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  • 2、选中B列,在公式中输入公式:=CONCATENATE("000000",A1) (此处前缀了6个0) 然后,回车 3、B1单元格右下角下来 4、复制B1整列,粘贴C1(注意 粘贴选项,只粘贴值) 5、C1列 即是 目标值 ...

    1、准备好文本格式的数据列, 数据在A列

    2、选中B列 ,在公式中输入公式:=CONCATENATE("000000",A1) (此处前缀加了6个0)

    然后,回车

    3、在B1单元格右下角下来

    4、复制B1整列,粘贴在C1(注意 粘贴选项,只粘贴值)

    5、C1列 即是  目标值

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  • RSA算法原理——(3)RSA解密过程及公式论证

    万次阅读 多人点赞 2018-07-04 00:16:32
    上期(RSA简介及基础数论知识)为大家介绍了:互质、欧拉函数、欧拉...三、RSA解密过程及公式论证 二、RSA解密过程及公式论证 今天的内容主要分为三个部分: rsa密钥生成过程: 讲解如何生成公钥和私钥 rs...

    上期(RSA简介及基础数论知识)为大家介绍了:互质欧拉函数欧拉定理模反元素 这四个数论的知识点,而这四个知识点是理解RSA加密算法的基石,忘了的同学可以快速的回顾一遍。

    一、目前常见加密算法简介
    二、RSA算法介绍及数论知识介绍
    三、RSA加解密过程及公式论证

    三、RSA加解密过程及公式论证

    今天的内容主要分为三个部分:

    • rsa密钥生成过程: 讲解如何生成公钥和私钥
    • rsa加解密演示: 演示加密解密的过程
    • rsa公式论证:解密公式的证明

    1、rsa密钥生成过程

    大家都知道rsa加密算法是一种非对称加密算法,也就意味着加密和解密是使用不同的密钥,而这不同的密钥是如何生成的呢?下面我们来模拟下小红是如何生成公钥和私钥的。
    这里写图片描述

    六步生成密钥:

    (1)随机选择两个不相等的质数p和q

    小红随机选择选择了6153。(实际应用中,这两个质数越大,就越难破解)

    (2)计算p和q的乘积n

    n = 61×53 = 3233

    n的长度就是密钥长度,3233写成二进制是110010100001,一共有12位,所以这个密钥就是12位。实际应用中,RSA密钥一般是1024位,重要场合则为2048位。

    (3)计算n的欧拉函数φ(n)

    这里利用我们上篇讲到的欧拉函数求解的第四种情况:

    如果n可以分解成两个互质的整数之积,即:n = p1 × p2,则φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2),所以φ(3233) = φ(61x53) = φ(61)φ(53)

    又因为61和53都是质数,所以可以根据欧拉函数求解的第二种情况:

    如果n是质数,则 φ(n)=n-1,所以φ(3233) = φ(61x53) = φ(61)φ(53)=60x52=3120

    所以 φ(n)=3120

    (4)随机选择一个整数e,条件是1< e < φ(n),且e与φ(n) 互质

    小红就在1到3120之间,随机选择了17。(实际应用中,常常选择65537)

    (5)计算e对于φ(n)的模反元素d

    让我们来回顾一下什么是模反元素:
    所谓“模反元素”就是指有一个整数d,可以使得ed除以φ(n)的余数为1,公式表示:

    ed1(modφ(n))ed ≡ 1 (mod φ(n))

    这个公式等价于

    edkφ(n)=1ed – kφ(n) = 1

    将e=17、φ(n)=3120代入得:

    17d3120k=117d – 3120k = 1

    设x=d、y=-k,得

    17x+3120y=117x+3120y=1

    所以我们要求的模反元素d就是对上面的二元一次方程求解

    根据扩展欧几里得算法(辗转相除法)求解:
    这里写图片描述
    上图我们使用扩展欧几里得求得x=-367,所以d=x=-367,但通常我们习惯取正整数,这样方便计算,还记得我们上节讲过的模反元素的特性吗:

    3和11互质,那么3的模反元素就是4,因为 (3 × 4)-1 可以被11整除。显然,模反元素不止一个, 4加减11的整数倍都是3的模反元素 {…,-18,-7,4,15,26,…},即如果b是a的模反元素,则 b+kn 都是a的模反元素。

    所以我们取d=d+kφ(n)=-367+1x3120=2753,到这里所有的计算已经全部完毕!

