
    v=cross(r1,r2,2);              %一阶导与二阶导做外积
    e=dot(r3,v,2);                   %(r',r'',r''')混合积
    c=zeros(length(t),1);        %定义矩阵c储存一阶导二阶导叉乘模长,d储存一阶导模长
    d=c;
    for i=1:length(r)
        c(i)=norm(v(i,:));           %一阶导二阶导外积的模长
        d(i)=norm(r1(i,:));          %一阶导模长
    end
    k=c./(d.^3);                     %曲率
    tt=e./c.^2;                       %挠率
    

    从计算结果我们可以发现端点值用此方法处理效果不好,更好的处理结果见知网论文资料。

    展开全文
  • ML: 导数、方向导数、曲率小结

    千次阅读 2019-03-04 21:32:17
    导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念,当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f'(x0)或df(x0)...
  • 曲率曲率圆和曲率半径

    千次阅读 2021-04-21 16:20:53
    如上图所示,设曲线y=f(x)在点M处的曲率为,在点M处的曲线的法线上,在凹的一侧取一点D,使得: 以D为圆心、为半径画圆,称此圆为曲线在点M处的曲率圆。D为曲率中心,为曲率半径。 根据以上分析...
  • 微分几何教案十六3.6曲面的主曲率高斯曲率平均曲率3.6曲面的主曲率高斯曲率平均曲率一主曲率定义曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在该点的主曲率因曲面在一点处的主方向是过此点的曲率线的方向故主曲率
  • 曲率

    千次阅读 2020-07-06 17:02:40
    曲率定义: 曲率定义与推导 三维曲面的曲率: 【3D实践】3D曲率原理及计算(3D-Mesh) 高斯曲率和平均曲率有什么区别?请尽可能通俗地解释一下 如何求曲率(代码实现): PCL求取三维点云模型每点曲率(这个用到...
  • 求曲线某一点处的曲率

    万次阅读 2015-01-05 13:13:09
    看到了很多帖子中都贴出了曲率圆的圆心坐标公式,却没有给出如何求法; 现贴一下求曲率圆的方法: 假设曲线为 y=f(x),曲率圆圆心(a, b),半径为r; 曲率圆的本质就是要求曲线与圆在这点的切线与凹陷度一样。 ...
  • 曲率计算过程: 1. 找出所有的公共边,以及包含他们的两个三角形面片。 保存公共边起始-终点顶点编号(VerticeID, VerticeID)、三角形面片(TriaID,TriaID)编号、单位化的公共边向量edgeVector=[vx, vy,v
  • 平均曲率:是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值。如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K1,K2,那么平均曲率则为:K = (K1 +K2 ) / 2。描述了曲面在一点处的平均弯曲程度。 高斯曲率:两个主曲率的...
  • 平均曲率、主曲率和高斯曲率

    千次阅读 2018-12-12 17:14:57
     平均曲率:是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值。如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K1,K2,那么平均曲率则为:K = (K1 +K2 ) / 2。  主曲率:过曲面上某个点上具有无穷个正交曲率,其中存....
  • 直观来想, 以一条连续光滑曲线上无限接近的两个点为端点的一段弧总应该可以看作是某圆上的一段弧,而这个圆的半径就被定义为曲线在这一点曲率半径,而曲率则被定义为曲率半径的倒数。 也就是无穷小的一段弧长与其...
  • 一、曲率 课本开头就用一个直观的认识来为我们开头介绍曲率的相关知识。曲率其实就是一个描述弯曲程度的量。 那么我们如何来定量的描述曲线的弯曲程度...很明显,这两条曲线的弯曲程度是不一样的,n1n2更弯曲一点...
  • 点云的曲率及计算

    万次阅读 2021-05-03 08:17:50
    点云的曲率及计算
  • [原创]在PCA法矢重建的基础上,对法矢方向进行了严格设定,解决了法矢反向的问题。同时提供了点表面变化率的求解,参照了文献Mark P,et al. Multi-scale Feature Extraction on Point-Sampled Surfaces[J]....
  • 根据曲率的知识,我们知道函数在顶点处曲率最大,因此当顶点处的曲率半径越大,那么函数就越开,否则就越闭合。 曲率半径 ρ = 1 K \rho=\frac{1}{K} ρ=K1​ 得到: ρ = ( 1 + ( 2 a x + b ) 2 ) 3 2 a 2 \rho = ...
  • 样条曲线(参数曲线)曲率

    千次阅读 2020-06-29 10:57:13
    曲率计算公式 设参数曲线C(u): C(u)=(x(u),y(y),z(u)) C(u) = (x(u),y(y),z(u)) C(u)=(x(u),y(y),z(u)) 曲线曲率表达为: k(u)=∣C′(u)×C′′(u)∣∣C′(u)∣3(1) k(u)=\frac{|C^{'}(u)\times C^{''}(u)|}{|C^{'}...
  • 【3D实践】3D曲率原理及计算(3D-Mesh)

    千次阅读 多人点赞 2019-04-21 19:55:11
    查了一下中文文章,几乎没有一篇介绍曲率原理并且计算曲率的文章。首先总结了一下曲率的原理,参考的内容有:图形学书籍、维基,和GitHub的项目。 曲率原理 什么是曲率曲率是描述几何体弯曲程度的量,例如三维...
  • 曲率(Curvature)学习

    千次阅读 2020-08-12 16:22:55
    几何体的曲率对于不同的对象定义不同。
  • 曲率定义与推导

    千次阅读 2020-04-07 11:03:48
    曲率(curvature) 曲率试图去描述你车子拐弯拐的有多急(我的个人观点,不是定义一个数学量就产生了某种概念,而是为了描述一种概念找出一个合理的数学的定义)。(https://zhuanlan.zhihu.com/p/41795324) 曲率...
  • 本篇文章我们从一般化的 Rn\mathbb{R}^nRn 空间回到我们生活的 R2,R3\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^3R2,R3空间,看看低维空间中的曲线有哪些性质,主要计算下在非弧长参数下的曲线,曲率挠率的一般表达式。 ...
  • PCL 根据点云曲率的大小对点云进行颜色渲染
  • 曲率知识总结

    千次阅读 2019-08-27 21:40:42
    曲率知识总结Introduction弧微分曲率曲率半径曲率曲率半径References Introduction NULL 弧微分   设函数f(x)在区间(a,b)内具有连续导数,图形如图2.1中(AB)所示. 图2.1   现在存在一段弧s, s(x)=AM^s(x)...
  • 以三个离散点的外接圆半径的倒数作为中间点的曲率计算公式为: k=4Sabck = \frac{4S}{abc}k=abc4S​ 其中S为三点构成三角形的面积。 a、b、c分别为三角形的三个边长。 如下图所示: 三点计算三角形面积的计算公式为:...
  • 参考自百度百科。 平均曲率、主曲率和高斯曲率曲率的三个基本要素。...平均曲率:是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值。如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K1,K2,那么平均曲率则...
  • 研究了复射影空间CP4 中共形平坦的正曲率全实子流形 M,分别在 M极小与 M伪脐2种情况下, 得到 M的体积 V( M)的下确界 V m 和达到下确界的充要条件。

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 4,133
精华内容 1,653
关键字:

一点的曲率