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    决策树:什么是基尼系数

    在我翻译学习这篇Random Forests for Complete Beginners的时候,对基尼系数和它相关的一些中文表达充满了疑问,查了一些资料以后,完成了这篇文章。其中基尼杂质系数的计算和解释参考了A Simple Explanation of Gini Impurity

    如果你查看scikit-learnDecisionTreeClassifier的文档,你会看到这样的参数:
    scikit学习
    RandomForestClassifier文档里也谈到了gini。那么两者都提到并作为默认标准的基尼系数是什么?

    名词辨析

    你在不同的地方往往能看到关于基尼的不同名词,我查询了一大堆文献,发现它们的使用遵循以下规律:

    • 基尼杂质系数/基尼不纯系数(Gini Impurity):等效于我们通常说的基尼系数,在上面提到的分类器文档里的就是它,计算方法在后面将提到。
    • 基尼增益系数/基尼系数增益(Gini Gain):表征某个划分对基尼系数的增益,使用原基尼杂质系数减去按样本占比加权的各个分支的基尼杂质系数来计算,计算方法在后面将提到。
    • 基尼指数(Gini index):这是一个尴尬的问题,因为有人把它等价于gini impurity,但也有人把它用作gini coefficient。需要结合上下文来判断。
    • 基尼系数(Gini coefficient):表征在二分类问题中,正负两种标签的分配合理程度。当G=0,说明正负标签的预测概率均匀分配,模型相当于是随机排序。这个名词也在经济学中也有使用,本质是相同的,是用来表征一个地区财富的分配的合理程度。当G=0,说明财富均匀分配。

    基尼杂质系数(Gini Impurity)的理解和计算

    训练决策树包括将当前数据分成两个分支。假设我们有以下数据点:
    在这里插入图片描述
    现在,我们的分支里有5个蓝点和5个绿点。
    如果我们在x=2处进行划分:
    在这里插入图片描述
    这很明显是个完美划分,因为它把数据集分成了两个分支:

    • 左分支全是蓝点
    • 右分支全是绿点

    但如果我们在x=1.5处进行划分呢?
    在这里插入图片描述
    这个划分把数据集分成了两个分支:

    • 左分支,4个蓝点
    • 右分支,1个蓝点+5个绿点

    很明显,这种划分更糟糕,但我们如何量化呢?

    解决方法就是基尼杂质系数。

    示例1:整个数据集

    我们来计算整个数据集的基尼杂质系数。

    如果随机选择一个数据点并随机给它分类,我们错误分类数据点的概率是多少?

    我们的选择 实际的分类 可能性 对错
    25%
    25%
    25%
    25%

    我们只在上面的两个事件中对其进行了错误的分类。因此,我们的错误概率是25% + 25% = 50%,也即基尼杂质系数是0.5.

    公式
    G=i=1Cp(i)[1p(i)]G = \sum_{i=1}^C {p(i)*[1-p(i)]}

    • C: 类别数
    • p(i):一个样本被归类进第i类的概率

    上面这个例子计算式即为:
    G=p(1)[1p(1)]+p(2)[1p(2)]=0.5[10.5]+0.5[10.5]=0.5\begin{aligned} G&=p(1)*[1-p(1)]+p(2)*[1-p(2)]\\ &=0.5*[1-0.5]+0.5*[1-0.5]\\ &=0.5 \end{aligned}

    示例2:完美划分

    完美划分后数据集的基尼杂质系数是多少?
    在这里插入图片描述
    左分支的基尼杂质系数:
    Gleft=1(11)+0(10)=0G_{left}=1∗(1−1)+0∗(1−0)=0

    右分支的基尼杂质系数:
    Gright=0(10)+1(11)=0G_{right}=0∗(1−0)+1∗(1−1)=0

    它们没有杂质,所以基尼杂质系数自然为0!此时就是最优情况。

    示例3:不完美划分

    那不完美划分呢?
    在这里插入图片描述
    易知左分支:
    Gleft=0G_{left}=0

    右分支:
    Gright=16(116)+56(156)=518=0.278\begin{aligned} G_{right}&=\frac{1}{6}*(1-\frac{1}{6})+\frac{5}{6}*(1-\frac{5}{6})\\ &=\frac{5}{18}\\ &=0.278 \end{aligned}

    划分的选择

    终于到了回答之前提出问题的时候了:我们如何量化划分的效果?

    对这个划分:
    在这里插入图片描述
    我们已经计算了基尼系数杂质:

    • 划分前(整个数据集):0.5
    • 左分支:0
    • 右分支:0.278

    我们将基于每个分支中的样本占比来进行加权来以确定划分的基尼增益。由于左分支有4个样本,右分支有6个样本,我们得到:
    (0.40)+(0.60.278)=0.167 (0.4∗0)+(0.6∗0.278)=0.167

    因此,我们用这个划分“降低”的杂质量是
    0.50.167=0.3330.5−0.167=0.333

    这就被称为基尼增益系数。越好的划分基尼增益系数越大,比如此处0.5>0.333.

