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  • ·基础数学· 基于 Matlab 常系数线性微分方程组的求解* 严水仙 (赣南师范大学 数学与计算机科学学院,江西 赣州 341000) 摘 要: 在常微分方程课程教学中,常系数线性微分方程组可以通过线性代数的理论、矩阵指数、...

    ·基础数学· 基于 Matlab 常系数线性微分方程组的求解* 严水仙 (赣南师范大学 数学与计算机科学学院,江西 赣州 341000) 摘 要: 在常微分方程课程教学中,常系数线性微分方程组可以通过线性代数的理论、矩阵指数、拉普拉斯变 换等方法进行求解. 本文主要叙述利用 Matlab 数学软件在求解常系数线性微分方程组中的应用.关键词: 常系数线性微分方程;Matlab;矩阵指数 中图分类号: O175 文献标志码: A 文章编号:1004 -8332(2018)03 -0010 -05 微分方程课程是高校不少理工科专业(如数学、力学、控制等) 的重要基础理论课程. 常微分方程是描述自然科学、工程技术和社会科学中的运动、演化和变化规律的重要连续型模型. 物理、化学、材料、医学、经济学等领域中的许多原理和规律都可以描述成相应的微分方程,如生物种群中的生态平衡、流行病存在的阈值定理、化学反应中的稳定性、遗传基因变异、股票的涨幅趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等. 描述、认识和分析其中的规律可以通过研究相应的微分方程数学模型来实现.[1] 在微分方程的理论中,线性微分方程组是非常值得重视的一部分内容,它是了解并掌握非线性微分方程、非线性动力系统、非线性控制等课程的基础. 常系数线性微分方程组的求解是线性微分方程组理论中最简单、最直观的部分,熟悉并掌握常系数线性微分方程的求解将有利于更好的理解线性系统的基本理论. Matlab 是由美国的 Cleve Moler 博士等[2 -3]于 1980 年提出的以矩阵运算为基础,把计算、程序设计等融合到了一个简单易用的交互式工作环境中. 可实现工程计算、算法研究、符号运算、建模和仿真、原型开发、数据分析及可视化、科学和工程绘图、应用程序设计等功能. Matlab 强大的运算功能和图形使其成为目前世界上应用最为广泛的科学计算软件之一,在教学中能快速的计算方程的解并描绘直观的几何图形.[4 -6]鉴于此,本文主要介绍借助于 Matlab 来求解常系数线性微分方程组,通过利用 Matlab 命令,计算系数矩阵的特征值、特征向量、矩阵指数求解线性微分方程组. 1 常系数线性微分方程的基本理论[1] 定理 1[1] 如果 A(t) 是 n × n 阶矩阵函数, f(t) 是 n 维列向量函数. 它们都在区间 a  t  b 上连续,则 对区间 a  t  b 上的任意 t0 ∈[ a, b]及任一常数 n 维列向量 η ,方程组 x' = A(t)x + f(t) (1) 存在唯一解 φ(t),定义于整个区间 a  t  b 上,且满足初值条件 φ(t0) = η.定理 2[1] 齐次线性微分方程组 x' = A(t)x 一定存在 n 个线性无关的解 x1(t), x2(t),…, xn(t). 定理 3[1] 齐次线性微分方程组 x' = A(t)x 一定存在一个基解矩阵 Φ(t). 如果 ψ(t) 是方程组的任意解,那么 ψ(t) = Φ(t)c, (2) 这里 c 是确定的 n 维常数列向量. 2018 年 赣南师范大学学报 №. 3 第三期 Journal of Gannan Normal University May. 2018 * 收稿日期:2017 -12 -12 DOI:10. 13698/j. cnki. cn36 -1346/c. 2018. 03. 003 基金项目: 江西省教育厅科学技术研究项目(GJJ170816). 作者简介: 严水仙(1981 - ),男,江西省高安市人,赣

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  • 讨论类广义常微分方程边值问题 dx=d[A]x+dg,x(a)+μ∫bax(s)ds=x(b)解的存在性和惟一性,其中x:[a,b]→Rn是[a,b]上的向量值函数,A是定义在[a,b]上的m×n阶矩阵值函数,g是 n向量实值函数并且μ∈R...
  • §4 线性微分方程组 C1 解的结构 1)一阶线性微分方程组:简记为x⃗′=A(t)x⃗+f⃗(t)\vec x' = A(t) \vec x +\vec f(t)x′=A(t)x+f​(t) {x⃗1′=a11(t)x⃗1+a12(t)x⃗2+⋯+a1n(t)x⃗n+f⃗1(t)x⃗2′=a21(t)x⃗1+...