    (6)将n和e封装成公钥,n和d封装成私钥

    让我们来回顾一下我们一共出现的6个数字:

    1. p=61; 随机数与q互质
    2. q=53;随机数与p互质
    3. n=pq=6153=3233
    4. φ(n)=φ(p*q)=φ(61x53) = φ(61)φ(53)=60x52=3120
    5. e=17; 随机数,条件是1< e < φ(n),且e与φ(n) 互质
    6. d=2753; e对于φ(n)的模反元素d

    在这个例子中n=3233,e=17,d=2753,所以公钥就是 (n,e)=(3233,17),私钥就是**(n,d)=(3233, 2753)**,这样小红就将公钥公布出去,自己保存好私钥就可以啦!

    至此我们公钥、私钥就生成完毕,是不是觉得并不是很难呢?是不是有点怀疑私钥会不会被人破解呢?下面我们来看看如何才能暴力破解私钥。

    (7)rsa算法可靠性

    回顾我们一共生成了六个数字:p q n φ(n) e d,这六个数字之中,公钥用到了两个(n和e),其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d,因为n和d组成了私钥,一旦d泄漏,就等于私钥泄漏。

    那么,有无可能在已知n和e的情况下,推导出d?

    1. ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n),才能算出d
    2. φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q,才能算出φ(n)
    3. n=pq。只有将n因数分解,才能算出p和q

    结论:如果n可以被因数分解,d就可以算出,也就意味着私钥被破解。

    看到这里有同学可能会惊呼:原来破解RSA算法的方法这个简单???

    可是,大整数的因数分解,是一件非常困难的事情。也许你可以对3233进行因数分解(61×53),但是你没办法对下面的大整数分解:

    123018668453011775513049495838496272077285356959533479219732245215172640050726
    365751874520219978646938995647494277406384592519255732630345373154826850791702
    6122142913461670429214311602221240479274737794080665351419597459856902143413

    它等于两个质素的乘积:

    33478071698956898786044169
    84821269081770479498371376
    85689124313889828837938780
    02287614711652531743087737
    814467999489
    ×
    36746043666799590428244633
    79962795263227915816434308
    76426760322838157396665112
    79233373417143396810270092
    798736308917

    这也是目前维基百科记录的人类分解的最大整数(232个十进制位,768个二进制位),除了暴力破解,还没有发现别的有效方法。所以限制人类分解大整数的是计算机的计算能力,相信如果有一天真正的量子计算机问世后,又会引发一轮安全加密竞赛!

    • 1999年,RSA-155 (512 bits)被成功分解,花了五个月时间(约8000 MIPS年)和224 CPU hours在一台有3.2G中央内存的Cray C916计算机上完成。
    • 2009年12月12日,编号为RSA-768(768 bits, 232 digits)数也被成功分解[10]。这一事件威胁了现通行的1024-bit密钥的安全性,普遍认为用户应尽快升级到2048-bit或以上。

    2、rsa加解密演示

    小红有了公钥和私钥这样就可以进行加解密了,于是小红拉着小明一起来测试一下!