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  • matlab 给某列乘上系数

    千次阅读 2019-07-03 00:56:37
    矩阵M是个 mxn 的矩阵,现在要给M矩阵的第列都要乘上10,使其第列扩大10倍,那肿么做呢? 我第时间用的是: M(:,1) = M(:,1)*10; //错误的 但是这个错了,结果是不对的 这里要用点乘才行,所以正确的写法是...

    矩阵M是一个 mxn 的矩阵,现在要给M矩阵的第一列都要乘上10,使其第一列扩大10倍,那肿么做呢?

    我第一时间用的是:

    M(:,1) = M(:,1)*10; //错误的

    但是这个错了,结果是不对的

    这里要用点乘才行,所以正确的写法是:

    M(:,1) = M(:,1).*10;  // 正确写法

     

    这里要明白矩阵乘积与矩阵点乘(对应位相乘)的区别

    矩阵乘法要求左矩阵的行数与右矩阵的列数相等,即MxN维矩阵乘以NxM维矩阵

    例:A=[1 1 1;2 2 2]  B=[3 3;4 4;5 5]

    MATLAB语句:A*B

    >> c = A*B
    c =
        12    12
        24    24

    矩阵点乘要求两矩阵维数相等,即MxN维矩阵乘以MxN维矩阵【矩阵点乘积就是 对应位相乘】

    例:A=[1 1 1;2 2 2]   B=[3 3 3;4 4 4]

    MATLAB语句:A.*B

    >> d = A.*B
    d =
         3     3     3
         8     8     8

    转载于:https://www.cnblogs.com/AI-Algorithms/p/3739631.html

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  • 解决信道系数什么是复数问题

    千次阅读 2014-11-27 21:04:44
    信道系数什么是复数,这个问题困扰了我很久,今天翻阅数字通信,终于明白了。其实答案就在那里,只是境界不够,看不懂而已,经过不断的积累,境界终于够了,终于能看懂这两页纸了。  参看数字通信第五版英文版第...

                信道系数为什么是复数,这个问题困扰了我很久,今天翻阅数字通信,终于明白了。其实答案就在那里,只是境界不够,看不懂而已,经过不断的积累,境界终于够了,终于能看懂这两页纸了。

              参看数字通信第五版英文版第13章的13-1节。今天我就完全的讲解一下各种公式的推到。

               13.1-1这个公式别看很不起眼,这里面学问大着呢。sl(t)为基带复信号,e*为射频模块的IQ调制。相当于频谱搬移,在数字通信中,把调制部分分离看,主要研究基带信号,因为他们之间是等效的。

             13。1-2为接收信号,因为各个路径会有一个时延,所以各个时延的信号信号相互叠加。同时还有一个衰落系数,这个衰落系数是实数。而不是复数。和UWB里面的衰落系数类似。

           13.1-3  这个公式是一个重点。它把上一个公式展开了。是一个还没有解调的信号。从这个公式可以看出,信道延迟对接收信号的影响。他不仅造成接收信号有一个延迟,还会进一步的衰落信号。这就是所谓的相位不同步。为什么会出现这种情况呢。是这样的。我们解调,一般都是相干解调,也就是直接乘以一个cos(wt),当接收信号有一个时延的话,在乘以这个cos(wt)的时候,就相当于乘了一个cos(wt+a)。也就是出现了相位的偏差,根据积化和差公式可知,最后的会有一个cos(a)的系数,就是这个系数,会进一步的衰减信号。所以,相位不同步是一个很麻烦的事情。所以在通信过程中,首先要时间同步,频率同步,相位同步。

             13.1-4 这是一个等效接收基带信号。很明显可以看出,里面有一个e*成分。就是因为时延造成的相位不同步。也就是有相位的偏差。在UWB里面,根本没有载频,所以,没有所谓的相位偏差

              13.1-5 ,8这是一个时间离散和连续的信道系数。

                13.1-9这是本文的关键公式,直接解决了长期困扰我的问题。信道系数为一个复数。这个公式表明了电磁波的信道衰减和相位偏差造成的进一步衰减。这个东西根据欧拉定理,就可以转换为a+bj的形式,也就是我们经常看到的信道系数。所以,信道系数是个复数,造成这个复数的原因是因为在相干解调的过程中,相位的偏差造成的。所以说幅度的衰落是由两部分造成的。一部分是自然的原因,一部分是解调的原因。当然对于没有射频模块(频谱搬移)的系统,解调的衰落就没有了。如UWB系统。

                 行了,从此就知道信道系数的虚数是因为相位偏差造成的就行了。有时候答案就在那里,只是看不懂而已,


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