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  • 直观来想, 以一条连续光滑曲线上无限接近的两个点为端点的一段弧总应该可以看作是某圆上的一段弧,而这个圆的半径就被定义为曲线在这一点的曲率半径,而曲率则被定义为曲率半径的倒数。 也就是无穷小的一段弧长与其...

    高中数学解释的曲率:

    曲率, 也即弯曲程度。
    直观来想, 以一条连续光滑曲线上无限接近的两个点为端点的一段弧总应该可以看作是某圆上的一段弧,而这个圆的半径就被定义为曲线在这一点的曲率半径,而曲率则被定义为曲率半径的倒数。

    也就是无穷小的一段弧长与其相对应弧度(也就是角度)的比值。(弧度的计算方法,就是用弧长除以半径r。以l表示弧长,r表示半径,α表示弧度,则α=l/r. 得到的是该弧所对圆心角的弧度值。)

    则半径r计算公式是:

                                                                                                                                   r=\frac{dL}{d\alpha }

    曲率就是 :                                                                                                           

                                                                                                                                 k=\frac{1}{r}

    因此:定义球体或者圆的“圆”的程度,术语叫做曲率,为:

                                                                                                                                   k=\frac{1}{r}

    其中r为球体或者圆的半径,这样半径越小的圆曲率越大,直线可以看作半径为无穷大的圆,其曲率为:

                                                                                                                                 k=\lim_{r->\infty }\frac{1}{r}

    (其实按照数学上导数的概念,曲率也很好解释啊,导数就是把曲线的一小段当成直线,所得直线的斜率。曲率半径就是把曲线的一小段当成圆,所得圆的半径。曲率就是曲率半径的倒数。因为半径越大的圆,弯曲程度越小嘛。)

    其实可以想象比如地球,我们站在自己家无法感知他是圆的一样,因为半径太大啦。。。。。。

    (一个圆半径越小,看起来就越弯曲;半径越大,看起来就越平,半径趋于无穷大,圆看起来就像一条直线,就几乎不弯曲了。所以我们把圆的半径的倒数,定义为曲率,因为我们希望曲率是一个衡量几何体弯曲程度的量。

    对于一般的曲线,每点局部可以近似看成一小段圆弧(可以看其他答主提到的密切圆)。固定一点后,该点处密切圆弧的半径的倒数,就定义成曲线在该点处的曲率。注意,对于一般的曲线而言,不同点处的曲率数值并不一样,是个变数而不是常数。用数学术语来说,曲率是定义在曲线上的一个函数。——严格来说还可以讨论曲线曲率的正负号,但涉及曲线的定向问题,我不想画图所以不讨论了。)

    --------------------------------------密切圆------------------------

    将圆的曲率扩展到曲线的曲率上,就需要引入密切圆的概念:(一下内容参考:https://www.matongxue.com/madocs/2106/

    可以将圆的曲率扩展到曲线上。我们知道两点决定一条直线,比如下面就是曲线的割线:

    当x趋于x0(x\to x_{0})得到的是切线(也就是曲线上一点在该点处的切线)

    同样的道理,三个点可以确定一个圆:

    \delta \to 0时(也就是三个点都近似于x_{0}点),得到的圆称为密切圆(Osculating circle),是对x_{0}附近的曲线的最佳圆近似。

    有了密切圆就要知道密切圆的半径和曲率:

    由上述圆的曲率与半径我们知道,在曲线较为平坦的地方,密切圆半径很大,较为弯曲的地方,密切圆半径就较小。因此,这个事实告诉我们,可以用密切圆的曲率来定义曲线的曲率。

    首先引入正弦定理,一个三角形的外接圆:

     

    至此可以得到:

    我们要求的密切圆的半径r,根据定义为:

                                                                                                                  r=\lim_{\delta \to 0}R

     

    4 曲率圆的圆心

    光知道半径是没有办法画出密切圆(曲率圆)的,还必须知道它的圆心在哪里:

      

     

    如果x_{0}移动,会得到一系列曲线f(x)密切圆的圆心:

    绿色的为蓝色线上的点形成的圆,黄色的一系列点为各个圆的圆心。

    1、法曲率:曲面在一点沿着不同方向的弯曲程度不同。或者说曲面离开切平面的速度不同。这个弯曲属性可以用这一点的沿着这个方法的法曲率刻画。

    什么是法曲率?答:对曲面而言,固定一个点,沿着该点不同切方向截出的曲线的曲率,就是曲面沿着这个方向的法曲率。

     

    2、主曲率:过曲面上某个点上具有无穷个正交曲率,其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极大,这个曲率为极大值Kmax,垂直于极大曲率面的曲率为极小值Kmin。这两个曲率属性为主曲率。他们代表着法曲率的极值。

    什么是主曲率?答:法曲率中最大的与最小的,称为两个主曲率,对应的方向称为主方向。

     