    (1)加密要用公钥 (n,e)

    假设小明先测试性的给小红发一个字母m=“A”,我们都知道在通信传输中只能传输0和1,所以我们先将“A”转ascii码为65,所以m=65,m必须是整数(字符串可以取ascii值或unicode值),且m必须小于n。

    所谓”加密”,就是使用下面的加密公式算出下式的密文c:

    mec(modn)m^e ≡ c (mod n)

    小明得到的公钥是(n,e)=(3233, 17),m=65,那么得到下面的等式:

    6517c(mod3233) 65^{17} ≡ c (mod 3233)

    小明通过计算器一算c=2790,所以他就把2790发给小红了。

    (2)解密要用私钥(n,d)

    小红拿到小明发过来的密文c=2790,就用下面的公式进行解密出明文m:

    cdm(modn) c^d ≡ m (mod n)

    而小红的私钥为:(n,d) = (3233,2753),所以得到下面的等式:

    27902753m(mod3233) 2790^{2753} ≡ m (mod 3233)

    小红通过计算器一算,得m=65,然后小红对照着ascii码表得出65对应得字母为A。

    至此,整个加解密过程就演示完了,我们来总结一下:

    1. 小明获取到小红的公钥(n,e)=(3233,17)
    2. 小明选取发送的消息m=A=65,注意m要小于n,如果消息大于n,则可以分段加密!
    3. 小明通过加密公式:m^e ≡ c (mod n) 算出密文c=2790
    4. 小红获取到小明的密文c=2790
    5. 小红使用解密公式:c^d ≡ m (mod n) 算法明文m=65=A

    我们可以看到,其实RSA加密算法最核心的就是用公式来加解密,那么我们会有个疑问?为什么解密公式一定可以得到明文m呢?也就是说这个公式是怎么推导出来的?公式一定成立吗?

    感兴趣的同学我们可以来一起证明一下解密公式,这也是整个RSA加密算法的最后最核心的一个知识点了。这里我会一步一步的推理,尽可能通俗易懂;

    3、rsa公式论证

    首先让我们再来回顾一下我们一共出现的8个数字

    1. p: 随机数与q互质
    2. q:随机数与p互质
    3. n=p*q
    4. φ(n)=φ(p*q)=φ§*φ(q)=(p-1)(q-1)
    5. e: 随机数,条件是1< e < φ(n),且e与φ(n) 互质
    6. d:e对于φ(n)的模反元素d:ed≡1 (mod φ(n))
    7. m:小明发送的明文
    8. c:小明用公钥加密后的密文

    验证rsa算法成立,主要就是验证解密公式成立:

    cdm(modn)解密公式: c^d ≡ m (mod n)

    根据加密公式:

    mec(modn)c=mekn加密公式:m^e ≡ c (mod n) → c = m^e – kn

    将c代入要我们要证明的那个解密公式:

    (mekn)dm(modn) (m^e – kn)^d ≡ m (mod n)

    上式等同于下面的公式,原因如下

    medm(modn)m^{ed} ≡ m (mod n)

    原因:我们都知道下面的二元一次方程分解,只有第一项不包含n,而所有包含n的项在对n 取余 的操作中都可以消掉。因此得出了上面那个结论

    (22n)2=48n+4n2 (2 – 2n)^2 = 4-8n+4n^2

    又因为生成密钥的第五步中我们取e并求了他对φ(n)的模反元素d:

    ed1(modφ(n))ed=hφ(n)+1 ed ≡ 1 (mod φ(n)) → ed = hφ(n)+1

    所以将ed代入上式得

    mhφ(n)+1m(modn) m^{hφ(n)+1} ≡ m (mod n)

    所以,我们只要证明这个公式成立,就证明解密公式的成立,也就证明了RSA算法的成立。

    下面我们分两种情况来验证上面的例子

    (1) m与n互质

    根据欧拉定理:如果两个正整数a和n互质,则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立:

    aφ(n)1(modn)a^{φ(n)} ≡ 1 (mod n)

    证明:因为m与n互质,得

    mφ(n)1(modn)mφ(n)=1+kn(mφ(n))h=(1+kn)hm^{φ(n)} ≡ 1 (mod n) → m^{φ(n)} = 1 + kn → (m^{φ(n)})^h = (1 + kn)^h

    而(1 + kn)^h对n取模为1,因为对(1 + kn)^h拆分只有第一项1不含有n,所以有

    (mφ(n))h=(1+kn)h1(modn) (m^{φ(n)})^h = (1 + kn)^h ≡ 1 (mod n)