    §4 线性微分方程组

    C1 解的结构

    1)一阶线性微分方程组:简记为x=A(t)x+f(t)\vec x' = A(t) \vec x +\vec f(t)
    {x1=a11(t)x1+a12(t)x2++a1n(t)xn+f1(t)x2=a21(t)x1+a22(t)x2++a2n(t)xn+f2(t)xn=an1(t)x1+an2(t)x2++ann(t)xn+fn(t) \begin{cases} \vec x_1' = a_{11}(t)\vec x_1+a_{12}(t)\vec x_2+\cdots+a_{1n}(t)\vec x_n+\vec f_1(t)\\ \vec x_2' = a_{21}(t)\vec x_1+a_{22}(t)\vec x_2+\cdots+a_{2n}(t)\vec x_n+\vec f_2(t)\\ \cdots\cdots\\ \vec x_n' = a_{n1}(t)\vec x_1+a_{n2}(t)\vec x_2+\cdots+a_{nn}(t)\vec x_n+\vec f_n(t) \end{cases}

    • n阶线性微分方程可转一阶线性微分方程组:
      y(n)+a1(t)y(n1)++an(t)y=f(t)x=[yyy(n1)],{x=[01000010 0001an(t)an1(t)an2(t)a1(t)]x+[000f(t)] y^{(n)} + a_1(t)y^{(n-1)}+\cdots+a_n(t)y=f(t) \\ \vec x=\begin{bmatrix} y\\y'\\\vdots \\y^{(n-1)}\end{bmatrix}, \begin{cases} \vec x' = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\ -a_n(t)&-a_{n-1}(t)&-a_{n-2}(t)&\cdots&-a_1(t) \end{bmatrix} \vec x+ \begin{bmatrix} 0\\0\\\vdots \\0\\f(t)\end{bmatrix} \end{cases}

    • 注记:但不是每个一阶线性微分方程组都可以转成n阶线性微分方程

    2)解的存在唯一性定理:若A(t),f(t)A(t),f(t)连续,则对于任意初值条件,存在唯一解

    3)齐次线性微分方程组f(t)=0\vec f(t) = 0

    4)叠加定理:若u(t),v(t)\vec u(t),\vec v(t)是方程组的解,则线性组合αu(t)+βv(t)\alpha\vec u(t)+\beta\vec v(t)也是解

    5)解的无关性定理:齐次一阶线性微分方程组必有n个线性无关的解

    6)郎斯基行列式W[x1(t),,xn(t)]=W(t)=x11(t)x12(t)x1n(t)x21(t)x22(t)x2n(t) xn1(t)xn2(t)xnn(t)W[\vec x_1(t),\dots,\vec x_n(t)]=W(t) = \begin{vmatrix} x_{11}(t)&x_{12}(t)&\cdots &x_{1n}(t)\\x_{21}(t)&x_{22}(t) & \cdots &x_{2n}(t)\\\vdots&\vdots&\ &\vdots\\x_{n1}(t) &x_{n2}(t) &\cdots&x_{nn}(t)\end{vmatrix}

    • 向量函数线性相关    W(t)0\implies W(t) \equiv 0
    • 齐次微分方程的解线性无关    W(t)≢0\iff W(t)\not \equiv 0

    5)注记:齐次一阶线性微分方程组的解构成一个n维线性空间

    7)解矩阵:n阶函数方阵,每一列都是一个解向量

    • 基解矩阵:各列线性无关的解矩阵    Φ(t)≢0\iff |\Phi(t)|\not \equiv 0
      • 推论:若CC非奇异,Φ(t)\Phi(t)是基解矩阵,则ΦC\Phi C也是基解矩阵,CC即过渡矩阵
    • 标准基解矩阵Φ(t0)=E\Phi(t_0) = E