    3、高斯曲率:两个主曲率的乘积即为高斯曲率,又称总曲率,反映某点上总的完全程度。

    什么是高斯曲率?答:两个主曲率的乘积,称为曲面在该点处的高斯曲率——对的,就是那个德国数学大师高斯提出来的。高斯曲率不仅有数值的大小,也有自然而然的正负号,因为两个主方向对应的曲线可以弯向相同或者相反的方向。弯向相同的方向,比如球面,椭球面,就是正曲率,局部都位于切平面的同一侧;弯向相反的方向,比如马鞍面,或者薯片,就是负曲率,切平面的两侧都有曲面分布。当然,曲率本身是个函数(变数),他在同一张曲面上也是可以变号的。比如考虑环面(看成3维空间中的旋转曲面,而不是平坦环面),可以想想哪些点是正曲率,哪些点是负曲率。

     

    4、平均曲率:是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值。如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K1,K2,那么平均曲率则为:K = (K1 +K2 ) / 2。

     

    局部曲面类型:

    参考书籍:海量点云数据处理理论与技术

    详细解读参考链接:https://zhuanlan.zhihu.com/p/149584374

    https://www.zhihu.com/question/303605875/answer/549326327

    https://www.zhihu.com/question/30719930/answer/959904116

    PS:

    然后数学上还可以考虑更高维度的几何体,术语称为“流形”。3维以上流形,我们依然可以套用降维化归的想法,在流形上截出一个个子曲面,考虑这些子曲面的高斯曲率,术语称之为“截面曲率”,他们反映了流形沿着这些子曲面的弯曲信息。高维几何体的曲率的表达形式更加复杂,准确地说,流形上的曲率是个“张量”,而不仅仅是个数量——顺便提一句,流形上曲率张量这一整套理论,是另一个德国数学大师黎曼提出来的,所以同学们,不要小瞧德国的数学。不过讲到这里已经差不多到我通俗表达能力的极限了,要准确解释什么是“曲率张量”,然后通过曲率张量定义截面曲率,甚至准确定义什么是流形,我都得写数学定义、写公式了——而知乎上的文科生似乎不喜欢公式。。要准确理解最后一段提到的流形的曲率,您起码得学过数分、高代、微分流形理论、黎曼几何入门;不过理解曲线曲率,其实懂多元微分就行了,积分都不需要,文科生咬咬牙也是能做到的。

    参考链接:https://www.zhihu.com/question/25952605/answer/713083818?

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  • 求曲线某一点的曲率

    万次阅读 2015-01-05 13:13:09
    看到了很多帖子中都贴出了曲率圆心坐标公式,却没有给出如何求法; 现贴一下求曲率方法: 假设曲线为 y=f(x),曲率圆圆心(a, b),半径为r; 曲率本质就是要求曲线与圆在这点切线与凹陷度一样。 ...

    看到了很多帖子中都贴出了曲率圆的圆心坐标公式,却没有给出如何求法;

    现贴一下求曲率圆的方法:

    假设曲线为 y=f(x),曲率圆圆心(a, b),半径为r;

    曲率圆的本质就是要求曲线与圆在这点的切线与凹陷度一样。

    首先得出曲率圆方程为:(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2;

    假设曲线在该点处凹,则b > y,得出 y = b - (r^2 - (x-a)^2)^(1/2) ;

    y' = (-1/2)[(r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) ] * (-2)(x-a) = (x-a) (r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) ;——A式

    y'' = (r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) + (x-a)*(-1/2)(r^2 - (x-a)^2)^(-3/2)*(-2)(x-a)

        = (r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) + (x-a)^2(r^2 - (x-a)^2)^(-3/2)                               ——B式

    按理由A、B两式就可以消掉(x-a),得出一个半径r 的表达式由 y'与y''表示;

    但是直接代入消元比较麻烦,可以如下这般代换:

    由A知道(r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) = y'/(x-a) 代入 B式有:

    y'' = y’/(x-a) + (x-a)^2 (y'/(x-a))^3 = y'/(x-a)  +  y'^3 / (x-a) = (y' + y'^3) / (x-a)

    =>    (x-a) = (y' + y'^3) / y''  此式再回过头代入A式中有:

    y' = ((y' + y'^3) / y'')(r^2 - ((y' + y'^3) / y'')^2)^(-1/2)

    =>  r^2 = ((1 + y'^2) / y'')^2 + ((y' + y'^3) / y'')^2

                 = ((1 + y'^2)^3) / (y''^2)

    => r = (1 + y'^2)^(3/2) / y''

    曲率就是1/r;

    有了半径r、法线斜率(-1/y'),就很容易的求出曲率圆的圆心了,继而求出曲率圆的方程。


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  • 离散点的曲率计算

    2020-08-08 19:16:26
    在并不想去求这个曲线的表达式时,怎么得到某一点的曲率呢 相关知识 曲率的定义是: 针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,而曲率的倒数就是曲率半径 K  =  ∣Δθl∣  =  ∣1r∣  K\; =\; \left|...