    同理

    (mφ(n))h1(modn)(mφ(n))h=1+kn(mφ(n))hm=(1+kn)m (m^{φ(n)})^h ≡ 1 (mod n) → (m^{φ(n)})^h = 1 + kn → (m^{φ(n)})^h*m = (1 + kn)*m

    而 (1 + kn)*m对n取模为m,因为前面说过0 < m < n,所以有

    (mφ(n))hm=(1+kn)mm(modn)mhφ(n)+1m(modn) (m^{φ(n)})^h*m = (1 + kn)*m ≡ m (mod n) → m^{hφ(n)+1} ≡ m (mod n)

    当m与n互质时,证明原式成功!!!

    (2) m与n不是互质关系

    此时m与n不互质,所以m与n必定有除1以外的公因子,而又因为n等于质数p质数q的乘积,所以m必然等于kpkq

    m = kp为例,考虑到这时m与质数q必然互质,则根据欧拉定理和欧拉函数(第二种:当q为质数,则φ(q)=q-1)使下面的式子成立:

    (kp)φ(q)1(modq)(kp)q11(modq)(kp)^{φ(q)} ≡ 1 (mod q) → (kp)^{q-1} ≡ 1 (mod q)

    同上(m与n互质中)证明原理可得:

    [(kp)q1]h(p1)×kpkp(modq)(kp)h(p1)(q1)+1kp(modq) [(kp)^{q-1}]^{h(p-1)} × kp ≡ kp (mod q) → (kp)^{h(p-1)(q-1)+1} ≡ kp (mod q)

    又因为

    ed1(modφ(n))ed=hφ(n)+1ed=h(p1)(q1)+1 ed≡1 (mod φ(n)) → ed = hφ(n) + 1 → ed = h(p-1)(q-1) + 1

    将ed代入上式

    (kp)edkp(modq)(kp)ed=tq+kp(kp)^{ed} ≡ kp (mod q) → (kp)^{ed} = tq + kp

    上式中,等式左边(kp)^ed对p取模为0,右边kp对p取模也为0,所以tq一定能整除p,但q是与p互质的,所以t必然能整除p,设t=rp,得

    (kp)ed=rpq+kp(kp)^{ed} = rpq + kp

    因为 m=kp,n=pq,所以

    med=rn+mmedm(modn) m^{ed} = rn + m → m^{ed} ≡ m (mod n)

    又因为生成密钥的第五步中我们取e并求了他对φ(n)的模反元素d:

    ed1(modφ(n))ed=hφ(n)+1 ed ≡ 1 (mod φ(n)) → ed = hφ(n)+1

    将ed代入上式得:

    mhφ(n)+1m(modn) m^{hφ(n)+1} ≡ m (mod n)

    当m与n不互质时,证明原式成功!!!

    附手稿:
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  • 如何Markdown中写公式

    千次阅读 2017-12-15 18:52:53
    Markdown是一种可以使用普通文本编辑...我们写博客的时候,会有想要写公式的情况,这时候我们怎么把公式漂亮的写博客里面呢?下面介绍三种还算方便的方法: Online LaTex Markdown中的公式语法是遵循LaTex的...

    Markdown是一种可以使用普通文本编辑器编写的标记语言,通过简单的标记语法,它可以使普通文本内容具有一定的格式。
    在很多主流的博客网站,github等地方都会用到Markdown的语法,比如CSDN。我们在写博客的时候,会有想要写公式的情况,这时候我们怎么把公式漂亮的写在博客里面呢?下面介绍三种还算方便的方法:

    Online LaTex

    Markdown中的公式语法是遵循LaTex的,所以我们可以用Online Latex这款在线的转化工具把我们想要的数学公式转化成LaTex的语法:
    这里写图片描述
    比如我们想要一个这样的公式,只需要根据数学符号在编辑框上方选择,然后对应的LaTex语法就会出现在编辑框中,而编辑框的下方,就是我们想要的公式的数学表达。
    然后,把编辑框中的公式粘过来,放到$$ $$之间,就有了下面的效果:

    a1+a2+b2=ca1+a2+b2=c

    MathType

    MathType应该是大多数都在用的公式编辑工具了,MathType软件中同样提供了公式到LaTex代码的转换,在复制选项中:

    这里写图片描述

    这里写图片描述

    LaTex语法

    前面两种方法,都是使用了其他工具帮助我们转化成LaTex的代码,显然我们也可以直接在Markdown直接写的,下面我们简单介绍下他的语法。

    公式位置:
    在行内的公式写在$ $内,行间的公式写在$$ $$内,基本符号和运算符可以直接使用键盘敲出来,如a+b=c等等:

    a+b=ca+b=c

    上标下标:
    a_{}:a2a2
    a^{}:a3a3

    括号:
    LaTex的括号都在遵循一种结构:\left后面时左括号形式,\right后面时右括号形式,左括号后面的内容就是要写入到括号里面的内容,如:

    \left ( \right ):()()
    \left [ \right ]:[][]
    \left { \right }:{}{}
    \left | \right |:||||
    \left ( \left ( \right ) \right ):(())(())

    希腊字母:
    公式中一般会有大量希腊字母的,这些字母没办法直接用键盘敲出来,如:

    \alpha: αα
    \beta: ββ
    \gamma:γγ
    \Phi : ΦΦ
    \Omega:ΩΩ
    \Delta: ΔΔ
    \delta: δδ

    其他运算符:
    除了常规的加、减、乘、除和等于符号,我们一般还有用到一些其他的运算符,如:

    \sum :
    \int :
    \oint :
    \prod:

    用上面这些东西,我们可以完成一些常见的公式编辑工作,更多LaTex语法请参考 [这儿]

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  • word2010版本1.插入公式(自动会居中)。2.让光标停留公式内的最后(如步骤1中所示),按下“ctrl+alt+enter”三个键。...8.让光标位置放到公式前面(一定要公式外面)。 9.把上游标拉到和公式最左...

    word2010版本

    1.插入公式(自动会居中)。


    2.让光标停留在公式内的最后(如步骤1中所示),按下“ctrl+alt+enter”三个键。

    3.紧接着输入编号。

    4.勾选视图中的“标尺”(如下图所示)。

    5.让光标位置放到公式和序号之间。

    6.把上游标拉到最后,并且在下方点击生成一个新的“制表位”。

    7.把上游标拉回到原来的位置。

    8.让光标位置放到公式前面(一定要在公式外面)。


    9.把上游标拉到和公式最左边(光标所在位置)对齐的位置,并且在下方点击生成一个新的“制表位”,并把光标拉回到原来的位置。

    10.此时让光标回到公式和序号之间(如步骤5中所示),按一下tab键,即完成了公式居中并且序号自动对齐最右方的操作并且公式中的字体不会变小,效果如下图所示。

     


    Word2016版本

    1.输入公式和序号,公式和序号之间加入“#”符号。

    2.把光标放到公式的最后(一定要在公式内),然后按下“enter”键,即可完成公式居中并且序号自动对齐最右方的操作。

     

     

     

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  • latex数学公式

    千次阅读 2017-04-02 18:39:34
    Tex有两种数学公式,一种是夹行文段落中的公式,称为行内数学公式,或正文数学公式。另一种是单独占据整行中展示出来的,称为显示数学公式或行间公式,列表公式Tex中,行内公式一般前后单个美元符号.........
  • 概率论只不过是把常识用数学公式表达了出来。——拉普拉斯记得读本科的时候,最喜欢到城里的计算机书店里面去闲逛,一逛就是好几个小时;有一次,书店看到一本书,名叫贝叶斯方法。当时数学系的课程还没有学到概率...
  • CSDN-Markdown编辑器-数学公式编写