    8)非齐次线性微分方程组:通解 = 齐次解 + 任一非齐次解

    • 常数变易法:

      解出齐次解:ϕ(t)=Φ(t)c\vec\phi(t) = \Phi(t)\vec c

      常数变易得:ψ(t)=Φ(t)c(t)\vec\psi(t) = \Phi(t)c(t)

      回代得Φ(t)c(t)=f(t)\Phi(t)c'(t) = \vec f(t),解得特解c(t)=t0tΦ(s)1f(s)ds\vec c(t) = \int_{t_0}^t \Phi(s)^{-1}\vec f(s)\mathrm{d}s

      通解为Φ(t)t0tΦ(s)1f(s)ds+Φ(t)Φ1(t0)ϕ(t0)\Phi(t)\int_{t_0}^t \Phi(s)^{-1}\vec f(s)\mathrm{d}s+\Phi(t)\Phi^{-1}(t_0)\vec \phi(t_0)

    等价于e(tt0)Aϕ(t0)+t0te(ts)Af(s)dse^{(t-t_0)A}\vec\phi(t_0)+\int_{t_0}^te^{(t-s)A}f(s)\mathrm{d}s

    可推广到n阶线性微分方程

    9)**拉普拉斯变换解法:**对方程组进行拉普拉斯变换,解方程组得到像函数,逆变换回原函数

    C2 常系数线性微分方程组

    1)常系数线性微分方程AA为常系数矩阵

    2)矩阵指数级数eAt=k=0Aktkk!e^{At} = \sum\limits_{k=0}^{\infin}\frac{A^kt^k}{k!},是线性微分方程x=Ax\vec x'=A\vec x的基解矩阵

    可证明eAte^{At}在有限区间上一致收敛

    3)求eAte^{At}

    • 特征向量解法AA的线性无关特征向量为x1,,xn\vec x_1,\dots,\vec x_n,对应特征值λ1,,λn\lambda_1,\dots,\lambda_n,则基解矩阵为Φ(t)=[eλ1tx1,eλ2tx2,,eλntxn]\Phi(t) = [e^{\lambda_1 t}\vec x_1,e^{\lambda_2 t}\vec x_2,\dots,e^{\lambda_n t}\vec x_n]eAt=Φ(t)Φ1(0)e^{At} = \Phi(t)\Phi^{-1}(0)

    • 初值法:指定边值ϕ(0)=η\vec \phi(0)=\vec \eta,作特征子空间分解得η=i=1kvk\vec \eta = \sum\limits_{i=1}^kv_k,可得ϕ(t)=j=1keλjti=0ki1tii!(AλjE)t\vec\phi(t)=\sum\limits_{j=1}^ke^{\lambda_jt}\sum\limits_{i=0}^{k_i-1}\frac{t^i}{i!}(A-\lambda_jE)^t,依次令η=e1,,en\vec\eta=e_1,\dots,e_n,可求得eAt=(ϕ1,,ϕn)e^{At}=(\vec\phi_1,\dots,\vec\phi_n)

    • 若当标准型表示eAt=eTJT1t=TeJtT1e^{At}=e^{TJT^{-1}t}=Te^{Jt}T^{-1},表示简单,计算复杂
      eJt=[eJ1t  eJ2t     eJlt],eJit=[1tt22!tkj1(kj1)!01ttkj2(kj2)! 0001]eλjte^{Jt} = \begin{bmatrix}e^{J_1t} & \ & \ & \\\\ & e^{J_2t} & \ & \\\\ & \ & \ddots \ & \\\\ & \ & \ & e^{J_lt}\end{bmatrix}, e^{J_it} = \begin{bmatrix}1 & t & \frac{t^2}{2!} & \cdots & \frac{t^{k_j-1}}{(k_j-1)!}\\0 & 1 & t & \cdots & \frac{t^{k_j-2}}{(k_j-2)!}\\\vdots &\vdots &\vdots & \ &\vdots\\0 & 0 & 0 & \cdots &1\end{bmatrix}e^{\lambda_jt}