    描述

    我有一个点集,里面都是[x,y]这样的二维点,这个点集能形成一个曲线。
    在并不想去求这个曲线的表达式时,怎么得到某一点的曲率呢

    相关知识

    曲率的定义是:
    针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,而曲率的倒数就是曲率半径
    K  =  Δθl  =  1r  K\; =\; \left| \frac{\Delta \theta }{l} \right|\; =\; \left| \frac{1}{r} \right|\;

    式子中KK代表的就是曲率,ΔθΔθ代表的就是切线方向角的变化,ll代表弧长,rr代表的就是曲率半径

    式子也挺好看懂的。我们都知道圆的周长是2πr2πr,任意一段弧长 的计算方式是
    l  =  θ    rl\; =\; \theta \; \cdot \; r

    式子中的θθ代表的就是弧长对应的角度

    解决

    我有一段圆弧ab,对应的圆内角θθ是啥我不用解释了吧,初中数学
    在这里插入图片描述

    那么到这儿也比较简单了,如果离散点中,ab就是相邻的两个点,那么a点(或者b点或者随便哪个点)的曲率怎么计算呢

    我们设要求的点 pp,在点集 PP 的位置是 ii ,点集实际上是 00nn 的一系列二维点,那么点p的曲率KiK_{i}的表达式
    Ki  =  arctan(yi+2    yi+1xi+2    xi+1)    arctan(yi+1    yixi+1    xi)(xi+1    xi)2+(yi+1    yi)2K_{i\; }=\; \left| \frac{\arctan \left( \frac{y_{i+2}\; -\; y_{i+1}}{x_{i+2}\; -\; x_{i+1}} \right)\; -\; \arctan \left( \frac{y_{i+1}\; -\; y_{i}}{x_{i+1}\; -\; x_{i}} \right)}{\sqrt{\left( x_{i+1}\; -\; x_{i} \right)^{2}+\left( y_{i+1}\; -\; y_{i} \right)^{2}}} \right|

    挺好理解的,下面的是两点之间的距离,上面是切线方向角之差,不解释啦

    补充

    上面计算方式写的很清楚了,但其实有个小小问题
    假设我有100个点,按照上面的公式,第1个点到第98个点都是可以很快计算出来的。

    但99个点和100个点,因为没有101和102两个点,这两个点的曲率是无法计算的。

    解决办法也很简单:

    • 我使用离散点曲率计算,主要是在路径规划当中使用,我的这个离散点集在最后两个点上,实际上可以认为是路径终点,需要轨迹很平滑的。我的操作就是,将最后两个点的曲率,赋值成了倒数第三个点一样,问题应该不大。你可以根据自己的需求任意设置。
    • 如果你就是不想自己设定,非要计算的来。造102个点,使用前100个,造n+2个点,使用前n个。(挺无聊的解决办法哈)
    展开全文
  • 微分几何教案十六3.6曲面的主曲率高斯曲率平均曲率3.6曲面的主曲率高斯曲率平均曲率一主曲率定义曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在该点的主曲率因曲面在一点处的主方向是过此点的曲率线的方向故主曲率即
  • 曲率公式

    2020-08-23 08:02:02
    而这个圆的半径就被定义为曲线在这一点的曲率半径. 而曲率则被定义为曲率半径的倒数. 既无穷小的一段弧长与其相对应弧度的比值. r=dsda r=\frac{ds}{da} r=dads​ 弧度的微分好算ds=1+y′2dx 弧度的微分好算ds=\...

    高中的方法:
    曲率, 也即弯曲程度.
    直观来想, 以一条连续光滑曲线上无限接近的两个点为端点的一段弧总应该可以看作是某圆上的一段弧. 而这个圆的半径就被定义为曲线在这一点的曲率半径. 而曲率则被定义为曲率半径的倒数.

    既无穷小的一段弧长与其相对应弧度的比值.
    r=dsda r=\frac{ds}{da}
    ,ds=1+y2dx 弧度的微分好算,由勾股定理 ds=\sqrt { 1+y'^2 }dx
    如何求da呢?(即ds对应的角度)
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    由几何关系:
    A=C-B(当两条线趋近的时候),则角的斜率的变化率等于曲线的斜率
    知 相等

    取极限时两边角的差为0,由导数的定义y’=tan角
    dtanA=(1+tan2A)dA=(1+y2)dA=>dA=y1+y2dtanA=(1+ tan^2 A)dA=(1+y'^2)dA=>dA=\frac{y''}{1+y'^2}

    所以:
    dsda=(1+y2)3/2y\frac{ds}{da}=\frac{(1+y'^2 )^{3/2}}{y''}
    用行列式的方法:
    如何解释曲率

    展开全文
  • 曲率

    2019-03-17 00:34:19
    数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。 曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大。曲率的倒数就是曲率半径。 3.曲率半径 在微分几何中,曲率的倒数就是曲率半径,即R=1/K。平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线...
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     平均曲率:是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直正交曲率的平均值。如果一组相互垂直正交曲率可表示为K1,K2,那么平均曲率则为:K = (K1 +K2 ) / 2。  主曲率:过曲面上某个点上具有无穷个正交曲率,其中存....
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  • 曲率

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    千次阅读 2016-04-25 12:07:37
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    2020-12-27 16:34:59
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空空如也

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一点的曲率