    千次阅读 多人点赞 2018-10-07 16:12:37
    逐渐学习的加深,数学公式在MATLAB及其他各个方面的学习中愈重要,所以本篇博客学习如何编写博客中的各种公式Markdown中书写LaTeX数学公式非常重要,本节将一些常用的数学公式的写法记录下来,以备自己和...
  • Latex特殊符号、公式、颜色整合

    万次阅读 多人点赞 2018-10-10 13:57:44
    Latex特殊符号、公式整合 文章目录Latex特殊符号、公式整合花体希腊字母括号/点/运算符/箭头公式 花体 命令 示例 \mathscr {abcdefghigklmnopqrstuvwxyz} abcdefghigklmnopqrstuvwxyz\mathscr...
  • excel如何固定公式

    千次阅读 2012-08-25 08:35:07
    公式中引用绝对地址符号$,拖动和复制时就不会改变了 ...这里的B$268前面加了$,268就永远不会变化了。 运用原理: 绝对地址的表示方法用$,比如: A1为相对地址,$A$1则为绝对地址,拖动和复制时,将不随
  • 居中图片插入的括号内字符最后加上#pic_center(前面不用空格)即可。 图像大小设置图片插入的括号内字符最后加上=数字x数字(宽度*高度,前面需要空格)即可。 以头像为例: #pic_center 公式居中 $$Pr.....
  • Excel常用公式与函数总结(Excel 2010)

    千次阅读 2019-02-10 21:53:56
    基本说明:  Excel中输入函数时是不区分大小写的,无论是大写还是小写,结束函数编辑时...此外,编辑公式与函数时,函数中的标点符号都是英文状态下的标点符号。  示例:IF(A2&gt;100,1000,"无奖...
  • 试试LaTeX插入数学公式

    万次阅读 多人点赞 2018-01-27 22:39:31
    博客中要编辑数学公式网上找了各种方法,换了各种博客平台,发现大多都是粘图片贴链接的方式,十分繁琐,耗时费劲。github上搭建个人博客后用Markdown就方便多了,以下记录LaTeX初学内容。 LaTeX编辑数学...
  • 【持续更新】Markdown中数学公式及符号整理

    万次阅读 多人点赞 2019-02-28 19:55:52
    利用Markdown中的LaTeX插件,公式均以代码形式编辑,写文档时十分方便,特别是推导各种算法公式时。   首先设置typora的偏好设置,使其支持LaTeX插件。设置方法:文件—偏好设置,找到Markdown扩展语法,勾选 ....
  • 文章目录简单分类行内公式示例如下行间公式实例如下希腊字母上标与下标括号小括号与方括号大括号尖括号上取整下取整求和与积分求和积分连乘其他...表格矩阵括号增广矩阵公式标记与引用字体黑板粗体黑体打印机字体...
  • excel下拉表格复制公式不自动递增

    千次阅读 2020-11-06 23:46:11
    坐标前面加$ 符号, $ 符号表示引用,绝对引用符"$"的列标和行号为绝对地址,在公式向旁边复制时不会发生内变化,没有加容上绝对地址符号的列标和行号为相对地址,在公式向旁边复制时会跟着发生变化。 列(纵向)不...
  • 3.11 Latex使用笔记 ...不需要序号的时候,使用gather*命令,前后都要改 \begin{gather} \end{gather} 带左弯号的多行公式 \begin{equation} \left\{ %equation环境下使用 \{ 命令...
  • typora中输入数学公式

    千次阅读 多人点赞 2020-09-15 16:41:13
    LaTeX编辑数学公式基本语法元素 LaTeX中数学模式有两种形式:inline和display。前者是指正文插入行间数学公式,后者独立排列,可以有或没有编号。 行间公式(inline):用$...$将公式括起来 块间公式(display):...
  • 细说基姆拉尔森日期公式

    千次阅读 多人点赞 2016-08-29 14:12:16
    转自:http://topic.csdn.net/t/20050425/23/3966336.html 相关资料:... 计算给定日期星期几好象是编程都会遇到的问题,最近论坛里也有人提到这个问题,并给出了一个公式:   W= (d+2*m

空空如也

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如何在公式前面加字