    • 应用哈密顿-凯莱定理eAt=i=0n1ri+1(t)Pi,Pi=k=1i(AλkE),P0=E,ri(t)e^{At} = \sum\limits_{i=0}^{n-1}r_{i+1}(t)P_i,P_i=\prod\limits_{k=1}^i(A-\lambda_kE),P_0=E,r_i(t)满足{r1=λ1r1ri=ri1+λirir1(0)=1,ri(0)=0\begin{cases}r_1'=\lambda_1r_1\\r_i'=r_{i-1}+\lambda_ir_i\\r_1(0)=1,r_i(0)=0\end{cases}

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  • 大三时候在跳蚤市场闲逛,从一位数学院的学长...一般地,动力学系统的时间演化可以用常微分方程的初值问题来描述,例如设一维简谐运动的回复力: ,有则运动方程: 。令 ,可以将二阶微分方程转化为一阶微分方程组...

    大三时候在跳蚤市场闲逛,从一位数学院的学长那里买了一些闲书,最近翻出来刚好有李荣华、刘播老师的《微分方程数值解法》和王仁宏老师的《数值逼近》,结合周善贵老师的《计算物理》课程,整理一下笔记。

    本文整理常微分方程数值求解的欧拉法与龙格-库塔法。

    一般地,动力学系统的时间演化可以用常微分方程的初值问题来描述,例如设一维简谐运动的回复力:

    ,有则运动方程:

    。令

    ,可以将二阶微分方程转化为一阶微分方程组:

    因此本文主要整理一阶常微分方程初值问题的数值解法。

    一阶常微分方程初值问题

    在区域

    上连续,对于一个给定的常微分方程

    及初值

    ,求解

    。为了保证解

    存在、唯一且连续依赖初值

    ,要求

    满足Lipschitz条件:

    存在常数L,使得

    对所有

    成立。

    假设

    总满足上述条件。常用的近似解法有级数解法等近似解析方法,以及下文整理的数值方法:欧拉法与龙格-库塔法。

    欧拉法

    将区间

    作N等分,每一小区间长度

    称为步长,

    称为节点。根据初值

    ,代入微分方程可直接解出

    的导数值

    推导

    1、根据泰勒展开式:

    略去二阶小量,得:

    以此类推,得到递推公式:

    2、数值积分推导

    可得:

    ,使用左矩形积分得:

    以此类推,可得到:

    为了提高精度,可以使用梯形积分代替矩形积分,即:

    以此类推,得到改进的欧拉法:

    Python计算实例

    为例,其精确解为

    ,使用欧拉法求解的Python代码如下:

    import math

    from matplotlib import pyplot as plt

    t_0 = 0

    y_0 = 1

    tau = 0.1

    i = 1

    solve = []

    Euler = []

    t = []

    while i < 100:

    if i == 1:

    y_n = y_0

    t_n = t_0

    Euler.append(y_n)

    solve.append(math.exp(t_n))

    t.append(t_n)

    func = y_n

    y_n = y_n + tau * func

    t_n = t_n + tau

    i += 1

    plt.plot(t, Euler, c='green', label=' Euler method')

    plt.plot(t, solve, c='red', label=' accuracy')

    plt.fill_between(t, solve, Euler, facecolor='blue', alpha=0.2)

    plt.title('Euler method', fontsize=19)

    plt.xlabel('t', fontsize=19)

    plt.ylabel('y', fontsize=19)

    plt.legend()

    plt.show()

    作图可以看到,当迭代步数较多后,欧拉法的结果逐渐落后于精确指数解的增长速度。下面分析欧拉法的误差来源。

    中,略去了高阶小量

    ,因此在每一步的递推中,都有局部截断误差

    ,其阶为

    在计算中,我们更关心精确解和数值解之间的误差

    ,称为整体误差,其满足

    根据Lipschitz条件,可得:

    ,可得:

    局部截断误差

    的二阶量,设

    ,得:

    ,整体误差是

    的一阶量。同理可得,改进的欧拉法局部截断误差

    的三阶量

    ,整体误差是

    的二阶量

    稳定性分析

    如果计算的初值不能精确给定,例如存在测量、舍入误差等,在计算过程中,每一步传递的误差连续依赖于初始误差,则称算法稳定,否则该算法不稳定。

    对于不同的初值

    ,有

    两式相减,得:

    根据Lipschitz条件,可得:

    连续依赖于初始误差,欧拉法稳定。同理,改进的欧拉法也稳定。

    龙格-库塔法

    龙格库塔法的主要思想:在

    点的附近选取一些特定的点,然后把这些点的函数值进行线性组合,使用组合值代替泰勒展开中

    点的导数值。

    泰勒展开:

    ,根据多元函数求导法则有:

    以此类推,可以得到:

    同时,我们可以写出泰勒展开的形式解:

    其中:

    通项为:

    基本思路是,利用当前点的函数值

    可以计算出

    ,然后引入参数

    和步长

    可以计算出

    ,之后使用

    和步长

    计算

    ,以此类推,直到

    现在把

    展开:

    代入得:

    代入

    可得:

    与泰勒展开式

    相比较,可知:

    2个方程有3个未知数,因此有无穷多个解,可采用

    ,则:

    ,可以改写为:

    此即为二阶龙格-库塔法。

    与上一节的欧拉法公式对比:

    ,因此二阶龙格-库塔法取参数

    时,即为改进的欧拉法。

    Python计算实例

    仍以

    为例,其精确解为

    ,使用二阶龙格-库塔法求解的Python代码如下:

    import math

    from matplotlib import pyplot as plt

    t_0 = 0

    y_0 = 1

    z_0 = 1

    tau = 0.1

    i = 1

    j = 1

    solve = []

    Euler = []

    R_K = []

    t = []

    while i < 100:

    if i == 1:

    y_n = y_0

    t_n = t_0

    R_K.append(y_n)

    solve.append(math.exp(t_n))

    t.append(t_n)

    func_n = y_n

    func_m = y_n + tau * func_n

    y_n = y_n + 0.5 * tau * (func_n + func_m)

    t_n = t_n + tau

    i += 1

    t = []

    while j < 100:

    if j == 1:

    z_n = z_0

    t_n = t_0

    Euler.append(z_n)

    t.append(t_n)

    func = z_n

    z_n = z_n + tau * func

    t_n = t_n + tau

    j += 1

    plt.scatter(t, R_K, marker='^', c='blue', s=70, label=' R-K method')

    plt.plot(t, Euler, c='green', label=' Euler method')

    plt.plot(t, solve, c='red', label=' accuracy')

    plt.fill_between(t, solve, Euler, facecolor='yellow', alpha=0.2)

    plt.title('Euler method & R-K method', fontsize=19)

    plt.xlabel('t', fontsize=19)

    plt.ylabel('y', fontsize=19)

    plt.legend()

    plt.show()

    黄色部分表示数值解和精确解的偏离,可以看到,二阶龙格-库塔法(改进的欧拉法)精确度得到了很大的提升。

    二阶龙格-库塔法中,泰勒展开到了

    阶,通过与泰勒展开系数进行对比,可以得到含3个未知数的2个方程。依次类推,如果泰勒展开到了

    阶,对比

    可以得到

    阶龙格-库塔法。常用经典四阶龙格-库塔法:

    Reference:

    1、周善贵,《计算物理》课程讲义

    2、李荣华,刘播,《微分方程数值解法》

    3、王仁宏,《数值逼近》

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  • 注:本文是刘然对常微分方程模型的简介什么是常微分方程模型常用的回归分析聚焦于直接建立响应变量和协变量之间的关系,之后根据建立的模型进行分析和预测,比如常见的线性回归模型:。而如果我们感兴趣的变量是随...

    注:本文是刘然对常微分方程模型的简介

    什么是常微分方程模型

    常用的回归分析聚焦于直接建立响应变量和协变量之间的关系,之后根据建立的模型进行分析和预测,比如常见的线性回归模型:

    而如果我们感兴趣的变量是随时间变化的,那么还有另外一种常用的建模方式:建立变量与变量对时间的导数之间的关系,这就是我们这里要介绍的常微分方程模型。容易理解,常微分方程模型是利用常微分方程来刻画变量之间的关系的模型。假设我们关心的变量为,常微分方程的数学形式写作:715b51cc7b90f7586f5f9168753d54f5.png

    这里是线性或者非线性的函数,是未知的参数。在这种数学形式下,我们不是直接去建立变量之间的函数关系,而是通过常微分方程给出变量的导数和变量自身之间的函数关系。由于这里的一般大于1,这里给出的常微分方程一般是一个常微分方程组,构成了一个常微分方程系统。

    常微分方程模型在自然科学和社会科学中都得到了广泛的应用,比如神经科学中用来描述神经元发放的Hodgkin-Huxley Model,经济学中描述经济增长的Solow growth Model,以及传染病学中描述感染人数的SIR Model。

    常微分方程模型相比一般的回归模型有哪些优势?

    第一,在一些情况下,考虑变量的导数的建模比直接考虑变量本身的建模要更直接简便;第二,所建立的常微分方程可能比回归模型更能揭示出数据的生成机制,也就更能帮助我们理解数据以及与数据相关联的现象的本质特点。

    一个具体的例子

    cd893a4de54547cca6676dedb7e9a865.png
    https://www.shangxueba.com/ask/7834114.html

    生物学高考时我们常常见到这个例子。在一个生态系统中,捕食者和被捕食者的数量随时间变化,变化规律如图,问两条曲线哪一条代表捕食者,哪一条代表被捕食者?相信大家很容易就能给出答案:波峰在先的是被捕食者,波峰在后的是捕食者。现在,如果需要进一步通过建模刻画出两者之间的关系,我们该怎么做呢?显然,二者都是随时间变化的非线性函数,很难直接给出他们之间的关系,更没有办法知道数据为什么是这个样子。但是,通过考虑影响变量导数的因素,我们可以给出刻画生态系统的常微分方程模型。令分别代表被捕食者和捕食者的数量,我们先考虑的导数,导数代表了变化速度,那么被捕食者的数量的变化速度和哪些因素有关呢?这一速度应该随着被捕食者种群规模的增大而增大。这一点很好理解,比如说在其他条件不变的情况下,只兔子构成的种群在单位时间内变化的规模也应该比只兔子构成的种群大,所以,我们可以把方程写作:

    这里代表了变化率,那么这个变化率和什么有关呢?显然,变化率应该随着捕食者数量的增大而减小,因为数量更多的捕食者增大了每一个捕食者被吃掉的概率,所以我们令,这里是被捕食者在没有捕食者存在时的自然增长率,是一个正数,使得越大时越小。所以我们得到类似的,我们可以通过分析给出的导数的形式。这两个式子合在一起,就是生态学上著名的Lotka-Volterra Model。

    利用龙格库塔法之类的数值求解常微分方程的算法,我们可以给出Lotka-Volterra Model的数值解如下图。b089f10cb3510b03b485ab0af572f3d5.png方程清晰地复现出了我们看到的趋势。这里的模型既能够唯相地给出预测与推断,也能够通过对种群数量动力学机制的刻画让我们明白我们观察到的现象从何而来。

    实际中的统计分析

    值得注意的是,上文中我们关心的指的是系统变量的真实值,它是关于时间t的一个函数(如果模型的形式正确,那么就是常微分方程的解)。但在实践中,我们通常不可能观察到准确的连续数据,而只能得到一些带有误差的离散时间点上的观测数据,比如在上面的例子中实际得到的数据点可能是这样的:f598c134f8a90c3d571b7739faeb0b56.png

    我们通常可以假设如下关系,

    注意这里的都是维的。和回归模型一样,这里的代表随机误差项,每个分量往往满足均值为零、方差有限等条件。

    而常微分方程中的参数(比如前例中的)一般来说也都是未知的,这样,统计学者的任务就不光要建立符合实际的模型,而且要通过观测得到的实际数据来估计未知参数。比如可以先求常微分方程的解析解或数值解(注意这里的解依赖于的值)然后利用最小二乘法的思路写出这个解和数据点的差值平方和,以此作为目标函数进行优化求解,也就是说:

    求得参数的估计值后我们可以再进一步去做更深入的统计推断。

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    c35f87daf550ebf25ec5690e37ba3c4d.png

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  • 二阶线性微分方程

    万次阅读 2016-08-22 23:01:46
    弦振动方程、热传导方程与...一维弦振动方程是双曲型的,一维热传导方程是抛物型的,二维拉普拉斯方程是椭圆型的。 以上三种方程描述的自然现象的本质不同,其解的性质也各异。 这也从侧面说明了我们对二阶线性
  • 常微分方程一阶线性微分方程组基本概念解的存在和唯一性定理齐次线性微分方程组非齐次线性微分方程组常系数线性微分方程组 常微分方程(Ordinary Differential Equation I) 常微分方程(Ordinary Differential ...
  • 包括两个部分,个是演示怎么自己写代码解常微分方程,另部分就是示范python怎么调用解常微分方程的函数。 下面的方程组给出了三空间中各个坐标点上的速度,需要求解的洛仑兹引子的运动轨迹。 软件: python...
  • 常微分方程, 容易求得问题的解为 U(t)=sin⁡πt.U(t)=\sin \pi t.U(t)=sinπt. 利用追赶法解线性方程组, 结果为 误差估计 仅需考虑插值误差估计即可. 事实上, 记 ω(t)=U−ΠU(t),\omega(t)=U-\Pi U(t),ω(t)=U−...
  • 2.2系数线性齐次偏微分方程的通解 Lu=0 (当然2.2.1简单的讨论了非齐次的情形) 2.2.1 L(Dx,Dy)为Dx与Dy的齐次式 只考二阶 代数特征方程的解都不相同 α=a1,a2 a1 != a2 那么 u=Φ1*(y+a1*x) + Φ2*(y+a2*x) ...
  • 承接上篇博客 https://blog.csdn.net/waitingwinter/article/details/106164350 为了使结构完整,我们再次给出所求解的问题: {−U′′(t)+U(t)=(π2+1)sin⁡πt,U(0)=U(1)=0,\left\{ \begin{aligned} & -U''(t...
  • n个自变量的一阶线性微分方程(n≥2n\geq2n≥2) n个自变量的一阶线性微分方程的一般形式为 ∑j=1nbj∂u∂xj+cu=f(7) \sum_{j=1}^nb_j\frac{\partial u}{\partial x_j}+cu=f \tag{7} j=1∑n​bj​∂xj​∂u​+cu...
  • C1 线性微分方程的一般理论 1)nnn阶线性微分方程:y(n)+a1(x)y(n−1)+⋯+an(x)y=f(x)y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_n(x)y = f(x)y(n)+a1​(x)y(n−1)+⋯+an​(x)y=f(x) 2)解的存在性定理:ai(x),f(x)∈C[a,b]...
  • 一般地,n个自变量的二阶线性微分方程可表示为 ∑i,j=1naij(x1,⋅⋅⋅,xn)∂2u∂xi∂xj+∑j=1nbj(x1,⋅⋅⋅,xn)∂u∂xj+c(x1,⋅⋅⋅,xn)u=f(x1,⋅⋅⋅,xn)(1) \sum_{i,j=1}^na_{ij}(x_1,···,x_n)\frac{\partial...
  • §5 微分方程稳定性 C1 稳定性 1)平衡解/驻定解:令驻定微分方程右端为0得到的常数解 2)稳定性: 稳定:∀ϵ>0,∃δ(ϵ,t0)>0,s.t.∥x(t0)∥≤δ  ⟹  ∀t≥t0,∥x(t)∥<ϵ\forall \epsilon\gt0,\...
  • 常微分方程的解法 (四): Matlab 解法

    万次阅读 多人点赞 2019-04-30 10:33:01
    常微分方程的解法 (): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor 多项式近似 常微分方程的解法 (二): 欧拉(Euler)方法 常微分方程的解法 (三): 龙格—库塔(Runge—Kutta)方法 、线性多步法 ...
  • 背景求解真实问题中建模得到的非线性微分方程组, 尽可能少手写代码,如果用matlab, 可能的选项很有限。pdetoolbox有限元方法能够求解一些,但是要求对微分方程的类型以及pdetoolbox特有的书写方式非常熟悉,并能够把...
  • 常微分方程 $1 绪论

    2020-06-19 15:08:52
    1)常微分方程:关于单个自变量的微分方程;偏微分方程:多个自变量 2)阶数:未知函数的最高阶导数的阶数 n阶常微分方程有形式:F(x,y,dydx,…,dnydxn)=0F(x,y,\frac{\mathbb{d}y}{\mathbb{d}x},\dots,\frac{\...
  • 常微分方程每章总结

    千次阅读 2020-04-04 11:50:54
    这学期课程较少,所以在提前学完微积分以后准备把之后的课程内容也提前学习了,我选用的教材是丁同仁先生的《常微分方程教程》和王高雄先生的《常微分方程》,预计是个月读完(不过计划总是没有变化快,也没懒惰快...
  • 用 GSL 解常微分方程初值问题

    千次阅读 2012-05-12 12:22:46
    用 GSL 解常微分方程初值问题 GNU Scientific Library (GSL) 是个用于科学计算的...n 常微分方程组一般可以描述为: \[ \frac{{dy_i (t)}}{{dx}} = f_i (t,y_1 (t), \ldots y_n (t)) \] 其中 i = 1,\ldots,n
  • 对于任意的二元二阶齐次线性微分方程, \(a_{11}\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+2a_{12}\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}+a_{22}\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}+b_1\dfrac{\...
  • 简述计算机数学软件在常微分方程中的应用在目前计算机的普及应用的环境下,如何应用计算机数学软件对常微分方程的教学和研究进行计算机辅助分析是个值得研究的方向,下面是小编搜索整理的篇相关论文范文,希望对...
  • Maple笔记2--常微分方程求解

    千次阅读 2017-04-04 12:13:03
    转需看原文地址:Maple笔记2--常微分方程求解作者:Lionel 来源:网络论坛转载(VB资料库) 常微分方程求解 微分方程求解是数学研究与应用的个重点和难点. Maple能够显式或隐式地解析地求解许多微分方程求解. ...
  • 高阶线性微分方程

    2021-06-06 12:16:23
    高阶线性微分方程 1. 线性微分方程的一般理论 形如 dnx dtn+a1(t)dn−1x dtn−1+⋯+an−1(t)dx dt+an(t)x=f(t)(1) \frac{\mathrm{d}^{n} x}{\mathrm{~d} t^{n}}+a_{1}(t) \frac{\mathrm{d}^{n-1} x}{...
  • 章:微分方程的一般性质 第二章:二系统 第三章:线性系统与线性化 第四章:非临界线性系统的扰动 第五章:简单振动现象与平均法 第六章:在周期轨道中的性态 第七章:含有小参数的方程的积分流形 第八章:含有小参数...
  • 常微分方程 伍卓群 题目 初等积分法 1.(x−c1)2+(y−c2)2=r2(x-c1)^2+(y-c2)^2=r^2(x−c1)2+(y−c2)2=r2,c1,c2为任意常数,r为常数,构造微分方程 解:构造曲率方程,曲率ρ=1/r κ=y’’∣(1+(y’)2)32∣=1/r;\kappa...
  • 边值问题Matlab可用BVP4C命令,但感觉比较麻烦,下面用1stOpt求解,很简单快捷:CODE:Constant Pey=9.73, Nox=8.05, uxuy=3, bd=1, cx1e=2.3,b1=309.7,b2=2832.5, a1=27.8,a2=2.15,a3=-0.84,a4=0.935;...
  • ode45是求常微分方程的数值解的首选方法。 matlab提供了求常微分方程数值解的函数。当难以求得微分方程的解析解时,可以求其数值解. matlab中求微分方程数值解的函数有七个:ode45,ode23,ode113,ode15s,ode23s,...

空空如也

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一维线性常微分方程